ÉTUDE HYDRAULIQUE

Temps de propagation d’une onde de crue simple

Calcul du Temps de Propagation d'une Onde de Crue

Calcul du temps de propagation d'une onde de crue simple

Comprendre la Propagation des Ondes de Crue

Lorsqu'une averse intense ou la fonte des neiges génère un afflux d'eau important dans un cours d'eau, une "onde de crue" se forme et se propage vers l'aval. La vitesse de cette onde, appelée célérité, n'est pas la même que la vitesse de l'eau. Pour des crues lentes sur des pentes faibles, on peut utiliser l'approximation de l'onde cinématique. Cette méthode, plus simple que les modèles dynamiques complets, permet d'estimer la vitesse de propagation de l'onde et donc le temps qu'il faudra au pic de crue pour atteindre un point sensible en aval, une information cruciale pour les systèmes d'alerte et la gestion des risques.

Données de l'étude

On étudie la propagation de l'onde de crue dans un long canal rectangulaire en béton.

Caractéristiques du canal et de l'écoulement initial :

  • Largeur du canal (\(B\)) : \(20 \, \text{m}\)
  • Pente du fond (\(S_f\)) : \(0.05 \% = 0.0005\)
  • Coefficient de Manning (\(n\)) : \(0.015 \, \text{s/m}^{1/3}\) (béton lisse)
  • Débit initial avant la crue (\(Q_0\)) : \(40 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Distance à l'aval pour laquelle on veut prévoir le temps de propagation (\(L\)) : \(15 \, \text{km}\)
Schéma de la Propagation d'une Onde de Crue
Lit du canal Onde de crue Célérité (c) Amont Aval L = 15 km

Propagation d'une onde de crue le long d'un canal.

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur d'eau normale (\(y_0\)) correspondant au débit initial.
  2. Calculer la vitesse de l'écoulement (\(V_0\)) pour le débit initial.
  3. Calculer la célérité de l'onde (\(c\)) en utilisant l'approximation de l'onde cinématique.
  4. Estimer le temps de propagation (\(t_p\)) de l'onde sur la distance de 15 km.

Correction : Calcul du Temps de Propagation

Question 1 : Hauteur d'Eau Normale Initiale (\(y_0\))

Principe :

On cherche la hauteur d'eau \(y_0\) qui correspond à l'écoulement uniforme pour le débit de base \(Q_0\). On utilise pour cela la formule de Manning, qui doit être résolue par itérations pour la hauteur \(y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{A^{5/3}}{P^{2/3}} = \frac{Q_0 \cdot n}{S_f^{1/2}}\]

Pour un canal rectangulaire : \(A = B \cdot y\) et \(P = B + 2y\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{Q_0 \cdot n}{S_f^{1/2}} &= \frac{40 \times 0.015}{(0.0005)^{1/2}} \\ &= \frac{0.6}{0.02236} \\ &\approx 26.83 \end{aligned} \]

On doit donc résoudre \(\frac{(20y_0)^{5/3}}{(20+2y_0)^{2/3}} = 26.83\). Après résolution par itérations (non détaillée ici), on trouve :

\[y_0 \approx 1.70 \, \text{m}\]
Résultat Question 1 : La hauteur d'eau normale initiale est \(y_0 \approx 1.70 \, \text{m}\).

Question 2 : Vitesse Initiale de l'Écoulement (\(V_0\))

Principe :

La vitesse moyenne de l'écoulement est le rapport entre le débit et la section mouillée correspondante.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_0 = \frac{Q_0}{A_0} = \frac{Q_0}{B \times y_0}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_0 &= \frac{40 \, \text{m}^3/\text{s}}{20 \, \text{m} \times 1.70 \, \text{m}} \\ &= \frac{40}{34} \\ &\approx 1.18 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La vitesse de l'écoulement initial est \(V_0 \approx 1.18 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Célérité de l'Onde Cinématique (\(c\))

Principe :

L'approximation de l'onde cinématique est valable pour des ondes longues sur des pentes faibles. Dans ce cas, la célérité de l'onde (\(c\)) n'est pas simplement la vitesse de l'eau. Elle est proportionnelle à la vitesse de l'eau, avec un facteur dépendant de la géométrie de la section.

Formule(s) utilisée(s) :
\[c = \frac{dQ}{dA} \approx \frac{5}{3} V_0 \quad (\text{pour un canal rectangulaire large})\]

Pour un canal rectangulaire général, le facteur multiplicatif est \( \frac{1 + \frac{2}{3} \frac{2y}{B+2y}}{1 - \frac{2}{3} \frac{2y}{B+2y} \frac{V^2}{gy}} \). Pour un canal large (\(B \gg y\)) et une pente faible (\(Fr\) petit), ce facteur tend vers 5/3.

Calcul :
\[ \begin{aligned} c &\approx \frac{5}{3} \times V_0 \\ &= \frac{5}{3} \times 1.18 \, \text{m/s} \\ &\approx 1.97 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La célérité de l'onde de crue est d'environ \(c \approx 1.97 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Temps de Propagation (\(t_p\))

Principe :

Le temps de propagation est le temps nécessaire à l'onde pour parcourir la distance \(L\). Il s'obtient simplement en divisant la distance par la vitesse de l'onde (sa célérité).

Formule(s) utilisée(s) :
\[t_p = \frac{L}{c}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_p &= \frac{15000 \, \text{m}}{1.97 \, \text{m/s}} \\ &\approx 7614 \, \text{secondes} \end{aligned} \]

Convertissons ce temps en heures pour une meilleure interprétation :

\[ \begin{aligned} t_p (\text{heures}) &= \frac{7614 \, \text{s}}{3600 \, \text{s/h}} \\ &\approx 2.11 \, \text{heures} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le temps de propagation de l'onde de crue sur 15 km est d'environ 2.1 heures.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La célérité d'une onde de crue (onde cinématique) est généralement :

2. L'approximation de l'onde cinématique est la plus pertinente pour :

3. Si la pente du canal (\(S_f\)) était plus forte, le temps de propagation de la crue sur la même distance serait :

Glossaire

Onde de Crue
Propagation d'une surélévation du niveau de l'eau et d'une augmentation du débit dans un cours d'eau, se déplaçant de l'amont vers l'aval.
Célérité (\(c\))
Vitesse de propagation de l'onde de crue elle-même, qui est distincte de la vitesse des particules d'eau (\(V\)).
Onde Cinématique
Modèle simplifié de propagation d'onde où l'on suppose que les forces de frottement équilibrent les forces de gravité (la pente de la ligne d'énergie est égale à la pente du fond). Cette approximation est valable pour les ondes longues sur des pentes faibles.
Hydrologie et Hydraulique Fluviale - Exercice d'Application

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