Calcul de la Vitesse Terminale d'une Bulle d'Air dans l'Eau
Contexte : L'Équilibre des Forces sur une Bulle en Ascension
Lorsqu'une bulle d'air est libérée dans un liquide, elle se met à monter. Cette ascension est due à la poussée d'ArchimèdeForce verticale, dirigée de bas en haut, que subit un corps plongé dans un fluide. Elle est égale au poids du volume de fluide déplacé., une force qui la pousse vers le haut et qui est supérieure à son propre poids (qui est négligeable). En montant, sa vitesse augmente, et avec elle, la force de traînéeForce résistive exercée par un fluide sur un objet qui se déplace par rapport à lui. Elle s'oppose au mouvement., qui s'oppose au mouvement. La bulle atteint sa vitesse terminaleVitesse constante atteinte par un objet en chute (ou en ascension) dans un fluide, lorsque la somme des forces de frottement compense la force motrice (poids ou poussée d'Archimède). lorsque la force de traînée (vers le bas) équilibre parfaitement la poussée d'Archimède (vers le haut). L'accélération devient alors nulle et la vitesse constante.
Remarque Pédagogique : Ce problème est l'inverse de la chute d'un objet dense. Ici, la force motrice n'est pas le poids mais la flottabilité. C'est un excellent exemple pour appliquer le principe fondamental de la dynamique et comprendre comment les forces de frottement fluide régulent le mouvement jusqu'à atteindre un état d'équilibre dynamique.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la poussée d'Archimède sur un corps sphérique.
- Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour un corps en mouvement dans un fluide.
- Établir l'équation d'équilibre des forces à la vitesse terminale.
- Utiliser le concept de régime d'écoulement (loi de Stokes) pour modéliser la traînée.
- Calculer une vitesse terminale et valider a posteriori les hypothèses de calcul.
Données de l'étude
Forces sur une Bulle en Ascension
| Grandeur | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse volumique de l'eau | \(\rho_e\) | \(998 \, \text{kg/m}^3\) |
| Viscosité dynamique de l'eau | \(\mu_e\) | \(1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa}\cdot\text{s}\) |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | \(9.81 \, \text{m/s}^2\) |
Questions à traiter
- Calculer la force de poussée d'Archimède \(F_A\) qui s'exerce sur la bulle.
- Écrire la condition d'équilibre des forces lorsque la bulle atteint sa vitesse terminale \(V_t\).
- En supposant que l'écoulement est dans le régime de Stokes (\(\text{Re} < 1\)), calculer la vitesse terminale \(V_t\). Vérifier ensuite si l'hypothèse du régime de Stokes était justifiée.
Correction : Calcul de la Vitesse Terminale d'une Bulle d'Air dans l'Eau
Question 1 : Calcul de la Poussée d'Archimède
Principe :
La poussée d'Archimède est une force verticale dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé par l'objet. Pour une bulle sphérique, le volume de fluide déplacé est simplement le volume de la sphère.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Il est essentiel de bien utiliser la masse volumique du fluide (\(\rho_e\)) et non celle de l'objet (ici, l'air) pour calculer la poussée d'Archimède. C'est le fluide qui pousse, donc c'est son poids qui compte.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Diamètre de la bulle : \(d = 1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
- Masse volumique de l'eau : \(\rho_e = 998 \, \text{kg/m}^3\)
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
D'abord, le volume de la bulle :
Ensuite, la poussée d'Archimède :
Points de vigilance :
Unités et volume : Assurez-vous que le diamètre est converti en mètres avant de calculer le volume. Une erreur sur la formule du volume de la sphère (utiliser le rayon au lieu du diamètre, ou oublier le facteur 4/3) est également une source d'erreur commune.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Équilibre des Forces à la Vitesse Terminale
Principe :
La vitesse terminale est atteinte lorsque l'accélération de la bulle est nulle. Selon le principe fondamental de la dynamique (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)), cela signifie que la somme vectorielle des forces agissant sur la bulle est nulle. Les deux forces principales étant la poussée d'Archimède (vers le haut) et la traînée (vers le bas), elles doivent être égales en magnitude.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est la transformation d'un problème de dynamique (avec accélération) en un problème de statique (équilibre des forces). Cette simplification est au cœur de tous les problèmes de vitesse terminale. L'objet n'arrête pas de bouger, mais son état de mouvement n'évolue plus.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
Aucune donnée numérique n'est requise pour cette question de principe.
Calcul(s) :
La condition d'équilibre à la vitesse terminale \(V_t\) est simplement l'égalité des magnitudes des forces.
Points de vigilance :
Ne pas oublier le poids : Dans le cas général d'un objet dense qui tombe (comme une bille en acier), le poids est la force motrice et la poussée d'Archimède s'y oppose. L'équilibre serait \(F_D + F_A = Poids\). Ici, le poids est négligé, ce qui simplifie l'équation.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Calcul de la Vitesse Terminale (Régime de Stokes)
Principe :
Pour des écoulements très lents et visqueux (caractérisés par un nombre de Reynolds très faible, Re < 1), la force de traînée sur une sphère est donnée par la loi de Stokes. En combinant cette loi avec la condition d'équilibre des forces, on peut isoler et calculer la vitesse terminale \(V_t\). Il est ensuite impératif de calculer le nombre de Reynolds avec la vitesse trouvée pour vérifier si l'hypothèse de départ était correcte.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est un exemple de raisonnement par itération ou auto-cohérence. On fait une hypothèse (régime de Stokes), on en déduit un résultat (la vitesse), puis on utilise ce résultat pour vérifier si l'hypothèse initiale tenait la route. Si ce n'est pas le cas, il faudrait utiliser un modèle de traînée plus complexe (valable pour des Reynolds plus élevés) et résoudre l'équation de manière itérative.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(d = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
- \(\rho_e = 998 \, \text{kg/m}^3\)
- \(\mu_e = 1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa}\cdot\text{s}\)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
Calcul de la vitesse terminale :
Vérification de l'hypothèse (calcul du Reynolds) :
Points de vigilance :
Validation de l'hypothèse : Le nombre de Reynolds calculé (Re \(\approx\) 541) est très supérieur à 1. L'hypothèse de l'écoulement de Stokes est donc invalide. La loi de traînée \(F_D = 3\pi\mu dV\) n'est pas applicable ici. La vitesse réelle de la bulle sera inférieure à celle calculée, car pour ce Reynolds, le coefficient de traînée est plus faible que ce que prédit la loi de Stokes.
Le saviez-vous ?
Simulation de la Vitesse Terminale
Calculez la vitesse terminale correcte en utilisant un modèle de traînée complet. Variez le diamètre de la bulle et le type de liquide pour voir l'impact sur la vitesse et le régime d'écoulement.
Paramètres du Problème
Position sur la Courbe de Traînée d'une Sphère
Le Saviez-Vous ?
Les grosses bulles d'air dans l'eau ne restent pas sphériques. Elles s'aplatissent et prennent une forme de "calotte sphérique" ou oscillent en zigzaguant. Leur dynamique devient alors beaucoup plus complexe que le modèle de la sphère rigide, et leur vitesse d'ascension peut même diminuer à mesure que leur taille augmente au-delà d'un certain point.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la vitesse terminale correcte pour la bulle de l'exercice ?
En utilisant un solveur itératif (comme celui de la simulation), on trouve que pour une bulle de 1 mm dans l'eau, la vitesse terminale est d'environ 0.23 m/s. À cette vitesse, le nombre de Reynolds est d'environ 230, et le coefficient de traînée est d'environ 0.65. C'est bien différent du calcul erroné basé sur la loi de Stokes.
La tension de surface joue-t-elle un rôle ?
Oui, pour de très petites bulles, la tension de surface à l'interface air-eau peut rendre la bulle plus rigide et affecter légèrement la traînée. Pour des bulles plus grosses, son effet est généralement négligeable par rapport aux forces de flottabilité et de traînée.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double le diamètre d'une bulle dans le régime de Stokes, sa vitesse terminale :
2. Une bulle d'air monte plus vite dans l'eau chaude que dans l'eau froide car l'eau chaude est :
Glossaire
- Vitesse Terminale
- Vitesse constante atteinte par un objet se déplaçant dans un fluide lorsque la force de traînée équilibre la force motrice (poids ou flottabilité).
- Poussée d'Archimède
- Force ascendante exercée par un fluide sur un objet immergé, égale au poids du volume de fluide déplacé par l'objet.
- Force de Traînée
- Force de résistance du fluide qui s'oppose au mouvement de l'objet.
- Loi de Stokes
- Modèle de la force de traînée (\(F_D = 3\pi\mu dV\)) valable uniquement pour les écoulements sur une sphère à très faible nombre de Reynolds (Re < 1).
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