Section la plus Économique pour un Canal en Béton

Calcul de la Section la plus Économique pour un Canal en Béton

Comprendre la Section Économique

Lors de la conception d'un canal, l'objectif est de transporter un débit donné avec une efficacité maximale. La section la plus économique (ou profil hydrauliquement le plus avantageux) est celle qui, pour une aire de section et une pente données, minimise le périmètre mouillé. Un périmètre mouillé minimal réduit les forces de frottement entre l'eau et les parois du canal, ce qui maximise la vitesse et donc le débit. Pour les canaux revêtus (comme en béton), minimiser le périmètre mouillé permet aussi de minimiser la quantité de matériaux nécessaires, et donc le coût de construction. Pour une section trapézoïdale, il est démontré que la forme la plus économique est un demi-hexagone régulier.

Données de l'étude

On souhaite concevoir un canal d'irrigation en béton de forme trapézoïdale pour qu'il soit le plus économique possible.

Caractéristiques du projet :

Débit à transporter (\(Q\)) : \(15 \, \text{m}^3/\text{s}\).
Pente du canal (\(S_0\)) : \(0.0008\).
Coefficient de Manning pour le béton (\(n\)) : \(0.014 \, \text{s}/\text{m}^{1/3}\).

Schéma : Section Trapézoïdale

Questions à traiter

Établir les relations géométriques de la section trapézoïdale la plus économique (un demi-hexagone).
En utilisant ces relations et la formule de Manning, déterminer la hauteur normale d'eau (\(y\)).
Calculer la largeur du radier (\(b\)) et la largeur au miroir (\(B\)).
Vérifier la vitesse de l'écoulement.

Correction : Calcul de la Section la plus Économique pour un Canal en Béton

Question 1 : Relations Géométriques de la Section Optimale

Principe :

Pour une section trapézoïdale, le périmètre mouillé est minimal pour une aire donnée lorsque la section est un demi-hexagone régulier. Cette condition implique que les côtés obliques ont la même longueur que la base (radier) et que le rayon hydraulique est égal à la moitié de la profondeur d'eau.

Formule(s) géométriques :

Pour un demi-hexagone, l'angle des talus est de 60°, ce qui donne une pente de talus \(m = \cot(60^\circ) = 1/\sqrt{3} \approx 0.577\).

b = \frac{2y}{\sqrt{3}} \quad | \quad A = \sqrt{3} y^2 \quad | \quad P = 2\sqrt{3} y \quad | \quad R_h = \frac{A}{P} = \frac{y}{2}

Question 2 : Détermination de la Hauteur Normale (\(y\))

Principe :

On injecte les relations de la section économique dans la formule de Manning-Strickler et on isole la seule inconnue restante, la hauteur d'eau \(y\).

Formule(s) utilisée(s) :

Q = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_0^{1/2}

Calcul :

\begin{aligned} Q &= \frac{1}{n} (\sqrt{3}y^2) \left(\frac{y}{2}\right)^{2/3} \sqrt{S_0} \\ 15 &= \frac{1}{0.014} (\sqrt{3}y^2) \left(\frac{y^{2/3}}{2^{2/3}}\right) \sqrt{0.0008} \\ 15 &= \frac{\sqrt{3}}{0.014 \cdot 2^{2/3}} \sqrt{0.0008} \cdot y^{2 + 2/3} \\ 15 &= \frac{1.732}{0.014 \cdot 1.587} \times 0.0283 \cdot y^{8/3} \\ 15 &= 77.9 \times 0.0283 \cdot y^{8/3} \\ 15 &\approx 2.205 \cdot y^{8/3} \\ y^{8/3} &= \frac{15}{2.205} \approx 6.80 \\ y &= (6.80)^{3/8} \approx 1.95 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La hauteur d'eau optimale est \(y \approx 1.95 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul des Largeurs du Canal

Principe :

Une fois la hauteur d'eau optimale déterminée, on utilise les relations géométriques du demi-hexagone pour trouver la largeur du fond (radier) et la largeur à la surface libre (miroir).

Calcul :

Largeur du radier (\(b\)) :

b = \frac{2y}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 1.95}{1.732} \approx 2.25 \, \text{m}

Largeur au miroir (\(B_{miroir}\)) : \(B_{miroir} = b + 2my\)

\begin{aligned} B_{miroir} &= 2.25 + 2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times 1.95 \\ &= 2.25 + 2.25 = 4.50 \, \text{m} \end{aligned}

La largeur du radier est \(b \approx 2.25 \, \text{m}\).
La largeur au miroir est \(B_{miroir} = 4.50 \, \text{m}\).

Question 4 : Vérification de la Vitesse

Principe :

Il est important de vérifier que la vitesse de l'écoulement n'est ni trop faible (pour éviter la sédimentation) ni trop forte (pour éviter l'érosion du béton). On la calcule simplement avec la relation de continuité.

Calcul :

Aire de la section (\(A\)) :

A = \sqrt{3} y^2 = \sqrt{3} \times (1.95)^2 \approx 6.58 \, \text{m}^2

Vitesse (\(V\)) :

\begin{aligned} V &= \frac{Q}{A} = \frac{15 \, \text{m}^3/\text{s}}{6.58 \, \text{m}^2} \\ &\approx 2.28 \, \text{m/s} \end{aligned}

Cette vitesse est généralement acceptable pour un canal en béton.

Résultat Question 4 : La vitesse de l'écoulement est d'environ 2.28 m/s.

D’autres exercices d’hydraulique à surface libre:

Section la plus Économique pour un Canal en Béton

Données de l'étude

Schéma : Section Trapézoïdale

Questions à traiter

Correction : Calcul de la Section la plus Économique pour un Canal en Béton

Question 1 : Relations Géométriques de la Section Optimale

Principe :

Formule(s) géométriques :

Question 2 : Détermination de la Hauteur Normale (\(y\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 3 : Calcul des Largeurs du Canal

Principe :

Calcul :

Question 4 : Vérification de la Vitesse

Principe :

Calcul :

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