ÉTUDE HYDRAULIQUE

Vitesse de Chute d’une Bille selon la Loi de Stokes

Exercice : Vitesse de Chute d'une Bille (Loi de Stokes)

Vitesse de Chute d’une Bille selon la Loi de Stokes

Contexte : L'étude de la Loi de StokesFormule qui exprime la force de traînée (résistance) exercée sur une sphère se déplaçant dans un fluide visqueux, à faible vitesse..

En mécanique des fluides, comprendre le mouvement d'un objet à travers un liquide est fondamental. Lorsqu'une petite bille sphérique est lâchée dans un fluide visqueux comme la glycérine ou l'huile, elle accélère initialement sous l'effet de la gravité. Cependant, deux forces s'opposent à ce mouvement : la poussée d'ArchimèdeForce verticale, dirigée vers le haut, que subit un corps plongé dans un fluide. Elle est égale au poids du volume de fluide déplacé. et la force de traînée visqueuse, décrite par la loi de Stokes. Cet exercice vous guidera pour déterminer le moment où ces forces s'équilibrent, atteignant une vitesse de chute constante appelée vitesse limite.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer les principes fondamentaux de l'hydraulique (poids, poussée d'Archimède, viscosité) pour analyser un cas pratique et concret, et de comprendre l'équilibre des forces dans un fluide au repos apparent.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et quantifier les trois forces principales agissant sur une bille en chute dans un fluide.
  • Savoir appliquer la loi de Stokes pour calculer la force de traînée visqueuse.
  • Maîtriser la méthode pour déterminer la vitesse de chute limite (ou terminale) en établissant l'équilibre des forces.

Données de l'étude

On étudie la chute d'une petite bille d'acier dans une éprouvette remplie de glycérine à température ambiante. L'objectif est de calculer sa vitesse de chute stabilisée.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type de bille Acier
Fluide Glycérine
Régime d'écoulement Laminaire (faible nombre de Reynolds)
Schéma des forces sur la bille en chute
Fg Fb Fd Mouvement
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Diamètre de la bille \(d\) 2 \(\text{mm}\)
Masse volumique de la bille (acier) \(\rho_s\) 7850 \(\text{kg/m}^3\)
Masse volumique du fluide (glycérine) \(\rho_f\) 1260 \(\text{kg/m}^3\)
Viscosité dynamique du fluide \(\eta\) 1.41 \(\text{Pa} \cdot \text{s}\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer le rayon et le volume de la bille en unités du Système International (SI).
  2. Déterminer la valeur du poids de la bille.
  3. Calculer la valeur de la poussée d'Archimède que subit la bille.
  4. Établir l'équation d'équilibre des forces lorsque la bille atteint sa vitesse de chute limite.
  5. En déduire et calculer la vitesse de chute limite (\(v_t\)) de la bille.

Les bases sur la Chute d'un Corps dans un Fluide Visqueux

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de comprendre les trois forces qui agissent sur la bille : son poids, la poussée d'Archimède et la force de traînée visqueuse.

1. Poids et Poussée d'Archimède
Le poids (\(F_g\)) est la force de gravité qui attire la bille vers le bas. La poussée d'Archimède (\(F_b\)) est la force exercée par le fluide qui pousse la bille vers le haut. \[ F_g = m \cdot g = (\rho_s \cdot V) \cdot g \] \[ F_b = \rho_f \cdot V \cdot g \] Où \(\rho_s\) et \(\rho_f\) sont les masses volumiques de la sphère et du fluide, \(V\) est le volume de la bille, et \(g\) l'accélération de la pesanteur.

2. Loi de Stokes (Force de Traînée)
Lorsqu'une sphère se déplace lentement dans un fluide visqueux (écoulement laminaire), elle subit une force de résistance ou de traînée (\(F_d\)) qui s'oppose au mouvement. Cette force est proportionnelle à la viscosité du fluide \(\eta\), au rayon de la bille \(r\) et à sa vitesse \(v\). \[ F_d = 6 \pi \eta r v \] Cette loi n'est applicable que pour un faible nombre de Reynolds (\(Re < 1\)).

Correction : Vitesse de Chute d’une Bille selon la Loi de Stokes

Question 1 : Calculer le rayon et le volume de la bille en unités du SI.

Principe

La première étape consiste à convertir toutes les dimensions dans le Système International (mètres) pour assurer la cohérence des calculs, puis à appliquer la formule géométrique du volume d'une sphère.

Mini-Cours

L'homogénéité dimensionnelle est un concept clé en physique. Toutes les équations doivent être cohérentes en termes d'unités. Le Système International (SI) fournit un cadre standard (mètre pour la longueur, kilogramme pour la masse, seconde pour le temps) pour garantir cette cohérence.

Remarque Pédagogique

Prenez toujours l'habitude de commencer un exercice de physique par la conversion de toutes les données dans les unités SI. Cette étape initiale, bien que simple, prévient la grande majorité des erreurs de calcul.

Normes

Les calculs scientifiques et d'ingénierie se basent sur le Système International d'unités (SI), défini et maintenu par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), et formalisé par la norme ISO 80000.

Formule(s)

Volume d'une sphère

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Hypothèses

Pour appliquer cette formule, nous posons l'hypothèse que la bille est une sphère géométriquement parfaite.

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire pour cette étape est le diamètre de la bille.

ParamètreSymboleValeurUnité
Diamètre de la bille\(d\)2\(\text{mm}\)
Astuces

Pour convertir rapidement des volumes, rappelez-vous que \(1 \text{ mm}^3 = (10^{-3} \text{ m})^3 = 10^{-9} \text{ m}^3\). Une erreur d'un facteur 1000 sur la longueur se transforme en une erreur d'un facteur 1 milliard sur le volume !

Schéma (Avant les calculs)
Dimensions de la bille
rd
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du rayon en mètres

Formule de conversion du diamètre en rayon

\[ r = \frac{d}{2} \]

Application numérique

\[ r = \frac{2 \text{ mm}}{2} = 1 \text{ mm} \]

Conversion du rayon en mètres (SI)

\[ r = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m} \]

Étape 2 : Calcul du volume en m³

Formule du volume de la sphère

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Application numérique avec le rayon en mètres

\[ \begin{aligned} V &= \frac{4}{3} \pi (0.001 \text{ m})^3 \\ &\approx 4.1888 \times 10^{-9} \text{ m}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma ci-dessous représente la bille avec son volume calculé, une propriété géométrique intrinsèque essentielle pour les calculs de masse et de poussée d'Archimède.

Volume de la Bille
Volume≈ 4.19e-9 m³
Réflexions

Le volume obtenu est extrêmement petit, ce qui est attendu pour une bille de 2 mm de diamètre. L'utilisation de la notation scientifique (\(10^{-9}\)) est indispensable pour manipuler de tels nombres de manière lisible et pratique.

Points de vigilance

Les deux erreurs les plus communes ici sont : 1) Oublier de diviser le diamètre par deux pour obtenir le rayon. 2) Faire une erreur dans la conversion des millimètres en mètres (\(1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}\)).

Points à retenir
  • La conversion d'unités vers le SI est la première étape de tout calcul physique.
  • La formule du volume d'une sphère est \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).
Le saviez-vous ?

Archimède, qui a découvert le principe de la poussée, a également été le premier à dériver rigoureusement la formule du volume d'une sphère. Il était si fier de cette découverte qu'il a demandé qu'une sphère inscrite dans un cylindre soit gravée sur sa tombe.

FAQ
Pourquoi ne pas calculer avec les millimètres ?

Les constantes physiques comme \(g\) (en m/s²) ou \(\eta\) (en Pa.s, qui dépend du mètre) sont données en unités SI. Mélanger des millimètres et des mètres dans une même formule mènerait à un résultat erroné.

Résultat Final
Le volume de la bille est d'environ \(4.189 \times 10^{-9} \text{ m}^3\).
A vous de jouer

Quel serait le volume d'une bille de 4 mm de diamètre ?

Question 2 : Déterminer la valeur du poids de la bille.

Principe

Le poids est la force gravitationnelle agissant sur la bille. Il se calcule en multipliant la masse de la bille par l'accélération de la pesanteur. La masse est obtenue en multipliant la masse volumique de l'acier par le volume de la bille précédemment calculé.

Mini-Cours

Il est crucial de distinguer la masse (symbole \(m\), unité kg), qui est une mesure de la quantité de matière d'un objet et est constante partout, du poids (symbole \(F_g\) ou \(P\), unité N), qui est la force exercée sur cette masse par un champ gravitationnel. Le poids d'un objet change donc en fonction de l'astre où il se trouve (Terre, Lune, etc.).

Remarque Pédagogique

Pour obtenir un poids en Newtons (N), l'unité de force du SI, il est impératif que la masse volumique soit en kg/m³, le volume en m³, et l'accélération de la pesanteur en m/s². Vérifiez toujours cette cohérence.

Normes

Le Newton (N) est l'unité de force dérivée du Système International. Il est défini comme la force nécessaire pour donner à une masse d'un kilogramme une accélération d'un mètre par seconde au carré (\(1 \text{ N} = 1 \text{ kg} \cdot \text{m/s}^2\)).

Formule(s)
\[ F_g = m \cdot g = (\rho_s \cdot V) \cdot g \]
Hypothèses
  • L'accélération de la pesanteur \(g\) est considérée comme constante et égale à 9.81 m/s².
  • Le matériau de la bille (acier) est considéré comme parfaitement homogène, sa masse volumique est donc uniforme.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique (acier)\(\rho_s\)7850\(\text{kg/m}^3\)
Volume de la bille\(V\)\(4.189 \times 10^{-9}\)\(\text{m}^3\)
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81\(\text{m/s}^2\)
Astuces

Avant de calculer, faites une estimation rapide : le volume est de l'ordre de \(4 \times 10^{-9}\) m³, la masse volumique de l'ordre de \(8000\) kg/m³. La masse sera donc d'environ \(32 \times 10^{-6}\) kg. Le poids sera d'environ \(32 \times 10^{-6} \times 10 \approx 3.2 \times 10^{-4}\) N. Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur du résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Force du Poids
Fg
Calcul(s)

Formule du poids

\[ F_g = \rho_s \cdot V \cdot g \]

Application numérique

\[ \begin{aligned} F_g &= 7850 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times (4.1888 \times 10^{-9} \text{ m}^3) \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &\approx 3.225 \times 10^{-4} \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma illustre la force du poids calculée, agissant verticalement vers le bas depuis le centre de gravité de la bille.

Valeur du Poids
Fg≈ 3.23e-4 N
Réflexions

Le poids est une force très faible, de l'ordre du dixième de millinewton. C'est cette force qui initie le mouvement de la bille vers le bas. Sans gravité, il n'y aurait pas de chute.

Points de vigilance

Attention à ne pas utiliser la masse volumique du fluide (\(\rho_f\)) au lieu de celle du solide (\(\rho_s\)) pour le calcul du poids. Le poids dépend de la matière de l'objet, pas du milieu dans lequel il se trouve.

Points à retenir

Le poids d'un objet est la force de gravité qu'il subit. Il est calculé en multipliant la masse volumique de l'objet, son volume et l'accélération de la pesanteur : \(F_g = \rho_{\text{objet}} \cdot V \cdot g\).

Le saviez-vous ?

La valeur de l'accélération de la pesanteur \(g\) n'est pas la même partout sur Terre. Elle est légèrement plus faible à l'équateur qu'aux pôles en raison de la rotation de la Terre et de son léger aplatissement.

FAQ
Qu'est-ce qu'un Newton ?

Un Newton est la force nécessaire pour provoquer une accélération de 1 m/s² sur une masse de 1 kg. Pour vous donner une idée, une pomme de 102 grammes exerce une force d'environ 1 Newton sur votre main.

Résultat Final
Le poids de la bille est d'environ \(3.225 \times 10^{-4} \text{ N}\).
A vous de jouer

Quel serait le poids de cette même bille sur la Lune, où \(g \approx 1.62 \text{ m/s}^2\) ?

Question 3 : Calculer la valeur de la poussée d'Archimède que subit la bille.

Principe

La poussée d'Archimède est une force dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé par la bille. Elle se calcule de la même manière que le poids, mais en utilisant la masse volumique du fluide (glycérine) au lieu de celle de la bille.

Mini-Cours

Le principe d'Archimède stipule que "Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé". C'est cette force qui fait flotter les objets moins denses que le fluide.

Remarque Pédagogique

La formule de la poussée d'Archimède est structurellement identique à celle du poids. La seule différence, mais elle est cruciale, est l'utilisation de la masse volumique du fluide (\(\rho_f\)) et non celle de l'objet (\(\rho_s\)). Visualisez que vous "remplacez" l'objet par le même volume de fluide et que vous calculez le poids de ce fluide.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire spécifique, il s'agit d'un principe fondamental de la physique des fluides.

Formule(s)
\[ F_b = \rho_f \cdot V \cdot g \]
Hypothèses
  • La bille est entièrement immergée dans le fluide.
  • Le fluide (glycérine) est considéré comme homogène et incompressible.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique (glycérine)\(\rho_f\)1260\(\text{kg/m}^3\)
Volume de la bille\(V\)\(4.189 \times 10^{-9}\)\(\text{m}^3\)
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81\(\text{m/s}^2\)
Astuces

Avant même de calculer, comparez les masses volumiques. Ici, \(\rho_s (7850) > \rho_f (1260)\). Vous pouvez donc prédire que le poids \(F_g\) sera supérieur à la poussée d'Archimède \(F_b\), et que l'objet va couler. C'est une vérification de cohérence essentielle.

Schéma (Avant les calculs)
Poussée d'Archimède
Fb
Calcul(s)

Formule de la poussée d'Archimède

\[ F_b = \rho_f \cdot V \cdot g \]

Application numérique

\[ \begin{aligned} F_b &= 1260 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times (4.1888 \times 10^{-9} \text{ m}^3) \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &\approx 0.518 \times 10^{-4} \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce schéma montre la force de la poussée d'Archimède, dirigée vers le haut, avec sa valeur numérique calculée.

Valeur de la Poussée d'Archimède
Fb≈ 0.52e-4 N
Réflexions

La poussée d'Archimède est environ 6 fois plus faible que le poids de la bille. La force résultante initiale (poids - poussée) est donc dirigée vers le bas, ce qui confirme que la bille va bien chuter.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'utiliser la mauvaise masse volumique. Répétez-vous : "Poussée d'Archimède = poids du FLUIDE déplacé". Cela aide à choisir la bonne masse volumique (\(\rho_f\)).

Points à retenir

La poussée d'Archimède s'oppose au poids et dépend du volume de l'objet et de la masse volumique du fluide environnant : \(F_b = \rho_{\text{fluide}} \cdot V \cdot g\).

Le saviez-vous ?

La légende raconte qu'Archimède aurait eu cette révélation en prenant son bain et en voyant l'eau déborder. Il serait sorti nu dans la rue en criant "Eurêka !" ("J'ai trouvé !").

FAQ
La poussée d'Archimède dépend-elle de la profondeur ?

Non, tant que l'objet est entièrement immergé et que le fluide est incompressible (comme un liquide), la poussée d'Archimède ne dépend que du volume immergé, pas de la profondeur.

Résultat Final
La poussée d'Archimède est d'environ \(0.518 \times 10^{-4} \text{ N}\).
A vous de jouer

Quelle serait la poussée d'Archimède si la bille était plongée dans de l'eau (\(\rho_f \approx 1000 \text{ kg/m}^3\)) ?

Question 4 : Établir l'équation d'équilibre des forces lorsque la bille atteint sa vitesse de chute limite.

Principe

La vitesse limite (ou terminale) est atteinte lorsque l'accélération de la bille devient nulle. Selon le principe fondamental de la dynamique, cela signifie que la somme vectorielle des forces agissant sur la bille est nulle. Le poids (dirigé vers le bas) est alors équilibré par la somme de la poussée d'Archimède et de la force de traînée (dirigées vers le haut).

Mini-Cours

La deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) s'écrit \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\). Lorsque la vitesse devient constante, l'accélération \(\vec{a}\) est nulle. L'équation devient donc \(\sum \vec{F} = \vec{0}\). Cela signifie que le système est en équilibre dynamique : il est en mouvement, mais à vitesse constante.

Remarque Pédagogique

Un diagramme de corps libre est votre meilleur ami pour ce type de problème. Dessinez l'objet et représentez toutes les forces agissant sur lui par des vecteurs. Choisissez un axe (par exemple, vertical vers le bas) et projetez toutes les forces sur cet axe. La somme des composantes doit être nulle à l'équilibre.

Normes

Ce raisonnement est une application directe du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), l'une des pierres angulaires de la mécanique newtonienne.

Formule(s)

En projetant sur un axe vertical orienté vers le bas :

\[ \sum F_z = F_g - F_b - F_d = m \cdot a_z \]

À la vitesse limite, \(a_z = 0\), donc :

\[ F_g - F_b - F_d = 0 \Rightarrow F_g = F_b + F_d \]
Hypothèses

La principale hypothèse est que la bille a effectivement atteint un état d'équilibre où sa vitesse ne change plus. On suppose que la colonne de fluide est suffisamment haute pour que cet état soit atteint.

Astuces

Pensez toujours à l'équilibre comme une "balance" de forces. Ce qui tire vers le bas doit être égal à ce qui pousse vers le haut pour que le mouvement soit stable (vitesse constante).

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre
FgFbFd
Calcul(s)

Cette étape est purement conceptuelle et algébrique, il n'y a pas de calcul numérique. On part de \(\sum F_z = 0\) pour arriver à l'équation littérale finale.

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme ci-dessous représente l'équilibre des forces. La longueur du vecteur Poids (Fg) est visuellement égale à la somme des longueurs des vecteurs Poussée d'Archimède (Fb) et Traînée (Fd), illustrant l'équation \(F_g = F_b + F_d\).

Équilibre des Forces à Vitesse Limite
FgFbFd
Réflexions

Cette condition d'équilibre est le point central de nombreux problèmes de physique, pas seulement en mécanique des fluides. Elle représente un état stable vers lequel le système tend. Comprendre comment poser cette équation est une compétence fondamentale.

Points de vigilance

L'erreur la plus grave serait de mal orienter une des forces (par exemple, dessiner la traînée dans le sens du mouvement) ou de se tromper dans les signes lors de la projection sur l'axe, ce qui mènerait à une équation physiquement incorrecte comme \(F_g + F_d = F_b\).

Points à retenir

À vitesse limite, l'accélération est nulle et la somme des forces est nulle. Pour une chute verticale, cela se traduit par : Force motrice (Poids) = Somme des forces résistantes (Poussée d'Archimède + Traînée).

Le saviez-vous ?

Les parachutistes n'atteignent pas une vitesse de chute nulle, mais une vitesse limite beaucoup plus faible (environ 20 km/h parachute ouvert) grâce à l'énorme force de traînée générée par la toile. Ils utilisent exactement ce principe d'équilibre des forces pour atterrir en toute sécurité.

FAQ
La bille s'arrête-t-elle de tomber ?

Non, sa vitesse devient constante mais elle n'est pas nulle. Elle continue de tomber, mais sans accélérer. C'est un équilibre dynamique, pas statique.

Résultat Final
L'équation d'équilibre des forces à la vitesse limite est : \(F_g = F_b + F_d\).
A vous de jouer

Quelle serait l'équation d'équilibre pour une bulle d'air qui monte dans l'eau à vitesse constante ? (Indice: le poids est négligeable et la traînée s'oppose à la montée).

Question 5 : En déduire et calculer la vitesse de chute limite (\(v_t\)) de la bille.

Principe

En utilisant l'équation d'équilibre établie à la question précédente et en y injectant l'expression de la loi de Stokes pour la force de traînée, on peut isoler algébriquement la vitesse \(v_t\) pour trouver sa valeur numérique.

Mini-Cours

La résolution de nombreux problèmes de physique suit cette démarche : 1) Identifier les principes physiques pertinents (ici, PFD). 2) Poser les équations littérales (\(F_g=F_b+F_d\)). 3) Substituer les lois connues (\(F_d=6\pi\eta r v_t\)). 4) Isoler l'inconnue (\(v_t\)). 5) Faire l'application numérique.

Remarque Pédagogique

Il est souvent plus sûr et plus formateur de faire les calculs en deux temps : d'abord calculer la valeur numérique de la force de traînée \(F_d = F_g - F_b\), puis utiliser cette valeur pour trouver \(v_t\). Utiliser la formule finale directement est plus rapide mais augmente le risque d'erreur de calcul et masque la logique intermédiaire.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une application de formules fondamentales.

Formule(s)

Équation de départ

\[ F_g - F_b = 6 \pi \eta r v_t \]

Formule finale pour la vitesse

\[ v_t = \frac{F_g - F_b}{6 \pi \eta r} = \frac{2}{9} \frac{(\rho_s - \rho_f) g r^2}{\eta} \]
Hypothèses

Nous supposons que la loi de Stokes est applicable, ce qui signifie que l'écoulement est laminaire. Une fois la vitesse calculée, nous devrions vérifier que le nombre de Reynolds \(Re = \frac{\rho_f v_t d}{\eta}\) est bien inférieur à 1.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Force de Poids\(F_g\)\(3.225 \times 10^{-4}\)\(\text{N}\)
Poussée d'Archimède\(F_b\)\(0.518 \times 10^{-4}\)\(\text{N}\)
Viscosité dynamique\(\eta\)1.41\(\text{Pa} \cdot \text{s}\)
Rayon de la bille\(r\)0.001\(\text{m}\)
Astuces

Vérifiez les unités : Le numérateur (\(F_d\)) est en N. Le dénominateur (\(\eta \cdot r\)) est en \((\text{Pa} \cdot \text{s}) \cdot \text{m} = (\frac{\text{N}}{\text{m}^2} \cdot \text{s}) \cdot \text{m} = \frac{\text{N} \cdot \text{s}}{\text{m}}\). Le rapport \(\frac{\text{N}}{\frac{\text{N} \cdot \text{s}}{\text{m}}} = \frac{\text{m}}{\text{s}}\) donne bien une vitesse. Cette analyse dimensionnelle permet de valider la formule.

Schéma (Avant les calculs)

Le point de départ du calcul est le diagramme de corps libre à l'équilibre, où la somme des forces est nulle. C'est à partir de cette configuration que nous allons isoler la vitesse.

Équilibre des Forces
FgFbFd
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la force de traînée à l'équilibre

Formule littérale

\[ F_d = F_g - F_b \]

Application numérique

\[ \begin{aligned} F_d &= (3.225 \times 10^{-4} \text{ N}) - (0.518 \times 10^{-4} \text{ N}) \\ &= 2.707 \times 10^{-4} \text{ N} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la vitesse limite

Formule de la vitesse limite d'après la loi de Stokes

\[ v_t = \frac{F_d}{6 \pi \eta r} \]

Application numérique

\[ \begin{aligned} v_t &= \frac{2.707 \times 10^{-4} \text{ N}}{6 \pi \times 1.41 \text{ Pa} \cdot \text{s} \times 0.001 \text{ m}} \\ &\approx 0.0102 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Évolution de la Vitesse au Cours du Temps
Réflexions

Une vitesse de 0.0102 m/s, soit environ 1 cm/s, est une vitesse très faible. Cette faible vitesse est cohérente avec la grande viscosité de la glycérine. Le nombre de Reynolds est \(Re = (1260 \times 0.0102 \times 0.002) / 1.41 \approx 0.018\), ce qui est très inférieur à 1. L'hypothèse de l'écoulement laminaire et l'utilisation de la loi de Stokes sont donc parfaitement justifiées.

Points de vigilance

Une erreur fréquente est l'oubli du facteur \(6\pi\) dans la formule de Stokes. Assurez-vous également que toutes les valeurs numériques insérées sont bien en unités SI, notamment le rayon en mètres.

Points à retenir

La vitesse limite de chute dans un régime de Stokes dépend directement de la différence de masse volumique, du carré du rayon, et inversement de la viscosité du fluide. \(v_t \propto \frac{(\rho_s - \rho_f) r^2}{\eta}\).

Le saviez-vous ?

L'expérience de la goutte d'huile de Millikan, réalisée en 1909, a utilisé ce même principe. En mesurant la vitesse de chute de minuscules gouttes d'huile électrisées, et en équilibrant les forces (poids, poussée, traînée et force électrique), Robert Millikan a pu déterminer la charge de l'électron avec une grande précision, ce qui lui a valu le prix Nobel de physique en 1923.

FAQ
Que se passe-t-il si la vitesse est trop élevée (Re > 1) ?

Si la vitesse augmente, l'écoulement devient turbulent. La loi de Stokes n'est plus valable. La force de traînée devient alors proportionnelle au carré de la vitesse (\(F_d \propto v^2\)) et le calcul de la vitesse limite utilise une formule différente impliquant un coefficient de traînée (Cd).

Résultat Final
La vitesse de chute limite de la bille est d'environ \(0.0102 \text{ m/s}\).
A vous de jouer

Quelle serait la vitesse limite si on utilisait un fluide deux fois moins visqueux (\(\eta = 0.705 \text{ Pa} \cdot \text{s}\)) ?

Outil Interactif : Simulateur de Chute

Utilisez les curseurs pour voir comment le rayon de la bille et la viscosité du fluide influencent la vitesse de chute limite. Les autres paramètres (masses volumiques, gravité) sont fixés selon les données de l'exercice.

Paramètres d'Entrée
1 mm
1.41 Pa.s
Résultats Clés
Vitesse de chute (m/s) -
Vitesse de chute (cm/s) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelles sont les deux forces qui s'opposent au poids d'une bille en chute dans un fluide ?

2. La loi de Stokes est une bonne approximation pour la force de traînée lorsque...

3. Si on double le rayon de la bille (\(r \rightarrow 2r\)), par quel facteur sa vitesse de chute limite est-elle multipliée ?

4. Que se passerait-il si la masse volumique de la bille était inférieure à celle du fluide (\(\rho_s < \rho_f\)) ?

5. Dans le Système International, l'unité de la viscosité dynamique (\(\eta\)) est le...

Loi de Stokes
Une loi de la mécanique des fluides qui décrit la force de traînée visqueuse exercée sur une sphère se déplaçant à faible vitesse dans un fluide. La force est \(F_d = 6 \pi \eta r v\).
Poussée d'Archimède
La force ascendante subie par un corps immergé dans un fluide, équivalente au poids du volume de fluide que le corps déplace.
Viscosité dynamique
Une mesure de la résistance d'un fluide à l'écoulement. Plus la viscosité est élevée, plus le fluide est "épais" et résiste au mouvement.
Nombre de Reynolds (Re)
Un nombre sans dimension utilisé pour prédire les régimes d'écoulement des fluides. Un Re faible (\(<1\)) indique un écoulement laminaire et visqueux, tandis qu'un Re élevé indique un écoulement turbulent.
Exercice : Vitesse de Chute d'une Bille (Loi de Stokes)

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