ÉTUDE HYDRAULIQUE

Stabilité d’un Corps Flottant

Stabilité d'un Corps Flottant : Calcul du Métacentre

Stabilité d'un Corps Flottant : Calcul du Métacentre

Comprendre la Stabilité des Corps Flottants

La stabilité d'un navire ou de tout corps flottant est sa capacité à revenir à sa position d'équilibre après avoir été incliné par une force extérieure (comme le vent ou les vagues). Cette stabilité dépend de la position relative de trois points clés : le centre de gravité (\(G\)), le centre de poussée ou de carène (\(B\)), et le métacentre (\(M\)). Le métacentre est un point théorique dont la position dépend de la forme de la coque au niveau de la ligne de flottaison. La distance entre \(G\) et \(M\), appelée hauteur métacentrique (\(GM\)), est l'indicateur principal de la stabilité : si \(M\) est au-dessus de \(G\) (\(GM > 0\)), le corps est stable.

Données de l'étude

On étudie la stabilité transversale (roulis) d'un ponton de forme parallélépipédique.

Caractéristiques géométriques et physiques :

  • Dimensions du ponton : Longueur \(L = 20 \, \text{m}\), Bau (largeur) \(B = 8 \, \text{m}\), Creux (hauteur) \(D = 3 \, \text{m}\)
  • Masse du ponton : \(m = 240 \, \text{tonnes} = 240000 \, \text{kg}\)
  • Position du centre de gravité (\(G\)) : \(KG = 2.0 \, \text{m}\) au-dessus de la quille (K).
  • Masse volumique de l'eau douce : \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Stabilité transversale d'un corps flottant
Ligne de flottaison K (Quille) K B G M KG GM > 0 (Stable)

La stabilité est assurée si le métacentre (M) est au-dessus du centre de gravité (G).

Questions à traiter

  1. Déterminer le tirant d'eau (\(T\)) du ponton.
  2. Calculer la position verticale du centre de carène (\(KB\)) par rapport à la quille.
  3. Calculer le moment d'inertie de la surface de flottaison par rapport à l'axe transversal (\(I_T\)).
  4. Déterminer le rayon métacentrique transversal (\(BM_T\)).
  5. Calculer la hauteur métacentrique (\(GM_T\)) et conclure sur la stabilité du ponton.

Correction : Stabilité d'un Corps Flottant

Question 1 : Tirant d'eau (\(T\))

Principe :

À l'équilibre, le poids du ponton est égal à la poussée d'Archimède. La poussée d'Archimède est le poids du volume d'eau déplacé. En égalant ces deux forces, on peut déterminer le volume immergé, puis en déduire le tirant d'eau (la hauteur immergée) pour un corps de forme simple.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P = F_a \Rightarrow m \cdot g = \rho_{\text{eau}} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot g\] \[V_{\text{immergé}} = L \cdot B \cdot T \Rightarrow T = \frac{m}{\rho_{\text{eau}} \cdot L \cdot B}\]
Données spécifiques :
  • \(m = 240000 \, \text{kg}\)
  • \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(L = 20 \, \text{m}\)
  • \(B = 8 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T &= \frac{240000 \, \text{kg}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \times 20 \, \text{m} \times 8 \, \text{m}} \\ &= \frac{240000}{160000} \\ &= 1.5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le tirant d'eau du ponton est \(T = 1.5 \, \text{m}\).

Question 2 : Position du centre de carène (\(KB\))

Principe :

Le centre de carène (\(B\)) est le centre de gravité du volume de fluide déplacé. Pour un corps flottant de forme parallélépipédique et à l'équilibre (sans gîte), ce point se situe à mi-hauteur du volume immergé, c'est-à-dire à la moitié du tirant d'eau, mesuré depuis la quille (\(K\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[KB = \frac{T}{2}\]
Données spécifiques :
  • \(T = 1.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} KB &= \frac{1.5 \, \text{m}}{2} \\ &= 0.75 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La position du centre de carène est \(KB = 0.75 \, \text{m}\) au-dessus de la quille.

Question 3 : Moment d'inertie transversal (\(I_T\))

Principe :

Pour évaluer la stabilité en roulis (transversale), on doit calculer le moment d'inertie de la surface de flottaison par rapport à son axe longitudinal (l'axe passant par le centre dans le sens de la longueur). Pour une surface rectangulaire, cette formule est bien connue.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_T = \frac{L \cdot B^3}{12}\]
Données spécifiques :
  • \(L = 20 \, \text{m}\)
  • \(B = 8 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_T &= \frac{20 \, \text{m} \times (8 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{20 \times 512}{12} \\ &\approx 853.33 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment d'inertie transversal de la flottaison est \(I_T \approx 853.33 \, \text{m}^4\).

Question 4 : Rayon métacentrique transversal (\(BM_T\))

Principe :

Le rayon métacentrique est la distance entre le centre de carène (\(B\)) et le métacentre (\(M\)). Il quantifie la "forme" de la stabilité. Une valeur élevée indique une bonne stabilité de forme. Il est calculé en divisant le moment d'inertie de la flottaison par le volume de carène (volume immergé).

Formule(s) utilisée(s) :
\[BM_T = \frac{I_T}{V_{\text{immergé}}}\]
Données spécifiques :
  • \(I_T \approx 853.33 \, \text{m}^4\)
  • \(V_{\text{immergé}} = L \cdot B \cdot T = 20 \times 8 \times 1.5 = 240 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} BM_T &= \frac{853.33 \, \text{m}^4}{240 \, \text{m}^3} \\ &\approx 3.56 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le rayon métacentrique transversal est \(BM_T \approx 3.56 \, \text{m}\).

Question 5 : Hauteur métacentrique (\(GM_T\)) et conclusion

Principe :

La hauteur métacentrique (\(GM_T\)) est l'indicateur final de la stabilité. Elle est la distance verticale entre le centre de gravité (\(G\)) et le métacentre (\(M\)). On la calcule en déterminant d'abord la position du métacentre depuis la quille (\(KM_T = KB + BM_T\)), puis en soustrayant la position du centre de gravité (\(KG\)). Si \(GM_T\) est positif, le ponton est stable.

Formule(s) utilisée(s) :
\[KM_T = KB + BM_T\] \[GM_T = KM_T - KG\]
Données spécifiques :
  • \(KB = 0.75 \, \text{m}\)
  • \(BM_T \approx 3.56 \, \text{m}\)
  • \(KG = 2.0 \, \text{m}\) (donné)
Calcul :
\[ \begin{aligned} KM_T &= 0.75 \, \text{m} + 3.56 \, \text{m} = 4.31 \, \text{m} \\ GM_T &= 4.31 \, \text{m} - 2.0 \, \text{m} \\ &= 2.31 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La hauteur métacentrique est \(GM_T = 2.31 \, \text{m}\). Comme \(GM_T > 0\), le ponton est stable en roulis.

Quiz Intermédiaire : Si on ajoute une charge en hauteur sur le ponton (ce qui fait monter son centre de gravité G), la hauteur métacentrique GM va :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une hauteur métacentrique (GM) positive signifie que le corps est :

2. Lequel de ces facteurs augmente le plus la stabilité de forme (la valeur de BM) ?

Glossaire

Centre de Gravité (G)
Point d'application du poids total du corps flottant. Sa position dépend de la répartition des masses à bord.
Centre de Carène (B)
Centre de gravité du volume de fluide déplacé. C'est le point d'application de la poussée d'Archimède. Sa position change lorsque le corps s'incline.
Métacentre (M)
Point d'intersection de l'axe vertical du corps (à l'équilibre) et de la nouvelle ligne d'action de la poussée d'Archimède lorsque le corps subit une petite inclinaison.
Hauteur Métacentrique (GM)
Distance entre le centre de gravité (G) et le métacentre (M). C'est le principal critère de stabilité : si GM > 0, le corps est stable et génère un couple de redressement lorsqu'il est incliné.
Fondamentaux de l'Hydraulique - Exercice d'Application

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