Rendement Mécanique d'un Moteur Hydraulique

Contexte : L'OléohydrauliqueBranche de l'hydraulique industrielle qui utilise des huiles minérales ou synthétiques comme fluide pour transmettre de la puissance. (Hydraulique de Puissance).

Les moteurs hydrauliques sont des actionneurs rotatifs qui convertissent la puissance hydraulique (pression, débit) en puissance mécanique (couple, vitesse). Ils sont essentiels dans de nombreuses applications industrielles et mobiles (engins de chantier, presses, treuils). Comprendre leur rendement est crucial pour dimensionner correctement une installation et évaluer son efficacité énergétique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer le rendement global d'un moteur hydraulique en ses deux composantes principales : le rendement volumétrique (lié aux fuites) et le rendement mécanique (lié aux frottements).

Objectifs Pédagogiques

Calculer le rendement volumétrique à partir de mesures de vitesse et de débit.
Calculer le rendement mécanique à partir de mesures de couple et de pression.
Calculer le rendement global et la puissance perdue (dissipée).
Comprendre la différence entre les grandeurs théoriques et réelles.

Données de l'étude

On teste un moteur hydraulique à pistons axiaux sur un banc d'essai. Les mesures suivantes sont relevées en régime stabilisé.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Cylindrée du moteur (\(V_m\))	50 cm³/tr
Fluide	Huile hydraulique ISO VG 46

Schéma de principe du banc d'essai

Paramètre Mesuré	Symbole	Valeur	Unité
Débit réel en entrée du moteur	\(Q_{\text{réel}}\)	60	L/min
Vitesse de rotation réelle de l'arbre	\(N_{\text{réel}}\)	1120	tr/min
Différence de pression (entrée - sortie)	\(\Delta P\)	120	bar
Couple mécanique réel à l'arbre	\(C_{\text{réel}}\)	90	N.m

Questions à traiter

Calculer la vitesse de rotation théorique \(N_{\text{th}}\) du moteur (en tr/min).
Calculer le rendement volumétrique \(\eta_v\) (en %).
Calculer le couple théorique \(C_{\text{th}}\) (en N.m).
Calculer le rendement mécanique \(\eta_m\) (en %).
Calculer le rendement global \(\eta_g\) (en %) de deux manières différentes.

Les bases sur les Moteurs Hydrauliques

Un moteur hydraulique n'est jamais parfait. Son efficacité est réduite par deux types de pertes :

1. Pertes Volumétriques (Fuites)
Tout moteur présente des jeux internes (entre pistons et chemises, etc.). Le fluide sous pression "fuit" de la haute pression vers la basse pression sans produire de travail. Cela signifie que le débit réel \(Q_{\text{réel}}\) absorbé est supérieur au débit théorique \(Q_{\text{th}}\) qui génère la rotation. \[ Q_{\text{réel}} = Q_{\text{th}} + Q_{\text{fuite}} \] Le rendement volumétrique \(\eta_v\) quantifie ces fuites.

2. Pertes Mécaniques (Frottements)
Les pièces en mouvement (pistons, arbre, roulements) génèrent des frottements. La pression doit vaincre ces frottements *avant* de pouvoir fournir un couple utile. Cela signifie que le couple théorique \(C_{\text{th}}\) généré par la pression est supérieur au couple réel \(C_{\text{réel}}\) disponible sur l'arbre. \[ C_{\text{th}} = C_{\text{réel}} + C_{\text{frottement}} \] Le rendement mécanique \(\eta_m\) quantifie ces frottements.

Correction : Calcul du Rendement Mécanique d’un Moteur Hydraulique

Question 1 : Calculer la vitesse de rotation théorique \(N_{\text{th}}\) (en tr/min).

Principe

La vitesse théorique est la vitesse qu'atteindrait le moteur s'il n'y avait absolument aucune fuite. C'est une vitesse idéale où 100% du débit entrant (\(Q_{\text{réel}}\)) serait converti en rotation, en fonction de la cylindrée (\(V_m\)).

Mini-Cours

La cylindrée \(V_m\) est le volume de fluide que le moteur absorbe (ou déplace) en un tour. Le débit théorique \(Q_{\text{th}}\) est donc simplement ce volume par tour multiplié par le nombre de tours par minute (\(N_{\text{th}}\)). Dans cette question, on inverse cette logique : on suppose que le débit *réel* est un débit *théorique* pour trouver la vitesse *théorique*.

Remarque Pédagogique

Attention, c'est un piège conceptuel. On utilise le débit réel (la valeur mesurée de 60 L/min) pour calculer une vitesse théorique. L'idée est de voir : "si mon moteur était parfait (sans fuites), à quelle vitesse tournerait-il avec ce débit ?". Comme il y aura des fuites, on s'attend à ce que la vitesse réelle (\(N_{\text{réel}}\)) soit *inférieure* à cette vitesse théorique.

Normes

Les calculs de rendement en oléohydraulique sont standardisés (ISO 4409). Les unités sont cruciales : les cylindrées sont souvent en cm³/tr, les débits en L/min et les pressions en bar.

Formule(s)

La formule de base liant débit, cylindrée et vitesse est :

Débit théorique

Q_{\text{th}} = V_m \times N_{\text{th}}

Pour cette question, on réarrange la formule en supposant \(Q_{\text{réel}} = Q_{\text{th}}\) :

N_{\text{th}} = \frac{Q_{\text{réel}}}{V_m}

Hypothèses

Pour ce calcul théorique, on pose l'hypothèse d'un moteur parfait, c'est-à-dire :

Rendement volumétrique \(\eta_v = 1\) (pas de fuites).
Le débit \(Q_{\text{réel}}\) est intégralement transformé en mouvement.

Donnée(s)

Nous avons besoin des données de l'énoncé pour ce calcul :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit réel	\(Q_{\text{réel}}\)	60	L/min
Cylindrée	\(V_m\)	50	cm³/tr

Astuces

Le point crucial ici est la conversion des unités. On ne peut pas diviser des Litres par des cm³. Le plus simple est de tout convertir dans une unité de volume cohérente. Sachant que 1 Litre = 1000 cm³.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du débit entrant et de la rotation théorique.

[Concept de Débit vs Vitesse]

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion du débit \(Q_{\text{réel}}\) en cm³/min

Il faut que le volume du débit (Litres) soit dans la même unité que la cylindrée (cm³). On sait que 1 L = 1000 cm³.

\begin{aligned} Q_{\text{réel}} &= 60 \text{ L/min} \times 1000 \frac{\text{cm}^3}{\text{L}} \\ &= 60000 \text{ cm}^3\text{/min} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la vitesse théorique \(N_{\text{th}}\)

Maintenant on applique la formule en divisant le débit (en cm³/min) par la cylindrée (en cm³/tr). Les "cm³" s'annulent, laissant des "tr/min", ce qui est bien une vitesse.

\begin{aligned} N_{\text{th}} &= \frac{Q_{\text{réel}}}{V_m} \\ &= \frac{60000 \text{ cm}^3\text{/min}}{50 \text{ cm}^3\text{/tr}} \\ &= 1200 \text{ tr/min} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour ce calcul.

Réflexions

La vitesse théorique est de 1200 tr/min. L'énoncé nous donne une vitesse réelle mesurée de 1120 tr/min. Il est logique que la vitesse réelle soit *inférieure* à la vitesse théorique, car les 80 tr/min de différence sont "perdus" à cause des fuites internes.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de ne pas convertir les unités. Diviser 60 L/min par 50 cm³/tr donnerait 1.2, un résultat physiquement absurde.

Points à retenir

La vitesse théorique se calcule avec le débit réel d'entrée.
\(N_{\text{réel}} < N_{\text{th}}\) à cause des fuites.
La cohérence des unités (L/min et cm³/tr) est fondamentale.

Le saviez-vous ?

Dans une pompe, c'est l'inverse ! Le débit théorique (lié à la vitesse d'entraînement) est *inférieur* au débit réel nécessaire pour compenser les fuites et fournir la pression. Le rendement volumétrique d'une pompe se calcule différemment.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La vitesse de rotation théorique \(N_{\text{th}}\) est de 1200 tr/min.

A vous de jouer

Si le débit réel était de 75 L/min (avec la même cylindrée), quelle serait la vitesse théorique ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept : Vitesse idéale sans fuites.
Formule : \(N_{\text{th}} = Q_{\text{réel}} / V_m\).
Vigilance : Convertir L/min en cm³/min (x1000).

Question 2 : Calculer le rendement volumétrique \(\eta_v\) (en %).

Principe

Le rendement volumétrique mesure l'efficacité du moteur à convertir le débit en vitesse de rotation. Il compare la vitesse réelle (ce qui sort) à la vitesse théorique (ce qui devrait sortir si c'était parfait). Un rendement de 95% signifie que 5% du débit est "perdu" dans les fuites internes.

Mini-Cours

Le rendement volumétrique \(\eta_v\) est le rapport entre la vitesse de rotation réelle \(N_{\text{réel}}\) et la vitesse de rotation théorique \(N_{\text{th}}\) calculée à la question précédente.
Il peut aussi se voir comme le rapport entre le débit théorique (celui qui crée la rotation réelle : \(Q_{\text{th}} = V_m \times N_{\text{réel}}\)) et le débit réel absorbé \(Q_{\text{réel}}\).

Remarque Pédagogique

Les deux définitions sont équivalentes :
\(\eta_v = \frac{N_{\text{réel}}}{N_{\text{th}}}\) (rapport des vitesses)
\(\eta_v = \frac{Q_{\text{th}}}{Q_{\text{réel}}} = \frac{V_m \times N_{\text{réel}}}{V_m \times N_{\text{th}}} = \frac{N_{\text{réel}}}{N_{\text{th}}}\)
Utiliser le rapport des vitesses est plus direct car nous venons de calculer \(N_{\text{th}}\) et \(N_{\text{réel}}\) est donné.

Normes

Le rendement est une grandeur adimensionnelle (sans unité), généralement exprimée en pourcentage (%).

Formule(s)

Formule utilisée pour le calcul :

Rendement volumétrique

\eta_v = \frac{N_{\text{réel}}}{N_{\text{th}}}

Hypothèses

On suppose que les mesures de l'énoncé (N_réel) et le calcul de N_th sont corrects.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et une donnée de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse réelle	\(N_{\text{réel}}\)	1120	tr/min
Vitesse théorique (Calcul Q1)	\(N_{\text{th}}\)	1200	tr/min

Astuces

Pour que le rapport soit correct, les deux vitesses doivent être dans la même unité (ici, tr/min), ce qui est le cas. Le résultat sera un nombre inférieur à 1 (car \(N_{\text{réel}} < N_{\text{th}}\)). Il suffira de le multiplier par 100 pour l'obtenir en pourcentage.

Schéma (Avant les calculs)

Conceptuellement, le débit total \(Q_{\text{réel}}\) se divise en un débit de fuite \(Q_f\) et un débit "utile" \(Q_u\) qui génère la rotation. \(\eta_v = Q_u / Q_{\text{réel}}\).

[Concept de fuite]

Calcul(s)

Calcul du rendement volumétrique \(\eta_v\)

On applique la formule en utilisant la vitesse réelle (donnée) et la vitesse théorique (calculée à la Q1).

\begin{aligned} \eta_v &= \frac{N_{\text{réel}}}{N_{\text{th}}} \\ &= \frac{1120 \text{ tr/min}}{1200 \text{ tr/min}} \\ &\approx 0.9333 \end{aligned}

Pour exprimer ce résultat en pourcentage, on le multiplie par 100.

\begin{aligned} \eta_v (\%) &= 0.9333 \times 100 \\ &= 93.33 \% \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour ce calcul.

Réflexions

Un rendement volumétrique de 93.33% signifie que 93.33% du débit absorbé par le moteur est utile (génère la rotation) et que le reste, soit 100% - 93.33% = 6.67%, est perdu en fuites internes (il retourne directement au réservoir sans produire de travail).

Points de vigilance

Ne pas inverser la fraction ! Le rendement est toujours inférieur à 1 (ou 100%). Si vous obtenez un résultat supérieur à 1 (ex: 1200 / 1120), c'est que vous avez inversé \(N_{\text{réel}}\) et \(N_{\text{th}}\).

Points à retenir

Le rendement volumétrique \(\eta_v\) quantifie les pertes par fuites.
\(\eta_v = N_{\text{réel}} / N_{\text{th}}\) (toujours < 1).

Le saviez-vous ?

Ce rendement n'est pas constant. Il dépend fortement de la pression (plus elle augmente, plus les fuites augmentent, donc \(\eta_v\) diminue) et de la viscosité de l'huile (une huile plus visqueuse réduit les fuites, mais augmente les frottements !).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le rendement volumétrique \(\eta_v\) est d'environ 93.3%.

A vous de jouer

Avec les mêmes données, si la vitesse réelle mesurée avait été de 1150 tr/min, quel aurait été le rendement volumétrique ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept : Efficacité à convertir le débit en vitesse.
Formule : \(\eta_v = N_{\text{réel}} / N_{\text{th}}\).
Vigilance : Résultat < 100%.

Question 3 : Calculer le couple théorique \(C_{\text{th}}\) (en N.m).

Principe

Le couple théorique est le couple idéal que le moteur produirait si 100% de la différence de pression (\(\Delta P\)) était convertie en effort de rotation, sans aucune perte par frottement. C'est le couple maximal "disponible" grâce à la pression.

Mini-Cours

Le couple théorique \(C_{\text{th}}\) est directement proportionnel à la différence de pression \(\Delta P\) et à la cylindrée \(V_m\). C'est la "force" que la pression exerce sur le mécanisme interne du moteur (pistons) pour le faire tourner. La formule exacte inclut un facteur \(2\pi\) pour convertir la cylindrée (volume/tour) en un couple (force x distance).

Remarque Pédagogique

De la même manière que pour la Q1, on s'attend à ce que le couple réel \(C_{\text{réel}}\) (90 N.m) soit *inférieur* au couple théorique \(C_{\text{th}}\) que nous allons calculer. La différence entre les deux sera le "couple perdu" par les frottements internes.

Normes

Pour obtenir un couple en Newton-mètres (N.m), unité du Système International (SI), la pression doit être en Pascals (Pa) et la cylindrée en mètres cubes par radian (m³/rad). C'est la source majeure d'erreurs.

Formule(s)

La formule la plus simple, après simplification des unités (voir Astuces), est :

Couple théorique (formule SI)

C_{\text{th}} = \frac{\Delta P \times V_m}{2\pi}

Ici, \(\Delta P\) doit être en Pascals (Pa ou N/m²) et \(V_m\) en mètres cubes par tour (m³/tr).

Hypothèses

Pour ce calcul, on pose l'hypothèse d'un moteur parfait mécaniquement :

Rendement mécanique \(\eta_m = 1\) (pas de frottements).
La pression \(\Delta P\) est intégralement transformée en couple.

Donnée(s)

Nous avons besoin des données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Différence de pression	\(\Delta P\)	120	bar
Cylindrée	\(V_m\)	50	cm³/tr

Astuces

Convertir les unités (bar, cm³/tr) vers le SI (Pa, m³/tr) est fastidieux. Les hydrauliciens utilisent une formule "magique" où \(C_{\text{th}}\) (N.m) = \(\Delta P\) (bar) x \(V_m\) (cm³/tr) / 628.
Cette constante 628.3 vient de \((2\pi) \times (10^5 \text{ Pa/bar}) / (10^6 \text{ cm³/m³})\). Nous allons utiliser cette formule simplifiée.

Schéma (Avant les calculs)

On modélise l'action de la pression \(\Delta P\) sur la cylindrée \(V_m\) pour générer un couple \(C_{\text{th}}\).

[Concept de Couple]

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la pression \(\Delta P\) en Pascals (Pa)

Nous devons utiliser les unités SI. 1 bar = \(10^5\) Pa (ou \(10^5\) N/m²).

\begin{aligned} \Delta P &= 120 \text{ bar} \times 10^5 \frac{\text{Pa}}{\text{bar}} \\ &= 12 \times 10^6 \text{ Pa} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion de la cylindrée \(V_m\) en m³/tr

Nous devons convertir les cm³ en m³. 1 m = 100 cm, donc 1 m³ = (100)³ cm³ = 1 000 000 cm³ = \(10^6\) cm³.

\begin{aligned} V_m &= 50 \text{ cm}^3\text{/tr} \times \frac{1 \text{ m}^3}{10^6 \text{ cm}^3} \\ &= 50 \times 10^{-6} \text{ m}^3\text{/tr} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul du couple théorique \(C_{\text{th}}\)

On applique la formule SI. Le \(2\pi\) sert à passer de "par tour" à "par radian", l'unité SI d'angle.

\begin{aligned} C_{\text{th}} &= \frac{\Delta P \times V_m}{2\pi} \\ &= \frac{(12 \times 10^6 \text{ N/m}^2) \times (50 \times 10^{-6} \text{ m}^3\text{/tr})}{2\pi \text{ rad/tr}} \\ &= \frac{600 \text{ N} \cdot \text{m}}{2\pi} \\ &\approx 95.49 \text{ N} \cdot \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour ce calcul.

Réflexions

Le couple théorique est de 95.5 N.m. L'énoncé nous donne un couple réel mesuré de 90 N.m. Il est logique que le couple réel soit *inférieur* au couple théorique. La différence (95.5 - 90 = 5.5 N.m) est le "couple de perte" consommé par les frottements internes du moteur.

Points de vigilance

L'oubli du \(2\pi\) est l'erreur la plus fréquente. Une cylindrée est un volume *par tour*. Un couple est une force *par radian*. Le \(2\pi\) fait la conversion.
Si vous utilisez la formule "magique" (Q x P / 628), assurez-vous de ses unités (bar, cm³/tr).

Points à retenir

Le couple théorique se calcule avec la pression \(\Delta P\).
\(C_{\text{réel}} < C_{\text{th}}\) à cause des frottements.
La formule SI est \(C_{\text{th}} = (\Delta P \times V_m) / 2\pi\).

Le saviez-vous ?

Le "couple de démarrage" d'un moteur est souvent inférieur au couple à basse vitesse, car il doit vaincre les frottements "secs" (statiques), qui sont plus importants que les frottements "fluides" (dynamiques) une fois le moteur en rotation.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le couple théorique \(C_{\text{th}}\) est d'environ 95.5 N.m.

A vous de jouer

Si la pression \(\Delta P\) était de 150 bar (avec la même cylindrée), quel serait le couple théorique ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept : Couple idéal sans frottements.
Formule : \(C_{\text{th}} = (\Delta P \times V_m) / 2\pi\).
Vigilance : Unités SI (Pa, m³) ou formule simplifiée (bar, cm³ / 628).

Question 4 : Calculer le rendement mécanique \(\eta_m\) (en %).

Principe

Le rendement mécanique mesure l'efficacité du moteur à convertir la "force de pression" (couple théorique) en couple réel sur l'arbre. Il compare le couple réel (ce qui sort) au couple théorique (ce qui devrait sortir si c'était parfait). Un rendement de 90% signifie que 10% du couple est "perdu" par les frottements.

Mini-Cours

Le rendement mécanique \(\eta_m\) est le rapport entre le couple réel \(C_{\text{réel}}\) (mesuré sur l'arbre) et le couple théorique \(C_{\text{th}}\) (calculé à la question 3). C'est l'exact équivalent mécanique du rendement volumétrique (qui comparait les vitesses).

Remarque Pédagogique

Ce rendement quantifie toutes les pertes par frottement : frottement des pistons/palettes, frottements dans les roulements, frottements fluides (barbotage). Il est logique qu'il soit inférieur à 100%.

Normes

Comme tout rendement, \(\eta_m\) est un nombre sans dimension, exprimé en pourcentage.

Formule(s)

Formule utilisée pour le calcul :

Rendement mécanique

\eta_m = \frac{C_{\text{réel}}}{C_{\text{th}}}

Hypothèses

On suppose que les mesures de l'énoncé (C_réel) et le calcul de C_th sont corrects.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q3 et une donnée de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Couple réel	\(C_{\text{réel}}\)	90	N.m
Couple théorique (Calcul Q3)	\(C_{\text{th}}\)	95.49	N.m

Astuces

Assurez-vous que les deux couples sont dans la même unité (ici, N.m) avant de faire la division. Comme pour \(\eta_v\), le résultat doit être inférieur à 1.

Schéma (Avant les calculs)

Conceptuellement, le couple théorique \(C_{\text{th}}\) se divise en un couple perdu par frottement \(C_f\) et un couple "utile" \(C_{\text{réel}}\).

[Concept de frottement]

Calcul(s)

Calcul du rendement mécanique \(\eta_m\)

On applique la formule en utilisant le couple réel (donné) et le couple théorique (calculé à la Q3).

\begin{aligned} \eta_m &= \frac{C_{\text{réel}}}{C_{\text{th}}} \\ &= \frac{90 \text{ N.m}}{95.49 \text{ N.m}} \\ &\approx 0.9425 \end{aligned}

Pour exprimer ce résultat en pourcentage, on le multiplie par 100.

\begin{aligned} \eta_m (\%) &= 0.9425 \times 100 \\ &= 94.25 \% \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour ce calcul.

Réflexions

Un rendement mécanique de 94.25% signifie que 94.25% du couple généré par la pression est transmis à l'arbre, et que le reste, soit 100% - 94.25% = 5.75%, est perdu en frottements internes.

Points de vigilance

Ne pas inverser la fraction. Le rendement est toujours inférieur à 1. \(\eta_m\) est le rapport de ce qui "sort" (Réel) sur ce qui "rentre" (Théorique).

Points à retenir

Le rendement mécanique \(\eta_m\) quantifie les pertes par frottements.
\(\eta_m = C_{\text{réel}} / C_{\text{th}}\) (toujours < 1).

Le saviez-vous ?

Le rendement mécanique varie beaucoup avec la vitesse de rotation. À très basse vitesse, les frottements "secs" sont importants et \(\eta_m\) est faible. À très haute vitesse, les frottements fluides augmentent et \(\eta_m\) chute à nouveau. Il est maximal à une vitesse de croisière nominale.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le rendement mécanique \(\eta_m\) est d'environ 94.25%.

A vous de jouer

Avec le même couple théorique (95.49 N.m), si le couple réel mesuré n'était que de 85 N.m, quel serait le rendement mécanique ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept : Efficacité à convertir la pression en couple.
Formule : \(\eta_m = C_{\text{réel}} / C_{\text{th}}\).
Vigilance : Résultat < 100%.

Question 5 : Calculer le rendement global \(\eta_g\) (en %) de deux manières différentes.

Principe

Le rendement global est l'efficacité totale du moteur. Il répond à la question : "Sur 100% de puissance hydraulique que je fournis à l'entrée, quel pourcentage je récupère en puissance mécanique utile à la sortie ?". C'est le chiffre le plus important pour l'ingénieur.

Mini-Cours

Il y a deux façons de voir le rendement global \(\eta_g\) :
1. Le produit des rendements : Le rendement global est simplement le produit du rendement volumétrique (pertes de débit) et du rendement mécanique (pertes de couple). \(\eta_g = \eta_v \times \eta_m\).
2. Le rapport des puissances : C'est la définition la plus fondamentale. \(\eta_g = P_{\text{mécanique}} / P_{\text{hydraulique}}\).

Remarque Pédagogique

Calculer \(\eta_g\) des deux manières est une excellente façon de vérifier l'ensemble de vos calculs. Si les deux méthodes donnent le même résultat, vous êtes (presque) certain de ne pas vous être trompé !

Normes

La puissance se mesure en Watts (W) ou Kilowatts (kW). 1 kW = 1000 W.

Formule(s)

Les formules nécessaires sont :

Méthode 1 : Produit des rendements

\eta_g = \eta_v \times \eta_m

Méthode 2 : Rapport des puissances

\eta_g = \frac{P_{\text{mécanique}}}{P_{\text{hydraulique}}} = \frac{C_{\text{réel}} \times \omega_{\text{réelle}}}{Q_{\text{réel}} \times \Delta P}

Où \(\omega\) est la vitesse angulaire en radians par seconde (rad/s).

Hypothèses

On suppose que toutes les pertes sont soit volumétriques, soit mécaniques. On néglige les pertes thermiques pures (qui sont en fait la conséquence des deux premières).

Donnée(s)

On va utiliser toutes les données de l'énoncé et tous les résultats précédents.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rendement volumétrique (Q2)	\(\eta_v\)	0.9333	-
Rendement mécanique (Q4)	\(\eta_m\)	0.9425	-
Débit réel	\(Q_{\text{réel}}\)	60	L/min
Différence de pression	\(\Delta P\)	120	bar
Couple réel	\(C_{\text{réel}}\)	90	N.m
Vitesse réelle	\(N_{\text{réel}}\)	1120	tr/min

Schéma (Avant les calculs)

Bilan de puissance.

[Bilan de Puissance]

Points de vigilance

Encore et toujours les unités ! Pour obtenir des Watts (W) :
Puissance (W) = Pression (Pa) x Débit (m³/s)
Puissance (W) = Couple (N.m) x Vitesse angulaire (rad/s)
L'astuce la plus rapide est la formule : Puissance (kW) = Débit (L/min) x Pression (bar) / 600.

Calcul(s) - Méthode 1

Méthode 1 : Calcul par le produit des rendements

On utilise les résultats des questions 2 et 4. C'est la méthode la plus rapide.

\begin{aligned} \eta_g &= \eta_v \times \eta_m \\ &= 0.9333 \times 0.9425 \\ &\approx 0.8796 \end{aligned}

Exprimé en pourcentage :

\begin{aligned} \eta_g (\%) &= 0.8796 \times 100 \\ &= 87.96 \% \end{aligned}

Calcul(s) - Méthode 2

Méthode 2 : Calcul par le rapport des puissances

On doit d'abord calculer la puissance hydraulique d'entrée (\(P_h\)) et la puissance mécanique de sortie (\(P_m\)).

Étape 2a : Calcul de la puissance hydraulique \(P_h\)

On utilise la formule \(P_h = Q_{\text{réel}} \times \Delta P\). On convertit le débit en m³/s (\(60 \text{ L/min} = 1 \text{ L/s} = 0.001 \text{ m}^3\text{/s}\)) et la pression en Pascals (\(120 \text{ bar} = 12 \times 10^6 \text{ Pa}\)).

\begin{aligned} P_h &= (0.001 \text{ m}^3\text{/s}) \times (12 \times 10^6 \text{ N/m}^2) \\ &= 12000 \text{ W} \\ &= 12.0 \text{ kW} \end{aligned}

(Note : avec la formule rapide : \(P_h (\text{kW}) = (60 \text{ L/min} \times 120 \text{ bar}) / 600 = 12.0 \text{ kW}\).)

Étape 2b : Calcul de la puissance mécanique \(P_m\)

On utilise la formule \(P_m = C_{\text{réel}} \times \omega_{\text{réelle}}\). On convertit la vitesse en rad/s (\(N_{\text{réel}} = 1120 \text{ tr/min}\)).

\begin{aligned} \omega_{\text{réelle}} &= 1120 \frac{\text{tr}}{\text{min}} \times \frac{2\pi \text{ rad}}{1 \text{ tr}} \times \frac{1 \text{ min}}{60 \text{ s}} \\ &\approx 117.28 \text{ rad/s} \end{aligned}

On peut maintenant calculer la puissance mécanique :

\begin{aligned} P_m &= 90 \text{ N.m} \times 117.28 \text{ rad/s} \\ &\approx 10555 \text{ W} \\ &= 10.56 \text{ kW} \end{aligned}

Étape 2c : Calcul du rendement global \(\eta_g\)

On fait le rapport des deux puissances.

\begin{aligned} \eta_g &= \frac{P_m}{P_h} \\ &= \frac{10.56 \text{ kW}}{12.0 \text{ kW}} \\ &\approx 0.880 \end{aligned}

Exprimé en pourcentage :

\begin{aligned} \eta_g (\%) &= 0.880 \times 100 \\ &= 88.0 \% \end{aligned}

Le résultat est identique au calcul par les puissances, ce qui valide l'ensemble de nos calculs.

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Sankey (bilan des pertes).

[Diagramme de Sankey]

Réflexions

Les deux méthodes donnent le même résultat (88.0% vs 88.0%). Cela confirme nos calculs. Sur 12 kW de puissance hydraulique fournis au moteur, 10.6 kW sont restitués sur l'arbre, et 1.4 kW sont perdus (en fuites et en frottements).

Points à retenir

Le rendement global est le produit des rendements partiels.
Les pertes (fuites, frottements) se dissipent quasi-exclusivement en chaleur dans le fluide hydraulique.

Le saviez-vous ?

La puissance perdue (\(P_h - P_m = 1.4 \text{ kW}\)) est convertie en chaleur. C'est l'équivalent d'un petit radiateur électrique ! C'est pour cela que les systèmes hydrauliques de puissance nécessitent presque toujours un refroidisseur d'huile.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le rendement global \(\eta_g\) est d'environ 88%.

A vous de jouer

Quelle est la puissance totale perdue (en kW) ? (Indice : C'est la différence entre \(P_h\) et \(P_m\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept : Efficacité totale du moteur.
Formules : \(\eta_g = \eta_v \times \eta_m\) OU \(\eta_g = P_m / P_h\).
Vigilance : Unités de puissance (kW = bar * L/min / 600) ou (W = N.m * rad/s).

Outil Interactif : Simulateur de Rendement

Utilisez les sliders pour voir comment la pression et les fuites (simulées par une baisse de \(\eta_v\)) affectent la puissance de sortie et le rendement global.

Paramètres d'Entrée

Pression ΔP (bar) 120 bar

Rendement Volumétrique ηv (%) 93 %

Résultats Clés

Puissance Hydraulique (kW) -

Puissance Mécanique (kW) -

Puissance Perdue (kW) -

Glossaire

Cylindrée (\(V_m\)): Volume de fluide absorbé ou refoulé par le moteur (ou la pompe) pour un tour complet de son arbre. Unité : cm³/tr.
Rendement Volumétrique (\(\eta_v\)): Rapport entre le débit théoriquement nécessaire pour la vitesse réelle et le débit réellement consommé. Il mesure l'étanchéité (les fuites) du moteur.
Rendement Mécanique (\(\eta_m\)): Rapport entre le couple réel mesuré à l'arbre et le couple théorique généré par la pression. Il mesure les pertes par frottement.
Rendement Global (\(\eta_g\)): Rapport entre la puissance mécanique de sortie et la puissance hydraulique d'entrée. C'est le produit \(\eta_v \times \eta_m\).
Oléohydraulique: Technique de transmission de puissance utilisant un fluide sous pression, généralement de l'huile.