ÉTUDE HYDRAULIQUE

Vitesse de Chute d’une Bille selon la Loi de Stokes

Calcul de la Vitesse de Chute (Loi de Stokes)

Vitesse de Chute d'une Bille selon la Loi de Stokes

Comprendre la Loi de Stokes et la Vitesse de Chute Limite

Lorsqu'un objet tombe dans un fluide, il est soumis à trois forces : son poids (vers le bas), la poussée d'Archimède (vers le haut) et la force de traînée visqueuse (vers le haut, s'opposant au mouvement). Au début de la chute, la vitesse augmente, et avec elle, la force de traînée. La vitesse de chute limite (ou vitesse terminale) est atteinte lorsque la force de traînée, additionnée à la poussée d'Archimède, équilibre exactement le poids de l'objet. L'accélération devient alors nulle et la vitesse constante. La loi de Stokes est une formule qui décrit la force de traînée pour un objet sphérique se déplaçant à faible vitesse dans un fluide visqueux (régime d'écoulement laminaire, caractérisé par un nombre de Reynolds très faible, typiquement \(Re < 0.1\)).

Données de l'étude

On laisse tomber une petite bille d'acier dans un grand cylindre rempli de glycérine. On souhaite déterminer sa vitesse de chute limite et vérifier si les conditions d'application de la loi de Stokes sont respectées.

Caractéristiques de la bille et du fluide :

  • Matériau de la bille : Acier
  • Diamètre de la bille (\(D\)) : \(3 \, \text{mm} = 0.003 \, \text{m}\)
  • Masse volumique de l'acier (\(\rho_s\)) : \(7850 \, \text{kg/m}^3\)
  • Fluide : Glycérine à 20°C
  • Masse volumique de la glycérine (\(\rho_f\)) : \(1260 \, \text{kg/m}^3\)
  • Viscosité dynamique de la glycérine (\(\mu\)) : \(1.41 \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Bilan des Forces sur la Bille en Chute
Poids (F_g) Poussée (F_b) Traînée (F_d)

Questions à traiter

  1. Calculer le volume de la bille (\(V\)).
  2. Calculer le poids de la bille (\(F_g\)).
  3. Calculer la poussée d'Archimède exercée par la glycérine sur la bille (\(F_b\)).
  4. Déterminer la force de traînée (\(F_d\)) lorsque la vitesse de chute limite est atteinte.
  5. Calculer la vitesse de chute limite (\(v_L\)) en utilisant la loi de Stokes.
  6. Vérifier la validité de l'approche en calculant le nombre de Reynolds (\(Re\)).

Correction : Calcul de la Vitesse de Chute

Question 1 : Volume de la Bille (\(V\))

Principe :

Le volume d'une sphère est calculé à partir de son rayon (\(r = D/2\)) en utilisant la formule géométrique standard.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \quad \text{avec} \quad r = \frac{D}{2} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} r &= \frac{0.003 \, \text{m}}{2} = 0.0015 \, \text{m} \\ V &= \frac{4}{3} \pi (0.0015 \, \text{m})^3 \\ &\approx 1.4137 \times 10^{-8} \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le volume de la bille est \(V \approx 1.41 \times 10^{-8} \, \text{m}^3\).

Question 2 : Poids de la Bille (\(F_g\))

Principe :

Le poids est la force gravitationnelle agissant sur la bille. Il est égal au produit de sa masse par l'accélération de la pesanteur. La masse est obtenue en multipliant la masse volumique de l'acier par le volume de la bille.

Calcul :
\[ \begin{aligned} F_g &= m_s \cdot g = (\rho_s \cdot V) \cdot g \\ &= (7850 \, \text{kg/m}^3 \times 1.4137 \times 10^{-8} \, \text{m}^3) \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= (1.109 \times 10^{-4} \, \text{kg}) \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 1.088 \times 10^{-3} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le poids de la bille est \(F_g \approx 1.09 \times 10^{-3} \, \text{N}\).

Question 3 : Poussée d'Archimède (\(F_b\))

Principe :

La poussée d'Archimède est une force dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé par la bille. On la calcule en multipliant la masse volumique du fluide par le volume de la bille et par l'accélération de la pesanteur.

Calcul :
\[ \begin{aligned} F_b &= m_f \cdot g = (\rho_f \cdot V) \cdot g \\ &= (1260 \, \text{kg/m}^3 \times 1.4137 \times 10^{-8} \, \text{m}^3) \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= (1.781 \times 10^{-5} \, \text{kg}) \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 1.747 \times 10^{-4} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La poussée d'Archimède est \(F_b \approx 1.75 \times 10^{-4} \, \text{N}\).

Question 4 : Force de Traînée (\(F_d\)) à Vitesse Limite

Principe :

À la vitesse de chute limite, l'accélération est nulle. Selon le principe fondamental de la dynamique, la somme des forces verticales est nulle. Les forces vers le haut (poussée d'Archimède et traînée) équilibrent la force vers le bas (poids).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F = 0 \Rightarrow F_g - F_b - F_d = 0 \Rightarrow F_d = F_g - F_b \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_d &= 1.088 \times 10^{-3} \, \text{N} - 1.747 \times 10^{-4} \, \text{N} \\ &= 9.133 \times 10^{-4} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La force de traînée à l'équilibre est \(F_d \approx 9.13 \times 10^{-4} \, \text{N}\).

Question 5 : Vitesse de Chute Limite (\(v_L\))

Principe :

On utilise la loi de Stokes, qui exprime la force de traînée en fonction de la viscosité du fluide, du rayon de la bille et de sa vitesse. En isolant la vitesse, on peut la calculer à partir de la force de traînée déterminée à l'étape précédente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_d = 6 \pi \mu r v_L \Rightarrow v_L = \frac{F_d}{6 \pi \mu r} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_L &= \frac{9.133 \times 10^{-4} \, \text{N}}{6 \pi (1.41 \, \text{Pa} \cdot \text{s}) (0.0015 \, \text{m})} \\ &= \frac{9.133 \times 10^{-4}}{0.03986} \, \text{m/s} \\ &\approx 0.0229 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La vitesse de chute limite est \(v_L \approx 0.023 \, \text{m/s}\) (ou \(2.3 \, \text{cm/s}\)).

Question 6 : Vérification du Nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe :

Il est impératif de vérifier que le nombre de Reynolds est suffisamment faible (\(Re < 0.1\)) pour que la loi de Stokes soit applicable. Le nombre de Reynolds est calculé en utilisant la vitesse limite, le diamètre de la bille, et les propriétés du fluide (masse volumique et viscosité dynamique).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Re = \frac{\rho_f v_L D}{\mu} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1260 \, \text{kg/m}^3 \times 0.0229 \, \text{m/s} \times 0.003 \, \text{m}}{1.41 \, \text{Pa} \cdot \text{s}} \\ &= \frac{0.0865}{1.41} \\ &\approx 0.061 \end{aligned} \]

Comme \(Re \approx 0.061 < 0.1\), la condition d'application de la loi de Stokes est respectée. Notre calcul de la vitesse de chute limite est donc valide.

Résultat Question 6 : Le nombre de Reynolds est \(Re \approx 0.061\), ce qui valide l'utilisation de la loi de Stokes.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La loi de Stokes est valide uniquement lorsque...

2. Si on utilise un fluide moins visqueux (ex: l'eau), la vitesse de chute limite de la même bille sera :

3. Lorsque la vitesse de chute limite est atteinte, cela signifie que :

Glossaire

Loi de Stokes
Formule qui calcule la force de traînée visqueuse s'exerçant sur une sphère se déplaçant à très faible vitesse dans un fluide (\(F_d = 6 \pi \mu r v\)).
Vitesse de Chute Limite (\(v_L\))
Vitesse constante atteinte par un objet en chute libre dans un fluide, lorsque la somme des forces de frottement et de la poussée d'Archimède équilibre le poids de l'objet.
Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de viscosité. Pour la chute d'une bille, il détermine si l'écoulement autour de la sphère est laminaire (Stokes) ou turbulent.
Poussée d'Archimède (\(F_b\))
Force verticale, dirigée vers le haut, que subit un corps plongé dans un fluide. Elle est égale au poids du volume de fluide déplacé.
Viscosité Dynamique (\(\mu\))
Mesure de la résistance interne d'un fluide à l'écoulement. Elle représente la "friction" entre les couches du fluide. Unité : Pascal-seconde (Pa·s).
Loi de Stokes - Exercice d'Application

D’autres exercices de fondamentaux de l’hydraulique:

Comparaison des Pertes de Charge
Comparaison des Pertes de Charge

Comparaison des Pertes de Charge : Conduite Neuve vs. Ancienne Comparaison des Pertes de Charge : Conduite Neuve vs. Ancienne Comprendre la Comparaison des Pertes de Charge entre une Conduite Neuve et une Conduite Ancienne Avec le temps, les parois internes des...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *