Transport Hydraulique de Solides (Boues)

Contexte : Le transport de boues issues de stations d'épuration.

Une station d'épuration doit évacuer ses boues traitées vers un site de valorisation. Le transport s'effectue par une conduite en charge sur une longue distance. Le fluide transporté n'est pas de l'eau pure, mais un mélange d'eau et de particules solides, ce qui modifie ses propriétés hydrauliques. L'objectif de cet exercice est de dimensionner la pompe nécessaire en calculant la perte de chargeLa perte d'énergie (exprimée en hauteur de fluide) que subit un écoulement en raison des frottements contre les parois de la conduite. totale du circuit.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un cas pratique d'hydraulique en charge appliqué à un fluide non newtonien (simplifié), courant en génie des procédés et en génie de l'environnement.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les propriétés d'un mélange eau-solides (masse volumique, viscosité).
Déterminer le régime d'écoulement via le Nombre de ReynoldsUn nombre sans dimension utilisé en mécanique des fluides pour caractériser un régime d'écoulement (laminaire ou turbulent)..
Calculer la perte de charge linéaire avec la formule de Darcy-Weisbach.
Estimer la puissance requise pour une pompe de relevage.

Données de l'étude

On souhaite pomper de la boue activée d'une station d'épuration à travers une conduite en fonte.

Schéma de l'installation

Circuit de pompage

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur de la conduite	L	1500	m
Diamètre intérieur	D	200	mm
Débit volumique	Q	50	L/s
Rugosité de la conduite	ε	0.15	mm
Concentration massique des solides	C	4	%
Masse volumique des solides secs	\(\rho_s\)	1500	kg/m³
Masse volumique de l'eau	\(\rho_w\)	1000	kg/m³
Viscosité dynamique de l'eau	\(\mu_w\)	0.001	Pa.s
Rendement de la pompe	η	75	%

Questions à traiter

Calculer la masse volumique du mélange (boue).
Estimer la viscosité dynamique du mélange.
Calculer la vitesse d'écoulement et le Nombre de Reynolds. Conclure sur le régime.
Déterminer le coefficient de perte de charge, puis la perte de charge linéaire totale.
Calculer la puissance hydraulique et la puissance électrique absorbée par la pompe.

Bases d'Hydraulique des Mélanges

1. Propriétés du mélange
La masse volumique d'un mélange (\(\rho_{\text{m}}\)) dépend des concentrations et des masses volumiques de ses constituants. Pour une concentration massique C : \[ \rho_{\text{m}} = \frac{1}{\frac{C}{\rho_{\text{s}}} + \frac{1-C}{\rho_{\text{w}}}} \] La viscosité du mélange (\(\mu_{\text{m}}\)) est plus complexe. Pour de faibles concentrations, on peut l'estimer avec des formules empiriques comme celle d'Einstein (adaptée) : \[ \mu_{\text{m}} = \mu_{\text{w}} (1 + 2.5 \cdot \Phi) \quad \text{où } \Phi \text{ est la concentration volumique.} \]

2. Pertes de Charge et Puissance
La perte de charge linéaire (\(\Delta H\)) est calculée via l'équation de Darcy-Weisbach : \[ \Delta H = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \] Où \(\lambda\) est le coefficient de perte de charge, dépendant du Nombre de Reynolds \(Re = \frac{\rho v D}{\mu}\) et de la rugosité relative \(\varepsilon/D\). La puissance hydraulique (\(P_{\text{h}}\)) à fournir est : \[ P_{\text{h}} = \rho_{\text{m}} \cdot g \cdot Q \cdot \Delta H \] La puissance électrique (\(P_{\text{e}}\)) consommée par la pompe dépend de son rendement \(\eta\) : \[ P_{\text{e}} = \frac{P_{\text{h}}}{\eta} \]

Correction : Transport Hydraulique de Solides (Boues)

Question 1 : Calculer la masse volumique du mélange.

Principe

La masse volumique du mélange n'est pas une simple moyenne arithmétique, mais une moyenne harmonique pondérée par les fractions massiques. Physiquement, on additionne les volumes qu'occuperaient séparément la masse de solides et la masse d'eau pour trouver le volume total, puis on divise la masse totale (1 kg de mélange) par ce volume total.

Mini-Cours

Pour un mélange biphasique, la masse volumique (\(\rho_{\text{m}}\)) est l'inverse de la somme des volumes massiques de chaque phase. Le volume massique est l'inverse de la masse volumique (\(V/m = 1/\rho\)). Pour 1 kg de mélange avec une concentration massique C de solides, nous avons C kg de solides et (1-C) kg d'eau. Le volume total est donc : \(V_{\text{m}} = V_{\text{s}} + V_{\text{w}} = \frac{C}{\rho_{\text{s}}} + \frac{1-C}{\rho_{\text{w}}}\). La masse volumique du mélange est \( \rho_{\text{m}} = \frac{1 \text{ kg}}{V_{\text{m}}} \).

Remarque Pédagogique

Une bonne pratique est de toujours vérifier que la masse volumique calculée du mélange se situe bien entre celle de l'eau (1000 kg/m³) et celle des solides (1500 kg/m³). Si ce n'est pas le cas, il y a probablement une erreur de calcul.

Normes

Ce calcul est basé sur les principes fondamentaux de la physique des mélanges. Il n'est pas issu d'une norme spécifique mais est universellement appliqué en mécanique des fluides et en génie des procédés.

Formule(s)

Masse volumique du mélange

\rho_{\text{m}} = \frac{1}{\frac{C}{\rho_{\text{s}}} + \frac{1-C}{\rho_{\text{w}}}}

Hypothèses

Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :

Le mélange est homogène et les solides sont uniformément répartis.
Il n'y a pas de changement de volume lors du mélange (mélange idéal), c'est-à-dire que le volume du mélange est la somme des volumes de ses constituants.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Concentration massique	C	4 % (soit 0.04)	-
Masse volumique solides	\(\rho_{\text{s}}\)	1500	kg/m³
Masse volumique eau	\(\rho_{\text{w}}\)	1000	kg/m³

Astuces

Pour les faibles concentrations comme ici (4%), on s'attend à ce que la masse volumique du mélange soit très proche de celle de l'eau. Cela permet une vérification rapide de l'ordre de grandeur du résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Imaginons 1 kg de boue. Ce kilogramme est composé d'une fraction d'eau et d'une fraction de solides.

Composition massique d'1 kg de boue

Calcul(s)

Calcul de la masse volumique

\begin{aligned} \rho_{\text{m}} &= \frac{1}{\frac{0.04}{1500} + \frac{1-0.04}{1000}} \\ &= \frac{1}{0.00002667 + \frac{0.96}{1000}} \\ &= \frac{1}{0.00002667 + 0.00096} \\ &= \frac{1}{0.00098667} \\ &\Rightarrow \rho_{\text{m}} \approx 1013.5 \, \text{kg/m³} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des masses volumiques

Réflexions

Le résultat \( \rho_{\text{m}} \approx 1013.5 \text{ kg/m³} \) est cohérent. Il est légèrement supérieur à la masse volumique de l'eau (1000 kg/m³) et bien inférieur à celle des solides (1500 kg/m³), ce qui est logique pour un mélange contenant majoritairement de l'eau.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'utiliser la concentration en pourcentage (4) au lieu de sa valeur décimale (0.04) dans la formule. Une autre erreur serait de faire une simple moyenne arithmétique, ce qui donnerait un résultat incorrect.

Points à retenir

Pour calculer la masse volumique d'un mélange à partir des fractions massiques, on utilise une moyenne harmonique des masses volumiques des constituants, pondérée par leurs fractions massiques.

Le saviez-vous ?

Le principe de calcul de la densité des mélanges est crucial dans de nombreux domaines, de la fabrication de boissons gazeuses (contrôle de la teneur en sucre) à la métallurgie pour créer des alliages avec des propriétés spécifiques.

FAQ

Résultat Final

La masse volumique du mélange est \( \rho_{\text{m}} \approx 1013.5 \text{ kg/m³} \).

A vous de jouer

Recalculez la masse volumique du mélange si la concentration en solides monte à 8%.

Question 2 : Estimer la viscosité dynamique du mélange.

Principe

La présence de particules solides en suspension dans un fluide augmente les forces de frottement internes, ce qui se traduit par une augmentation de la viscosité. On utilise une formule empirique pour estimer cette augmentation, qui dépend de la fraction de volume occupée par les solides.

Mini-Cours

La viscosité d'une suspension dépend de la viscosité du fluide porteur, de la concentration, de la taille et de la forme des particules. Pour des sphères rigides à faible concentration (\(\Phi < 5\%\)), la formule d'Einstein est une bonne première approximation. Elle modélise l'augmentation de la dissipation d'énergie due à la présence des particules qui perturbent l'écoulement du fluide.

Remarque Pédagogique

Il est essentiel de ne pas confondre la concentration massique (C), qui est un rapport de masses, et la concentration volumique (\(\Phi\)), qui est un rapport de volumes. Les formules de viscosité utilisent presque toujours la concentration volumique car c'est l'occupation de l'espace par les particules qui gêne l'écoulement.

Normes

La formule utilisée est une simplification de modèles rhéologiques plus complexes. En pratique, la viscosité des boues est mesurée en laboratoire avec un viscosimètre, car elle peut avoir un comportement non-newtonien (sa viscosité change avec la vitesse).

Formule(s)

Conversion de concentration massique en volumique

\Phi = C \cdot \frac{\rho_{\text{m}}}{\rho_{\text{s}}}

Estimation de la viscosité du mélange

\mu_{\text{m}} = \mu_{\text{w}} (1 + 2.5 \cdot \Phi)

Hypothèses

Les particules solides sont considérées comme sphériques et rigides.
La concentration est suffisamment faible pour que les interactions entre particules soient négligeables.
La boue a un comportement newtonien (viscosité constante).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Concentration massique	C	0.04	-
Masse volumique du mélange	\(\rho_{\text{m}}\)	1013.5	kg/m³
Masse volumique des solides	\(\rho_{\text{s}}\)	1500	kg/m³
Viscosité de l'eau	\(\mu_{\text{w}}\)	0.001	Pa.s

Astuces

Le terme correctif \(2.5 \cdot \Phi\) est généralement petit pour les faibles concentrations. Attendez-vous à une augmentation de la viscosité de seulement quelques pourcents par rapport à celle de l'eau.

Schéma (Avant les calculs)

Influence des particules sur l'écoulement

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la concentration volumique \(\Phi\)

\begin{aligned} \Phi &= C \cdot \frac{\rho_{\text{m}}}{\rho_{\text{s}}} \\ &= 0.04 \times \frac{1013.5}{1500} \\ &\approx 0.0270 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la viscosité du mélange \(\mu_{\text{m}}\)

\begin{aligned} \mu_{\text{m}} &= \mu_{\text{w}} \times (1 + 2.5 \times \Phi) \\ &= 0.001 \times (1 + 2.5 \times 0.0270) \\ &= 0.001 \times (1 + 0.0675) \\ &= 0.001 \times 1.0675 \\ &\Rightarrow \mu_{\text{m}} \approx 0.001068 \, \text{Pa.s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des viscosités

Réflexions

La viscosité du mélange est de \(0.001068 \text{ Pa.s}\), soit une augmentation d'environ 6.8% par rapport à l'eau pure. C'est une augmentation modeste mais non négligeable qui influencera le calcul des pertes de charge.

Points de vigilance

Veillez à bien utiliser la masse volumique du mélange \( \rho_{\text{m}} \) et non celle de l'eau dans la formule de conversion de la concentration. C'est une erreur classique.

Points à retenir

La présence de solides augmente la viscosité d'un fluide. Cette augmentation est proportionnelle à la fraction de volume (\(\Phi\)) occupée par ces solides. Il est crucial de passer de la concentration massique à la concentration volumique.

Le saviez-vous ?

Albert Einstein a développé cette formule de viscosité en 1906 dans le cadre de sa thèse de doctorat. Il l'a utilisée pour estimer la taille des molécules et le nombre d'Avogadro, une application révolutionnaire à l'époque.

FAQ

Résultat Final

La viscosité dynamique estimée du mélange est \( \mu_{\text{m}} \approx 0.001068 \text{ Pa.s} \).

A vous de jouer

En utilisant la masse volumique pour C=8% (≈1027.6 kg/m³), estimez la nouvelle viscosité du mélange.

Question 3 : Calculer la vitesse et le Nombre de Reynolds.

Principe

La vitesse moyenne découle du principe de conservation du débit pour un fluide incompressible : le débit est le produit de la vitesse par la section. Le Nombre de Reynolds est un rapport entre les forces d'inertie (qui tendent à créer un écoulement chaotique) et les forces visqueuses (qui tendent à stabiliser l'écoulement). Sa valeur nous indique le régime d'écoulement.

Mini-Cours

Le Nombre de Reynolds, \(Re = \frac{\rho v D}{\mu}\), est le critère universel pour définir le régime d'écoulement en conduite. Pour une conduite circulaire :
• Si \(Re < 2300\), l'écoulement est laminaire : les filets de fluide glissent parallèlement, les pertes de charge sont faibles et proportionnelles à la vitesse.
• Si \(Re > 4000\), l'écoulement est turbulent : il est caractérisé par des tourbillons et un mélange intense, les pertes de charge sont plus fortes et proportionnelles au carré de la vitesse.
Entre 2300 et 4000, le régime est dit "transitoire" et est instable.

Remarque Pédagogique

Le passage en unités du Système International (SI) est une étape non négociable avant tout calcul numérique en hydraulique. Prenez l'habitude de créer un tableau de conversion avant de vous lancer dans les formules pour éviter 90% des erreurs d'inattention.

Normes

Le concept de Nombre de Reynolds et les seuils de transition laminaire/turbulent sont des fondements de la mécanique des fluides, enseignés dans tous les manuels de référence et non issus d'une norme de construction spécifique.

Formule(s)

Vitesse d'écoulement

v = \frac{Q}{A} \quad \text{avec} \quad A = \frac{\pi D^2}{4}

Nombre de Reynolds

Re = \frac{\rho_{\text{m}} \cdot v \cdot D}{\mu_{\text{m}}}

Hypothèses

L'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
La vitesse calculée est une vitesse moyenne sur la section ; le profil de vitesse réel n'est pas uniforme (il est parabolique en laminaire et plus aplati en turbulent).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	Q	50	L/s
Diamètre intérieur	D	200	mm
Masse volumique du mélange	\(\rho_{\text{m}}\)	1013.5	kg/m³
Viscosité du mélange	\(\mu_{\text{m}}\)	0.001068	Pa.s

Astuces

Pour la plupart des applications industrielles de transfert d'eau ou de boues (hors microfluidique), le débit est suffisamment élevé pour que le régime soit quasiment toujours turbulent. Si vous trouvez un régime laminaire pour une conduite de 200 mm, revoyez vos calculs !

Schéma (Avant les calculs)

Profils de vitesse laminaire et turbulent

Calcul(s)

Conversion du débit

Q = 50 \, \text{L/s} = 0.05 \, \text{m³/s}

Conversion du diamètre

D = 200 \, \text{mm} = 0.2 \, \text{m}

Calcul de l'aire de la section

\begin{aligned} A &= \frac{\pi \times D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.2)^2}{4} \\ &\approx 0.031416 \, \text{m²} \end{aligned}

Calcul de la vitesse

\begin{aligned} v &= \frac{Q}{A} \\ &= \frac{0.05}{0.031416} \\ &\approx 1.59 \, \text{m/s} \end{aligned}

Calcul du Nombre de Reynolds

\begin{aligned} Re &= \frac{\rho_{\text{m}} \cdot v \cdot D}{\mu_{\text{m}}} \\ &= \frac{1013.5 \times 1.59 \times 0.2}{0.001068} \\ &\approx 302100 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Positionnement sur l'échelle des régimes

Réflexions

Le nombre de Reynolds est \( Re \approx 302100 \). Cette valeur est très supérieure à 4000, ce qui confirme que l'écoulement est en régime pleinement turbulent. Cela signifie que les frottements (et donc les pertes de charge) seront importants et dépendront de la rugosité de la conduite.

Points de vigilance

Ne pas confondre viscosité dynamique (\(\mu\), en Pa.s) et viscosité cinématique (\(\nu\), en m²/s). La formule du Reynolds peut utiliser l'une ou l'autre : \( Re = \frac{v D}{\nu} \) où \( \nu = \mu / \rho \). Assurez-vous d'utiliser la bonne formule en fonction de la donnée disponible.

Points à retenir

Le Nombre de Reynolds est le paramètre clé qui détermine la nature de l'écoulement. Sa formule \(Re = \frac{\rho v D}{\mu}\) et les seuils de 2300 et 4000 sont à mémoriser. Un Re élevé implique un régime turbulent.

Le saviez-vous ?

Les expériences originales d'Osborne Reynolds en 1883 pour visualiser la transition laminaire-turbulent étaient d'une simplicité et d'une élégance remarquables. Il injectait un filet d'encre dans un écoulement d'eau dans un tube de verre pour observer soit une ligne droite (laminaire), soit une dispersion chaotique (turbulent).

FAQ

Résultat Final

La vitesse est \( v \approx 1.59 \text{ m/s} \) et le Nombre de Reynolds est \( Re \approx 302100 \) (régime turbulent).

A vous de jouer

Quel serait le Nombre de Reynolds si le débit était divisé par deux (25 L/s) ? (Indice : la vitesse sera aussi divisée par deux).

Question 4 : Déterminer la perte de charge linéaire.

Principe

La perte de charge linéaire est l'énergie dissipée par unité de poids du fluide à cause des forces de frottement exercées par la paroi de la conduite sur le fluide en mouvement. Cette "perte" d'énergie se manifeste par une chute de pression le long de l'écoulement.

Mini-Cours

L'équation de Darcy-Weisbach est l'outil fondamental pour quantifier cette perte. Elle relie la perte de charge (\(\Delta H\)) aux caractéristiques de la conduite (L, D), à l'écoulement (v) et à un coefficient de frottement adimensionnel \(\lambda\) (lambda). En régime turbulent, \(\lambda\) dépend du Nombre de Reynolds (qui caractérise la turbulence) et de la rugosité relative \(\varepsilon/D\) (qui caractérise l'état de surface de la conduite). La formule de Haaland est l'une des équations explicites (non-itératives) les plus précises pour calculer \(\lambda\), alternative à la lecture sur le diagramme de Moody.

Remarque Pédagogique

Visualisez la perte de charge comme une "taxe" énergétique que le fluide doit payer pour chaque mètre parcouru dans la conduite. Plus la conduite est longue, plus la vitesse est élevée, ou plus les parois sont rugueuses, plus cette taxe est élevée.

Normes

L'équation de Darcy-Weisbach et les formules de calcul de \(\lambda\) (Colebrook-White, Haaland, Swamee-Jain) sont des standards de l'ingénierie hydraulique, validés par des décennies d'expériences et reconnus dans tous les codes et manuels techniques (comme les publications de l'ASCE ou les Mémentos Techniques).

Formule(s)

Formule de Haaland

\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \approx -1.8 \log_{10}\left[ \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{Re} \right]

Équation de Darcy-Weisbach

\Delta H = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}

Hypothèses

La rugosité \(\varepsilon\) est uniforme sur toute la longueur de la conduite.
L'écoulement est établi (le profil de vitesse est stable).
On ne considère que les pertes de charge linéaires (régulières), en négligeant les pertes singulières (coudes, vannes, etc.).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur	L	1500	m
Diamètre	D	0.2	m
Vitesse	v	1.59	m/s
Nombre de Reynolds	Re	302100	-
Rugosité	\(\varepsilon\)	0.00015	m

Astuces

Pour vérifier rapidement l'ordre de grandeur de \(\lambda\) pour des conduites standards en régime turbulent, sa valeur est souvent comprise entre 0.015 et 0.03. Si vous obtenez 0.2 ou 0.002, il y a probablement une erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Zoom sur la paroi et la rugosité

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la rugosité relative

\begin{aligned} \frac{\varepsilon}{D} &= \frac{0.15 \, \text{mm}}{200 \, \text{mm}} \\ &= 0.00075 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du terme inverse de la racine de lambda

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda}} &\approx -1.8 \log_{10}\left[ \left(\frac{0.00075}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{302100} \right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}\left[ (0.0002027)^{1.11} + 0.0000228 \right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}\left[ 0.0000635 + 0.0000228 \right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}(0.0000863) \\ &\approx -1.8 \times (-4.064) \\ &\approx 7.315 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul du coefficient de perte de charge \(\lambda\)

\lambda \approx \left(\frac{1}{7.315}\right)^2 \approx 0.0187

Étape 4 : Calcul de la perte de charge \(\Delta H\)

\begin{aligned} \Delta H &= \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \\ &= 0.0187 \times \frac{1500}{0.2} \times \frac{(1.59)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 140.25 \times \frac{2.5281}{19.62} \\ &= 140.25 \times 0.1288 \\ &\Rightarrow \Delta H \approx 18.06 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Ligne de Charge et Piezométrique

Réflexions

La perte de charge est d'environ 18 mètres de colonne de fluide. Cela signifie que la pompe devra fournir une surpression équivalente à une colonne de 18m de boue (soit \( P = \rho_{\text{m}} g \Delta H \approx 1013.5 \times 9.81 \times 18.06 \approx 1.8 \text{ bar} \)) uniquement pour vaincre les frottements.

Points de vigilance

Attention à la confusion entre \(\log_{10}\) (logarithme décimal) et \(\ln\) (logarithme népérien). Les formules empiriques comme Haaland sont spécifiquement développées avec \(\log_{10}\). L'utilisation de \(\ln\) donnerait un résultat complètement faux.

Points à retenir

La perte de charge linéaire se calcule en trois temps : 1. Déterminer le régime (Re). 2. Calculer le coefficient de frottement (\(\lambda\)) en fonction de Re et \(\varepsilon/D\). 3. Appliquer la formule de Darcy-Weisbach. C'est une méthodologie fondamentale en hydraulique en charge.

Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, qui représente graphiquement ces calculs, a été un outil de travail essentiel pour les ingénieurs pendant des décennies avant l'avènement des calculatrices et des ordinateurs. Savoir le lire est encore aujourd'hui une compétence précieuse pour comprendre rapidement l'influence des paramètres.

FAQ

Résultat Final

Le coefficient de perte de charge est \( \lambda \approx 0.0187 \) et la perte de charge linéaire totale est \( \Delta H \approx 18.06 \text{ mCE} \).

A vous de jouer

Si la conduite était en PVC lisse (\(\varepsilon \approx 0.0015 \text{ mm}\)), quelle serait approximativement la nouvelle perte de charge ? (Indice : \(\lambda\) va diminuer).

Question 5 : Calculer les puissances de la pompe.

Principe

La puissance hydraulique (\(P_{\text{h}}\)) représente l'énergie par unité de temps que la pompe doit effectivement fournir au fluide pour vaincre les pertes de charge (et éventuellement une dénivelée). La pompe étant une machine imparfaite, son moteur doit consommer une puissance électrique supérieure (\(P_{\text{e}}\)) à cause des pertes internes (chaleur, frottements mécaniques), quantifiées par le rendement (\(\eta\)).

Mini-Cours

La puissance d'une force est le produit de cette force par une vitesse. Pour une pompe, la force est la pression (\(P = \rho g H\)) appliquée sur une surface (\(A\)) et la vitesse est celle du fluide (\(v\)). La puissance devient \( P_{\text{h}} = (P \cdot A) \cdot v = (\rho g H \cdot A) \cdot v \). Comme \(Q = A \cdot v\), on retrouve bien la formule \( P_{\text{h}} = \rho g Q H \). Cette puissance est l'énergie transférée au fluide chaque seconde.

Remarque Pédagogique

Pensez au rendement comme à l'efficacité d'un service de livraison. Si vous payez pour 100€ d'énergie (\(P_{\text{e}}\)), mais que seulement 75€ d'énergie arrivent réellement au fluide (\(P_{\text{h}}\)), le rendement est de 75%. Les 25€ restants sont perdus en "frais de fonctionnement" de la pompe.

Normes

Les puissances des moteurs électriques sont normalisées (par exemple, 1.1 kW, 1.5 kW, 2.2 kW...). On choisit toujours la puissance normalisée immédiatement supérieure à la puissance électrique calculée pour garantir un fonctionnement sans surcharge du moteur.

Formule(s)

Puissance hydraulique

P_{\text{h}} = \rho_{\text{m}} \cdot g \cdot Q \cdot \Delta H

Puissance électrique absorbée

P_{\text{e}} = \frac{P_{\text{h}}}{\eta}

Hypothèses

Le rendement de 75% est le rendement global du groupe motopompe (moteur + pompe).
Ce rendement est celui du point de fonctionnement nominal (le débit et la hauteur de l'exercice).
On néglige la hauteur manométrique statique (dénivelée entre le départ et l'arrivée) pour ce calcul.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique du mélange	\(\rho_{\text{m}}\)	1013.5	kg/m³
Débit volumique	Q	0.05	m³/s
Perte de charge	\(\Delta H\)	18.06	m
Rendement	\(\eta\)	75 % (soit 0.75)	-

Astuces

Pour une estimation très rapide de la puissance hydraulique en kW pour de l'eau (\(\rho \approx 1000, g \approx 10\)): \( P_{\text{h}} (\text{kW}) \approx 10 \times Q (\text{m³/s}) \times H (\text{m})\). Dans notre cas : \(10 \times 0.05 \times 18 \approx 9 \text{ kW}\). C'est un excellent moyen de vérifier l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan de puissance d'un groupe motopompe

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la puissance hydraulique \(P_{\text{h}}\)

\begin{aligned} P_{\text{h}} &= \rho_{\text{m}} \times g \times Q \times \Delta H \\ &= 1013.5 \times 9.81 \times 0.05 \times 18.06 \\ &\approx 8970 \, \text{W} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la puissance électrique \(P_{\text{e}}\)

\begin{aligned} P_{\text{e}} &= \frac{P_{\text{h}}}{\eta} \\ &= \frac{8970}{0.75} \\ &\approx 11960 \, \text{W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de flux de puissance (Sankey)

Réflexions

La pompe doit être capable de fournir au moins 11.96 kW de puissance électrique. En pratique, on choisira un moteur de puissance normalisée supérieure (par exemple 15 kW) pour avoir une marge de sécurité, pour anticiper une éventuelle augmentation du débit ou de la concentration, et pour ne pas faire fonctionner le moteur à 100% de sa capacité en permanence.

Points de vigilance

Ne jamais oublier de diviser par le rendement. Une erreur fréquente est de le multiplier. La puissance électrique consommée est TOUJOURS supérieure à la puissance hydraulique fournie.

Points à retenir

La puissance hydraulique \(P_{\text{h}} = \rho g Q H\) représente l'énergie utile transférée au fluide. La puissance électrique \(P_{\text{e}} = P_{\text{h}} / \eta\) représente le coût énergétique réel de l'opération, en tenant compte des imperfections de la machine.

Le saviez-vous ?

Le pompage représente près de 20% de la consommation mondiale d'électricité. L'amélioration, même minime, du rendement des milliers de pompes dans une usine ou un réseau d'eau peut engendrer des économies d'énergie colossales à l'échelle d'un pays.

FAQ

Résultat Final

La puissance hydraulique requise est \( P_{\text{h}} \approx 8.97 \text{ kW} \) et la puissance électrique absorbée par la pompe est \( P_{\text{e}} \approx 11.96 \text{ kW} \).

A vous de jouer

Quelle serait la puissance électrique nécessaire si on utilisait une pompe plus ancienne avec un rendement de seulement 60% ?

Outil Interactif : Simulateur de Perte de Charge

Utilisez les curseurs pour voir l'influence du débit et de la concentration en solides sur la perte de charge et la puissance de la pompe.

Paramètres d'Entrée

Débit (L/s) 50 L/s

Concentration Massique (%) 4 %

Résultats Clés

Perte de Charge (mCE) -

Puissance Électrique (kW) -

Perte de Charge: Énergie dissipée par le fluide, principalement par frottement sur les parois de la conduite. Elle se traduit par une chute de pression et est souvent exprimée en mètres de colonne de fluide (mCE).
Nombre de Reynolds (Re): Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide. Un Re faible (< 2300) indique un écoulement laminaire, un Re élevé (> 4000) un écoulement turbulent.
Boue Activée: Mélange de micro-organismes utilisé dans le traitement biologique des eaux usées. Après traitement, elle forme une boue (mélange d'eau et de solides) qui doit être évacuée.