Répartition de la Vitesse dans une Section de Rivière

Contexte : L'étude des écoulements à surface libreÉcoulements de liquides (généralement de l'eau) où la surface supérieure est en contact avec l'atmosphère, comme dans une rivière ou un canal..

Comprendre comment la vitesse de l'eau se répartit dans une section de rivière est fondamental en hydraulique. La vitesse n'est pas uniforme : elle est nulle sur les parois (le fond et les berges) à cause du frottement et maximale près de la surface, loin des obstacles. La formule de Manning-Strickler est un outil puissant pour estimer la vitesse moyenne dans un canal ou une rivière, en se basant sur sa géométrie, sa pente et la rugosité de ses parois.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème d'hydraulique en étapes logiques : d'abord la géométrie (surface, périmètre), puis l'hydraulique (rayon, vitesse), et enfin l'application pratique (débit).

Objectifs Pédagogiques

Calculer les paramètres géométriques d'une section rectangulaire (Surface, Périmètre Mouillé).
Définir et calculer le Rayon HydrauliqueRapport entre la surface mouillée et le périmètre mouillé (Rh = A / Pm). C'est un indicateur de l'efficacité hydraulique d'une section..
Appliquer la formule de Manning-Strickler pour trouver la vitesse moyenne.
Calculer le débit volumique de la rivière.
Comparer la vitesse moyenne théorique à une estimation basée sur un profil de vitesse.

Données de l'étude

On étudie un tronçon de rivière supposé rectangulaire, long et uniforme.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Forme de la section	Rectangulaire
Largeur au miroir (B)	15 m
Hauteur d'eau (h)	3 m
Pente du fond (I)	0.0005 (ou 0.5 m/km)
Coefficient de rugosité (n)	0.025 (fond et berges en terre avec végétation)

Schéma de la Section de Rivière

Questions à traiter

Calculer la Surface Mouillée (A) et le Périmètre Mouillé (\(P_{\text{m}}\)).
Calculer le Rayon Hydraulique (\(R_{\text{h}}\)).
Calculer la vitesse moyenne d'écoulement (\(V_{\text{m}}\)) en utilisant la formule de Manning-Strickler.
Calculer le débit volumique (Q) de la rivière.
Une mesure sur site montre que la vitesse maximale au centre (\(v_{\text{max}}\)) est de 1.8 m/s. Estimez la vitesse moyenne (\(V_{\text{m}}\)) en utilisant l'approximation \(V_{\text{m}} \approx 0.8 \cdot v_{\text{max}}\) et comparez ce résultat à celui de la Q3.

Les bases sur la Formule de Manning-Strickler

La formule de Manning-Strickler est la plus utilisée pour déterminer la vitesse moyenne dans un écoulement à surface libre uniforme. Elle relie la vitesse aux propriétés géométriques et à la rugosité.

1. Paramètres Géométriques
Pour une section rectangulaire de largeur \(B\) et hauteur \(h\) :

Surface Mouillée (A) : C'est la section transversale de l'eau. \(A = B \cdot h\)
Périmètre Mouillé (\(P_{\text{m}}\)) : C'est la longueur de la paroi en contact avec l'eau (fond + 2 berges). \(P_{\text{m}} = B + 2h\)
Rayon Hydraulique (\(R_{\text{h}}\)) : C'est le rapport A / \(P_{\text{m}}\). \(R_{\text{h}} = \frac{A}{P_{\text{m}}}\)

2. Formule de Manning-Strickler
La vitesse moyenne \(V_{\text{m}}\) (en m/s) est donnée par : \[ V_{\text{m}} = K \cdot R_{\text{h}}^{2/3} \cdot I^{1/2} \] Où :

\(K\) est le coefficient de Strickler. Il dépend de la rugosité \(n\) : \(K = 1/n\).
\(R_{\text{h}}\) est le rayon hydraulique (en m).
\(I\) est la pente du fond (sans unité, m/m).

3. Débit Volumique (Q)
Le débit est la quantité d'eau qui traverse la section par seconde (en m³/s). \[ Q = V_{\text{m}} \cdot A \]

Correction : Répartition de la Vitesse dans une Section de Rivière

Question 1 : Calculer la Surface Mouillée (A) et le Périmètre Mouillé (\(P_{\text{m}}\))

Principe

La première étape est de définir la géométrie de l'écoulement. La "Surface Mouillée" (A) est la 'porte' que l'eau traverse. Le "Périmètre Mouillé" (\(P_{\text{m}}\)) est la longueur de la paroi qui 'freine' l'eau par frottement.

Mini-Cours

Pour un rectangle de largeur \(B\) et de hauteur d'eau \(h\), la surface est simplement \(base \times hauteur\). Le périmètre mouillé inclut le fond (\(B\)) et les deux parois verticales (\(h\)) en contact avec l'eau. Attention : on n'inclut pas la surface libre (le haut) dans le périmètre mouillé !

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la largeur \(B\) (largeur au miroir, c'est-à-dire à la surface) avec le périmètre mouillé \(P_{\text{m}}\). \(P_{\text{m}}\) représente la zone de frottement.

Normes

N/A pour ce calcul géométrique simple.

Formule(s)

Surface Mouillée (A)

A = B \cdot h

Périmètre Mouillé (\(P_{\text{m}}\))

P_{\text{m}} = B + 2h

Hypothèses

On suppose que la section est parfaitement rectangulaire, comme indiqué dans l'énoncé.

Donnée(s)

On extrait les valeurs de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur au miroir	B	15	m
Hauteur d'eau	h	3	m

Astuces

Visualisez le schéma de l'énoncé. Le périmètre mouillé, c'est la ligne rouge : une berge (\(h\)) + le fond (\(B\)) + l'autre berge (\(h\)).

Schéma (Avant les calculs)

On se réfère au schéma de la section rectangulaire fourni dans l'énoncé, qui montre bien \(B\) et \(h\).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la surface \(A\)

On prend la formule \(A = B \cdot h\). On remplace \(B\) par la valeur de l'énoncé (\(15 \text{ m}\)) et \(h\) par la valeur de l'énoncé (\(3 \text{ m}\)) :

\begin{aligned} A &= 15 \text{ m} \cdot 3 \text{ m} \\ A &= 45 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du périmètre \(P_{\text{m}}\)

On prend la formule \(P_{\text{m}} = B + 2h\). On remplace \(B\) (\(15 \text{ m}\)) et \(h\) (\(3 \text{ m}\)) par les valeurs de l'énoncé :

\begin{aligned} P_{\text{m}} &= 15 \text{ m} + 2 \cdot (3 \text{ m}) \\ P_{\text{m}} &= 15 \text{ m} + 6 \text{ m} \\ P_{\text{m}} &= 21 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

N/A (Les résultats sont des valeurs, pas un diagramme).

Réflexions

Nous avons une section d'eau de 45 m² et cette eau est en contact avec 21 m de paroi (fond et berges). Ces deux valeurs sont la base de tous les calculs suivants.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier une berge dans le périmètre mouillé (calculer \(B+h\)) ou de prendre le périmètre total du rectangle (\(2B+2h\)). \(P_{\text{m}}\) ne concerne que les parois mouillées.

Points à retenir

\(A = B \cdot h\) (pour un rectangle)
\(P_{\text{m}} = B + 2h\) (pour un rectangle)
Le périmètre mouillé est la source du frottement.

Le saviez-vous ?

Pour une même surface, une section semi-circulaire est celle qui a le plus petit périmètre mouillé. C'est la forme "parfaite" pour minimiser les frottements et faire couler l'eau le plus vite possible ! Les canaux en béton s'en approchent souvent.

FAQ

N/A

Résultat Final

La surface mouillée (A) est de 45 m² et le périmètre mouillé (\(P_{\text{m}}\)) est de 21 m.

A vous de jouer

Si la largeur (\(B\)) était de 20 m et la hauteur (\(h\)) de 2 m, que vaudrait le périmètre mouillé \(P_{\text{m}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Géométrie de la section.
Formules : \(A = B \cdot h\) et \(P_{\text{m}} = B + 2h\).
Résultats : A = 45 m², \(P_{\text{m}}\) = 21 m.

Question 2 : Calculer le Rayon Hydraulique (\(R_{\text{h}}\))

Principe

Le Rayon Hydraulique (\(R_{\text{h}}\)) n'est pas un rayon physique. C'est un ratio qui exprime l'efficacité de la section à transporter l'eau. Un \(R_{\text{h}}\) élevé signifie beaucoup de surface d'écoulement (A) pour peu de périmètre de frottement (\(P_{\text{m}}\)), ce qui est efficace.

Mini-Cours

Le rayon hydraulique est défini universellement comme \(R_{\text{h}} = A / P_{\text{m}}\). Plus il est grand, plus l'écoulement est "massif" et moins il est freiné (proportionnellement) par les parois.

Remarque Pédagogique

Pour un canal rectangulaire très large (où \(B \gg h\)), le périmètre \(P_{\text{m}} = B + 2h \approx B\). Dans ce cas, \(R_{\text{h}} = (B \cdot h) / (B) \approx h\). Le rayon hydraulique d'une rivière très large est donc à peu près égal à sa profondeur.

Normes

N/A

Formule(s)

Rayon Hydraulique (\(R_{\text{h}}\))

R_{\text{h}} = \frac{A}{P_{\text{m}}}

Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse. On utilise les résultats de la Q1.

Donnée(s)

On utilise les résultats calculés à la Question 1 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Surface Mouillée (de Q1)	A	45	m²
Périmètre Mouillé (de Q1)	\(P_{\text{m}}\)	21	m

Astuces

L'unité du rayon hydraulique est le mètre (m²/m = m). Si vous n'obtenez pas des mètres, vous avez probablement inversé A et \(P_{\text{m}}\).

Schéma (Avant les calculs)

N/A. Le calcul est un simple ratio des valeurs de la Q1.

Calcul(s)

Calcul de \(R_{\text{h}}\)

On prend la formule \(R_{\text{h}} = A / P_{\text{m}}\). On remplace \(A\) par le résultat de la Q1 (\(45 \text{ m}^2\)) et \(P_{\text{m}}\) par le résultat de la Q1 (\(21 \text{ m}\)) :

\begin{aligned} R_{\text{h}} &= \frac{45 \text{ m}^2}{21 \text{ m}} \quad \text{(A de Q1) / (Pm de Q1)} \\ R_{\text{h}} &\approx 2.143 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

N/A.

Réflexions

Le rayon hydraulique (2.143 m) est inférieur à la profondeur (3 m). C'est normal, car les berges (\(2h\)) ajoutent du frottement. La remarque pédagogique (\(R_{\text{h}} \approx h\)) ne s'applique pas ici car B (15m) n'est pas "très large" par rapport à h (3m).

Points de vigilance

Ne pas confondre le rayon hydraulique \(R_{\text{h}}\) avec la hauteur d'eau \(h\). C'est une erreur très courante.

Points à retenir

Le Rayon Hydraulique \(R_{\text{h}}\) mesure l'efficacité de la section.
\(R_{\text{h}} = A / P_{\text{m}}\)

Le saviez-vous ?

Pour un tuyau circulaire rempli, \(A = \pi R^2\) et \(P_{\text{m}} = 2\pi R\). Donc, \(R_{\text{h}} = (\pi R^2) / (2\pi R) = R/2\). Le rayon hydraulique d'un tuyau plein est la moitié de son rayon géométrique !

FAQ

N/A

Résultat Final

Le rayon hydraulique (\(R_{\text{h}}\)) est d'environ 2.143 m.

A vous de jouer

Avec les données du "A vous de jouer" de la Q1 (\(B=20\), \(h=2\)), que vaut \(R_{\text{h}}\) ? (Rappel : \(A = 40 \text{ m}^2\), \(P_{\text{m}} = 24 \text{ m}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Efficacité hydraulique.
Formule : \(R_{\text{h}} = A / P_{\text{m}}\).
Résultat : \(R_{\text{h}}\) ≈ 2.143 m.

Question 3 : Calculer la vitesse moyenne (\(V_{\text{m}}\)) (Manning-Strickler)

Principe

Maintenant que la géométrie est connue (\(R_{\text{h}}\)), on peut calculer la vitesse. La vitesse de l'eau est un équilibre : la gravité (pente \(I\)) la fait accélérer, et les parois (rugosité \(n\)) la freinent. La formule de Manning-Strickler modélise cet équilibre.

Mini-Cours

La formule est \(V_{\text{m}} = K \cdot R_{\text{h}}^{2/3} \cdot I^{1/2}\).

\(K = 1/n\) : \(K\) (Strickler) est l'inverse de \(n\) (Manning). \(n=0.025\) (végétation) freine plus que \(n=0.012\) (béton lisse).
\(R_{\text{h}}^{2/3}\) : Plus le rayon hydraulique est grand, plus la vitesse augmente (exposant 2/3).
\(I^{1/2}\) : Plus la pente est forte, plus la vitesse augmente (exposant 1/2, ou racine carrée).

Remarque Pédagogique

La formule est empirique, ce qui signifie qu'elle est basée sur des milliers d'expériences et non sur une théorie pure. C'est pourquoi les exposants 2/3 et 1/2 semblent arbitraires, mais ils fonctionnent très bien en pratique !

Normes

La formule de Manning-Strickler est la norme de facto en ingénierie hydraulique pour les écoulements uniformes.

Formule(s)

Coefficient de Strickler (K)

K = \frac{1}{n}

Vitesse moyenne (\(V_{\text{m}}\))

V_{\text{m}} = K \cdot R_{\text{h}}^{2/3} \cdot I^{1/2}

Hypothèses

On suppose que l'écoulement est uniforme, c'est-à-dire que la hauteur d'eau \(h=3\text{m}\) est constante sur tout le tronçon. La formule de Manning-Strickler n'est valable que pour ce cas.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé et le résultat de la Q2 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité/Origine
Coefficient de rugosité	n	0.025	(Énoncé)
Pente du fond	I	0.0005	(Énoncé)
Rayon Hydraulique	\(R_{\text{h}}\)	2.143	m (Résultat Q2)

Astuces

Calculez chaque terme séparément avant de les multiplier. \(R_{\text{h}}^{2/3}\) signifie \((R_{\text{h}} \text{ au carré}) \text{ puis } (\text{racine cubique})\), ou \((R_{\text{h}} \text{ puissance } 0.666...)\). \(I^{1/2}\) est simplement \(\sqrt{I}\).

Schéma (Avant les calculs)

On peut imaginer la pente \(I=0.0005\) comme une descente de 0.5 mètre (50 cm) sur une distance de 1 kilomètre.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de Strickler \(K\)

On prend la formule \(K = 1/n\). On remplace \(n\) par la valeur de l'énoncé (\(0.025\)) :

\begin{aligned} K &= \frac{1}{0.025} \quad \text{(n de l'énoncé)} \\ K &= 40 \text{ m}^{1/3}\text{/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la vitesse moyenne \(V_{\text{m}}\)

On prend la formule \(V_{\text{m}} = K \cdot R_{\text{h}}^{2/3} \cdot I^{1/2}\). On remplace \(K\) par la valeur calculée ci-dessus (\(40\)), \(R_{\text{h}}\) par le résultat de la Q2 (\(2.143 \text{ m}\)), et \(I\) par la valeur de l'énoncé (\(0.0005\)) :

\begin{aligned} V_{\text{m}} &= 40 \cdot (2.143)^{2/3} \cdot (0.0005)^{1/2} \\ \text{Terme } R_{\text{h}}^{2/3} &= (2.143)^{0.666...} \approx 1.655 \\ \text{Terme } I^{1/2} &= \sqrt{0.0005} \approx 0.02236 \\ V_{\text{m}} &= 40 \cdot 1.655 \cdot 0.02236 \\ V_{\text{m}} &\approx 1.481 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser le profil de vitesse : nul aux parois, et augmentant vers le centre et la surface. La valeur \(V_{\text{m}} = 1.481 \text{ m/s}\) est la moyenne de toutes ces vitesses sur la surface de 45 m².

Profil de Vitesse Théorique

Réflexions

Une vitesse moyenne de 1.481 m/s (environ 5.3 km/h) est une vitesse d'écoulement rapide pour une rivière. Cela montre que malgré la faible pente (0.0005), la grande "masse" d'eau (grand \(R_{\text{h}}\)) permet d'atteindre une vitesse élevée.

Points de vigilance

Vérifiez les unités ! \(K\) est en m¹/³/s, \(R_{\text{h}}\) en m, \(I\) est sans unité. \(R_{\text{h}}^{2/3}\) est en m²/³. Donc \(K \cdot R_{\text{h}}^{2/3}\) est en (m¹/³·m²/³)/s = m/s. Le calcul est cohérent.

Points à retenir

La vitesse augmente avec la pente (\(I^{1/2}\)) et le rayon hydraulique (\(R_{\text{h}}^{2/3}\)).
La vitesse diminue avec la rugosité (\(K = 1/n\)).

Le saviez-vous ?

Le coefficient \(n\) de Manning n'est pas une constante physique. Il dépend de la hauteur d'eau ! Pour une rivière en crue (hauteur élevée), la végétation au fond est "noyée" et compte moins : la rivière devient "plus lisse" et l'eau s'accélère encore plus vite que prévu.

FAQ

N/A

Résultat Final

La vitesse moyenne (\(V_{\text{m}}\)) estimée par Manning-Strickler est d'environ 1.481 m/s.

A vous de jouer

Si la rivière était en béton très lisse (\(n=0.012\)), quelle serait la vitesse moyenne \(V_{\text{m}}\) ? (Garder \(R_{\text{h}}=2.143\) m et \(I=0.0005\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Équilibre gravité/frottement.
Formule : \(V_{\text{m}} = (1/n) \cdot R_{\text{h}}^{2/3} \cdot I^{1/2}\).
Résultat : \(V_{\text{m}}\) ≈ 1.481 m/s.

Question 4 : Calculer le débit volumique (Q)

Principe

Le débit \(Q\) est le "volume" d'eau qui passe la section chaque seconde. Si on connaît la surface de la "porte" (A) et la vitesse moyenne à laquelle l'eau la traverse (\(V_{\text{m}}\)), le débit est simplement le produit des deux.

Mini-Cours

La formule de continuité pour le débit (\(Q\)) est l'une des plus fondamentales en hydraulique : \(Q = V_{\text{m}} \cdot A\). L'unité est (m/s) \(\cdot\) (m²) = m³/s. Un débit de 1 m³/s équivaut à 1000 litres par seconde.

Remarque Pédagogique

Cette formule est intuitive. Imaginez que \(V_{\text{m}}\) est la longueur du "bouchon" d'eau qui traverse la section \(A\) en une seconde. Le volume de ce bouchon est \(A \cdot \text{longueur}\), donc \(Q = A \cdot V_{\text{m}}\).

Normes

N/A

Formule(s)

Débit Volumique (Q)

Q = V_{\text{m}} \cdot A

Hypothèses

On suppose que la vitesse moyenne \(V_{\text{m}}\) calculée en Q3 est représentative de tout l'écoulement.

Donnée(s)

On utilise les résultats des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité/Origine
Surface Mouillée	A	45	m² (Résultat Q1)
Vitesse Moyenne	\(V_{\text{m}}\)	1.481	m/s (Résultat Q3)

Astuces

N/A. C'est un calcul direct.

Schéma (Avant les calculs)

On reprend le schéma de la Q1 (la surface A) et on imagine un flux (\(V_{\text{m}}\)) qui la traverse perpendiculairement.

Calcul(s)

Calcul de \(Q\)

On prend la formule \(Q = V_{\text{m}} \cdot A\). On remplace \(V_{\text{m}}\) par le résultat de la Q3 (\(1.481 \text{ m/s}\)) et \(A\) par le résultat de la Q1 (\(45 \text{ m}^2\)) :

\begin{aligned} Q &= 1.481 \text{ m/s} \quad \text{(Vm de Q3)} \\ & \quad \cdot 45 \text{ m}^2 \quad \text{(A de Q1)} \\ Q &\approx 66.645 \text{ m}^3\text{/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut imaginer que le volume d'eau qui traverse la section en 1 seconde est un "prisme" d'eau de base \(A=45\) m² et de longueur \(V_{\text{m}} = 1.481\) m. Le volume de ce prisme est \(A \cdot V_{\text{m}} \approx 66.65\) m³.

Visualisation du Débit (Q) en 1 seconde

Réflexions

Un débit de près de 67 mètres cubes par seconde est considérable. Cela correspond à 67 000 litres d'eau passant chaque seconde. C'est le débit d'une petite rivière ou d'un très grand canal d'irrigation.

Points de vigilance

Assurez-vous que \(V_{\text{m}}\) est en m/s et \(A\) en m² pour obtenir des m³/s.

Points à retenir

Le débit \(Q\) est le produit de la vitesse moyenne par la surface.
\(Q = V_{\text{m}} \cdot A\)

Le saviez-vous ?

Le débit du fleuve Amazone est d'environ 209 000 m³/s. C'est plus que les 7 plus grands fleuves suivants réunis ! Le débit calculé ici est environ 3000 fois plus petit.

FAQ

N/A

Résultat Final

Le débit volumique (Q) est d'environ 66.65 m³/s.

A vous de jouer

Avec la vitesse du béton lisse (Q3 "A vous de jouer" ≈ 3.086 m/s) et \(A=45\) m², quel serait le nouveau débit ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Calcul du volume d'eau.
Formule : \(Q = V_{\text{m}} \cdot A\).
Résultat : Q ≈ 66.65 m³/s.

Question 5 : Comparaison avec la vitesse maximale mesurée

Principe

La formule de Manning-Strickler donne une vitesse moyenne \(V_{\text{m}}\) basée sur la théorie (rugosité, pente). On peut aussi l'estimer sur le terrain en mesurant la vitesse maximale (\(v_{\text{max}}\), près de la surface) et en utilisant un ratio empirique.

Mini-Cours

Dans un écoulement turbulent (comme une rivière), le profil de vitesse n'est pas une simple parabole. Il est plus "aplati". Des mesures ont montré que la vitesse moyenne \(V_{\text{m}}\) vaut souvent environ 80% de la vitesse maximale (\(v_{\text{max}}\)). C'est une règle de terrain très utilisée.

Remarque Pédagogique

Comparer le calcul théorique (Q3) et l'estimation de terrain (Q5) est crucial. Si les deux valeurs sont proches, on a confiance en notre modèle (notre choix de \(n=0.025\) était bon). Si elles sont très différentes, notre modèle est peut-être faux (le \(n\) est mauvais, ou la pente a changé).

Normes

N/A

Formule(s)

Estimation de terrain

V_{\text{m, profil}} \approx 0.8 \cdot v_{\text{max}}

Hypothèses

On suppose que le ratio de 0.8 est applicable à notre rivière, ce qui est une approximation raisonnable pour un profil de vitesse turbulent.

Donnée(s)

On utilise la nouvelle donnée de l'énoncé Q5 et le résultat de la Q3 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité/Origine
Vitesse maximale mesurée	\(v_{\text{max}}\)	1.8	m/s (Énoncé Q5)
Vitesse moyenne (Manning)	\(V_{\text{m, Manning}}\)	1.481	m/s (Résultat Q3)

Astuces

N/A

Schéma (Avant les calculs)

On se réfère au schéma de la Q3, qui montre bien la différence entre \(V_{\text{m}}\) (la moyenne) et \(v_{\text{max}}\) (le pic de vitesse).

Calcul(s)

Calcul de \(V_{\text{m}}\) (par profil)

On prend la formule \(V_{\text{m}} \approx 0.8 \cdot v_{\text{max}}\). On remplace \(v_{\text{max}}\) par la valeur donnée dans l'énoncé de la Q5 (\(1.8 \text{ m/s}\)) :

\begin{aligned} V_{\text{m, profil}} &= 0.8 \cdot 1.8 \text{ m/s} \quad \text{(v_max de l'énoncé Q5)} \\ V_{\text{m, profil}} &= 1.44 \text{ m/s} \end{aligned}

Comparaison

On compare cette valeur de terrain à la valeur théorique de la Q3 :

\begin{aligned} V_{\text{m, Manning}} \text{ (Q3)} &= 1.481 \text{ m/s} \\ V_{\text{m, profil}} \text{ (Q5)} &= 1.440 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

N/A

Réflexions

Nous avons deux estimations pour la vitesse moyenne :

Par Manning-Strickler (Q3) : \(V_{\text{m, Manning}} \approx 1.481 \text{ m/s}\)
Par mesure de surface (Q5) : \(V_{\text{m, profil}} = 1.44 \text{ m/s}\)

L'écart entre les deux est de \(|1.481 - 1.44| = 0.041 \text{ m/s}\). En pourcentage, l'écart est de \((0.041 / 1.481) \times 100 \approx 2.8\%\). C'est un écart très faible, ce qui donne une bonne confiance mutuelle aux deux méthodes (le calcul par rugosité et la mesure de surface).

Points de vigilance

Le ratio 0.8 n'est qu'une approximation. Il peut varier (par exemple de 0.75 à 0.85) selon la forme du canal et la turbulence. Il ne faut pas le traiter comme une loi physique exacte.

Points à retenir

La modélisation (Manning) et la mesure (profil de vitesse) sont deux façons de trouver la vitesse moyenne.
Comparer les deux permet de valider le modèle (le choix de \(n\)).

Le saviez-vous ?

Pour mesurer le débit d'une rivière, les hydrologues n'utilisent pas la formule de Manning (trop d'incertitudes sur \(n\) et \(I\)). Ils mesurent le profil de vitesse en de nombreux points avec un appareil appelé "courantomètre" pour calculer \(V_{\text{m}}\) précisément, puis utilisent \(Q = V_{\text{m}} \cdot A\).

FAQ

N/A

Résultat Final

La vitesse estimée par le profil (1.44 m/s) est très proche (écart de 2.8%) de la vitesse calculée par Manning-Strickler (1.481 m/s), ce qui valide le modèle.

A vous de jouer

Si votre mesure de \(v_{\text{max}}\) avait donné 2.0 m/s, quelle serait la \(V_{\text{m}}\) estimée ? L'écart avec le calcul de Manning (1.481 m/s) serait-il grand ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Comparaison Modèle/Terrain.
Formule : \(V_{\text{m}} \approx 0.8 \cdot v_{\text{max}}\).
Résultat : 1.44 m/s (terrain) vs 1.481 m/s (modèle). L'écart est faible (2.8%).

Outil Interactif : Simulateur de Manning-Strickler

Utilisez cet outil pour voir comment la vitesse (\(V_{\text{m}}\)) et le débit (\(Q\)) changent si la pente ou la rugosité de la rivière varient (en gardant B=15m et h=3m).

Paramètres d'Entrée

Pente (I) 0.0005

Rugosité (n) 0.025

Résultats Clés (pour A=45m², \(R_{\text{h}}\)=2.143m)

Vitesse Moyenne (\(V_{\text{m}}\)) -

Débit (Q) -

Glossaire

Débit (Q): Volume d'eau qui traverse une section par unité de temps. Exprimé en m³/s.
Écoulement uniforme: Un écoulement où la hauteur d'eau et la vitesse moyenne ne changent pas le long du tronçon étudié.
Manning (n) / Strickler (K): Coefficients empiriques (basés sur l'expérience) qui décrivent la rugosité des parois. \(K = 1/n\).
Périmètre Mouillé (\(P_{\text{m}}\)): Longueur de la paroi de la section (fond et berges) qui est en contact avec l'eau.
Rayon Hydraulique (\(R_{\text{h}}\)): Rapport entre la surface mouillée et le périmètre mouillé (\(R_{\text{h}} = A / P_{\text{m}}\)). C'est un indicateur de l'efficacité hydraulique d'une section.
Surface Mouillée (A): Surface de la section transversale de l'écoulement (en m²).