ÉTUDE HYDRAULIQUE

Routage d’une Crue avec la Méthode Muskingum

Hydraulique : Routage d'une Crue dans une Rivière avec la Méthode Muskingum

Routage d'une Crue dans une Rivière avec la Méthode Muskingum

Contexte : Prédire la Propagation des Crues

Lorsqu'une forte pluie s'abat sur un bassin versant, le débit de la rivière à l'amont augmente rapidement, formant une onde de crue. Cette onde ne se déplace pas instantanément vers l'aval ; elle se propage et se déforme. Le routage de crueEnsemble des méthodes hydrologiques ou hydrauliques permettant de calculer l'hydrogramme de sortie d'un bief de rivière ou d'un réservoir, à partir de l'hydrogramme d'entrée. est le processus de calcul qui permet de prédire comment l'hydrogramme (le graphique du débit en fonction du temps) se transforme en se propageant. La méthode Muskingum est une méthode hydrologique simple et très utilisée qui modélise deux phénomènes clés : la translation de l'onde et son atténuationPhénomène de réduction de l'amplitude (le débit de pointe) et d'étalement dans le temps d'une onde de crue, dû au stockage temporaire de l'eau dans le lit et les plaines d'inondation., due au stockage temporaire de l'eau dans le bief de la rivière.

Remarque Pédagogique : Ce problème est fondamental pour la prévision des inondations. En sachant comment une crue va s'atténuer et se décaler dans le temps, les gestionnaires de ressources en eau peuvent anticiper les niveaux d'eau en aval, émettre des alertes et prendre des mesures de protection. La méthode Muskingum, bien que simplifiée, capture l'essence de ce processus de stockage et de déstockage de l'eau dans un tronçon de rivière.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre les concepts d'hydrogramme, de propagation et d'atténuation d'une crue.
  • Appliquer la méthode Muskingum pour le routage de crue.
  • Calculer les coefficients de routage (C0, C1, C2) à partir des paramètres K et x.
  • Utiliser l'équation de routage de manière itérative pour calculer un hydrogramme de sortie.
  • Analyser les résultats pour quantifier l'atténuation du pic de crue et le temps de propagation.

Données de l'étude

On souhaite router l'hydrogramme de crue entrant (Inflow) dans un bief de rivière. Les paramètres de Muskingum pour ce bief ont été estimés à \(K = 3 \, \text{heures}\) et \(x = 0.2\). Le pas de temps pour le calcul est \(\Delta t = 1 \, \text{heure}\). L'hydrogramme d'entrée est donné dans le tableau ci-dessous.

Schéma du Routage d'Hydrogramme
Entrée (I) Bief (K, x) Sortie (O)

Donnée(s) : Hydrogramme d'Entrée

Temps (h)Débit Entrant I (m³/s)
010
120
250
380
465
540
625
715
810

Questions à traiter

  1. Calculer les coefficients de routage de Muskingum \(C_0, C_1, C_2\).
  2. En supposant que le débit de sortie est initialement égal au débit d'entrée (\(O_0 = I_0 = 10 \, \text{m}^3/\text{s}\)), appliquer l'équation de Muskingum pour calculer l'hydrogramme de sortie jusqu'à t=8h.
  3. Comparer les hydrogrammes d'entrée et de sortie : quel est le débit de pointe en sortie et à quelle heure arrive-t-il ? Quelle est l'atténuation du pic de crue ?

Correction : Routage d'une Crue avec la Méthode Muskingum

Question 1 : Calcul des Coefficients de Routage

Principe :
K, x, Δt Discrétisation C0, C1, C2

La méthode de Muskingum repose sur une équation de conservation de la masse discrétisée dans le temps. Pour faciliter le calcul itératif, on pré-calcule trois coefficients, \(C_0, C_1, C_2\), qui dépendent uniquement des paramètres du bief (\(K\), \(x\)) et du pas de temps de calcul \(\Delta t\). La somme de ces coefficients doit toujours être égale à 1.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le choix du pas de temps \(\Delta t\) est important. Pour assurer la stabilité numérique et la validité de la méthode, il doit respecter la condition \(2Kx < \Delta t \le K\). Si \(\Delta t\) est trop grand, la méthode devient imprécise ; s'il est trop petit, elle peut devenir instable.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D = 2K(1-x) + \Delta t \]
\[ C_0 = \frac{-2Kx + \Delta t}{D} \]
\[ C_1 = \frac{2Kx + \Delta t}{D} \]
\[ C_2 = \frac{2K(1-x) - \Delta t}{D} \]
Donnée(s) :
  • \(K = 3 \, \text{h}\)
  • \(x = 0.2\)
  • \(\Delta t = 1 \, \text{h}\)
Calcul(s) :

1. Calcul du dénominateur D :

\[ \begin{aligned} D &= 2 \times 3 \times (1-0.2) + 1 \\ &= 6 \times 0.8 + 1 \\ &= 4.8 + 1 \\ &= 5.8 \end{aligned} \]

2. Calcul des coefficients :

\[ C_0 = \frac{-2 \times 3 \times 0.2 + 1}{5.8} = \frac{-1.2+1}{5.8} \approx -0.0345 \]
\[ C_1 = \frac{2 \times 3 \times 0.2 + 1}{5.8} = \frac{1.2+1}{5.8} \approx 0.3793 \]
\[ C_2 = \frac{2 \times 3 \times (1-0.2) - 1}{5.8} = \frac{4.8-1}{5.8} \approx 0.6552 \]

Vérification : \(C_0+C_1+C_2 = -0.0345 + 0.3793 + 0.6552 = 1.0\).

Points de vigilance :

Stabilité des coefficients : Pour que la méthode soit stable, tous les coefficients doivent être positifs. Ici, \(C_0\) est négatif, ce qui est théoriquement un signe d'instabilité potentielle. Cela se produit car la condition \(2Kx < \Delta t\) n'est pas respectée (\(2 \times 3 \times 0.2 = 1.2\), ce qui n'est pas inférieur à \(\Delta t = 1\)). En pratique, pour des valeurs légèrement négatives, le calcul peut rester acceptable, mais il faut être conscient de cette limitation.

Le saviez-vous ?

La méthode Muskingum a été développée dans les années 1930 pour le projet d'aménagement de la rivière Muskingum dans l'Ohio, aux États-Unis. C'était l'un des premiers grands projets de gestion intégrée de l'eau, combinant la protection contre les inondations, la navigation et la conservation de l'eau.

FAQ en rapport avec la question :
Que représentent physiquement K et x ?

K est le "temps de stockage" du bief, qui représente le temps de parcours de l'onde de crue. Il est proportionnel à la longueur du bief. x est un "facteur de pondération" sans dimension (entre 0 et 0.5) qui représente l'importance relative de l'effet de translation par rapport à l'effet de stockage. Un x de 0 représente un réservoir pur (uniquement du stockage), tandis qu'un x de 0.5 représente un canal pur (uniquement de la translation).

Résultat : \(C_0 \approx -0.0345\), \(C_1 \approx 0.3793\), \(C_2 \approx 0.6552\).

Question 2 : Application de l'Équation de Routage

Principe :
I(t-1) I(t) O(t-1) O(t)

L'équation de routage de Muskingum permet de calculer le débit de sortie \(O_t\) à un instant \(t\) en fonction du débit d'entrée à cet instant (\(I_t\)), du débit d'entrée à l'instant précédent (\(I_{t-1}\)), et du débit de sortie à l'instant précédent (\(O_{t-1}\)). On applique cette formule de manière itérative, ligne par ligne dans un tableau, pour construire l'hydrogramme de sortie complet.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette méthode est un exemple de "modèle boîte noire" en hydrologie. Elle ne décrit pas les processus physiques détaillés de l'écoulement, mais elle reproduit le comportement global du système (stockage et translation) de manière efficace. Sa simplicité en a fait un outil de base pour les hydrologues pendant des décennies.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ O_t = C_0 I_t + C_1 I_{t-1} + C_2 O_{t-1} \]
Donnée(s) :
  • Hydrogramme d'entrée \(I_t\) (voir tableau de l'énoncé).
  • Coefficients \(C_0, C_1, C_2\) calculés précédemment.
  • Condition initiale : \(O_0 = I_0 = 10 \, \text{m}^3/\text{s}\).
Calcul(s) :

On construit une table de routage. Ligne 1 (t=1h) :

\[ \begin{aligned} O_1 &= (-0.0345 \times 20) + (0.3793 \times 10) + (0.6552 \times 10) \\ &= -0.69 + 3.793 + 6.552 \\ &\approx 9.66 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

On continue ainsi pour chaque pas de temps. Le tableau complet est :

Temps (h)I (m³/s)\(C_0 I_t\)\(C_1 I_{t-1}\)\(C_2 O_{t-1}\)O (m³/s)
010---10.00
120-0.693.796.559.65
250-1.737.596.3212.18
380-2.7618.977.9824.19
465-2.2430.3415.8543.95
540-1.3824.6528.7952.06
625-0.8615.1734.1148.42
715-0.529.4831.7240.68
810-0.345.6926.6632.01
Points de vigilance :

Report des valeurs : Le calcul est itératif. Une erreur sur une ligne se propage à toutes les lignes suivantes. Il faut être très méticuleux en reportant la valeur de \(O_{t-1}\) de la ligne précédente pour calculer la nouvelle valeur \(O_t\).

Résultat : L'hydrogramme de sortie est calculé dans le tableau ci-dessus.

Question 3 : Analyse de l'Hydrogramme de Sortie

Principe :
Lag Atténuation

En comparant l'hydrogramme de sortie à celui d'entrée, on observe deux effets principaux : l'atténuation (le débit de pointe en sortie est plus faible que celui en entrée) et le décalage (le pic de crue arrive plus tard en aval). On quantifie ces deux effets en relevant les valeurs maximales et leurs temps d'occurrence sur les deux hydrogrammes.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'atténuation est une bonne nouvelle pour les zones en aval, car elle réduit le risque d'inondation. Ce phénomène de "laminage" naturel est ce que les ingénieurs cherchent à reproduire artificiellement avec des bassins de rétention ou en restaurant des zones humides le long des cours d'eau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Atténuation} = Q_{\text{pic, entrée}} - Q_{\text{pic, sortie}} \]
\[ \text{Décalage} = T_{\text{pic, sortie}} - T_{\text{pic, entrée}} \]
Donnée(s) :
  • Hydrogramme d'entrée : Pic de \(80 \, \text{m}^3/\text{s}\) à t=3h.
  • Hydrogramme de sortie (calculé) : Pic de \(52.06 \, \text{m}^3/\text{s}\) à t=5h.
Calcul(s) :

1. Débit de pointe en sortie :

\[ Q_{\text{pic, sortie}} \approx 52.1 \, \text{m}^3/\text{s} \text{ (à t=5h)} \]

2. Atténuation du pic :

\[ \begin{aligned} \text{Atténuation} &= 80 - 52.1 \\ &= 27.9 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

3. Décalage temporel :

\[ \begin{aligned} \text{Décalage} &= 5\text{h} - 3\text{h} \\ &= 2 \, \text{heures} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Précision du pic : Le pic de l'hydrogramme de sortie peut se produire entre deux pas de temps. La valeur maximale calculée est une estimation du vrai pic. Un pas de temps plus fin donnerait une meilleure estimation, mais au prix d'un calcul plus long.

Le saviez-vous ?

L'urbanisation (imperméabilisation des sols) a un effet inverse à l'atténuation. Elle accélère le ruissellement, ce qui rend les hydrogrammes de crue beaucoup plus "pointus" et rapides, augmentant considérablement le risque d'inondations éclair en aval.

FAQ en rapport avec la question :
Le volume total de la crue change-t-il ?

Non, la méthode Muskingum conserve la masse (et donc le volume). Si on calculait l'aire sous la courbe de l'hydrogramme d'entrée et de sortie (qui représente le volume total de la crue), on trouverait la même valeur. La méthode ne fait que redistribuer ce volume dans le temps.

Résultat : Le pic de crue est atténué de 27.9 m³/s (une réduction de 35%) et est décalé de 2 heures.

Simulation du Routage Muskingum

Explorez comment les paramètres de la rivière (K et x) modifient l'hydrogramme de sortie.

Paramètres du Bief
Pic de Débit en Sortie
Temps d'Arrivée du Pic
Atténuation
Hydrogrammes d'Entrée et de Sortie

Le Saviez-Vous ?

La méthode Muskingum a été développée dans les années 1930 pour le projet d'aménagement de la rivière Muskingum dans l'Ohio, aux États-Unis. C'était l'un des premiers grands projets de gestion intégrée de l'eau, combinant la protection contre les inondations, la navigation et la conservation de l'eau.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment estime-t-on les paramètres K et x en pratique ?

Idéalement, on les calibre à partir de données de crues observées, en mesurant les hydrogrammes d'entrée et de sortie d'un bief et en trouvant les valeurs de K et x qui reproduisent le mieux l'atténuation et le décalage observés. En l'absence de données, K peut être approximé par le temps de parcours de l'onde dans le bief, et x est généralement compris entre 0 (réservoir pur) et 0.5 (canal pur).

Quelles sont les limites de la méthode Muskingum ?

C'est un modèle hydrologique, pas hydraulique. Il ne tient pas compte de la dynamique complexe de l'écoulement (comme les effets de remous ou les variations de pente). Il suppose que la relation entre le stockage et le débit est linéaire, ce qui n'est pas toujours le cas. Pour des études détaillées, on utilise des modèles hydrauliques complets (basés sur les équations de Saint-Venant) qui sont plus précis mais beaucoup plus complexes à mettre en œuvre.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un paramètre de Muskingum \(x\) proche de 0 signifie que le bief se comporte principalement comme :

2. Si la constante de temps K augmente (par exemple, un bief plus long), l'atténuation de la crue sera :

Vérifier mes réponses

Glossaire

Routage de Crue
Procédure de calcul permettant de déterminer la forme et le timing d'un hydrogramme de crue à un point en aval, à partir de l'hydrogramme en amont.
Hydrogramme
Graphique représentant l'évolution du débit d'un cours d'eau en un point donné en fonction du temps.
Méthode Muskingum
Méthode de routage hydrologique qui modélise le stockage dans un bief de rivière comme une combinaison de stockage prismatique (proportionnel au débit) et de stockage en coin (proportionnel à la variation du débit).
Atténuation
Réduction de l'amplitude du pic de crue et étalement de l'hydrogramme au fur et à mesure de sa propagation vers l'aval.
Hydraulique : Routage d'une Crue avec la Méthode Muskingum

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