Application des Lois d'Affinité sur une Pompe Centrifuge
Contexte : L'optimisation des réseaux hydrauliques. Une station de pompage existante doit être adaptée pour répondre à une augmentation de la demande en eau. Plutôt que de remplacer la pompe, une étude est menée pour évaluer la possibilité d'augmenter sa vitesse de rotation.
Cet exercice a pour but d'utiliser les lois d'affinitéEnsemble de relations mathématiques qui décrivent comment les performances d'une pompe ou d'un ventilateur (débit, hauteur, puissance) changent avec la vitesse de rotation ou le diamètre de la roue. pour prédire le nouveau point de fonctionnement d'une pompe centrifuge et la puissance nécessaire. Ces lois sont un outil essentiel pour les ingénieurs hydrauliciens lors du redimensionnement de circuits.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les relations de proportionnalité des lois de Rateau (ou lois d'affinité) pour évaluer rapidement l'impact d'un changement opérationnel sur un système de pompage, une compétence clé en ingénierie des fluides.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer correctement les trois lois d'affinité.
- Calculer le nouveau point de fonctionnement (débit, hauteur) d'une pompe après un changement de vitesse.
- Déterminer la puissance absorbée par la pompe avant et après la modification.
- Analyser l'impact énergétique d'une augmentation de la vitesse de rotation.
Données de l'étude
Schéma du Circuit de Pompage
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(Q_1\) | Débit de fonctionnement initial | 50 | \(\text{m}^3/\text{h}\) |
| \(H_1\) | Hauteur manométrique totale initiale | 20 | \(\text{mCE}\) |
| \(N_1\) | Vitesse de rotation initiale | 1450 | \(\text{tr/min}\) |
| \(\eta_1\) | Rendement global initial de la pompe | 75 | % |
| \(N_2\) | Nouvelle vitesse de rotation visée | 1750 | \(\text{tr/min}\) |
Questions à traiter
- Calculer le nouveau débit, \(Q_2\), fourni par la pompe à la vitesse \(N_2\).
- Calculer la nouvelle hauteur manométrique, \(H_2\), fournie par la pompe à la vitesse \(N_2\).
- Calculer la puissance absorbée initiale, \(P_{\text{abs},1}\). On prendra \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\) et \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\).
- En supposant le rendement constant (\(\eta_2 = \eta_1\)), calculer la nouvelle puissance absorbée, \(P_{\text{abs},2}\).
- Comparer l'augmentation en pourcentage du débit, de la hauteur et de la puissance. Que concluez-vous ?
Les bases sur les Lois d'Affinité
Les lois d'affinité, ou lois de Rateau, sont des règles empiriques qui permettent de prédire les performances d'une pompe centrifuge (ou d'un ventilateur) lorsqu'on modifie sa vitesse de rotation (N) ou le diamètre de sa roue (D). Pour un diamètre constant, les relations sont les suivantes :
1. Relation pour le Débit (Q)
Le débit est directement proportionnel à la vitesse de rotation.
\[ \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{N_2}{N_1} \]
2. Relation pour la Hauteur Manométrique (H)
La hauteur manométrique est proportionnelle au carré de la vitesse de rotation.
\[ \frac{H_2}{H_1} = \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^2 \]
3. Relation pour la Puissance Absorbée (P)
La puissance absorbée est proportionnelle au cube de la vitesse de rotation.
\[ \frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^3 \]
Correction : Application des Lois d'Affinité sur une Pompe Centrifuge
Question 1 : Calcul du nouveau débit \(Q_2\)
Principe
On applique la première loi d'affinité qui relie directement le débit à la vitesse de rotation de la pompe. Physiquement, cela signifie que si les aubes de la roue tournent plus vite, elles "poussent" un volume de fluide proportionnellement plus grand à chaque rotation.
Mini-Cours
La performance d'une pompe est décrite par sa courbe caractéristique H(Q), qui est unique pour une vitesse de rotation donnée. Changer la vitesse de rotation ne change pas la forme de la courbe, mais la déplace dans le graphique. La première loi d'affinité décrit le déplacement horizontal de chaque point de la courbe.
Remarque Pédagogique
L'erreur la plus simple à commettre est d'inverser le rapport des vitesses. Pensez logiquement : si la vitesse augmente, le débit doit augmenter. Votre rapport (\(N_2/N_1\)) doit donc être supérieur à 1. C'est un bon réflexe de vérification.
Normes
Bien que les lois d'affinité soient des relations théoriques, les performances réelles des pompes sont testées selon des protocoles stricts, comme la norme internationale ISO 9906, qui définit les classes de tolérance pour les essais de performance des pompes hydrauliques.
Formule(s)
Formule de la loi d'affinité pour le débit
Hypothèses
Pour appliquer cette loi, on fait les hypothèses suivantes :
- Le diamètre de la roue de la pompe reste constant.
- Le rendement de la pompe reste approximativement constant autour du point de fonctionnement.
- Le fluide pompé (eau) est considéré comme incompressible.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs de débit et de vitesse initiales et la nouvelle vitesse visée.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Débit Initial | \(Q_1\) | 50 | \(\text{m}^3/\text{h}\) |
| Vitesse Initiale | \(N_1\) | 1450 | \(\text{tr/min}\) |
| Nouvelle Vitesse | \(N_2\) | 1750 | \(\text{tr/min}\) |
Astuces
Avant le calcul, faites une estimation rapide. La vitesse augmente d'environ 20% ( (1750-1450)/1450 ). Le débit devrait donc aussi augmenter d'environ 20%, soit 10 m³/h. Le résultat final devrait être proche de 60 m³/h.
Schéma (Avant les calculs)
Déplacement du point de fonctionnement sur la courbe
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du rapport des vitesses
Étape 2 : Calcul du nouveau débit \(Q_2\)
Schéma (Après les calculs)
Résultat du calcul de débit
Réflexions
Le calcul confirme l'estimation : le débit augmente de 10.34 m³/h. Cela signifie que la pompe peut fournir plus de volume de fluide dans le même laps de temps, ce qui répond au besoin d'augmentation de la demande du réseau.
Points de vigilance
Assurez-vous que les unités de vitesse sont les mêmes (ici, tr/min pour les deux) pour que le rapport soit sans dimension. Une erreur de conversion ici fausserait tout le calcul.
Points à retenir
Relation Clé : Le débit est directement et linéairement proportionnel à la vitesse de rotation de la pompe. \(Q \propto N\).
Le saviez-vous ?
Ces lois portent le nom de l'ingénieur et industriel français Auguste Rateau (1863-1930), un pionnier dans le développement des turbines à vapeur et des turbomachines, dont les pompes centrifuges font partie.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la vitesse était réduite à 1200 tr/min pour économiser de l'énergie, quel serait le nouveau débit ?
Question 2 : Calcul de la nouvelle hauteur manométrique \(H_2\)
Principe
On utilise la deuxième loi d'affinité. La hauteur manométrique (l'énergie de pression transmise au fluide) varie avec le carré du rapport des vitesses. L'énergie cinétique communiquée au fluide est proportionnelle au carré de la vitesse de rotation, ce qui explique cette relation quadratique.
Mini-Cours
La Hauteur Manométrique Totale (HMT) représente l'énergie ajoutée au fluide. Elle doit vaincre la hauteur géométrique (dénivelé) et les pertes de charge du réseau. Si la vitesse de la pompe augmente, elle peut soit vaincre plus de pertes de charge (pour un plus grand débit), soit élever l'eau à une plus grande hauteur, soit une combinaison des deux.
Remarque Pédagogique
Le carré dans la formule est crucial. Il signifie qu'une petite augmentation de vitesse a un effet bien plus important sur la pression que sur le débit. C'est essentiel pour vérifier que les tuyauteries et les équipements du réseau peuvent supporter cette nouvelle pression plus élevée.
Normes
Les canalisations d'un réseau sont caractérisées par une Pression Nominale (PN), comme PN10 ou PN16, qui correspond à la pression de service maximale en bars. Il est impératif de vérifier que la nouvelle hauteur manométrique (convertie en bars) ne dépasse pas le PN du réseau.
Formule(s)
Formule de la loi d'affinité pour la hauteur
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la première question. On suppose que la pompe continue de fonctionner sur un point homologue de sa courbe caractéristique.
Donnée(s)
Nous utilisons la hauteur et les vitesses du problème.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur Initiale | \(H_1\) | 20 | \(\text{mCE}\) |
| Vitesse Initiale | \(N_1\) | 1450 | \(\text{tr/min}\) |
| Nouvelle Vitesse | \(N_2\) | 1750 | \(\text{tr/min}\) |
Astuces
Le rapport des vitesses est de 1.207. Le rapport des hauteurs sera donc de \(1.207^2\), soit environ 1.46. La nouvelle hauteur devrait donc être environ 46% plus grande que l'ancienne, soit \(20 \times 1.46 = 29.2 \, \text{mCE}\). Le calcul précis devrait être très proche.
Schéma (Avant les calculs)
Augmentation quadratique de la hauteur
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du carré du rapport des vitesses
Étape 2 : Calcul de la nouvelle hauteur \(H_2\)
Schéma (Après les calculs)
Résultat du calcul de hauteur
Réflexions
La hauteur manométrique augmente de plus de 9 mètres. Cette pression supplémentaire permettra de vaincre les pertes de charge plus importantes dues à l'augmentation du débit. Il faut s'assurer que le réseau peut encaisser cette pression additionnelle sans risque de fuite ou de rupture.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le rapport des vitesses au carré. Si votre résultat n'augmente que de 20%, comme le débit, vous avez probablement oublié l'exposant 2.
Points à retenir
Relation Clé : La hauteur manométrique est proportionnelle au carré de la vitesse de rotation. \(H \propto N^2\).
Le saviez-vous ?
La conversion pratique entre la hauteur en mCE et la pression en bars est simple : \(10 \, \text{mCE} \approx 1 \, \text{bar}\). La nouvelle pression sera donc d'environ 2.9 bars, contre 2 bars initialement.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la nouvelle hauteur manométrique si la vitesse était portée à 1600 tr/min ?
Question 3 : Calcul de la puissance absorbée initiale \(P_{\text{abs},1}\)
Principe
La puissance absorbée est la puissance que le moteur doit fournir à l'arbre de la pompe. Elle est calculée à partir de la puissance utile (hydraulique) effectivement transmise au fluide, divisée par le rendement de la pompe qui quantifie les pertes d'énergie (chaleur, friction, etc.).
Mini-Cours
L'énergie se conserve, mais se transforme. La puissance électrique est convertie en puissance mécanique par le moteur. Cette puissance mécanique est transmise à la pompe (puissance à l'arbre ou absorbée). La pompe la convertit en puissance hydraulique. Chaque conversion a un rendement inférieur à 100%. Ici, \(\eta_1\) est le rendement global pompe+moteur.
Remarque Pédagogique
La formule de la puissance hydraulique est fondamentale en hydraulique. Visualisez-la comme le "poids du fluide déplacé chaque seconde" (\(\rho \cdot g \cdot Q\)) multiplié par la "hauteur à laquelle il est élevé" (\(H\)).
Normes
Les moteurs électriques asynchrones, qui entraînent la plupart des pompes, sont classifiés selon leur efficacité énergétique (par ex. IE1, IE2, IE3, IE4) selon la norme internationale IEC 60034-30. Utiliser un moteur à haute efficacité (IE3 ou IE4) réduit la puissance absorbée pour une même puissance hydraulique.
Formule(s)
Formule de la puissance hydraulique
Formule de la puissance absorbée
Hypothèses
On utilise les constantes physiques standards pour l'eau et la gravité.
- Masse volumique de l'eau, \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\).
- Accélération de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\).
Donnée(s)
Toutes les données initiales sont nécessaires.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Débit | \(Q_1\) | 50 | \(\text{m}^3/\text{h}\) |
| Hauteur | \(H_1\) | 20 | \(\text{mCE}\) |
| Rendement | \(\eta_1\) | 75 | % |
Astuces
Pour l'eau, une formule approchée très utilisée par les ingénieurs est : \(P_{\text{abs}} (\text{kW}) \approx \frac{Q (\text{m³/h}) \times H (\text{m})}{367 \times \eta}\). Vérifions : \(\frac{50 \times 20}{367 \times 0.75} = \frac{1000}{275.25} \approx 3.63\) kW. C'est un excellent moyen de vérifier son résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Flux d'énergie dans la pompe
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion du débit \(Q_1\) en unités du Système International (SI)
Étape 2 : Calcul de la puissance hydraulique \(P_{\text{hyd},1}\)
Étape 3 : Calcul de la puissance absorbée \(P_{\text{abs},1}\)
Schéma (Après les calculs)
Bilan des puissances
Réflexions
La pompe consomme 3.63 kW d'énergie pour fournir 2.72 kW d'énergie au fluide. La différence, environ 0.91 kW, est perdue sous forme de chaleur et de bruit à cause des imperfections mécaniques et hydrauliques. Cette valeur est la base du calcul des coûts d'exploitation.
Points de vigilance
La conversion du débit de m³/h en m³/s est l'erreur la plus fréquente. Il faut diviser par 3600, pas par 60 ! De plus, le rendement doit être utilisé comme un ratio (0.75) et non un pourcentage (75) dans la formule.
Points à retenir
Formule Clé : La puissance absorbée est la puissance hydraulique divisée par le rendement. \(P_{\text{abs}} = (\rho \cdot g \cdot Q \cdot H) / \eta\).
Le saviez-vous ?
La constante 367 de la formule "astuce" vient de \(\frac{3600 \, \text{s/h}}{9.81 \, \text{m/s²}}\). C'est une simplification très pratique pour les calculs rapides sur le terrain.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le rendement de la pompe n'était que de 65%, quelle serait la puissance absorbée initiale ?
Question 4 : Calcul de la nouvelle puissance absorbée \(P_{\text{abs},2}\)
Principe
On utilise la troisième loi d'affinité. La puissance absorbée varie avec le cube du rapport des vitesses. C'est la conséquence combinée de l'augmentation linéaire du débit (Q) et de l'augmentation quadratique de la hauteur (H), puisque \(P \propto Q \times H\).
Mini-Cours
La relation cubique est la plus importante en matière d'efficacité énergétique. Elle démontre qu'un variateur de fréquence (VSD - Variable Speed Drive) qui réduit légèrement la vitesse d'une pompe peut générer des économies d'énergie spectaculaires. Inversement, une petite augmentation de vitesse pour satisfaire un besoin ponctuel a un coût énergétique disproportionné.
Remarque Pédagogique
Le moteur de la pompe doit être capable de fournir cette nouvelle puissance. Il est crucial de vérifier que la puissance nominale du moteur est supérieure à \(P_{\text{abs},2}\), en gardant une marge de sécurité. Sinon, le moteur risque de surchauffer et de tomber en panne.
Normes
Les moteurs électriques possèdent un "facteur de service" (SF), souvent de 1.15, défini par la norme NEMA MG-1. Cela signifie qu'un moteur de 10 kW peut fonctionner en continu à \(10 \times 1.15 = 11.5 \, \text{kW}\) sans dommage. Il faut vérifier que \(P_{\text{abs},2}\) est inférieur à \(P_{\text{nominal}} \times \text{SF}\).
Formule(s)
Formule de la loi d'affinité pour la puissance
Hypothèses
L'hypothèse la plus forte ici est que le rendement reste constant (\(\eta_2 = \eta_1\)). En pratique, le point de meilleur rendement (BEP - Best Efficiency Point) se déplace avec la vitesse. L'hypothèse est raisonnable pour une première estimation.
Donnée(s)
On utilise la puissance initiale calculée et les vitesses.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance Initiale | \(P_{\text{abs},1}\) | 3.63 | kW |
| Vitesse Initiale | \(N_1\) | 1450 | \(\text{tr/min}\) |
| Nouvelle Vitesse | \(N_2\) | 1750 | \(\text{tr/min}\) |
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des puissances absorbées
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du cube du rapport des vitesses
Étape 2 : Calcul de la nouvelle puissance absorbée \(P_{\text{abs},2}\)
Schéma (Après les calculs)
Résultat du calcul de puissance
Réflexions
La puissance nécessaire a presque doublé, passant de 3.63 kW à 6.38 kW. Cette augmentation substantielle a un impact direct sur la facture d'électricité et peut nécessiter un redimensionnement du moteur et de l'alimentation électrique (câbles, disjoncteur).
Points de vigilance
Ne pas oublier l'exposant 3 ! C'est la plus grande source d'erreur. Une simple proportionnalité (exposant 1) sous-estimerait massivement la nouvelle consommation électrique.
Points à retenir
Relation Clé : La puissance absorbée est proportionnelle au cube de la vitesse de rotation. \(P \propto N^3\). C'est la loi la plus impactante des trois.
Le saviez-vous ?
Plus de 20% de l'électricité mondiale est consommée par des moteurs électriques entraînant des pompes. L'application de la 3ème loi d'affinité via les variateurs de vitesse est donc un des leviers d'économies d'énergie les plus importants au monde.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la nouvelle puissance absorbée si la vitesse était de 1800 tr/min ?
Question 5 : Analyse des augmentations en pourcentage
Principe
Cette étape de synthèse est cruciale en ingénierie. Elle traduit les résultats bruts en informations directement exploitables pour la prise de décision. On compare l'ampleur des changements pour bien visualiser les conséquences de la modification de vitesse.
Remarque Pédagogique
Présenter les résultats sous forme de pourcentages ou de graphiques est souvent plus parlant qu'une liste de chiffres. Cela met en évidence les ordres de grandeur et les relations de cause à effet, ce qui est essentiel pour communiquer des résultats techniques à un public non-spécialiste.
Formule(s)
Formule de calcul d'augmentation en pourcentage
Donnée(s)
On reprend l'ensemble des valeurs initiales et finales calculées dans les questions précédentes.
| Paramètre | Valeur Initiale | Valeur Finale |
|---|---|---|
| Vitesse (tr/min) | 1450 | 1750 |
| Débit (m³/h) | 50 | 60.34 |
| Hauteur (mCE) | 20 | 29.13 |
| Puissance (kW) | 3.63 | 6.38 |
Schéma (Avant les calculs)
Analyse des impacts relatifs
Calcul(s)
Calcul de l'augmentation de la Vitesse
Calcul de l'augmentation du Débit
Calcul de l'augmentation de la Hauteur
Calcul de l'augmentation de la Puissance
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des augmentations en pourcentage
Réflexions
Pour une augmentation de la vitesse de seulement 20.7%, le débit augmente proportionnellement (+20.7%), mais la hauteur augmente beaucoup plus vite (+45.7%, soit environ \(1.207^2\)), et la puissance explose littéralement (+75.8%, soit environ \(1.207^3\)). La consommation d'énergie est le paramètre le plus impacté.
Points à retenir
Hiérarchie des Impacts : Pour un changement de vitesse \(N\), l'impact sur les performances suit une progression claire : linéaire pour le débit (\(\propto N\)), quadratique pour la hauteur (\(\propto N^2\)), et cubique pour la puissance (\(\propto N^3\)).
Le saviez-vous ?
Cette forte sensibilité de la puissance à la vitesse est la raison pour laquelle les gestionnaires de réseaux d'eau privilégient, lorsque c'est possible, de faire fonctionner plusieurs pompes en parallèle à vitesse réduite plutôt qu'une seule pompe à pleine vitesse, afin de réaliser d'importantes économies d'énergie.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le budget d'exploitation ne permet qu'une augmentation de 50% de la puissance absorbée, quelle est la vitesse de rotation maximale (\(N_2\)) que l'on peut viser ?
Outil Interactif : Simulateur des Lois d'Affinité
Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier la vitesse de la pompe (N₂) et observez en temps réel l'impact sur le débit, la hauteur, la puissance et la courbe caractéristique de la pompe.
Paramètres d'Entrée
Paramètres initiaux fixes :
Q₁=50 m³/h, H₁=20 mCE, N₁=1450 tr/min, P_abs₁=3.63 kW
Résultats Clés Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la vitesse de rotation d'une pompe centrifuge double, son débit...
2. Si la vitesse de rotation d'une pompe est augmentée de 10%, de combien augmente approximativement sa hauteur manométrique ?
3. Quelle est la relation la plus sensible au changement de vitesse ?
4. Les lois d'affinité supposent que quel paramètre reste constant ?
Glossaire
- Lois d'Affinité (ou de Rateau)
- Ensemble de relations mathématiques qui décrivent comment les performances d'une pompe ou d'un ventilateur (débit, hauteur, puissance) changent avec la vitesse de rotation ou le diamètre de la roue.
- Hauteur Manométrique Totale (HMT)
- Énergie totale transmise au fluide par la pompe, par unité de poids du fluide. Elle représente la pression que la pompe peut vaincre et s'exprime généralement en mètres de colonne d'eau (mCE).
- Point de Fonctionnement
- Point d'intersection entre la courbe caractéristique de la pompe (HMT en fonction du débit Q) et la courbe caractéristique du réseau. Il définit le débit et la hauteur réels du système.
- Rendement (\(\eta\))
- Rapport entre la puissance hydraulique (transmise au fluide) et la puissance absorbée (consommée par la pompe). Un rendement de 100% serait une pompe parfaite, sans aucune perte.
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