ÉTUDE HYDRAULIQUE

Simulation du Remplissage d’un Réservoir

Hydraulique : Simulation du Remplissage d'un Réservoir avec une Pompe

Simulation du Remplissage d'un Réservoir avec une Pompe

Contexte : Le Duel entre la Pompe et le Réseau

Le remplissage d'un réservoir en hauteur est une opération hydraulique fondamentale. Une pompe fournit l'énergie nécessaire pour vaincre deux types de "résistance" : la hauteur géométrique (l'altitude à gravir) et les pertes de charge dues au frottement dans la conduite. La performance d'une pompe n'est pas constante : la hauteur qu'elle peut fournir diminue à mesure que le débit augmente (c'est la courbe de pompeGraphique fourni par le fabricant qui montre la hauteur manométrique totale (HMT) que la pompe peut fournir en fonction du débit (Q).). Inversement, la résistance du réseau augmente avec le débit (c'est la courbe de réseauGraphique montrant la hauteur totale que la pompe doit vaincre (hauteur géométrique + pertes de charge) pour un débit donné dans un système spécifique.). Le débit réel du système se situe à l'intersection de ces deux courbes : c'est le point de fonctionnementPoint unique où la courbe de la pompe et la courbe du réseau se croisent, définissant le débit et la hauteur réels de l'installation.. Cet exercice vise à déterminer ce point et à en déduire le temps de remplissage d'un réservoir.

Remarque Pédagogique : Ce problème est au cœur du métier d'ingénieur hydraulicien. Il illustre que l'on ne peut pas choisir une pompe seule ; on doit la choisir en fonction du réseau auquel elle sera connectée. Une pompe "puissante" peut être inefficace si elle est mal adaptée à la "résistance" du réseau, et inversement.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la différence entre la courbe d'une pompe et la courbe d'un réseau.
  • Établir l'équation de la courbe du réseau (hauteur géométrique + pertes de charge).
  • Déterminer graphiquement et par le calcul le point de fonctionnement d'un système.
  • Calculer le débit réel d'une pompe dans une installation donnée.
  • Estimer le temps de remplissage d'un réservoir à partir d'un débit constant.

Données de l'étude

On souhaite remplir un réservoir de 150 m³ situé à une hauteur géométrique de 20 m au-dessus du niveau d'eau d'une bâche d'aspiration. L'eau est pompée à travers une conduite de 500 m de long, de diamètre 250 mm, avec un coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda = 0.02\). La pompe utilisée a une courbe caractéristique (Hauteur Manométrique Totale HMT en fonction du débit Q en m³/s) donnée par l'équation : \(H_{pompe} = 40 - 200 Q^2\).

Schéma de l'Installation de Pompage
Bâche d'aspiration Pompe Réservoir Hgeo=20m

Questions à traiter

  1. Établir l'équation de la courbe du réseau, \(H_{réseau}\), en fonction du débit \(Q\).
  2. Déterminer le point de fonctionnement (débit \(Q_{op}\) et hauteur \(H_{op}\)) en égalant les équations de la pompe et du réseau.
  3. Calculer le temps nécessaire pour remplir le réservoir de 150 m³.

Correction : Simulation du Remplissage d'un Réservoir avec une Pompe

Question 1 : Équation de la Courbe du Réseau

Principe :
H_réseau H_geo J

La hauteur que la pompe doit fournir, appelée hauteur manométrique du réseau (\(H_{réseau}\)), est la somme de deux composantes : la hauteur statique (la différence d'altitude à vaincre, \(H_{géo}\)) et les pertes de charge dynamiques (\(J\)) dues au frottement dans la tuyauterie. Les pertes de charge sont proportionnelles au carré du débit.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La hauteur géométrique est constante, tandis que les pertes de charge augmentent avec le débit. La courbe du réseau est donc une parabole qui ne part pas de l'origine, mais de la hauteur géométrique. Même à débit nul, la pompe doit fournir une pression minimale pour juste commencer à faire monter l'eau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_{réseau} = H_{géo} + J \]
\[ J = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} = \left( \frac{8\lambda L}{\pi^2 g D^5} \right) Q^2 = K \cdot Q^2 \]
Donnée(s) :
  • \(H_{géo} = 20 \, \text{m}\)
  • \(\lambda = 0.02\), \(L = 500 \, \text{m}\), \(D = 0.25 \, \text{m}\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :

1. Calcul du coefficient de perte de charge K :

\[ \begin{aligned} K &= \frac{8 \times 0.02 \times 500}{\pi^2 \times 9.81 \times (0.25)^5} \\ &\approx \frac{80}{9.869 \times 9.81 \times 9.76 \times 10^{-4}} \\ &\approx 847.6 \end{aligned} \]

2. Équation de la courbe du réseau :

\[ H_{réseau} = 20 + 847.6 \, Q^2 \]
Points de vigilance :

Puissance 5 : Le diamètre intervient à la puissance 5 dans le calcul du coefficient K. Une petite erreur sur le diamètre (ou sa conversion) aura un impact énorme sur le calcul des pertes de charge et donc sur le point de fonctionnement.

Le saviez-vous ?

L'équation de Darcy-Weisbach pour les pertes de charge est empirique. Le coefficient \(\lambda\) n'est pas vraiment constant mais dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité de la conduite (voir diagramme de Moody). Le considérer constant est une simplification valable pour des écoulements pleinement turbulents en régime "hydrauliquement rugueux".

FAQ en rapport avec la question :
Qu'en est-il des pertes de charge singulières (coudes, vannes...) ?

Pour un calcul plus précis, il faudrait ajouter les pertes de charge singulières. Chaque coude, vanne ou raccordement ajoute une perte de charge de la forme \(K_s \cdot V^2/(2g)\). Ces termes s'ajouteraient au coefficient K de la conduite, rendant la courbe du réseau encore plus pentue.

Résultat : L'équation de la courbe du réseau est \(H_{réseau} = 20 + 847.6 \, Q^2\).

Question 2 : Détermination du Point de Fonctionnement

Principe :
H_pompe H_réseau Hop Qop

Le système fonctionnera au point où la hauteur fournie par la pompe est exactement égale à la hauteur requise par le réseau. Ce point de fonctionnement unique est donc trouvé en égalant les deux équations : \(H_{pompe} = H_{réseau}\). Cela donne une équation avec une seule inconnue, le débit de fonctionnement \(Q_{op}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Une erreur conceptuelle serait de penser que la pompe fournit toujours la hauteur maximale indiquée par sa courbe. Elle ne fournit que ce que le réseau "demande". Le point de fonctionnement est un compromis, un équilibre entre ce que la pompe peut faire et ce que le système exige.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_{pompe} = H_{réseau} \]
Donnée(s) :
  • Courbe pompe : \(H_{pompe} = 40 - 200 Q^2\)
  • Courbe réseau : \(H_{réseau} = 20 + 847.6 Q^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} 40 - 200 Q_{op}^2 &= 20 + 847.6 Q_{op}^2 \\ 40 - 20 &= 847.6 Q_{op}^2 + 200 Q_{op}^2 \\ 20 &= 1047.6 Q_{op}^2 \\ Q_{op}^2 &= \frac{20}{1047.6} \approx 0.01909 \\ Q_{op} &= \sqrt{0.01909} \approx 0.138 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

On calcule ensuite la hauteur correspondante en utilisant l'une des deux équations :

\[ \begin{aligned} H_{op} &= 40 - 200 \times (0.138)^2 \\ &\approx 40 - 3.81 \\ &\approx 36.19 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Résolution d'équation : Attention à bien regrouper les termes en \(Q^2\) d'un côté et les constantes de l'autre. Une erreur de signe lors du regroupement est fréquente. Il est aussi bon de vérifier le résultat en injectant \(Q_{op}\) dans l'autre équation (\(H_{réseau}\)) pour s'assurer qu'on obtient bien la même hauteur \(H_{op}\).

Le saviez-vous ?

Le "meilleur point de fonctionnement" (Best Efficiency Point, BEP) d'une pompe est le point sur sa courbe où son rendement énergétique est maximal. Les ingénieurs essaient toujours de concevoir le réseau pour que le point de fonctionnement soit le plus proche possible du BEP de la pompe choisie, afin de minimiser la consommation d'énergie.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si les courbes ne se croisent pas ?

Si la hauteur géométrique du réseau est supérieure à la hauteur maximale de la pompe (à débit nul), la pompe n'est pas assez puissante pour même amorcer l'écoulement et le débit sera nul. Si les courbes ne se croisent pas pour une autre raison, cela signifie que la pompe est mal dimensionnée pour le réseau.

Résultat : Le point de fonctionnement est \(Q_{op} \approx 0.138 \, \text{m}^3/\text{s}\) (ou 138 L/s) et \(H_{op} \approx 36.2 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul du Temps de Remplissage

Principe :
Q_op Vol = 150m³ t = Vol / Q_op

Le temps de remplissage est calculé en divisant le volume total du réservoir par le débit de remplissage. Dans cette approche simplifiée, on suppose que le point de fonctionnement (et donc le débit) reste constant pendant tout le remplissage. Cela est vrai si la variation de la hauteur géométrique due au remplissage est négligeable par rapport à la hauteur totale.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : En réalité, à mesure que le réservoir se remplit, la hauteur géométrique \(H_{géo}\) augmente, ce qui déplace la courbe du réseau vers le haut. Le point de fonctionnement se déplace donc le long de la courbe de la pompe, et le débit diminue légèrement. Pour un calcul très précis, il faudrait résoudre une équation différentielle. Cependant, pour les grands réservoirs où la variation de niveau est faible par rapport à la hauteur de pompage, l'hypothèse d'un débit constant est acceptable.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Temps} = \frac{\text{Volume}}{\text{Débit}} \]
Donnée(s) :
  • Volume du réservoir : \(\mathcal{V} = 150 \, \text{m}^3\)
  • Débit de fonctionnement : \(Q_{op} \approx 0.138 \, \text{m}^3/\text{s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} t &= \frac{150}{0.138} \\ &\approx 1087 \, \text{s} \end{aligned} \]

Conversion en minutes :

\[ t \approx \frac{1087}{60} \approx 18.1 \, \text{minutes} \]
Points de vigilance :

Cohérence des unités : Pour obtenir un temps en secondes, le volume doit être en m³ et le débit en m³/s. Si on utilisait le débit en m³/h, il faudrait multiplier le résultat par 3600 pour l'avoir en secondes.

Le saviez-vous ?

Les châteaux d'eau sont remplis de cette manière, généralement la nuit lorsque la demande en eau est faible et le coût de l'électricité plus bas. Ils agissent ensuite comme des réservoirs gravitaires pendant la journée, fournissant la pression nécessaire au réseau sans que les pompes ne doivent fonctionner en continu.

FAQ en rapport avec la question :
Comment faire un calcul plus précis du temps de remplissage ?

Il faudrait exprimer le débit \(Q\) en fonction de la hauteur \(h\) dans le réservoir (\(H_{géo} = H_{initiale} + h\)). Le débit devient \(Q(h)\). Or, \(Q = d\mathcal{V}/dt = A_{réservoir} \cdot dh/dt\). On obtient alors une équation différentielle de la forme \(dt = A_{réservoir} \cdot dh / Q(h)\), que l'on peut intégrer entre \(h=0\) et \(h=H_{final}\) pour trouver le temps exact.

Résultat : Le temps de remplissage estimé est d'environ 1087 secondes (soit 18.1 minutes).

Simulation du Point de Fonctionnement

Visualisez comment la courbe du réseau change en fonction de la hauteur géométrique et du diamètre de la conduite, et comment cela affecte le point de fonctionnement avec la pompe.

Paramètres du Réseau
Débit de Fonctionnement (Qop)
Hauteur de Fonctionnement (Hop)
Puissance Hydraulique
Courbes Pompe & Réseau

Le Saviez-Vous ?

La plus grande station de pompage du monde est la "Grand Coulee Dam Pumping-Generating Plant" aux États-Unis. Elle abrite six pompes gigantesques, chacune capable de soulever plus de 37 000 litres d'eau par seconde sur une hauteur de plus de 85 mètres pour irriguer une vaste région agricole.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si on met deux pompes identiques en série ?

Mettre deux pompes en série signifie que l'eau passe à travers la première, puis la seconde. Pour un débit donné, la hauteur fournie par l'ensemble est la somme des hauteurs de chaque pompe. La nouvelle courbe de pompe est donc deux fois plus haute que celle d'une seule pompe. C'est utile pour vaincre de grandes hauteurs géométriques.

Et si on met deux pompes identiques en parallèle ?

Mettre deux pompes en parallèle signifie qu'elles aspirent dans la même bâche et refoulent dans la même conduite. Pour une hauteur donnée, le débit fourni par l'ensemble est la somme des débits de chaque pompe. La nouvelle courbe de pompe est donc deux fois plus "large". C'est utile pour obtenir de très grands débits.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on remplace la conduite par une autre de même longueur mais de diamètre plus petit, le point de fonctionnement va se déplacer vers :

2. La courbe de la pompe \(H_{pompe} = 40 - 200 Q^2\) indique que la hauteur maximale que la pompe peut atteindre (à débit nul) est de :

Glossaire

Courbe de Pompe
Relation, généralement fournie par le fabricant, entre le débit qu'une pompe peut fournir et la hauteur manométrique totale (HMT) qu'elle génère à ce débit.
Courbe de Réseau (ou Courbe Caractéristique du Système)
Relation entre le débit circulant dans un réseau et la hauteur totale que la pompe doit vaincre, qui est la somme de la hauteur géométrique et des pertes de charge.
Point de Fonctionnement
Point d'intersection entre la courbe de la pompe et la courbe du réseau, qui définit le débit et la hauteur réels auxquels le système va opérer.
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale (exprimée en mètres de colonne de fluide) fournie par la pompe au fluide. Elle correspond à la différence de pression entre le refoulement et l'aspiration de la pompe.
Hydraulique : Simulation du Remplissage d'un Réservoir avec une Pompe

D’autres exercices d’hydraulique en charge:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *