ÉTUDE HYDRAULIQUE

Répartition de la Contrainte de Cisaillement

Hydraulique : Répartition de la Contrainte de Cisaillement dans un Canal Composite

Répartition de la contrainte de cisaillement dans un canal composite

Contexte : La Force d'Arrachement de l'Eau

Dans un écoulement à surface libre, l'eau exerce une force de frottement sur le fond et les berges du canal. Cette force, rapportée à la surface de contact, est appelée la contrainte de cisaillementForce de frottement exercée par un fluide en mouvement sur une surface, par unité de surface. Elle est responsable de la résistance à l'écoulement. Unité : Pascals (Pa) ou N/m². (τ, tau). Elle est fondamentale car c'est elle qui peut arracher et transporter les sédiments du fond (érosion). Dans un canal composite, la contrainte n'est pas uniforme : elle est généralement plus forte dans le lit mineur, plus profond et rapide, que dans le lit majeur, plus large et lent. Cet exercice vise à quantifier cette répartition.

Remarque Pédagogique : Savoir calculer la contrainte de cisaillement est essentiel pour le dimensionnement des canaux et la protection contre l'érosion. Si la contrainte calculée dépasse la contrainte critique admissible d'un matériau (par exemple, un sol argileux), celui-ci sera érodé. Les ingénieurs doivent alors prévoir des protections, comme des enrochements ou des géotextiles, dont la résistance est supérieure à la contrainte exercée par l'écoulement de projet.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la notion de contrainte de cisaillement au fond du lit.
  • Calculer la contrainte de cisaillement moyenne pour une section donnée.
  • Appliquer une méthode de répartition des contraintes dans un canal composite.
  • Analyser l'influence de la géométrie et de la rugosité sur la répartition des contraintes.
  • Relier la contrainte de cisaillement au risque d'érosion des berges et du fond.

Données de l'étude

On reprend la section du canal composite de l'exercice précédent, avec un écoulement uniforme et une hauteur totale \(H = 3 \, \text{m}\). La pente du canal est \(I = 0.0005\).

Schéma de la Section Composite
Surface Libre Lit Majeur Lit Majeur Lit Mineur H=3m

Rappel des données géométriques calculées :

  • Lit mineur (1) : \(S_1 = 39 \, \text{m}^2\), \(P_1 \approx 18.49 \, \text{m}\), \(R_{h1} \approx 2.11 \, \text{m}\)
  • Lit majeur (2) : \(S_2 = 36 \, \text{m}^2\), \(P_2 = 38 \, \text{m}\), \(R_{h2} \approx 0.95 \, \text{m}\)

Donnée(s) :

  • Masse volumique de l'eau : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte de cisaillement moyenne globale \(\bar{\tau}\) sur l'ensemble du périmètre mouillé.
  2. En supposant que chaque sous-section résiste à la force de cisaillement proportionnellement à sa propre contribution (\(\tau_i = \rho g R_{hi} I\)), calculer la contrainte moyenne \(\tau_1\) dans le lit mineur.
  3. Calculer la contrainte moyenne \(\tau_2\) dans le lit majeur.
  4. Comparer \(\tau_1\) et \(\tau_2\). Quelle zone est la plus susceptible d'être érodée ?

Correction : Répartition de la Contrainte de Cisaillement

Question 1 : Contrainte de Cisaillement Moyenne Globale (\(\bar{\tau}\))

Principe :
Fgravité Ffrottement Périmètre Total (P)

Pour un écoulement uniforme, la composante du poids de l'eau qui la pousse vers l'aval est exactement équilibrée par la force de frottement totale sur le périmètre mouillé. La contrainte de cisaillement moyenne est cette force de frottement totale divisée par la surface de contact (le périmètre mouillé total sur une longueur unitaire). Cela se simplifie par la formule \(\bar{\tau} = \rho g R_h I\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette contrainte moyenne est une valeur globale. Elle ne représente pas la contrainte réelle en un point précis (qui est plus forte au fond et plus faible sur les berges), mais elle donne une excellente indication de l'agressivité moyenne de l'écoulement sur son lit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \bar{\tau} = \rho g R_{h, \text{total}} I \]
\[ S_{\text{total}} = S_1 + S_2 \]
\[ P_{\text{total}} = P_1 + P_2 \]
\[ R_{h, \text{total}} = \frac{S_{\text{total}}}{P_{\text{total}}} \]
Donnée(s) :
  • \(S_1 = 39 \, \text{m}^2\), \(P_1 \approx 18.49 \, \text{m}\)
  • \(S_2 = 36 \, \text{m}^2\), \(P_2 = 38 \, \text{m}\)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\), \(I = 0.0005\)
Calcul(s) :
\[ S_{\text{total}} = 39 + 36 = 75 \, \text{m}^2 \]
\[ P_{\text{total}} = 18.49 + 38 = 56.49 \, \text{m} \]
\[ R_{h, \text{total}} = \frac{75}{56.49} \approx 1.328 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} \bar{\tau} &= 1000 \times 9.81 \times 1.328 \times 0.0005 \\ &\approx 6.51 \, \text{N/m}^2 \text{ (ou Pascals)} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Périmètre total : Assurez-vous d'additionner correctement les périmètres mouillés de chaque section. Une erreur ici affectera directement le rayon hydraulique total et donc la contrainte moyenne.

Le saviez-vous ?

Une contrainte de 6.5 Pascals peut sembler faible, mais elle est suffisante pour mettre en mouvement des sables fins et des limons. La contrainte critique pour des sables moyens est de l'ordre de 1 à 2 Pa, tandis que pour des graviers, elle peut atteindre plusieurs dizaines de Pa.

FAQ en rapport avec la question :
Cette formule est-elle toujours valable ?

La formule \(\bar{\tau} = \rho g R_h I\) est rigoureusement exacte pour un écoulement uniforme dans un canal infiniment large (où \(R_h \approx h\)). Pour les canaux de forme complexe, elle reste une excellente approximation de la contrainte moyenne exercée sur le périmètre.

Résultat : La contrainte de cisaillement moyenne globale est \(\bar{\tau} \approx 6.51 \, \text{Pa}\).

Question 2 : Contrainte dans le Lit Mineur (\(\tau_1\))

Principe :

L'hypothèse la plus simple pour répartir la contrainte est de considérer que la contrainte moyenne dans chaque sous-section est directement proportionnelle à son propre rayon hydraulique. On applique donc la même formule que pour la contrainte globale, mais en utilisant les caractéristiques du lit mineur uniquement.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette méthode suppose que la pente de la ligne d'énergie est la même pour toutes les sous-sections, ce qui est vrai pour un écoulement uniforme. Le rayon hydraulique devient alors le seul facteur géométrique qui différencie la contrainte d'une section à l'autre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_1 = \rho g R_{h1} I \]
Donnée(s) :
  • Rayon hydraulique du lit mineur \(R_{h1} \approx 2.11 \, \text{m}\)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\), \(I = 0.0005\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \tau_1 &= 1000 \times 9.81 \times 2.11 \times 0.0005 \\ &\approx 10.35 \, \text{N/m}^2 \text{ (ou Pascals)} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Cohérence des données : Il est crucial d'utiliser le rayon hydraulique \(R_{h1}\) calculé à la question 1 et non le rayon hydraulique global ou celui du lit majeur.

Le saviez-vous ?

Le rayon hydraulique est un indicateur de l'efficacité hydraulique. Un grand rayon hydraulique (comme ici, 2.11 m) signifie que la section est "compacte" et profonde, ce qui minimise les frottements par rapport à la surface d'écoulement et permet donc une plus grande contrainte de cisaillement pour une même pente.

FAQ en rapport avec la question :
La contrainte est-elle la même sur le fond et sur les talus ?

Non, \(\tau_1\) est une moyenne. La contrainte réelle est maximale au centre du fond du canal et diminue sur les côtés et en remontant sur les talus. Des formules plus complexes existent pour estimer cette distribution, mais la valeur moyenne reste un indicateur très pertinent.

Résultat : La contrainte de cisaillement moyenne dans le lit mineur est \(\tau_1 \approx 10.35 \, \text{Pa}\).

Question 3 : Contrainte dans le Lit Majeur (\(\tau_2\))

Principe :

Le principe est rigoureusement le même que pour le lit mineur. On applique la formule de la contrainte de cisaillement moyenne à la section du lit majeur en utilisant ses propres caractéristiques géométriques (\(R_{h2}\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Comme le lit majeur est peu profond et très large, son rayon hydraulique est beaucoup plus faible que celui du lit mineur. On s'attend donc logiquement à ce que la contrainte de cisaillement y soit nettement plus faible.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_2 = \rho g R_{h2} I \]
Donnée(s) :
  • Rayon hydraulique du lit majeur \(R_{h2} \approx 0.947 \, \text{m}\)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\), \(I = 0.0005\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \tau_2 &= 1000 \times 9.81 \times 0.947 \times 0.0005 \\ &\approx 4.65 \, \text{N/m}^2 \text{ (ou Pascals)} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas utiliser la contrainte moyenne : Une erreur serait de penser que la contrainte est la même partout. La contrainte moyenne globale (\(\bar{\tau}\)) est une moyenne pondérée des contraintes \(\tau_1\) et \(\tau_2\), elle n'est égale à aucune des deux.

Le saviez-vous ?

Cette faible contrainte dans le lit majeur explique pourquoi les plaines d'inondation sont des zones de sédimentation. L'eau y perd son énergie et sa capacité de transport, déposant les limons et sables fins qu'elle transportait, ce qui fertilise les sols.

FAQ en rapport avec la question :
Cette méthode est-elle précise ?

C'est une méthode d'estimation robuste. En réalité, des tourbillons et des transferts de quantité de mouvement complexes se produisent à l'interface entre le lit mineur et le lit majeur, ce qui tend à réduire la vitesse dans le lit mineur et à l'augmenter légèrement dans le lit majeur. Des modèles numériques plus avancés (2D ou 3D) sont nécessaires pour capturer ces effets avec une grande précision.

Résultat : La contrainte de cisaillement moyenne dans le lit majeur est \(\tau_2 \approx 4.65 \, \text{Pa}\).

Question 4 : Comparaison des Contraintes et Risque d'Érosion

Principe :
τ₁ 10.35 Pa τ₂ 4.65 Pa

Le risque d'érosion est directement lié à l'intensité de la contrainte de cisaillement. La zone où la contrainte est la plus élevée est celle où les matériaux du lit sont les plus sollicités et donc les plus susceptibles d'être arrachés et transportés par l'écoulement.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La comparaison directe des valeurs de \(\tau\) permet de hiérarchiser les zones à risque. C'est une étape essentielle avant de concevoir des mesures de protection. On ne protège pas uniformément tout le canal, mais on concentre les efforts (et les coûts) là où les contraintes sont les plus fortes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Comparaison de } \tau_1 \text{ et } \tau_2 \]
Donnée(s) :
  • Contrainte du lit mineur \(\tau_1 \approx 10.35 \, \text{Pa}\)
  • Contrainte du lit majeur \(\tau_2 \approx 4.65 \, \text{Pa}\)
Calcul(s) :
\[ \tau_1 \approx 10.35 \, \text{Pa} \quad > \quad \tau_2 \approx 4.65 \, \text{Pa} \]

La contrainte de cisaillement dans le lit mineur est plus de deux fois supérieure à celle dans le lit majeur.

Points de vigilance :

Ne pas oublier la nature du matériau : Une contrainte plus élevée ne signifie pas forcément une érosion si le matériau est plus résistant. Par exemple, une contrainte de 10 Pa n'affectera pas un fond rocheux mais détruira un fond sableux. La comparaison doit toujours se faire en regard de la résistance des matériaux en place.

Le saviez-vous ?

Ce principe de contrainte différentielle est utilisé dans la conception des "banquettes" de dépôt dans les projets de restauration de cours d'eau. En créant une zone de lit majeur volontairement rugueuse et peu profonde, on y favorise une faible contrainte, ce qui encourage la sédimentation et la recolonisation par la végétation aquatique.

FAQ en rapport avec la question :
Comment mesure-t-on la contrainte de cisaillement en réalité ?

Il est très difficile de la mesurer directement. On l'estime le plus souvent indirectement en mesurant le profil de vitesse vertical près du fond. La pente de ce profil dans la couche limite logarithmique est directement proportionnelle à la contrainte de cisaillement. Des instruments acoustiques comme les ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler) sont couramment utilisés pour cela.

Résultat : La contrainte dans le lit mineur (\(\tau_1\)) est nettement supérieure à celle dans le lit majeur (\(\tau_2\)). Le lit mineur est donc la zone la plus exposée au risque d'érosion.

Simulation Interactive

Faites varier la hauteur totale de l'eau pour observer comment la répartition du débit entre le lit mineur et le lit majeur évolue.

Paramètres de l'Écoulement
Débit Lit Mineur (Q₁)
Débit Lit Majeur (Q₂)
Débit Total
Répartition du Débit

Le Saviez-Vous ?

Le concept de "lit majeur" est directement lié à la notion de "période de retour" d'une crue. Par exemple, le lit majeur peut correspondre à la zone inondée par une crue décennale (qui a une chance sur dix de se produire chaque année), tandis qu'une crue centennale inondera une zone encore plus vaste.

Foire Aux Questions (FAQ)

Cette méthode fonctionne-t-elle si le lit mineur n'est pas plein ?

Non. Si la hauteur totale de l'eau est inférieure à la hauteur du lit mineur (\(H < h_m\)), l'écoulement est entièrement contenu dans le lit mineur. Il ne s'agit plus d'un canal composite, et le débit se calcule simplement en appliquant la formule de Manning-Strickler à la section trapézoïdale du lit mineur avec la hauteur d'eau H.

Comment choisir le coefficient de rugosité ?

Le choix du coefficient de Manning ou de Strickler est une des plus grandes sources d'incertitude en hydraulique. Il est généralement choisi à partir de tables de référence (par exemple, le "Chow's Open-Channel Hydraulics") qui donnent des valeurs typiques pour différents types de matériaux (béton, terre, rochers) et de végétation. L'expérience de l'ingénieur et la calibration sur des mesures de terrain sont essentielles.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un canal composite en crue, où la vitesse de l'eau est-elle généralement la plus élevée ?

2. Pourquoi ignore-t-on l'interface verticale entre le lit mineur et le lit majeur dans le calcul du périmètre mouillé ?

Glossaire

Canal Composite
Une section de canal ou de rivière composée de plusieurs sous-sections aux propriétés géométriques ou de rugosité différentes, comme un lit mineur et un lit majeur.
Lit Mineur
Le canal principal d'une rivière qui contient les écoulements la plupart du temps.
Lit Majeur
La plaine d'inondation adjacente au lit mineur, qui n'est submergée que lors des crues importantes.
Périmètre Mouillé (P)
La longueur de la paroi et du fond de la section du canal qui est en contact avec l'eau.
Rayon Hydraulique (Rₕ)
Le rapport de l'aire de la section mouillée sur le périmètre mouillé (\(R_h = S/P\)). Il représente l'efficacité hydraulique d'une section.
Calcul du débit dans un canal composite (lit mineur et majeur)

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