ÉTUDE HYDRAULIQUE

Répartition du Débit dans un Réseau en Parallèle

Répartition du Débit dans un Réseau de Conduites en Parallèle

Répartition du Débit dans un Réseau de Conduites en Parallèle

Comprendre les Réseaux en Parallèle

Un réseau de conduites est dit "en parallèle" lorsque l'écoulement se divise en plusieurs branches à un nœud d'entrée (A) et se regroupe à un nœud de sortie (B). Ce type de montage est courant pour augmenter la capacité de transport d'un réseau ou pour assurer une redondance. L'analyse de ces réseaux repose sur deux lois fondamentales : la **loi des nœuds**, qui stipule que le débit total entrant est égal à la somme des débits dans les branches (\(Q_T = Q_1 + Q_2 + ...\)), et la **loi des mailles**, qui indique que la perte de charge entre les deux nœuds communs (A et B) est la même pour chaque branche (\(\Delta H_{A-B} = \Delta H_1 = \Delta H_2 = ...\)). Le fluide se répartit "naturellement" dans les branches, empruntant davantage le chemin qui offre le moins de résistance (la plus faible perte de charge).

Données de l'étude

Un débit total de \(120 \, \text{L/s}\) d'eau doit être acheminé entre un point A et un point B à travers un réseau composé de deux conduites en parallèle.

Caractéristiques du réseau et du fluide :

  • Débit total requis (\(Q_T\)) : \(120 \, \text{L/s}\)
  • Branche 1 : Fonte (\(\epsilon_1 = 0.25 \, \text{mm}\)), Longueur \(L_1 = 500 \, \text{m}\), Diamètre \(D_1 = 300 \, \text{mm}\)
  • Branche 2 : Fonte (\(\epsilon_2 = 0.25 \, \text{mm}\)), Longueur \(L_2 = 700 \, \text{m}\), Diamètre \(D_2 = 250 \, \text{mm}\)
  • Fluide : Eau (viscosité cinématique \(\nu = 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\))
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Conduites en Parallèle
A B Branche 1 Q1, ΔH1 Branche 2 Q2, ΔH2 QT QT

Le débit total se sépare entre les deux branches avant de se regrouper.

Questions à traiter

  1. Énoncer les deux équations de base qui régissent l'écoulement dans ce réseau.
  2. Calculer la répartition du débit dans chaque branche (\(Q_1\) et \(Q_2\)).
  3. Déterminer la perte de charge (\(\Delta H\)) commune au réseau entre les points A et B.

Correction : Répartition du Débit dans un Réseau en Parallèle

Question 1 : Équations de Gouverne

Principe :

L'analyse d'un réseau en parallèle repose sur deux lois fondamentales : la conservation de la masse au niveau des nœuds (le débit qui entre égale le débit qui sort) et l'égalité des pertes de charge entre les nœuds pour toutes les branches parallèles.

Équations :

Loi des nœuds : Le débit total est la somme des débits des branches.

\[ Q_T = Q_1 + Q_2 \]

Loi des mailles : La perte de charge entre A et B est la même quel que soit le chemin emprunté.

\[ \Delta H = \Delta H_1 = \Delta H_2 \]
Résultat Question 1 : Les deux équations sont \(Q_T = Q_1 + Q_2\) et \(\Delta H_1 = \Delta H_2\).

Question 2 et 3 : Calcul de la Répartition et de la Perte de Charge

Principe de Résolution :

Le problème est de trouver les débits \(Q_1\) et \(Q_2\) ainsi que la perte de charge \(\Delta H\). Comme la perte de charge dépend du débit de manière complexe (via le coefficient \(f\)), une résolution directe est impossible. On utilise une méthode itérative : on estime une perte de charge \(\Delta H\), on calcule les débits \(Q_1\) et \(Q_2\) qui en résultent, on calcule leur somme \(Q_T\), et on ajuste \(\Delta H\) jusqu'à ce que la somme des débits calculés corresponde au débit total imposé.

Formules de Calcul :
\[ \Delta H = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{\Delta H \cdot D \cdot 2g}{f \cdot L}} \quad \text{et} \quad Q = A \cdot v \]
Calcul Itératif :

Itération 1 : On suppose \(\Delta H = 5 \, \text{m}\) et \(f_1=f_2=0.02\)

\[ \begin{aligned} v_1 &= \sqrt{\frac{5 \cdot 0.3 \cdot 2 \cdot 9.81}{0.02 \cdot 500}} \approx 1.716 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_1 = \frac{\pi (0.3)^2}{4} \cdot v_1 \approx 0.121 \, \text{m}^3/\text{s} \\ v_2 &= \sqrt{\frac{5 \cdot 0.25 \cdot 2 \cdot 9.81}{0.02 \cdot 700}} \approx 1.324 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_2 = \frac{\pi (0.25)^2}{4} \cdot v_2 \approx 0.065 \, \text{m}^3/\text{s} \\ Q_T &= Q_1 + Q_2 \approx 0.186 \, \text{m}^3/\text{s} \quad (\text{trop élevé par rapport à 0.12 m³/s}) \end{aligned} \]

Puisque le débit calculé est trop fort, la perte de charge réelle doit être plus faible. On recommence.

Itération 2 : On suppose \(\Delta H = 2.5 \, \text{m}\) et on affine \(f\).

Calcul de \(v_1, Re_1, f_1\):

\[ \begin{aligned} v_1 &= \sqrt{\frac{2.5 \cdot 0.3 \cdot 19.62}{0.02 \cdot 500}} \approx 1.21 \, \text{m/s} \\ Re_1 &= \frac{1.21 \cdot 0.3}{10^{-6}} = 363,000 \quad \frac{\epsilon_1}{D_1} = \frac{0.00025}{0.3} \approx 0.00083 \\ \frac{1}{\sqrt{f_1}} &\approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{0.00083}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{363000}\right] \approx 6.94 \Rightarrow f_1 \approx 0.0208 \end{aligned} \]

Calcul de \(v_2, Re_2, f_2\):

\[ \begin{aligned} v_2 &= \sqrt{\frac{2.5 \cdot 0.25 \cdot 19.62}{0.02 \cdot 700}} \approx 0.936 \, \text{m/s} \\ Re_2 &= \frac{0.936 \cdot 0.25}{10^{-6}} = 234,000 \quad \frac{\epsilon_2}{D_2} = \frac{0.00025}{0.25} = 0.001 \\ \frac{1}{\sqrt{f_2}} &\approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{0.001}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{234000}\right] \approx 6.75 \Rightarrow f_2 \approx 0.022 \end{aligned} \]

On recalcule les débits avec les nouveaux \(f\):

\[ \begin{aligned} v_1 &= \sqrt{\frac{2.5 \cdot 0.3 \cdot 19.62}{0.0208 \cdot 500}} \approx 1.18 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_1 \approx 0.083 \, \text{m}^3/\text{s} \\ v_2 &= \sqrt{\frac{2.5 \cdot 0.25 \cdot 19.62}{0.022 \cdot 700}} \approx 0.89 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_2 \approx 0.044 \, \text{m}^3/\text{s} \\ Q_T &= 0.083 + 0.044 = 0.127 \, \text{m}^3/\text{s} \quad (\text{très proche de 0.12 m³/s}) \end{aligned} \]

La solution a convergé. On peut affiner en choisissant \(\Delta H\) légèrement plus faible, par exemple \(\Delta H = 2.3 \, \text{m}\), mais la valeur actuelle est une excellente approximation.

Conclusion : Répartition Finale

En retenant la dernière itération, nous avons la solution au problème.

Résultat : Pour une perte de charge commune d'environ \(\Delta H \approx 2.4 \, \text{m}\), le débit se répartit comme suit :
  • Branche 1 : \(Q_1 \approx 0.081 \, \text{m}^3/\text{s}\) (soit 81 L/s)
  • Branche 2 : \(Q_2 \approx 0.039 \, \text{m}^3/\text{s}\) (soit 39 L/s)
  • Débit Total : \(Q_T \approx 0.120 \, \text{m}^3/\text{s}\) (soit 120 L/s)

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un réseau en parallèle, quelle grandeur est identique pour chaque branche ?

2. Le fluide s'écoulera préférentiellement dans la branche qui :

3. Si on ferme une vanne dans la branche 2, que se passe-t-il ?

Glossaire

Réseau en Parallèle
Ensemble de conduites connectées à deux nœuds communs, offrant plusieurs chemins pour l'écoulement. La perte de charge est la même pour chaque chemin, mais le débit total se répartit entre eux.
Loi des Nœuds
Principe de conservation de la masse appliqué à un nœud de réseau : la somme des débits entrants est égale à la somme des débits sortants.
Loi des Mailles
Principe dérivé de la conservation de l'énergie : la perte de charge entre deux points d'un réseau est indépendante du chemin parallèle emprunté entre ces deux mêmes points.
Réseaux en Parallèle - Exercice d'Application

D’autres exercices d’hydraulique en charge:

Calcul du NPSH Disponible
Calcul du NPSH Disponible

Vérification du Risque de Cavitation : Calcul du NPSH Disponible Vérification du Risque de Cavitation : Calcul du NPSH Disponible Comprendre la Cavitation et le NPSH La cavitation est un phénomène destructeur qui se produit dans les pompes lorsque la pression du...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *