Section la plus Économique pour un Canal en Béton

Contexte : Le dimensionnement des canaux à surface libreCanaux où l'eau s'écoule avec une surface en contact avec l'atmosphère (rivières, canaux d'irrigation, égouts...)..

Lors de la conception d'un canal, l'objectif est de transporter un débit \(Q\) donné de manière efficace. La "section la plus économique" (ou hydrauliquement la plus efficiente) est celle qui, pour une section mouillée \(A\) donnée, minimise le périmètre mouilléLa longueur de la paroi du canal en contact avec l'eau. \(P\). Cela maximise le rayon hydrauliqueLe rapport A/P. Un grand rayon hydraulique signifie moins de frottements pour une même section. \(R_h = A/P\), et donc minimise les pertes de charge par frottement. Pour un canal en béton, cela signifie aussi minimiser la surface de revêtement, d'où le terme "économique".

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les conditions géométriques optimales pour un canal trapézoïdal et à utiliser la formule de Manning-Strickler pour le dimensionner.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de section hydrauliquement la plus économique.
Appliquer les formules de Manning-Strickler et du rayon hydraulique.
Calculer les dimensions (profondeur, largeur) d'un canal trapézoïdal optimal.
Déterminer le régime d'écoulement (Nombre de Froude).

Données de l'étude

Un canal en béton doit transporter un débit de 10 m³/s. Le canal a une forme trapézoïdale avec des parois inclinées dont le fruitL'inclinaison de la paroi, définie comme le rapport de la distance horizontale sur la distance verticale (m H / 1 V). est \(m = 1\). La pente du fond est \(S = 0.001\) (1 mm/m) et le coefficient de Strickler du béton est \(K = 70\) m¹/³/s.

Schéma d'un Canal Trapézoïdal

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	10	m³/s
Pente du canal	\(S\)	0.001	m/m
Coefficient de Strickler	\(K\)	70	m¹/³/s
Fruit de la paroi	\(m\)	1	(1H / 1V)

Questions à traiter

Rappeler les conditions géométriques d'une section trapézoïdale la plus économique (relation entre \(b\), \(z\) et \(m\), et formule du rayon hydraulique \(R_h\) en fonction de \(z\)).
En utilisant la formule de Manning-Strickler, calculer la profondeur d'eau \(z_n\) (tirant d'eau normal) pour cette section économique.
Déduire la largeur au fond \(b\) et la largeur au miroir \(B\).
Calculer la vitesse moyenne \(V\) de l'écoulement.
Calculer le Nombre de FroudeUn nombre sans dimension utilisé en hydraulique pour caractériser le régime d'écoulement (subcritique, critique, ou supercritique). \(Fr\) et déterminer le régime d'écoulement.

Les bases sur l'Hydraulique à Surface Libre

Avant de commencer, voici quelques rappels essentiels pour résoudre l'exercice.

1. Géométrie du Trapèze
Pour un canal trapézoïdal de largeur au fond \(b\), profondeur \(z\) et fruit \(m\) :

Section mouillée (Aire) \(A\) : \(A = (b + mz)z = bz + mz^2\)
Périmètre mouillé \(P\) : \(P = b + 2z\sqrt{1 + m^2}\) (longueur du fond + 2 fois la paroi inclinée)
Rayon hydraulique \(R_h\) : \(R_h = A / P\)
Largeur au miroir (en surface) \(B\) : \(B = b + 2mz\)

2. Formule de Manning-Strickler (Écoulement uniforme)
Cette formule empirique relie le débit à la géométrie et aux forces de frottement : \[ Q = A \cdot V = A \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot S^{1/2} \] Où :

\(Q\) : Débit (m³/s)
\(A\) : Section mouillée (m²)
\(K\) : Coefficient de Strickler (m¹/³/s) (dépend de la rugosité)
\(R_h\) : Rayon hydraulique (m)
\(S\) : Pente du fond (sans dimension, m/m)

3. Nombre de Froude (\(Fr\))
Ce nombre sans dimension compare la vitesse de l'écoulement (\(V\)) à la vitesse de propagation d'une onde (célérité, \(c = \sqrt{g D_h}\)). \[ Fr = \frac{V}{\sqrt{g D_h}} = \frac{V}{\sqrt{g (A/B)}} \] Où :

\(V\) : Vitesse moyenne (\(Q/A\)) (m/s)
\(g\) : Accélération de la gravité (≈ 9.81 m/s²)
\(D_h\) : Profondeur hydraulique (\(A/B\)) (m)
Si \(Fr < 1\) : Écoulement fluvial (subcritique)
Si \(Fr = 1\) : Écoulement critique
Si \(Fr > 1\) : Écoulement torrentiel (supercritique)

Correction : Section la plus Économique pour un Canal en Béton

Question 1 : Conditions géométriques de la section économique

Principe

Une section est dite "la plus économique" (ou hydrauliquement efficiente) si, pour une aire \(A\) et un fruit \(m\) donnés, elle minimise le périmètre mouillé \(P\). Minimiser \(P\) revient à maximiser le rayon hydraulique \(R_h = A/P\). Pour un débit \(Q\) et une pente \(S\) donnés, maximiser \(R_h\) permet de minimiser la section \(A\) nécessaire (d'après Manning : \(A \propto Q / R_h^{2/3}\)), et donc de minimiser les coûts de terrassement et de revêtement.

Mini-Cours

Pour trouver le minimum de \(P\) pour \(A\) constant, on utilise les dérivées. On exprime \(P\) en fonction d'une seule variable (par ex., \(z\)) en utilisant la contrainte \(A = \text{constante}\), puis on cherche \(dP/dz = 0\).
Pour un canal trapézoïdal, ce calcul mène à deux conditions fondamentales :

La section optimale peut s'inscrire dans un demi-cercle dont le centre est au milieu de la surface libre.
Condition 1 (universelle trapèze) : Le rayon hydraulique est égal à la moitié de la profondeur : \(R_h = z/2\).
Condition 2 (spécifique à m) : La largeur au fond \(b\) est liée à \(z\) par : \(b + 2mz = 2z\sqrt{1+m^2}\) (la largeur au miroir \(B\) est égale à la somme des deux parois inclinées). Cela se simplifie en : \(b = 2z(\sqrt{1+m^2} - m)\).

Remarque Pédagogique

Retenez surtout la condition \(R_h = z/2\). Elle est simple et s'applique à la fois aux trapèzes et aux rectangles (\(m=0\)). La deuxième condition sur \(b\) est juste une conséquence géométrique de la première.

Normes

Il ne s'agit pas d'une "norme" (type Eurocode) mais d'un principe fondamental d'optimisation hydraulique.

Formule(s)

Condition d'optimalité 1

R_h = \frac{z}{2}

Condition d'optimalité 2

b = 2z \left( \sqrt{1+m^2} - m \right)

Hypothèses

On suppose que le fruit \(m\) est fixé par des contraintes géotechniques (stabilité des talus). L'optimisation se fait sur la largeur au fond \(b\) et la profondeur \(z\).

Donnée(s)

L'énoncé nous donne \(m=1\).

Astuces

Pour \(m=1\) (pentes à 45°), la formule de \(b\) se simplifie : \(b = 2z(\sqrt{1+1^2} - 1) = 2z(\sqrt{2} - 1)\). Comme \(\sqrt{2} \approx 1.414\), on a \(b \approx 2z(0.414) \approx 0.828z\). C'est une relation très utile à retenir pour le cas \(m=1\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé illustre bien les variables \(b\), \(z\) et \(m\). L'objectif est de trouver une relation entre \(b\) et \(z\) quand \(m\) est fixé et la section est optimale. La condition d'optimalité signifie que la section peut s'inscrire dans un demi-cercle centré sur la surface libre.

Trapèze Optimal Inscrit (m=1)

Calcul(s)

Application de la Condition 2 avec \(m=1\)

\begin{aligned} b &= 2z \left( \sqrt{1+1^2} - 1 \right) \\ &= 2z \left( \sqrt{2} - 1 \right) \\ &\approx 2z (1.414 - 1) \\ &\approx 2z (0.414) \\ &\approx 0.828z \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On confirme la relation géométrique spécifique pour \(m=1\) : la largeur au fond \(b\) doit être environ 83% de la profondeur \(z\) pour que la section soit la plus économique.

Relation Géométrique (m=1)

Réflexions

Cette relation est purement géométrique. Elle ne dépend ni du débit, ni de la pente, ni de la rugosité. Tout canal trapézoïdal avec \(m=1\) qui respecte \(b \approx 0.828z\) est "économique", c'est-à-dire qu'il minimise le périmètre mouillé (et donc les frottements et la quantité de revêtement) pour une section donnée.

Points de vigilance

Ne pas confondre la condition \(R_h = z/2\) (valable pour tous les trapèzes et rectangles les plus économiques) et la condition sur \(b\) (qui dépend spécifiquement de \(m\)). Pour un autre fruit \(m\), la relation entre \(b\) et \(z\) changerait.

Points à retenir

La condition universelle de la section trapézoïdale la plus économique est \(R_h = z/2\).
La largeur \(b\) est ensuite fixée par le fruit \(m\) via \(b = 2z(\sqrt{1+m^2} - m)\).

Le saviez-vous ?

La section la plus économique de toutes est le demi-cercle, car le cercle minimise le périmètre pour une aire donnée. Un demi-hexagone (\(m=1/\sqrt{3}\)) s'en approche de très près (seulement ~1.5% de périmètre en plus pour la même aire) et est bien plus facile à construire en terrassement qu'un demi-cercle.

FAQ

Vous trouverez ici des réponses aux questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Les conditions sont \(R_h = z/2\) et \(b = 2z(\sqrt{1+m^2} - m)\). Pour \(m=1\), on a \(b \approx 0.828z\).

A vous de jouer

Pour un canal rectangulaire (\(m=0\)) le plus économique, si la profondeur \(z\) est de 1.5 m, quelle doit être la largeur \(b\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Optimisation géométrique \(P_{min}\) pour \(A\) constant \(\Rightarrow R_{h,max}\).
Formule Essentielle : \(R_h = z/2\) (universel trapèze/rectangle MES).
Application (\(m=1\)) : \(b \approx 0.828z\).

Question 2 : Calcul de la profondeur d'eau \(z_n\)

Principe

Maintenant que nous avons les relations géométriques de la section économique (\(A\) et \(R_h\) en fonction de \(z\)), nous pouvons les injecter dans la formule de Manning-Strickler. L'équation ne contiendra plus qu'une seule inconnue : la profondeur \(z\). En résolvant cette équation pour \(z\), nous trouverons la profondeur \(z_n\) (tirant d'eau normal) qui permet d'évacuer le débit \(Q\) donné.

Mini-Cours

On part de \(Q = A \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot S^{1/2}\).
On utilise les relations de la Q1 pour \(m=1\) :

\(R_h = z/2\)
\(b = 0.828z\)
On en déduit \(A = (b+mz)z = (0.828z + 1 \cdot z)z = 1.828z \cdot z = 1.828z^2\).

En substituant (1) et (3) dans Manning-Strickler, on obtient une équation de la forme \(Q = C \cdot z^{8/3}\), où C est une constante qui regroupe K, S, et les coefficients géométriques.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape de calcul la plus importante. On combine la géométrie (Q1) avec l'hydraulique (Manning) pour trouver la dimension principale du canal, \(z\). Toutes les autres dimensions (\(b\), \(B\), \(A\), \(P\)) en découleront.

Normes

La formule de Manning-Strickler est la "norme" de calcul en Europe pour les écoulements à surface libre en régime uniforme.

Formule(s)

Manning-Strickler

Q = A \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot S^{1/2}

Géométrie MES (m=1)

A \approx 1.828z^2 \quad \text{et} \quad R_h = z/2

Hypothèses

On suppose l'écoulement permanent et uniforme (la profondeur \(z_n\) est constante le long du canal). On suppose que le coefficient \(K=70\) est constant pour toute la section mouillée.

Donnée(s)

\(Q = 10\) m³/s, \(K = 70\) m¹/³/s, \(S = 0.001\), \(m=1\).

Astuces

L'équation finale sera de la forme \(Q = C \cdot z^{8/3}\) (car \(A \propto z^2\) et \(R_h^{2/3} \propto (z/2)^{2/3} \propto z^{2/3}\), donc le produit \(A \cdot R_h^{2/3}\) est proportionnel à \(z^2 \cdot z^{2/3} = z^{8/3}\)). Pour isoler \(z\), il suffira d'élever les deux membres à la puissance \(3/8\) : \(z = (Q/C)^{3/8}\).

Schéma (Avant les calculs)

On utilise la géométrie définie précédemment (\(m=1\), \(b \approx 0.828z\)). L'objectif est de trouver la valeur numérique de \(z\) qui satisfait l'équation de Manning-Strickler pour le débit \(Q\), la pente \(S\) et la rugosité \(K\) donnés.

Canal Économique (m=1) - Recherche de z

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution de \(A\) et \(R_h\) dans Manning-Strickler

Étape 2 : Regroupement des termes en \(z\) et des constantes

\begin{aligned} Q &= (1.828z^2) \cdot K \cdot \left(\frac{z}{2}\right)^{2/3} \cdot S^{1/2} \\ &= 1.828 \cdot z^2 \cdot K \cdot \frac{z^{2/3}}{2^{2/3}} \cdot S^{1/2} \\ &= \left( \frac{1.828}{2^{2/3}} \right) \cdot K \cdot S^{1/2} \cdot z^{(2 + 2/3)} \\ &= \left( \frac{1.828}{1.587} \right) \cdot K \cdot S^{1/2} \cdot z^{8/3} \\ &\approx 1.152 \cdot K \cdot S^{1/2} \cdot z^{8/3} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la constante \(C = 1.152 \cdot K \cdot S^{1/2}\)

\begin{aligned} C &= 1.152 \cdot 70 \cdot (0.001)^{1/2} \\ &= 1.152 \cdot 70 \cdot 0.03162 \\ &\approx 2.548 \end{aligned}

Étape 4 : Résolution pour \(z\)

\begin{aligned} 10 &= 2.548 \cdot z^{8/3} \\ z^{8/3} &= \frac{10}{2.548} \\ z^{8/3} &\approx 3.925 \\ z &= (3.925)^{3/8} \\ z &\approx 1.698 \text{ m} \end{aligned}

On arrondit généralement à 2 ou 3 chiffres significifs pour une dimension : \(z_n \approx 1.70\) m.

Schéma (Après les calculs)

On a maintenant la dimension verticale clé du canal : la profondeur d'eau sera d'environ 1.70 m lorsque le débit de 10 m³/s s'écoulera en régime uniforme.

Canal Économique (m=1) - Profondeur Calculée

Réflexions

Cette profondeur \(z_n \approx 1.70\) m est le "tirant d'eau normal", c'est-à-dire la hauteur d'eau que le canal adoptera naturellement en régime uniforme pour ce débit, cette pente, cette rugosité et avec cette géométrie économique spécifique (\(m=1\)). C'est la dimension principale à déterminer lors du dimensionnement.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est dans le calcul de l'exposant de \(z\). C'est bien \(z^{8/3}\). Attention aussi à utiliser la racine carrée de la pente \(S\) (\(S^{1/2}\)) et non \(S\). Vérifier la cohérence des unités : Q en m³/s, K en m¹/³/s, S sans dimension, A en m², Rh en m. Le calcul final doit donner z en m.

Points à retenir

La combinaison de Manning et de la géométrie MES mène à une équation de la forme \(Q = C \cdot z^{8/3}\) pour un trapèze.
La constante C dépend de K, S et m (ici \(C \approx 1.152 K S^{1/2}\) pour \(m=1\)).
La résolution se fait par \(z = (Q/C)^{3/8}\).

Le saviez-vous ?

Les logiciels de calcul hydraulique (comme HEC-RAS) n'utilisent pas cette méthode analytique directe, car elle n'est valable que pour la section économique. Ils résolvent numériquement l'équation \(Q - A(z) \cdot K \cdot [R_h(z)]^{2/3} \cdot S^{1/2} = 0\) pour n'importe quelle géométrie (\(A(z)\) et \(R_h(z)\) sont calculés pour chaque \(z\) testé), souvent par des méthodes itératives (dichotomie, Newton-Raphson).

FAQ

Vous trouverez ici des réponses aux questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La profondeur normale pour la section économique est \(z_n \approx 1.70\) m.

A vous de jouer

Recalculez la profondeur \(z_n\) si le coefficient de Strickler \(K\) était de 60 (béton plus rugueux) au lieu de 70.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Objectif : Trouver \(z_n\).
Équation : \(Q = (1.152 \cdot K \cdot S^{1/2}) \cdot z_n^{8/3}\) (pour \(m=1\)).
Résolution : \(z_n = (Q / (1.152 K S^{1/2}))^{3/8}\).
Résultat : \(z_n \approx 1.70\) m.

Question 3 : Calcul de la largeur au fond \(b\) et au miroir \(B\)

Principe

Maintenant que la profondeur d'eau \(z_n\) correspondant au régime uniforme pour la section économique est connue, il suffit d'appliquer les formules géométriques qui relient les largeurs à cette profondeur, en utilisant la condition d'optimalité (Q1) et la définition géométrique du trapèze.

Mini-Cours

La largeur au fond \(b\) est directement liée à \(z\) par la condition d'optimalité trouvée à la Q1. La largeur au miroir \(B\) (largeur de la surface libre) se déduit de \(b\) et \(z\) par la géométrie simple du trapèze : \(B = b + 2mz\).

Remarque Pédagogique

C'est une application numérique directe des résultats des questions 1 et 2. Il faut juste veiller à utiliser les bonnes formules et la valeur de \(z_n\) calculée.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit de calcul géométrique.

Formule(s)

Largeur au fond (Condition économique Q1, pour m=1)

b \approx 0.828z

Largeur au miroir (Géométrie du trapèze)

\[ B = b + 2mz \]

Hypothèses

On utilise la profondeur normale calculée à la question précédente, \(z_n \approx 1.70\) m, et le fruit \(m=1\) donné dans l'énoncé.

Donnée(s)

\(z_n \approx 1.70\) m et \(m=1\).

Astuces

On peut aussi exprimer B directement en fonction de z : \(B = 0.828z + 2(1)z = 2.828z\). Pour \(m=1\), la largeur au miroir est environ 2.83 fois la profondeur.

Schéma (Avant les calculs)

En se référant au schéma de l'énoncé et au résultat de la Q2 (\(z \approx 1.70\) m), nous cherchons maintenant \(b\) (la base du bas) et \(B\) (la base du haut, au niveau de l'eau) en utilisant les relations géométriques.

Canal Économique (m=1) - Recherche de b et B

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(b\)

\begin{aligned} b &= 0.828 \cdot z_n \\ &\approx 0.828 \cdot 1.698 \\ &\approx 1.406 \text{ m} \end{aligned}

On arrondit à \(b \approx 1.41\) m.

Étape 2 : Calcul de \(B\)

\begin{aligned} B &= b + 2mz_n \\ &\approx 1.406 + 2 \cdot 1 \cdot 1.698 \\ &= 1.406 + 3.396 \\ &= 4.802 \text{ m} \end{aligned}

On arrondit à \(B \approx 4.80\) m.

Schéma (Après les calculs)

Le canal a une largeur au fond de 1.41 m, une profondeur de 1.70 m et une largeur en surface (au miroir) de 4.80 m. Ces trois dimensions définissent complètement la section mouillée optimale pour les conditions données.

Canal Économique (m=1) - Dimensions Finales

Réflexions

On remarque que la largeur au miroir \(B\) (\(4.80\) m) est significativement plus grande que la largeur au fond \(b\) (\(1.41\) m), ce qui est caractéristique d'un trapèze avec un fruit \(m=1\) (pentes à 45°). La différence \(B-b = 3.39\) m est bien égale à \(2mz = 2 \times 1 \times 1.70 = 3.40\) m (aux arrondis près).

Points de vigilance

Ne pas oublier le facteur "2" dans la formule de la largeur au miroir \(B = b + 2mz\), car il y a une contribution \(mz\) de chaque côté du trapèze. Vérifier que \(b\) est positif, ce qui est garanti par la formule si \(m\) n'est pas trop grand (\(\sqrt{1+m^2} > m\), ce qui est toujours vrai).

Points à retenir

Une fois \(z_n\) calculé, les largeurs s'obtiennent par application directe des formules géométriques.
\(b\) dépend de la condition économique et de \(m\).
\(B\) dépend de \(b\), \(m\) et \(z\).

Le saviez-vous ?

Dans la pratique, on ajoute souvent une "revanche" (hauteur supplémentaire au-dessus du niveau d'eau normal \(z_n\)) pour éviter les débordements dus aux vagues, aux variations de débit ou aux incertitudes de calcul. La hauteur totale du canal est donc supérieure à \(z_n\).

FAQ

Vous trouverez ici des réponses aux questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La largeur au fond est \(b \approx 1.41\) m et la largeur au miroir est \(B \approx 4.80\) m.

A vous de jouer

Si la profondeur économique \(z_n\) était de 2.0 m (toujours avec \(m=1\)), quelle serait la largeur au miroir \(B\) ? (Indice: \(b \approx 0.828 \times 2 = 1.656\) m)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Objectif : Calculer \(b\) et \(B\) à partir de \(z_n\).
Formules (m=1) : \(b \approx 0.828z_n\) et \(B = b + 2z_n\).
Résultats : \(b \approx 1.41\) m, \(B \approx 4.80\) m.

Question 4 : Calcul de la vitesse moyenne \(V\)

Principe

La vitesse moyenne \(V\) de l'écoulement dans le canal est directement liée au débit \(Q\) et à la section mouillée \(A\) par l'équation fondamentale de continuité (conservation du débit volumique).

Mini-Cours

L'équation de continuité, \(Q = A \cdot V\), stipule que le débit (en m³/s) qui traverse une section est égal au produit de l'aire de cette section (en m²) par la vitesse moyenne (en m/s) du fluide à travers elle. C'est l'une des équations les plus importantes en mécanique des fluides.

Remarque Pédagogique

Puisque le débit \(Q\) est une donnée et que nous avons calculé la section \(A\) correspondant à \(z_n\), le calcul de la vitesse \(V\) est immédiat par simple division.

Normes

Il n'y a pas de norme directe pour ce calcul, mais des recommandations existent sur les vitesses maximales ou minimales admissibles dans les canaux pour éviter l'érosion (si trop rapide) ou la sédimentation (si trop lente), en fonction du matériau du canal et de la nature de l'eau transportée.

Formule(s)

Continuité

V = \frac{Q}{A}

Section (calculée précédemment, pour \(z_n \approx 1.698\) m)

A = 1.828z_n^2 \approx 1.828 \times (1.698)^2 \approx 5.275 \text{ m}^2

Note : Utiliser la valeur non arrondie de \(z_n\) pour plus de précision.

Hypothèses

On suppose que la vitesse calculée est la vitesse moyenne sur toute la section. En réalité, la vitesse est nulle sur les parois (condition d'adhérence) et maximale près de la surface libre, au centre.

Donnée(s)

On utilise le débit \(Q = 10\) m³/s et la section \(A \approx 5.275\) m² calculée à partir de \(z_n \approx 1.698\) m.

Astuces

On peut aussi calculer la vitesse directement avec la formule de Manning-Strickler sous la forme \(V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot S^{1/2}\). Avec \(R_h = z_n/2 = 1.698/2 = 0.849\) m, on obtient : \(V = 70 \cdot (0.849)^{2/3} \cdot (0.001)^{1/2} = 70 \cdot 0.898 \cdot 0.03162 \approx 1.986\) m/s. Cette méthode est utile pour vérifier le calcul de A ou si A n'est pas directement nécessaire. L'écart entre \(Q/A\) et cette formule vient des arrondis cumulés et de l'approximation de \(b\).

Schéma (Avant les calculs)

On utilise la section complètement dimensionnée (\(z, b, B\)) et le débit \(Q\) pour calculer la vitesse moyenne \(V\) de l'eau qui traverse cette section.

Calcul de Vitesse Moyenne

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la section \(A\) (avec \(z_n = 1.698\) m)

\begin{aligned} A &= 1.828 \cdot (1.698)^2 \\ &= 1.828 \cdot 2.883 \\ &\approx 5.271 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(V\) avec la continuité

\begin{aligned} V &= \frac{Q}{A} \\ &= \frac{10 \text{ m}^3/\text{s}}{5.271 \text{ m}^2} \\ &\approx 1.897 \text{ m/s} \end{aligned}

On arrondit à \(V \approx 1.90\) m/s.

(Note: La légère différence avec l'astuce (1.99 vs 1.90) persiste. Cela vient principalement de l'arrondi initial sur le coefficient 0.828 pour b. Si on utilise \(b = 2z(\sqrt{2}-1)\) et \(A = (b+z)z = (2z(\sqrt{2}-1)+z)z = (2\sqrt{2}-2+1)z^2 = (2\sqrt{2}-1)z^2 \approx 1.8284 z^2\). L'écart est minime. La méthode \(V=Q/A\) est la définition de la vitesse moyenne.)

Schéma (Après les calculs)

Le calcul donne la vitesse moyenne de l'écoulement à travers la section.

Vitesse Moyenne Calculée

Réflexions

Une vitesse moyenne de 1.90 m/s (environ 6.8 km/h) est relativement élevée pour un canal en béton. Pour des canaux en terre, on viserait plutôt des vitesses inférieures à 1 m/s pour limiter l'érosion. Pour le béton, cette vitesse est acceptable.

Points de vigilance

Assurer la cohérence des unités : Q en m³/s, A en m², V en m/s. Ne pas utiliser de valeurs arrondies des étapes précédentes pour les calculs intermédiaires si possible, pour limiter l'accumulation des erreurs.

Points à retenir

La vitesse moyenne est définie par \(V = Q / A\).
Elle peut aussi être calculée par \(V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot S^{1/2}\). Les deux doivent donner des résultats très proches.

Le saviez-vous ?

La distribution réelle des vitesses dans un canal n'est pas uniforme. Elle est nulle sur les parois (rugosité) et maximale légèrement sous la surface libre, au centre du canal. La vitesse moyenne \(V\) est une moyenne spatiale sur toute la section mouillée \(A\).

FAQ

Vous trouverez ici des réponses aux questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La vitesse moyenne de l'écoulement est \(V \approx 1.90\) m/s.

A vous de jouer

Si le débit \(Q\) était de 12 m³/s et la section \(A\) de 6.0 m², quelle serait la vitesse \(V\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Objectif : Calculer la vitesse \(V\).
Formule : \(V = Q / A\) (ou \(V = K R_h^{2/3} S^{1/2}\)).
Résultat : \(V \approx 1.90\) m/s.

Question 5 : Calcul du Nombre de Froude \(Fr\) et régime

Principe

Le Nombre de Froude est un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie (liées à la vitesse \(V\)) aux forces de gravité (liées à la profondeur). Il permet de déterminer si l'écoulement est "fluvial" (calme, subcritique, \(Fr < 1\)) ou "torrentiel" (rapide, supercritique, \(Fr > 1\)). La vitesse de référence pour la gravité est la célérité \(c\) d'une petite onde de surface, qui dépend de la "profondeur hydraulique" \(D_h\).

Mini-Cours

Le Nombre de Froude est \(Fr = V / c\), où \(c = \sqrt{g D_h}\).
La profondeur hydraulique \(D_h\) est définie comme le rapport de la section mouillée \(A\) sur la largeur de la surface libre (largeur au miroir) \(B\). \[ D_h = \frac{A}{B} = \frac{(b+mz)z}{b+2mz} \] Une fois \(D_h\) calculée, on calcule \(Fr = V / \sqrt{g D_h}\) et on conclut :

\(Fr < 1 \Rightarrow\) Régime Fluvial (Subcritique)
\(Fr > 1 \Rightarrow\) Régime Torrentiel (Supercritique)

Remarque Pédagogique

Attention, ne confondez pas la profondeur hydraulique \(D_h = A/B\) avec le rayon hydraulique \(R_h = A/P\). Ce sont deux grandeurs différentes qui servent à des calculs différents : \(R_h\) pour les frottements (Manning) et \(D_h\) pour la gravité (Froude).

Normes

La classification des régimes (subcritique, critique, supercritique) basée sur \(Fr=1\) est un standard universel en hydraulique à surface libre.

Formule(s)

Profondeur Hydraulique

D_h = \frac{A}{B}

Nombre de Froude

Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot D_h}}

Hypothèses

On utilise les valeurs de \(V\), \(A\) et \(B\) calculées aux étapes précédentes. On prend \(g = 9.81\) m/s².

Donnée(s)

\(V \approx 1.897\) m/s, \(A \approx 5.271\) m², \(B \approx 4.802\) m, \(g = 9.81\) m/s².

Astuces

Pour un canal rectangulaire large (\(b \gg z\)), \(A \approx bz\) et \(B=b\), donc \(D_h = A/B \approx z\). Dans ce cas simplifié, \(Fr \approx V/\sqrt{gz}\). Pour notre trapèze, \(D_h\) sera inférieur à \(z\).

Schéma (Avant les calculs)

Avec la vitesse \(V\) et les dimensions \(A\) et \(B\), on peut calculer la profondeur hydraulique \(D_h = A/B\) puis le nombre de Froude \(Fr = V / \sqrt{g D_h}\) pour déterminer le régime.

Calcul du Nombre de Froude

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la profondeur hydraulique \(D_h\)

\begin{aligned} D_h &= \frac{A}{B} \\ &\approx \frac{5.271 \text{ m}^2}{4.802 \text{ m}} \\ &\approx 1.098 \text{ m} \end{aligned}

Comme prévu, \(D_h \approx 1.10\) m est inférieur à \(z_n \approx 1.70\) m.

Étape 2 : Calcul de \(Fr\)

\begin{aligned} Fr &= \frac{V}{\sqrt{g \cdot D_h}} \\ &\approx \frac{1.897}{\sqrt{9.81 \cdot 1.098}} \\ &\approx \frac{1.897}{\sqrt{10.77}} \\ &\approx \frac{1.897}{3.282} \\ &\approx 0.578 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(Fr \approx 0.58\) est inférieur à 1, ce qui indique un régime subcritique (fluvial).

Régime d'Écoulement (Subcritique)

Réflexions

Puisque \(Fr \approx 0.58\), on a \(Fr < 1\). L'écoulement est donc fluvial (ou subcritique). C'est un écoulement relativement calme, où la vitesse de l'eau est inférieure à la célérité (vitesse de propagation) des petites ondes de surface. Ce régime est généralement souhaité pour les canaux de navigation ou d'irrigation pour assurer une surface calme et limiter l'érosion.

Points de vigilance

Ne pas confondre la profondeur hydraulique \(D_h = A/B\) (utilisée pour le Froude) avec la profondeur d'eau \(z\) ou le rayon hydraulique \(R_h = A/P\) (utilisé pour Manning). Ce sont trois longueurs caractéristiques différentes, sauf cas très particuliers (rectangle très large).

Points à retenir

Le Nombre de Froude \(Fr = V / \sqrt{g D_h}\) caractérise le régime d'écoulement.
\(D_h = A/B\) est la profondeur hydraulique.
\(Fr < 1\) : Fluvial / Subcritique.
\(Fr > 1\) : Torrentiel / Supercritique.

Le saviez-vous ?

Le passage d'un régime torrentiel (\(Fr>1\)) à un régime fluvial (\(Fr<1\)) se fait brusquement par un phénomène appelé "ressaut hydraulique", une sorte de vague stationnaire où l'eau perd beaucoup d'énergie (dissipation turbulente). Ce phénomène est utilisé dans les ouvrages hydrauliques (pieds de barrages) pour dissiper l'énergie de l'eau avant de la restituer à la rivière.

FAQ

Vous trouverez ici des réponses aux questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le nombre de Froude est \(Fr \approx 0.58\). L'écoulement est subcritique (fluvial).

A vous de jouer

Si la vitesse était de 4 m/s (pour la même géométrie, \(D_h \approx 1.098\) m), quel serait le régime ? (\(Fr = 4 / \sqrt{9.81 \times 1.098} \approx 4 / 3.282 \approx 1.22\)) Entrez 1 pour Subcritique, 2 pour Supercritique, 3 pour Critique.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Objectif : Déterminer le régime d'écoulement.
Formules : \(D_h = A/B\), \(Fr = V / \sqrt{g D_h}\).
Interprétation : \(Fr < 1 \rightarrow\) Subcritique (Fluvial).
Résultat : \(Fr \approx 0.58\).

Outil Interactif : Simulateur de Canal Économique (m=1)

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit \(Q\) et la pente \(S\) du canal (avec \(m=1\) et \(K=70\)). Observez comment les dimensions optimales (\(z_n\), \(b\)) et les caractéristiques de l'écoulement (\(V\), \(Fr\)) sont affectées.

Paramètres d'Entrée

Débit \(Q\) (m³/s) 10 m³/s

Pente \(S\) (‰ ou mm/m) 1.0 ‰

Résultats Clés

Profondeur \(z_n\) (m) -

Largeur fond \(b\) (m) -

Vitesse \(V\) (m/s) -

Nombre de Froude \(Fr\) -

Glossaire

Canal à surface libre: Canal où l'eau s'écoule avec une surface en contact avec l'atmosphère (rivières, canaux d'irrigation, égouts...).
Écoulement Subcritique (Fluvial): Régime d'écoulement lent et profond, où \(Fr < 1\). Les ondes peuvent remonter le courant.
Écoulement Supercritique (Torrentiel): Régime d'écoulement rapide et peu profond, où \(Fr > 1\). Les ondes sont emportées vers l'aval.
Fruit (\(m\)): L'inclinaison de la paroi, définie comme le rapport de la distance horizontale sur la distance verticale (m H / 1 V). \(m=1\) correspond à une pente à 45°.
Nombre de Froude (\(Fr\)): Un nombre sans dimension (\(Fr = V / \sqrt{g D_h}\)) qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il détermine le régime d'écoulement.
Périmètre Mouillé (\(P\)): La longueur de la paroi du canal et du fond en contact avec l'eau (en m).
Profondeur Hydraulique (\(D_h\)): Le rapport de la section mouillée sur la largeur au miroir (\(D_h = A / B\)). Représente une profondeur moyenne pour la propagation des ondes.
Rayon Hydraulique (\(R_h\)): Le rapport de la section mouillée sur le périmètre mouillé (\(R_h = A / P\)). Il mesure l'efficacité hydraulique (en m).
Régime uniforme: État d'écoulement où la profondeur, la section mouillée et la vitesse restent constantes le long du canal. Cela se produit lorsque les forces motrices (gravité) équilibrent exactement les forces de frottement.
Section la plus économique (MES): Pour une aire donnée, c'est la forme de section qui minimise le périmètre mouillé (maximise \(R_h\)). Pour un trapèze, cela correspond à \(R_h = z/2\).
Tirant d'eau normal (\(z_n\)): La profondeur d'eau atteinte en régime uniforme pour un débit, une pente, une rugosité et une géométrie de canal donnés.