Rendement Global d'une Transmission Hydrostatique

Contexte : L'OléohydrauliqueTechnologie de la transmission et du contrôle des forces et des mouvements par l'intermédiaire d'un fluide sous pression (généralement de l'huile). (ou Hydraulique de Puissance).

Cet exercice se concentre sur le cœur d'un système de transmission de puissance : la transmission hydrostatiqueEnsemble composé d'une pompe hydraulique et d'un moteur hydraulique, permettant de transmettre de la puissance mécanique de manière continue et contrôlable.. Cet ensemble, composé d'une pompe et d'un moteur hydraulique, n'est jamais parfait et subit des pertes. Nous allons apprendre à quantifier ces pertes en calculant le rendement de chaque composant (pompe et moteur) afin de déterminer le rendement global total de la transmission.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un système complexe (la transmission) en ses composants (pompe, moteur) pour analyser sa performance. Vous comprendrez où se situent les pertes (volumétriques et hydromécaniques) et comment elles s'accumulent pour affecter la puissance finale disponible en sortie.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et différencier le rendement volumétrique, hydromécanique et global.
Calculer le rendement global d'une pompe hydraulique.
Calculer le débit réel d'une pompe et la vitesse de rotation réelle d'un moteur.
Calculer le couple réel d'un moteur hydraulique.
Évaluer le rendement global total de la transmission et comprendre la cascade des pertes.

Données de l'étude

On étudie une transmission hydrostatique en circuit fermé. Une pompe hydraulique entraîne un moteur hydraulique. Leurs caractéristiques à la pression de service sont les suivantes :

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Système	Transmission hydrostatique (pompe + moteur)
Fluide	Huile hydraulique ISO VG 46
Pression de service (\(\Delta p\))	200 bar

Schéma de principe d'une transmission hydrostatique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Cylindrée Pompe	\(V_p\)	50	cm³/tr
Vitesse Pompe	\(N_p\)	1500	tr/min
Rendement Volumétrique Pompe	\(\eta_{v,p}\)	0.95	-
Rendement Hydromécanique Pompe	\(\eta_{hm,p}\)	0.90	-
Cylindrée Moteur	\(V_m\)	40	cm³/tr
Rendement Volumétrique Moteur	\(\eta_{v,m}\)	0.94	-
Rendement Hydromécanique Moteur	\(\eta_{hm,m}\)	0.88	-

Questions à traiter

Calculer le rendement global de la pompe (\(\eta_{g,p}\)).
Calculer le débit théorique (\(Q_{th,p}\)) et le débit réel (\(Q_{r,p}\)) fournis par la pompe.
En déduire la vitesse de rotation réelle du moteur (\(N_m\)).
Calculer le couple théorique (\(C_{th,m}\)) et le couple réel (\(C_{r,m}\)) fournis par le moteur.
Calculer le rendement global du moteur (\(\eta_{g,m}\)) et le rendement global total de la transmission (\(\eta_{g,t}\)).

Les bases sur les Rendements Hydrostatiques

Une machine hydrostatique (pompe ou moteur) n'est jamais parfaite. Elle subit deux types de pertes principales, que l'on quantifie avec deux rendements : le rendement volumétrique (pertes de débit, fuites) et le rendement hydromécanique (pertes de pression/couple, frottements).

1. Rendement Volumétrique (\(\eta_v\))
Il mesure les pertes par fuites internes (du refoulement vers l'aspiration). Un débit théorique (\(Q_{th}\)) est calculé, mais le débit réel (\(Q_r\)) est toujours plus faible (pour une pompe) ou le débit nécessaire est plus grand (pour un moteur). \[ \eta_v = \frac{Q_r}{Q_{th}} \text{ (cas d'une pompe)} \quad | \quad \eta_v = \frac{Q_{th}}{Q_r} \text{ (cas d'un moteur)} \]

2. Rendement Hydromécanique (\(\eta_{hm}\))
Il mesure les pertes par frottement (fluides et mécaniques). Un couple théorique (\(C_{th}\)) est nécessaire pour vaincre la pression, mais le couple réel (\(C_r\)) nécessaire en entrée est plus grand (pour une pompe) ou le couple en sortie est plus faible (pour un moteur). \[ \eta_{hm} = \frac{C_{th}}{C_r} \text{ (cas d'une pompe)} \quad | \quad \eta_{hm} = \frac{C_r}{C_{th}} \text{ (cas d'un moteur)} \]

Correction : Rendement Global d’une Transmission Hydrostatique

Question 1 : Calculer le rendement global de la pompe (\(\eta_{g,p}\)).

Principe

Le rendement global (\(\eta_g\)) d'un composant hydraulique est simplement le produit de ses deux rendements "internes" : le rendement volumétrique (\(\eta_v\)) et le rendement hydromécanique (\(\eta_{hm}\)). Il représente l'efficacité énergétique totale du composant.

Mini-Cours

Le rendement global quantifie la part de la puissance d'entrée qui est effectivement convertie en puissance utile en sortie. Pour une pompe, c'est le rapport entre la puissance hydraulique fournie et la puissance mécanique consommée. \(\eta_g = \eta_v \times \eta_{hm}\) est une relation fondamentale.

Remarque Pédagogique

Pensez aux rendements comme à des "filtres" successifs. La puissance d'entrée traverse un premier filtre (les frottements, \(\eta_{hm}\)) puis un second (les fuites, \(\eta_v\)). Le rendement global est ce qu'il reste à la fin.

Normes

Ces calculs de rendement sont standardisés et définis par des normes (ex: ISO 4391) pour permettre la comparaison des composants entre eux.

Formule(s)

La formule à appliquer est la définition du rendement global :

\eta_{g,p} = \eta_{v,p} \times \eta_{hm,p}

Hypothèses

On suppose que les rendements donnés sont constants pour le point de fonctionnement (vitesse et pression) étudié.

Les pertes dans les conduites entre la pompe et le moteur sont négligées.

Donnée(s)

Nous extrayons les données de la pompe depuis l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rendement Volumétrique Pompe	\(\eta_{v,p}\)	0.95	-
Rendement Hydromécanique Pompe	\(\eta_{hm,p}\)	0.90	-

Astuces

Un rendement est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (ou 0% et 100%). Si votre calcul donne un résultat supérieur à 1, il y a une erreur (souvent une inversion dans une division).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre le concept de rendement : une puissance mécanique entre dans la pompe, et il en sort une puissance hydraulique (utile) et des pertes (chaleur).

Bilan de Puissance (Pompe)

Calcul(s)

Le calcul consiste à appliquer la formule du rendement global en utilisant les valeurs fournies dans le tableau "Donnée(s)" pour la pompe.

Étape 1 : Reprise de la formule

C'est la formule de base qui définit le rendement global comme le produit des deux sous-rendements.

\eta_{g,p} = \eta_{v,p} \times \eta_{hm,p}

Étape 2 : Substitution des valeurs

On remplace \(\eta_{v,p}\) par sa valeur (0.95) et \(\eta_{hm,p}\) par sa valeur (0.90) issues du tableau des données.

\begin{aligned} \eta_{g,p} &= 0.95 \times 0.90 \\ &= 0.855 \end{aligned}

L'application numérique 0.95 multiplié par 0.90 donne 0.855. C'est le rendement global de la pompe.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma précédent mis à jour avec les valeurs de rendement. Pour 100% de puissance mécanique en entrée, on obtient 85.5% de puissance hydraulique utile.

Rendement Global Pompe

Réflexions

Un rendement global de 85.5% est un ordre de grandeur typique pour une pompe à pistons à ce régime. Cela signifie que 14.5% de la puissance d'entrée est perdue, principalement en chaleur (fuites et frottements).

Points de vigilance

Ne pas additionner les rendements ! Les pertes se multiplient (ou plutôt, les rendements se multiplient). Additionner 0.95 et 0.90 n'a aucun sens physique.

Points à retenir

Le rendement global est le produit du rendement volumétrique et du rendement hydromécanique.
\(\eta_g = \eta_v \times \eta_{hm}\)

Le saviez-vous ?

Les rendements ne sont pas constants ! Ils varient énormément avec la vitesse de rotation, la pression de service et la viscosité du fluide (température). Les catalogues constructeurs fournissent des "courbes de rendement" (abaques) pour montrer cela.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le rendement global de la pompe est \(\eta_{g,p} = 0.855\) (soit 85.5%).

A vous de jouer

Si une autre pompe a un \(\eta_{v,p} = 0.98\) et un \(\eta_{hm,p} = 0.92\), quel est son rendement global \(\eta_{g,p}\) ? (Arrondi à 4 décimales)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Efficacité énergétique d'un composant.
Formule Essentielle : \(\eta_g = \eta_v \times \eta_{hm}\).
Résultat : \(0.95 \times 0.90 = 0.855\).

Question 2 : Calculer le débit théorique (\(Q_{th,p}\)) et le débit réel (\(Q_{r,p}\)) fournis par la pompe.

Principe

Le débit théorique (\(Q_{th}\)) est le volume que la pompe *devrait* fournir si elle était parfaite, basé uniquement sur sa géométrie (cylindrée) et sa vitesse. Le débit réel (\(Q_r\)) est ce qu'elle fournit *vraiment*, en prenant en compte les fuites internes (quantifiées par \(\eta_v\)).

Mini-Cours

La cylindrée (\(V_p\)), en cm³/tr, est le volume de fluide déplacé par la pompe à chaque tour. En la multipliant par la vitesse de rotation (\(N_p\)), en tr/min, on obtient un volume par minute : le débit théorique. Le débit réel est ce débit théorique diminué des pertes par fuites.

Remarque Pédagogique

C'est la première étape pour comprendre ce qui va réellement au moteur. Le moteur ne recevra pas le débit théorique, mais bien le débit réel de la pompe.

Normes

Les unités standards pour les débits en hydraulique sont les Litres par minute (L/min).

Formule(s)

Débit théorique

Q_{th,p} = V_p \times N_p

Débit réel (pompe)

Q_{r,p} = Q_{th,p} \times \eta_{v,p}

Hypothèses

On continue de supposer que les rendements sont constants au point de fonctionnement donné.

Donnée(s)

Nous avons besoin des données de la pompe :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Cylindrée Pompe	\(V_p\)	50	cm³/tr
Vitesse Pompe	\(N_p\)	1500	tr/min
Rendement Volumétrique Pompe	\(\eta_{v,p}\)	0.95	-

Astuces

Le point le plus important ici est la gestion des unités ! \(V_p \times N_p\) donnera un résultat en cm³/min. N'oubliez pas de diviser par 1000 pour obtenir des L/min, car \(1 \text{ Litre} = 1000 \text{ cm}^3\).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la différence entre le débit théorique (ce qui est généré par la géométrie) et le débit réel (ce qui sort, après les fuites).

Débits Pompe

Calcul(s)

Nous allons d'abord calculer le débit théorique (parfait) avant de lui appliquer le rendement volumétrique pour trouver le débit réel.

Étape 1 : Calcul du débit théorique (\(Q_{th,p}\))

On applique la formule \(Q_{th,p} = V_p \times N_p\). On prend la cylindrée \(V_p = 50 \text{ cm³/tr}\) et la vitesse \(N_p = 1500 \text{ tr/min}\) des données de l'énoncé.

\begin{aligned} Q_{th,p} &= 50 \text{ cm³/tr} \times 1500 \text{ tr/min} \\ &= 75000 \text{ cm³/min} \end{aligned}

Le résultat est en \(\text{cm³}\) par minute, car les \(\text{tr}\) s'annulent.

Étape 2 : Conversion en L/min

L'unité usuelle est le Litre/minute. Sachant que \(1 \text{ Litre} = 1000 \text{ cm}^3\), on divise notre résultat par 1000.

\begin{aligned} Q_{th,p} &= \frac{75000 \text{ cm³/min}}{1000 \text{ cm³/L}} \\ &= 75 \text{ L/min} \end{aligned}

Le débit théorique (parfait) de la pompe est donc de 75 Litres par minute.

Étape 3 : Calcul du débit réel (\(Q_{r,p}\))

On applique la formule du rendement volumétrique pour une pompe : \(Q_{r,p} = Q_{th,p} \times \eta_{v,p}\). On utilise le débit théorique (75 L/min) calculé à l'étape 2 et le rendement \(\eta_{v,p} = 0.95\) des données.

\begin{aligned} Q_{r,p} &= 75 \text{ L/min} \times 0.95 \\ &= 71.25 \text{ L/min} \end{aligned}

C'est le débit qui sortira réellement de la pompe pour alimenter le moteur. Les 3.75 L/min manquants (75 - 71.25) sont les fuites internes.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma conceptuel mis à jour avec les valeurs calculées. Le débit théorique de 75 L/min est réduit par les fuites (3.75 L/min) pour donner un débit réel de 71.25 L/min.

Débits Pompe (Calculés)

Réflexions

La différence, \(Q_{th,p} - Q_{r,p} = 3.75 \text{ L/min}\), est le débit de fuite. Ce n'est pas de l'huile qui "sort" du système, c'est de l'huile qui retourne de la haute pression vers la basse pression à l'intérieur même de la pompe, sans faire de travail utile.

Points de vigilance

La conversion des unités est la source d'erreur n°1. Toujours écrire les unités dans ses calculs et vérifier leur cohérence. cm³/min \(\rightarrow\) L/min \(\rightarrow\) m³/s sont les conversions classiques.

Points à retenir

\(Q_{th} = V \times N\)
\(Q_r = Q_{th} \times \eta_v\) (pour une pompe)
\(1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3\)

Le saviez-vous ?

Ce débit de fuite interne chauffe énormément. C'est le laminage d'un petit débit d'huile (3.75 L/min) à travers une grande différence de pression (200 bar). C'est l'une des sources de chaleur principales dans un circuit hydraulique.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le débit théorique de la pompe est \(Q_{th,p} = 75 \text{ L/min}\). Le débit réel est \(Q_{r,p} = 71.25 \text{ L/min}\).

A vous de jouer

Si une pompe a \(V_p = 60 \text{ cm³/tr}\) et tourne à \(1000 \text{ tr/min}\) avec \(\eta_{v,p} = 0.9\), quel est son débit réel \(Q_{r,p}\) en L/min ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Débit théorique vs. débit réel.
Formules : \(Q_{th} = V \times N\), \(Q_r = Q_{th} \times \eta_v\).
Calcul : \(Q_{th} = (50 \times 1500) / 1000 = 75\). \(Q_r = 75 \times 0.95 = 71.25\).

Question 3 : En déduire la vitesse de rotation réelle du moteur (\(N_m\)).

Principe

Le débit réel qui sort de la pompe (\(Q_{r,p}\)) est le débit réel qui entre dans le moteur (\(Q_{r,m}\)). Ce débit doit être suffisant pour "remplir" la cylindrée du moteur à chaque tour (\(Q_{th,m}\)), mais aussi pour compenser les fuites internes du moteur (\(\eta_{v,m}\)). On remonte donc du débit réel au débit théorique du moteur, puis à sa vitesse.

Mini-Cours

Pour un moteur, la relation de rendement volumétrique s'inverse : \(\eta_{v,m} = \frac{Q_{th,m}}{Q_{r,m}}\) car le débit réel (\(Q_{r,m}\)) doit être *supérieur* au débit théorique (\(Q_{th,m}\)) pour compenser les fuites tout en assurant la rotation. Une fois \(Q_{th,m}\) trouvé, on utilise \(Q_{th,m} = V_m \times N_m\) pour trouver \(N_m\).

Remarque Pédagogique

C'est la clé de la transmission. Le débit (flux) impose la vitesse. La pompe envoie un flux de 71.25 L/min. Ce flux "force" le moteur à tourner. La vitesse de sortie n'est pas un choix, c'est une conséquence du débit d'entrée et de la géométrie du moteur.

Normes

Le principe de conservation du débit (ce qui sort de la pompe entre dans le moteur, moins les pertes en ligne) est fondamental.

Formule(s)

Conservation du débit

Q_{r,m} = Q_{r,p}

Débit théorique (moteur)

Q_{th,m} = Q_{r,m} \times \eta_{v,m}

Vitesse (moteur)

N_m = \frac{Q_{th,m}}{V_m}

Hypothèses

On néglige les pertes de charge (pression) et les fuites dans les flexibles entre la pompe et le moteur. On suppose donc \(Q_{r,m} = Q_{r,p}\).

Donnée(s)

On utilise le résultat de Q2 et les données du moteur :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit réel (de Q2)	\(Q_{r,p}\)	71.25	L/min
Cylindrée Moteur	\(V_m\)	40	cm³/tr
Rendement Volumétrique Moteur	\(\eta_{v,m}\)	0.94	-

Astuces

L'erreur classique est d'inverser la formule pour le moteur. Rappelez-vous : le débit *entrant* (Réel, \(Q_r\)) est *plus grand* que le débit *faisant tourner* (Théorique, \(Q_{th}\)). Donc \(\eta_v = Q_{th} / Q_r\). Pour trouver la partie utile (\(Q_{th}\)), on fait bien \(Q_r \times \eta_v\).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre le débit réel (\(Q_r\)) entrant dans le moteur, qui se sépare en un débit de fuite et un débit théorique (\(Q_{th}\)) qui génère la rotation (\(N_m\)).

Débits Moteur

Calcul(s)

Étape 1 : Débit entrant dans le moteur

On suppose que tout le débit réel sortant de la pompe entre dans le moteur (pertes en ligne négligées). On utilise donc le résultat de la Question 2.

Q_{r,m} = Q_{r,p} = 71.25 \text{ L/min}

Ce débit réel de 71.25 L/min est ce qui entre dans le moteur.

Étape 2 : Débit théorique (utile) du moteur

Pour un moteur, le débit réel \(Q_{r,m}\) se divise en deux : une partie qui fuit (\(1 - \eta_{v,m}\)) et une partie qui crée la rotation (le débit théorique \(Q_{th,m}\)). On a donc \(Q_{th,m} = Q_{r,m} \times \eta_{v,m}\). On utilise \(Q_{r,m}\) de l'étape 1 et \(\eta_{v,m} = 0.94\) des données.

\begin{aligned} Q_{th,m} &= 71.25 \text{ L/min} \times 0.94 \\ &= 66.975 \text{ L/min} \end{aligned}

Cela signifie que sur les 71.25 L/min qui entrent, seuls 66.975 L/min servent à faire tourner le moteur. Le reste (4.275 L/min) correspond aux fuites internes du moteur.

Étape 3 : Conversion des unités pour le calcul de vitesse

Pour utiliser la formule \(N_m = Q_{th,m} / V_m\), les unités doivent être cohérentes. On convertit \(Q_{th,m}\) en cm³/min pour qu'il soit compatible avec la cylindrée \(V_m\) en cm³/tr (en multipliant par 1000).

\begin{aligned} Q_{th,m} &= 66.975 \text{ L/min} \times 1000 \text{ cm³/L} \\ &= 66975 \text{ cm³/min} \end{aligned}

Nous avons maintenant le débit théorique en \(\text{cm³}\) par minute.

Étape 4 : Calcul de la vitesse réelle du moteur

On isole \(N_m\) de la formule \(Q_{th,m} = V_m \times N_m\), ce qui donne \(N_m = Q_{th,m} / V_m\). On utilise \(Q_{th,m}\) (en cm³/min) de l'étape 3 et \(V_m = 40 \text{ cm³/tr}\) des données. Les unités (cm³/min) / (cm³/tr) donnent bien des (tr/min).

\begin{aligned} N_m &= \frac{Q_{th,m}}{V_m} \\ &= \frac{66975 \text{ cm³/min}}{40 \text{ cm³/tr}} \\ &\approx 1674.38 \text{ tr/min} \end{aligned}

La vitesse de rotation finale du moteur est donc d'environ 1674.4 tours par minute.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma conceptuel mis à jour avec les valeurs calculées, montrant la transformation du débit en vitesse.

Vitesse Moteur (Calculée)

Réflexions

La pompe tourne à 1500 tr/min et le moteur à 1674 tr/min. Le moteur tourne *plus vite* que la pompe. C'est normal : sa cylindrée (40 cm³/tr) est plus faible que celle de la pompe (50 cm³/tr). C'est un "réducteur" de couple et "multiplicateur" de vitesse.

Points de vigilance

L'erreur classique est de se tromper dans la formule du rendement volumétrique moteur. Retenez : le débit *réel* (ce qui entre) est toujours *plus grand* que le débit *théorique* (ce qui fait tourner) pour un moteur. \(Q_r > Q_{th}\). Donc \(\eta_v = Q_{th} / Q_r\).

Points à retenir

Le débit réel de la pompe est le débit réel du moteur (\(Q_{r,p} = Q_{r,m}\)).
Pour un moteur : \(\eta_{v,m} = \frac{Q_{th,m}}{Q_{r,m}}\)
La vitesse se calcule avec le débit *théorique* : \(N_m = Q_{th,m} / V_m\).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La vitesse de rotation réelle du moteur est \(N_m \approx 1674.4 \text{ tr/min}\).

A vous de jouer

Si le moteur reçoit \(Q_{r,m} = 60 \text{ L/min}\), que son \(\eta_{v,m} = 0.9\) et sa \(V_m = 50 \text{ cm³/tr}\), quelle est sa vitesse \(N_m\) en tr/min ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Le débit impose la vitesse.
Formules : \(Q_{th,m} = Q_{r,m} \times \eta_{v,m}\), \(N_m = Q_{th,m} / V_m\).
Calcul : \(Q_{th,m} = 71.25 \times 0.94 = 66.975\). \(N_m = (66975) / 40 = 1674.4\).

Question 4 : Calculer le couple théorique (\(C_{th,m}\)) et le couple réel (\(C_{r,m}\)) fournis par le moteur.

Principe

La pression (\(\Delta p\)) agissant sur la cylindrée (\(V_m\)) génère un couple théorique (\(C_{th,m}\)). C'est le couple qui *devrait* être produit si le moteur était parfait. Le couple réel (\(C_{r,m}\)) est ce qui est *vraiment* disponible en sortie, après les pertes par frottement (quantifiées par \(\eta_{hm,m}\)).

Mini-Cours

La pression crée une force, et cette force agissant sur les pistons/palettes du moteur crée un couple. Le couple théorique est la conversion directe de l'énergie de pression en couple. Le couple réel est ce couple théorique diminué des pertes par frottement.

Remarque Pédagogique

De même que le débit impose la vitesse, la pression impose le couple. La pression de 200 bar est "poussée" par la pompe. Cette pression "force" le moteur à développer un couple.

Normes

En mécanique, le couple est en Newton-mètre (N.m).

Formule(s)

Couple théorique (formule ingénieur)

C_{th,m} = \frac{V_m \times \Delta p}{20 \times \pi}

(Avec \(V_m\) en cm³/tr, \(\Delta p\) en bar, et \(C_{th,m}\) en N.m)

Couple réel (moteur)

C_{r,m} = C_{th,m} \times \eta_{hm,m}

Hypothèses

On suppose que la pression \(\Delta p = 200 \text{ bar}\) est constante et appliquée entièrement au moteur (pas de pertes de charge en ligne).

Donnée(s)

On a besoin des données du moteur et de la pression :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression	\(\Delta p\)	200	bar
Cylindrée Moteur	\(V_m\)	40	cm³/tr
Rendement Hydromécanique Moteur	\(\eta_{hm,m}\)	0.88	-

Astuces

La formule \(C_{th} = (V \times \Delta p) / (20\pi)\) est une 'formule ingénieur' très pratique. Elle vient de la conversion des unités : \(V\) (en cm³/tr) est converti en m³/rad et \(\Delta p\) (en bar) est converti in Pa (N/m²). Le facteur \(1 / (20\pi)\) gère toutes ces conversions pour donner directement des N.m.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre la pression (\(\Delta p\)) entrant dans le moteur, qui génère un couple théorique (\(C_{th}\)). Ce couple est réduit par les pertes par frottement pour donner le couple réel (\(C_r\)) en sortie.

Couples Moteur

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du couple théorique (\(C_{th,m}\))

On utilise la "formule ingénieur" qui gère les conversions d'unités. On prend \(V_m = 40 \text{ cm³/tr}\) et \(\Delta p = 200 \text{ bar}\) des données de l'énoncé.

\begin{aligned} C_{th,m} &= \frac{V_m \times \Delta p}{20 \times \pi} \\ &= \frac{40 \times 200}{20 \times \pi} \\ &= \frac{8000}{62.8318...} \\ &\approx 127.32 \text{ N.m} \end{aligned}

Le couple théorique (parfait) que le moteur devrait produire est de 127.32 N.m.

Étape 2 : Calcul du couple réel (\(C_{r,m}\))

Le couple réel en sortie est le couple théorique (généré par la pression) diminué des pertes par frottement, quantifiées par \(\eta_{hm,m}\). On applique \(C_{r,m} = C_{th,m} \times \eta_{hm,m}\). On utilise \(C_{th,m}\) de l'étape 1 et \(\eta_{hm,m} = 0.88\) des données.

\begin{aligned} C_{r,m} &= 127.32 \text{ N.m} \times 0.88 \\ &\approx 112.04 \text{ N.m} \end{aligned}

C'est le couple utile, réellement disponible sur l'arbre de sortie du moteur pour entraîner la charge (ex: la roue).

Schéma (Après les calculs)

Le schéma conceptuel mis à jour avec les valeurs calculées. La pression génère 127.3 Nm de couple théorique, mais 15.3 Nm sont perdus en frottement, ne laissant que 112.0 Nm en sortie.

Couples Moteur (Calculés)

Réflexions

Le moteur développe un couple théorique de 127 N.m, mais à cause des frottements internes (mécaniques et visqueux), le couple réellement disponible sur l'arbre de sortie n'est que de 112 N.m. La différence, 15 N.m, est "perdue" pour vaincre ces frottements.

Points de vigilance

Pour un moteur, le couple *réel* est *plus petit* que le couple *théorique*. C'est l'inverse de la pompe, où le couple réel (en entrée) doit être plus grand que le théorique pour compenser les frottements.

Points à retenir

La pression génère le couple.
\(C_{th} = (V \times \Delta p) / (20\pi)\) (avec unités bar, cm³, N.m)
\(C_r = C_{th} \times \eta_{hm}\) (pour un moteur)

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le couple théorique du moteur est \(C_{th,m} \approx 127.3 \text{ N.m}\). Le couple réel est \(C_{r,m} \approx 112.0 \text{ N.m}\).

A vous de jouer

Si un moteur a \(V_m = 50 \text{ cm³/tr}\) sous \(\Delta p = 150 \text{ bar}\) avec \(\eta_{hm,m} = 0.9\), quel est son couple réel \(C_{r,m}\) en N.m ? (Arrondi à 2 décimales)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : La pression génère le couple.
Formules : \(C_{th} = (V \times \Delta p) / (20\pi)\), \(C_r = C_{th} \times \eta_{hm}\).
Calcul : \(C_{th} = (40 \times 200) / (20\pi) = 127.3\). \(C_r = 127.3 \times 0.88 = 112.0\).

Question 5 : Calculer le rendement global du moteur (\(\eta_{g,m}\)) ET le rendement global total de la transmission (\(\eta_{g,t}\)).

Principe

Dernière étape ! Le rendement global du moteur se calcule comme celui de la pompe (produit des rendements). Le rendement global *total* de la transmission est le produit du rendement global de la pompe ET du rendement global du moteur. Les pertes s'accumulent.

Mini-Cours

La puissance mécanique (\(P_{in}\)) entre dans la pompe. La pompe la convertit avec son efficacité (\(\eta_{g,p}\)). La puissance hydraulique (\(P_{hyd}\)) voyage vers le moteur. Le moteur la convertit avec son efficacité (\(\eta_{g,m}\)). La puissance mécanique finale (\(P_{out}\)) est donc \(P_{out} = P_{in} \times \eta_{g,p} \times \eta_{g,m}\). Le rendement total est \(\eta_{g,t} = P_{out} / P_{in} = \eta_{g,p} \times \eta_{g,m}\).

Remarque Pédagogique

C'est souvent une surprise de voir à quel point les rendements chutent. Deux composants "performants" (ex: 90% et 90%) ne donnent pas une transmission à 90% ou 81% (\(0.9 \times 0.9\)). Ici, nos composants sont à 85.5% et (on va le calculer) 82.7%. Le total sera bien plus bas.

Normes

La définition de l'efficacité d'une chaîne énergétique est le produit des efficacités de chaque maillon.

Formule(s)

Rendement global (moteur)

\eta_{g,m} = \eta_{v,m} \times \eta_{hm,m}

Rendement global (transmission)

\eta_{g,t} = \eta_{g,p} \times \eta_{g,m}

Hypothèses

On utilise les valeurs de rendement données, supposées constantes.

Donnée(s)

On rassemble tous nos rendements :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rendement Volumétrique Moteur	\(\eta_{v,m}\)	0.94	-
Rendement Hydromécanique Moteur	\(\eta_{hm,m}\)	0.88	-
Rendement Global Pompe (de Q1)	\(\eta_{g,p}\)	0.855	-

Astuces

Pour calculer la puissance de sortie finale (en kW), la formule est \(P_{out} = (C_{r,m} \times N_m) / 9550\). Avec nos résultats : \(P_{out} = (112.04 \times 1674.38) / 9550 \approx 19.6 \text{ kW}\). On peut vérifier la puissance d'entrée : \(P_{in} = (C_{r,p} \times N_p) / 9550\). On a \(C_{th,p} = (50 \times 200) / (20\pi) = 159.15\). \(C_{r,p} = C_{th,p} / \eta_{hm,p} = 159.15 / 0.9 = 176.8\). \(P_{in} = (176.8 \times 1500) / 9550 \approx 27.77 \text{ kW}\). Le rendement total est \(19.6 / 27.77 \approx 0.7058\). Vérifions avec notre calcul \(\eta_{g,t}\)...

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre la chaîne de puissance complète. La puissance d'entrée (\(P_{in}\)) est réduite une première fois par le rendement de la pompe (\(\eta_{g,p}\)), puis la puissance hydraulique résultante (\(P_{hyd}\)) est réduite une seconde fois par le rendement du moteur (\(\eta_{g,m}\)) pour donner la puissance de sortie finale (\(P_{out}\)).

Chaîne de Puissance et Rendements

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du rendement global du moteur (\(\eta_{g,m}\))

Tout comme pour la pompe (Q1), le rendement global du moteur est le produit de ses rendements volumétrique (\(\eta_{v,m} = 0.94\)) et hydromécanique (\(\eta_{hm,m} = 0.88\)).

\begin{aligned} \eta_{g,m} &= \eta_{v,m} \times \eta_{hm,m} \\ &= 0.94 \times 0.88 \\ &= 0.8272 \end{aligned}

Le rendement global du moteur est donc de 82.72%.

Étape 2 : Calcul du rendement global total (\(\eta_{g,t}\))

Le rendement de la transmission complète est le produit des rendements de chaque maillon. On multiplie le rendement global de la pompe (\(\eta_{g,p} = 0.855\), calculé à la Q1) par le rendement global du moteur (\(\eta_{g,m} = 0.8272\), calculé à l'Étape 1 ci-dessus).

\begin{aligned} \eta_{g,t} &= \eta_{g,p} \times \eta_{g,m} \\ &= 0.855 \times 0.8272 \\ &\approx 0.7073 \end{aligned}

Le rendement final de la transmission est d'environ 70.73%. Cela signifie que pour 100 kW de puissance mécanique fournie à la pompe, seuls 70.73 kW sont récupérés sur l'arbre du moteur.

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme de Sankey (flux) illustre la cascade des pertes. 100% de la puissance entre, 14.5% est perdue dans la pompe. Il reste 85.5% (la puissance hydraulique). De ces 85.5%, on perd 17.28% (soit \(1 - 0.8272\)) dans le moteur, ce qui correspond à \(0.855 \times (1 - 0.8272) \approx 14.8\%\) du total. Il reste en sortie 70.7%.

Diagramme de Sankey (Flux de Puissance)

Réflexions

Le rendement global du moteur est de 82.7%. Le rendement global total de la transmission est de 70.7%.
Notre vérification par la puissance (dans "Astuces") donnait 0.7058. La petite différence est due aux arrondis successifs. Les deux méthodes sont cohérentes.

Points de vigilance

Ne jamais moyenner les rendements ! (\(0.855 + 0.8272) / 2 = 0.8411\), ce qui est complètement faux et beaucoup trop optimiste. Les rendements d'une chaîne se multiplient toujours.

Points à retenir

Le rendement global total est le produit des rendements globaux de chaque composant de la chaîne.
\(\eta_{g,t} = \eta_{g,p} \times \eta_{g,m} \times ...\)

Le saviez-vous ?

Sur une transmission hydrostatique, 70.7% de rendement est correct, mais peut-être un peu faible. Une transmission mécanique par engrenages ou cardans atteint facilement 95-98% de rendement. Le "prix" à payer pour la flexibilité (variation continue, couple élevé à basse vitesse) de l'hydraulique est une perte d'énergie plus importante.

Résultat Final

Le rendement global du moteur est \(\eta_{g,m} = 82.72\%\). Le rendement global total de la transmission est \(\eta_{g,t} \approx 70.73\%\).

A vous de jouer

Si le rendement global d'une pompe est \(\eta_{g,p} = 0.9\) et celui du moteur \(\eta_{g,m} = 0.8\), quel est le rendement total \(\eta_{g,t}\) (en décimal) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Les rendements d'une chaîne se multiplient.
Formules : \(\eta_{g,m} = \eta_{v,m} \times \eta_{hm,m}\), \(\eta_{g,t} = \eta_{g,p} \times \eta_{g,m}\).
Calcul : \(\eta_{g,m} = 0.94 \times 0.88 = 0.8272\). \(\eta_{g,t} = 0.855 \times 0.8272 = 0.7073\).

Outil Interactif : Simulateur de Puissance Hydraulique

Explorez la relation entre le débit, la pression et la puissance. Ce simulateur calcule la puissance hydraulique théorique (l'énergie transportée par le fluide) et la puissance mécanique réelle nécessaire en entrée (en supposant un rendement global fixe de 85%).

Paramètres d'Entrée

Débit (Q) (L/min) 75 L/min

Pression (Δp) (bar) 200 bar

Résultats Clés

Puissance Hydraulique (P_hyd) (kW) -

Puissance Mécanique Requise (P_mec) (kW) -

Glossaire

Rendement Volumétrique (\(\eta_v\)): Rapport entre le débit théorique et le débit réel. Il quantifie les pertes de débit dues aux fuites internes du composant.
Rendement Hydromécanique (\(\eta_{hm}\)): Rapport entre le couple (ou pression) théorique et réel. Il quantifie les pertes de couple dues aux frottements (mécaniques et visqueux).
Rendement Global (\(\eta_g\)): Produit du rendement volumétrique et hydromécanique (\(\eta_v \times \eta_{hm}\)). Il représente l'efficacité énergétique totale du composant.
Cylindrée (V): Volume de fluide déplacé ou admis par un composant (pompe ou moteur) pour un tour complet. Généralement en cm³/tr.
Transmission Hydrostatique: Ensemble fonctionnel composé d'une pompe et d'un (ou plusieurs) moteur(s) hydrauliques, qui transmet la puissance mécanique par l'intermédiaire d'un fluide sous pression.