Utilisation d'un Déversoir Triangulaire (V-notch)

Comprendre le Déversoir Triangulaire

Le déversoir triangulaire, ou "V-notch", est un type de déversoir à paroi mince particulièrement adapté à la mesure de faibles débits. Sa forme en V signifie que pour une petite variation de la charge hydraulique (\(h\)), la variation de la section d'écoulement est plus significative qu'avec un déversoir rectangulaire, ce qui le rend plus précis et sensible dans les plages de faibles débits. La relation entre la charge et le débit est non linéaire, et le débit est très sensible aux variations de la charge (\(Q \propto h^{5/2}\)).

Données de l'étude

On souhaite mesurer un faible débit dans un canal de laboratoire à l'aide d'un déversoir triangulaire symétrique.

Caractéristiques du déversoir et de l'écoulement :

Type de déversoir : Triangulaire (V-notch) à paroi mince.
Angle d'ouverture de l'encoche (\(\theta\)) : \(90^\circ\)
Charge hydraulique mesurée (\(h\)) : \(0.15 \, \text{m}\) (soit 15 cm)
Coefficient de débit (\(C_d\)) : On adoptera une valeur standard de \(0.59\) pour cet angle.
Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Schéma : Déversoir Triangulaire (V-notch)

Questions à traiter

Calculer le débit (\(Q\)) traversant le déversoir.
Si pour le même débit, on avait utilisé un déversoir rectangulaire de 1.0 m de large avec un coefficient de débit de 0.62, quelle aurait été la charge \(h_{\text{rect}}\) ? Comparer cette valeur à la charge du déversoir triangulaire et conclure.

Correction : Calcul du Débit sur un Déversoir Triangulaire

Question 1 : Calcul du Débit (\(Q\))

Principe :

La formule de calcul du débit pour un déversoir triangulaire (V-notch) intègre la vitesse sur la section triangulaire de la lame d'eau. Elle dépend fortement de l'angle d'ouverture \(\theta\) et de la charge hydraulique \(h\) élevée à la puissance 5/2.

Formule(s) utilisée(s) :

Q = C_d \cdot \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2g} \cdot \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot h^{5/2}

Données spécifiques :

\(C_d = 0.59\)
\(\theta = 90^\circ\), donc \(\tan(\theta/2) = \tan(45^\circ) = 1\)
\(h = 0.15 \, \text{m}\)
\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul :

\begin{aligned} Q &= 0.59 \times \frac{8}{15} \times \sqrt{2 \times 9.81} \times \tan(45^\circ) \times (0.15)^{5/2} \\ &= 0.59 \times 0.5333 \times \sqrt{19.62} \times 1 \times (0.15)^{2.5} \\ &= (0.3146) \times (4.429) \times (0.0087) \\ &\approx 0.0121 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned}

Le débit peut aussi être exprimé en litres par seconde : \(0.0121 \, \text{m}^3/\text{s} \times 1000 = 12.1 \, \text{L/s}\).

Résultat Question 1 : Le débit sur le déversoir est \(Q \approx 0.0121 \, \text{m}^3/\text{s}\) (soit 12.1 L/s).

Question 2 : Comparaison avec un Déversoir Rectangulaire

Principe :

On utilise la formule du déversoir rectangulaire et on l'isole pour trouver la charge \(h_{\text{rect}}\) qui correspondrait au débit calculé précédemment. Cela permet de comparer la sensibilité des deux instruments de mesure pour un même faible débit.

Formule(s) utilisée(s) :

Q = C_{d, \text{rect}} \cdot \frac{2}{3} \cdot B \cdot \sqrt{2g} \cdot h_{\text{rect}}^{3/2} \quad \Rightarrow \quad h_{\text{rect}} = \left( \frac{Q}{C_{d, \text{rect}} \cdot \frac{2}{3} \cdot B \cdot \sqrt{2g}} \right)^{2/3}

Données spécifiques :

\(Q \approx 0.0121 \, \text{m}^3/\text{s}\)
\(C_{d, \text{rect}} = 0.62\)
\(B = 1.0 \, \text{m}\)
\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul :

\begin{aligned} h_{\text{rect}} &= \left( \frac{0.0121}{0.62 \times \frac{2}{3} \times 1.0 \times \sqrt{2 \times 9.81}} \right)^{2/3} \\ &= \left( \frac{0.0121}{0.62 \times 0.6667 \times 4.429} \right)^{2/3} \\ &= \left( \frac{0.0121}{1.83} \right)^{2/3} \\ &= (0.00661)^{2/3} \\ &\approx 0.035 \, \text{m} \end{aligned}

La charge serait de \(3.5 \, \text{cm}\).

Résultat Question 2 :

Charge rectangulaire : \(h_{\text{rect}} \approx 3.5 \, \text{cm}\)
Charge triangulaire : \(h = 15 \, \text{cm}\)

Conclusion : Pour un même faible débit, la hauteur d'eau à mesurer sur le déversoir triangulaire (15 cm) est plus de 4 fois supérieure à celle sur le déversoir rectangulaire (3.5 cm). Une hauteur plus grande est plus facile à mesurer précisément, ce qui réduit les erreurs relatives et confirme que le déversoir en V est bien plus adapté pour la mesure de faibles débits.