Puissance Dissipée par les Pertes de Charge

Contexte : L'énergie dans les écoulements de fluides.

Lorsqu'un fluide s'écoule dans une canalisation, il perd de l'énergie à cause des frottements contre les parois (pertes de charge linéaires) et des obstacles comme les coudes, les vannes ou les élargissements (pertes de charge singulières). Cette énergie perdue se transforme en chaleur et doit être compensée, généralement par une pompe, pour maintenir l'écoulement. Le calcul de la puissance dissipée par ces pertes de chargeDiminution de la pression d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois de la canalisation et aux obstacles. est donc une étape cruciale pour le dimensionnement des installations hydrauliques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser le calcul des différentes pertes de charge dans un circuit hydraulique simple et de quantifier l'énergie nécessaire pour les surmonter, une compétence fondamentale pour tout technicien ou ingénieur en mécanique des fluides.

Objectifs Pédagogiques

Identifier et différencier les pertes de charge linéaires et singulières.
Calculer la vitesse d'écoulement et le nombre de Reynolds.
Déterminer le facteur de frottement à l'aide de l'équation de Colebrook-White.
Appliquer la formule de Darcy-Weisbach pour les pertes linéaires.
Calculer la somme des pertes singulières.
Déterminer la puissance hydraulique dissipée par l'ensemble des pertes de charge.

Données de l'étude

On souhaite calculer la puissance dissipée par les pertes de charge pour un circuit hydraulique transportant de l'eau d'un point A à un point B.

Schéma du circuit hydraulique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fluide	-	Eau à 20°C	-
Masse volumique de l'eau	\(\rho\)	1000	kg/m³
Viscosité cinématique de l'eau	\(\nu\)	\(1.0 \times 10^{-6}\)	m²/s
Débit volumique	\(Q\)	50	m³/h
Diamètre intérieur de la conduite	\(D\)	100	mm
Longueur totale de la conduite	\(L\)	200	m
Rugosité absolue de la conduite (PVC)	\(\varepsilon\)	0.0015	mm
Coefficient de perte de charge (Coude 90°)	\(K_{\text{coude}}\)	0.9	-
Coefficient de perte de charge (Vanne)	\(K_{\text{vanne}}\)	0.2	-
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Questions à traiter

Calculer la vitesse de l'écoulement \(V\) dans la conduite.
Calculer le nombre de Reynolds \(Re\).
Déterminer le facteur de frottement \(f\).
Calculer les pertes de charge linéaires \(\Delta H_{\text{lin}}\).
Calculer les pertes de charge singulières \(\Delta H_{\text{sing}}\).
En déduire la perte de charge totale \(\Delta H_{\text{tot}}\).
Calculer la puissance \(P\) dissipée par les pertes de charge.

Les bases sur les Pertes de Charge

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les formules fondamentales relatives aux pertes d'énergie dans les conduites.

1. Pertes de Charge Linéaires (Darcy-Weisbach)
Elles sont dues au frottement du fluide sur la longueur de la conduite. La formule de Darcy-Weisbach permet de les calculer : \[ \Delta H_{\text{lin}} = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \] Où \(f\) est le facteur de frottement, \(L\) la longueur, \(D\) le diamètre, \(V\) la vitesse et \(g\) l'accélération de la pesanteur.

2. Pertes de Charge Singulières
Elles sont localisées et causées par les accidents de tuyauterie (coudes, vannes, etc.). On les calcule en sommant les effets de chaque singularité : \[ \Delta H_{\text{sing}} = \left( \sum K_i \right) \cdot \frac{V^2}{2g} \] Où \(K_i\) est le coefficient de perte de charge de chaque élément.

3. Puissance Dissipée
La puissance perdue (dissipée) par les frottements correspond à l'énergie qu'une pompe doit fournir pour compenser ces pertes. \[ P = \rho \cdot g \cdot Q \cdot \Delta H_{\text{tot}} \] Où \(\rho\) est la masse volumique, \(Q\) le débit et \(\Delta H_{\text{tot}}\) la perte de charge totale (\(\Delta H_{\text{lin}} + \Delta H_{\text{sing}}\)).

Correction : Calcul de la Puissance Dissipée par les Pertes de Charge

Question 1 : Calculer la vitesse de l'écoulement \(V\)

Principe

La vitesse du fluide est le rapport entre le débit volumique (le volume de fluide qui passe à travers une section par unité de temps) et l'aire de cette section. C'est le reflet de la rapidité de l'écoulement.

Mini-Cours

Ce calcul découle du principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible. Le débit massique (\(\dot{m} = \rho \cdot Q\)) est constant. Comme \(\rho\) est constant, le débit volumique \(Q = A \cdot V\) l'est aussi. La vitesse est donc inversement proportionnelle à la section de passage.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout calcul en hydraulique devrait systématiquement être la conversion de toutes les grandeurs dans le Système International (SI) : mètres (m), kilogrammes (kg), secondes (s). Cela évite 90% des erreurs de calcul.

Normes

Il n'y a pas de norme directe pour ce calcul, mais les diamètres intérieurs réels des tuyaux sont standardisés (par ex. ISO 4200), ce qui est crucial pour obtenir une valeur précise de la section \(A\) dans une application réelle.

Formule(s)

Formule de la vitesse

V = \frac{Q}{A}

Formule de l'aire d'une section circulaire

A = \frac{\pi D^2}{4}

Hypothèses

On suppose que le fluide remplit entièrement la conduite et que la vitesse est uniforme sur toute la section (vitesse moyenne). En réalité, la vitesse est nulle à la paroi et maximale au centre (profil de vitesse).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	Q	50	m³/h
Diamètre	D	100	mm

Astuces

Pour les circuits d'eau domestiques ou industriels standards, une vitesse d'écoulement se situe souvent entre 1 et 3 m/s. Un résultat très éloigné de cette plage doit vous alerter sur une possible erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Section de la conduite et débit

Calcul(s)

Conversion du débit

\begin{aligned} Q &= 50 \, \frac{\text{m}^3}{\text{h}} \\ &= \frac{50}{3600} \, \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \\ &\approx 0.0139 \, \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \end{aligned}

Conversion du diamètre

\begin{aligned} D &= 100 \, \text{mm} \\ &= 0.1 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul de la section

\begin{aligned} A &= \frac{\pi \cdot (0.1 \, \text{m})^2}{4} \\ &\approx 0.00785 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul de la vitesse

\begin{aligned} V &= \frac{0.0139 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.00785 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.77 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la vitesse dans la conduite

Réflexions

La vitesse de 1.77 m/s est une valeur tout à fait plausible pour une application de pompage, assurant un bon compromis entre des pertes de charge raisonnables et un diamètre de conduite économique.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de diviser le débit par 3600 (pour passer des heures aux secondes) ou de se tromper dans la conversion des millimètres en mètres (facteur 1000).

Points à retenir

La relation fondamentale entre débit, vitesse et section est la clé. Maîtriser les conversions d'unités (débit, longueur) est non-négociable.

Le saviez-vous ?

Le concept de débit et de vitesse est à la base de l'équation de continuité, l'une des trois équations fondamentales de la mécanique des fluides avec les équations de Navier-Stokes (quantité de mouvement) et l'équation de l'énergie.

FAQ

Résultat Final

La vitesse de l'écoulement dans la conduite est d'environ 1.77 m/s.

A vous de jouer

Si le débit était de 75 m³/h avec le même diamètre, quelle serait la nouvelle vitesse ?
Indice : la vitesse est directement proportionnelle au débit.

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds \(Re\)

Principe

Le nombre de Reynolds compare l'intensité des forces d'inertie (qui tendent à créer des turbulences) à celle des forces de viscosité (qui tendent à amortir les perturbations et à maintenir un écoulement lisse). C'est le critère universel pour définir si un écoulement est laminaire ou turbulent.

Mini-Cours

Un écoulement est dit :
• Laminaire (\(Re < 2000\)) : les filets de fluide glissent les uns sur les autres en couches ordonnées. Les pertes de charge sont faibles.
• Transitoire (\(2000 < Re < 4000\)) : régime instable, difficile à prédire.
• Turbulent (\(Re > 4000\)) : l'écoulement est chaotique, avec des tourbillons (eddies) qui augmentent considérablement les pertes d'énergie par frottement.

Remarque Pédagogique

La détermination du régime d'écoulement est une étape obligatoire avant de pouvoir choisir la bonne méthode de calcul pour le facteur de frottement \(f\). Ne sautez jamais cette étape !

Normes

Les seuils de 2000 et 4000 sont des valeurs empiriques universellement reconnues dans les codes et normes de l'ingénierie des fluides pour les écoulements internes en conduite circulaire.

Formule(s)

Formule du nombre de Reynolds

Re = \frac{V \cdot D}{\nu}

Hypothèses

On suppose que les propriétés du fluide (\(\nu\)) sont constantes. En réalité, la viscosité dépend de la température, qui peut varier le long de la conduite.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse	V	1.77	m/s
Diamètre	D	0.1	m
Viscosité cinématique	\(\nu\)	1.0 x 10⁻⁶	m²/s

Astuces

Pour l'eau à température ambiante dans des tuyaux de quelques centimètres de diamètre, l'écoulement devient turbulent dès que la vitesse dépasse quelques centimètres par seconde. Dans la pratique, l'écoulement d'eau est donc presque toujours turbulent.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des régimes d'écoulement

Calcul(s)

Calcul du nombre de Reynolds

\begin{aligned} Re &= \frac{1.77 \, \text{m/s} \cdot 0.1 \, \text{m}}{1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &= 177000 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Position sur l'échelle de Reynolds

Réflexions

Avec une valeur de 177 000, nous sommes très largement dans le domaine turbulent. Les forces d'inertie sont 177 000 fois plus importantes que les forces de viscosité. Les frottements seront donc significatifs et dépendront de la rugosité du tuyau.

Points de vigilance

Assurez-vous que la viscosité utilisée est bien la viscosité cinématique (\(\nu\), en m²/s) et non la viscosité dynamique (\(\mu\), en Pa.s). La formule change si on utilise \(\mu\) : \(Re = \rho V D / \mu\).

Points à retenir

Le nombre de Reynolds est un prérequis au calcul des pertes de charge. Retenez la formule \(Re = VD/\nu\) et les seuils de changement de régime.

Le saviez-vous ?

Osborne Reynolds, un ingénieur irlandais, a visualisé pour la première fois la transition laminaire-turbulent en 1883 en injectant un filet de colorant dans un écoulement d'eau dans un tube de verre. Son expérience est encore reproduite aujourd'hui dans les écoles d'ingénieurs.

FAQ

Résultat Final

Le nombre de Reynolds est d'environ 177 000, ce qui indique un régime d'écoulement turbulent.

A vous de jouer

Si l'on pompait une huile 50 fois plus visqueuse (\(\nu = 5.0 \times 10^{-5}\) m²/s) à la même vitesse, quel serait le régime d'écoulement ?

Question 3 : Déterminer le facteur de frottement \(f\)

Principe

Le facteur de frottement \(f\) quantifie l'intensité des pertes de charge dues à la friction. En régime turbulent, il dépend à la fois du nombre de Reynolds (qui caractérise l'écoulement) et de la rugosité relative de la conduite (qui caractérise la paroi).

Mini-Cours

Pour les écoulements turbulents, la relation entre \(f\), \(Re\) et la rugosité relative \(\varepsilon/D\) est décrite par l'équation de Colebrook-White. Cette équation est implicite : le facteur de frottement \(f\) apparaît des deux côtés de l'équation, ce qui signifie qu'on ne peut pas l'isoler directement. Pour la résoudre, on doit utiliser une méthode numérique, typiquement par itérations successives.

Remarque Pédagogique

Le choix de la valeur de rugosité \(\varepsilon\) est l'une des plus grandes sources d'incertitude dans les calculs hydrauliques. Elle dépend du matériau, de son état de surface, de son âge (corrosion, dépôts). Utilisez toujours des valeurs tabulées fiables.

Normes

Les valeurs de rugosité pour divers matériaux de tuyauterie sont fournies par des normes industrielles (par ex. ASME, API) et les fabricants.

Formule(s)

Équation de Colebrook-White

\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{f}} \right)

Hypothèses

On suppose que la rugosité de la conduite est uniforme sur toute sa longueur.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rugosité absolue	\(\varepsilon\)	0.0015	mm
Diamètre	D	100	mm
Nombre de Reynolds	Re	177000	-

Astuces

Pour démarrer les itérations, une bonne valeur initiale pour \(f\) peut être obtenue avec une formule simplifiée (comme celle pour les tuyaux lisses) ou en prenant une valeur typique comme 0.02.

Schéma (Avant les calculs)

Principe du Diagramme de Moody

Calcul(s)

Pré-calculs

\begin{aligned} \varepsilon &= 0.0015 \, \text{mm} = 1.5 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ D &= 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m} \end{aligned}

\frac{\varepsilon}{D} = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{0.1} = 1.5 \times 10^{-5}

Itération 1 : Initialisation

On commence avec une estimation initiale, par exemple \(f_0 = 0.02\). On injecte cette valeur dans la partie droite de l'équation de Colebrook-White pour trouver une nouvelle estimation \(f_1\).

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{1.5 \times 10^{-5}}{3.7} + \frac{2.51}{177000 \sqrt{0.02}} \right) \\ \frac{1}{\sqrt{f_1}} &\approx -2 \log_{10} (4.05 \times 10^{-6} + 1.00 \times 10^{-4}) \\ \frac{1}{\sqrt{f_1}} &\approx 7.96 \\ \Rightarrow f_1 &= \left(\frac{1}{7.96}\right)^2 \approx 0.0158 \end{aligned}

Itération 2 : Raffinement

La nouvelle valeur \(f_1 = 0.0158\) est différente de l'estimation initiale. On la réinjecte donc dans l'équation pour obtenir une valeur encore plus précise, \(f_2\).

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{1.5 \times 10^{-5}}{3.7} + \frac{2.51}{177000 \sqrt{0.0158}} \right) \\ \frac{1}{\sqrt{f_2}} &\approx -2 \log_{10} (4.05 \times 10^{-6} + 1.13 \times 10^{-4}) \\ \frac{1}{\sqrt{f_2}} &\approx 7.86 \\ \Rightarrow f_2 &= \left(\frac{1}{7.86}\right)^2 \approx 0.0162 \end{aligned}

Itération 3 : Convergence

On répète le processus avec \(f_2 = 0.0162\).

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f_3}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{1.5 \times 10^{-5}}{3.7} + \frac{2.51}{177000 \sqrt{0.0162}} \right) \\ \frac{1}{\sqrt{f_3}} &\approx -2 \log_{10} (4.05 \times 10^{-6} + 1.11 \times 10^{-4}) \\ \frac{1}{\sqrt{f_3}} &\approx 7.87 \\ \Rightarrow f_3 &= \left(\frac{1}{7.87}\right)^2 \approx 0.0161 \end{aligned}

Les valeurs \(f_2\) (0.0162) et \(f_3\) (0.0161) sont très proches. On peut considérer que le calcul a convergé.

Schéma (Après les calculs)

Lecture sur le Diagramme de Moody

Réflexions

La valeur de 0.0161, obtenue par la méthode de référence (Colebrook-White), est très proche de celle qu'on obtiendrait avec une formule d'approximation directe comme Swamee-Jain. Cela valide l'utilisation de ces formules pour des calculs rapides. La méthode itérative reste cependant la plus précise.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser le logarithme en base 10 (\(\log_{10}\)) et non le logarithme népérien (\(\ln\)). C'est une erreur classique lors de l'utilisation de calculatrices.

Points à retenir

En régime turbulent, le facteur de frottement dépend de \(Re\) et \(\varepsilon/D\). L'équation de Colebrook-White est la référence pour le calculer et se résout par itérations.

Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody est l'une des rares représentations graphiques encore massivement utilisées en ingénierie à l'ère du calcul numérique, tant il est efficace pour visualiser l'influence des différents paramètres sur les pertes de charge.

FAQ

Résultat Final

Le facteur de frottement, calculé par itération, est d'environ 0.0161.

A vous de jouer

Si la conduite était en fonte usée (\(\varepsilon = 0.5\) mm), quel serait le nouveau facteur de frottement \(f\) (en gardant \(Re=177000\)) ?

Question 4 : Calculer les pertes de charge linéaires \(\Delta H_{\text{lin}}\)

Principe

Les pertes de charge linéaires (ou régulières) représentent la perte d'énergie "continue" due au frottement du fluide contre les parois de la conduite sur toute sa longueur. Elles sont souvent la contribution la plus importante à la perte de charge totale dans les longues canalisations.

Mini-Cours

La formule de Darcy-Weisbach montre que ces pertes augmentent avec le carré de la vitesse, ce qui signifie que doubler le débit (et donc la vitesse) quadruple approximativement les pertes par frottement. Elles augmentent aussi linéairement avec la longueur et inversement avec le diamètre.

Remarque Pédagogique

L'unité de \(\Delta H\) est le mètre. Il faut l'interpréter comme une "hauteur de colonne de fluide" équivalente à l'énergie perdue. Si \(\Delta H = 5\) m, cela signifie que le fluide a perdu autant d'énergie que s'il avait chuté d'une hauteur de 5 mètres.

Normes

La formule de Darcy-Weisbach est le standard international pour le calcul des pertes de charge linéaires dans les conduites en charge.

Formule(s)

Formule de Darcy-Weisbach

\Delta H_{\text{lin}} = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g}

Hypothèses

On suppose que le diamètre, la rugosité et le débit sont constants sur toute la longueur \(L\).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Facteur de frottement	f	0.0161	-
Longueur	L	200	m
Diamètre	D	0.1	m
Vitesse	V	1.77	m/s
Gravité	g	9.81	m/s²

Astuces

Le terme \(V^2 / (2g)\) est appelé "hauteur cinétique". Il est souvent utile de le calculer une seule fois et de le réutiliser pour le calcul des pertes linéaires et singulières.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation d'une conduite droite

Calcul(s)

Calcul de la hauteur cinétique

\begin{aligned} \frac{V^2}{2g} &= \frac{(1.77 \, \text{m/s})^2}{2 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 0.16 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul des pertes de charge linéaires

\begin{aligned} \Delta H_{\text{lin}} &= f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \\ &= 0.0161 \cdot \frac{200 \, \text{m}}{0.1 \, \text{m}} \cdot 0.16 \, \text{m} \\ &= 32.2 \cdot 0.16 \, \text{m} \\ &\approx 5.15 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la perte de charge linéaire

Réflexions

Une perte de 5.15 mètres signifie que la pression dans le fluide a chuté d'une valeur équivalente à la pression exercée par une colonne d'eau de 5.15 m de haut (environ 0.51 bar). C'est une perte d'énergie non négligeable.

Points de vigilance

Vérifiez que toutes les grandeurs de la formule de Darcy-Weisbach sont bien en unités SI (mètres, m/s, m/s²) avant de faire l'application numérique.

Points à retenir

La formule de Darcy-Weisbach est centrale en hydraulique. Retenez l'influence quadratique de la vitesse (\(V^2\)) et l'influence du rapport \(L/D\).

Le saviez-vous ?

Henry Darcy était un ingénieur français du 19ème siècle qui a mené des expériences pionnières sur l'écoulement de l'eau à travers des lits de sable à Dijon, jetant les bases de l'hydrogéologie et de l'hydraulique moderne.

FAQ

Résultat Final

Les pertes de charge linéaires sont de 5.15 mètres.

A vous de jouer

Si la conduite faisait 400 m de long au lieu de 200 m, quelle serait la nouvelle valeur de \(\Delta H_{\text{lin}}\) ?

Question 5 : Calculer les pertes de charge singulières \(\Delta H_{\text{sing}}\)

Principe

Les pertes de charge singulières représentent la perte d'énergie "locale" causée par une perturbation de l'écoulement. Cette perturbation est due aux accessoires de tuyauterie (coudes, vannes, tés, réductions...) qui forcent le fluide à changer de direction ou de vitesse.

Mini-Cours

Chaque accessoire est caractérisé par un coefficient de perte de charge \(K\), qui est un nombre sans dimension déterminé expérimentalement. La perte de charge totale due aux singularités est la somme des pertes individuelles, car on suppose que les perturbations ne s'influencent pas mutuellement si les accessoires sont suffisamment espacés.

Remarque Pédagogique

Dans les circuits courts avec beaucoup d'accessoires (ex: salle des machines), les pertes singulières peuvent devenir prédominantes par rapport aux pertes linéaires. Ne les négligez jamais sans une justification.

Normes

Les coefficients \(K\) pour les accessoires standards sont tabulés dans de nombreux manuels de mécanique des fluides et normes professionnelles (par ex. le Crane Technical Paper No. 410).

Formule(s)

Formule des pertes de charge singulières

\Delta H_{\text{sing}} = \left( \sum K_i \right) \cdot \frac{V^2}{2g}

Hypothèses

On suppose que les coefficients K fournis par les fabricants sont corrects et que les accessoires sont suffisamment éloignés les uns des autres pour que leurs effets perturbateurs ne s'additionnent pas de manière complexe.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de perte de charge (Coude)	\(K_{\text{coude}}\)	0.9	-
Coefficient de perte de charge (Vanne)	\(K_{\text{vanne}}\)	0.2	-
Hauteur cinétique	\(V^2/(2g)\)	0.16	m

Astuces

On peut aussi exprimer une perte singulière en "longueur équivalente" de tuyau droit : \(L_{\text{eq}} = K \cdot D/f\). Cela permet de tout ramener à un calcul de perte linéaire sur une longueur fictive totale.

Schéma (Avant les calculs)

Localisation des pertes singulières

Calcul(s)

Somme des coefficients de perte de charge

\begin{aligned} \sum K_i &= (2 \times K_{\text{coude}}) + K_{\text{vanne}} \\ &= (2 \times 0.9) + 0.2 \\ &= 1.8 + 0.2 \\ &= 2.0 \end{aligned}

Calcul des pertes de charge singulières

\begin{aligned} \Delta H_{\text{sing}} &= \left( \sum K_i \right) \cdot \frac{V^2}{2g} \\ &= 2.0 \cdot 0.16 \, \text{m} \\ &= 0.32 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Chute de la ligne de charge aux singularités

Réflexions

Les pertes singulières (0.32 m) sont bien plus faibles que les pertes linéaires (5.15 m) dans cet exemple, car la conduite est longue. Cela confirme que pour les longues canalisations, ce sont les frottements linéaires qui dominent.

Points de vigilance

N'oubliez aucun accessoire lors du décompte des K ! Une vanne à moitié fermée peut avoir un K de 5 ou 10, changeant radicalement le calcul.

Points à retenir

La méthode des coefficients K est un moyen simple et efficace pour estimer les pertes localisées. La perte est toujours proportionnelle à l'énergie cinétique du fluide (\(V^2/2g\)).

Le saviez-vous ?

Les balles de golf ont des alvéoles pour une raison liée aux pertes de charge ! Ces aspérités créent une fine couche turbulente autour de la balle, ce qui réduit la "perte de charge de forme" (la traînée) et lui permet de voyager beaucoup plus loin qu'une balle lisse.

FAQ

Résultat Final

Les pertes de charge singulières sont de 0.32 mètres.

A vous de jouer

Si on remplaçait la vanne par une vanne papillon (K=1.5), quelle serait la nouvelle valeur de \(\Delta H_{\text{sing}}\) ?

Question 6 : En déduire la perte de charge totale \(\Delta H_{\text{tot}}\)

Principe

La perte de charge totale est la somme de toutes les pertes d'énergie subies par le fluide le long de son parcours. Elle représente l'énergie totale que la pompe doit fournir au fluide (par unité de poids) pour simplement maintenir l'écoulement, sans compter le changement d'altitude ou de pression entre l'entrée et la sortie.

Mini-Cours

Dans l'équation de Bernoulli généralisée, qui est le bilan énergétique complet pour un fluide réel, \(\Delta H_{\text{tot}}\) apparaît comme le terme de perte :
\(\frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} + z_A + H_{\text{pompe}} = \frac{P_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + z_B + \Delta H_{\text{tot}}\)

Formule(s)

Formule de la perte de charge totale

\Delta H_{\text{tot}} = \Delta H_{\text{lin}} + \Delta H_{\text{sing}}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pertes de charge linéaires	\(\Delta H_{\text{lin}}\)	5.15	m
Pertes de charge singulières	\(\Delta H_{\text{sing}}\)	0.32	m

Schéma (Avant les calculs)

Addition des Pertes de Charge

Calcul(s)

Calcul de la somme

\begin{aligned} \Delta H_{\text{tot}} &= 5.15 \, \text{m} + 0.32 \, \text{m} \\ &= 5.47 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Décomposition des pertes de charge totales

Résultat Final

La perte de charge totale du circuit est de 5.47 mètres de colonne de fluide.

Question 7 : Calculer la puissance \(P\) dissipée

Principe

La puissance dissipée (ou "puissance hydraulique" des pertes) est la quantité d'énergie perdue par le fluide par frottement, par unité de temps. C'est l'équivalent d'une force de freinage qui s'oppose à l'écoulement, et cette "force" multipliée par la "vitesse" (le débit) donne une puissance.

Mini-Cours

Cette puissance est convertie en chaleur, provoquant une légère augmentation de la température du fluide. Dans la plupart des cas, cette augmentation est négligeable, mais dans des circuits fermés à haute puissance, elle peut devenir significative et nécessiter un système de refroidissement.

Formule(s)

Formule de la puissance hydraulique

P = \rho \cdot g \cdot Q \cdot \Delta H_{\text{tot}}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique	\(\rho\)	1000	kg/m³
Gravité	g	9.81	m/s²
Débit volumique	Q	0.0139	m³/s
Perte de charge totale	\(\Delta H_{\text{tot}}\)	5.47	m

Schéma (Avant les calculs)

Concept de la puissance dissipée

Calcul(s)

Calcul de la puissance dissipée

\begin{aligned} P &= \rho \cdot g \cdot Q \cdot \Delta H_{\text{tot}} \\ &= 1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9.81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0.0139 \, \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 5.47 \, \text{m} \\ &\approx 745 \, \text{W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Bilan de puissance

Réflexions

Une puissance de 745 W (soit environ 0.75 kW) est continuellement transformée en chaleur par le simple passage de l'eau dans le tuyau. C'est l'équivalent de l'énergie consommée par plusieurs ampoules incandescentes. La pompe devra fournir au minimum cette puissance au fluide, et sa consommation électrique sera encore plus élevée à cause de son rendement (généralement entre 60% et 80%).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de ne pas utiliser le débit en unités SI (m³/s). Si vous utilisez le débit en m³/h, votre résultat sera 3600 fois trop grand !

Points à retenir

La puissance dissipée est le produit du poids volumique du fluide (\(\rho g\)), du débit (\(Q\)) et de la perte de charge totale (\(\Delta H_{\text{tot}}\)). C'est le coût énergétique du transport du fluide.

Le saviez-vous ?

Dans les grands oléoducs sur des milliers de kilomètres, les pertes de charge sont si importantes que de puissantes stations de pompage doivent être installées tous les 50 à 100 km pour "rebooster" la pression du pétrole, compensant ainsi la puissance dissipée par frottement.

FAQ

Résultat Final

La puissance dissipée par les pertes de charge est d'environ 745 Watts.

A vous de jouer

Si la perte de charge totale était de 10 m, quelle serait la puissance dissipée ?

Outil Interactif : Simulateur de Pertes de Charge

Utilisez les curseurs pour voir comment le débit et le diamètre de la conduite influencent la perte de charge totale et la puissance dissipée. Les autres paramètres (longueur, rugosité, etc.) restent fixes.

Paramètres d'Entrée

Débit (Q) 50 m³/h

Diamètre (D) 100 mm

Résultats Clés

Perte de Charge Totale (\(\Delta H_{\text{tot}}\)) - m

Puissance Dissipée (P) - W

Glossaire

Perte de Charge: Représente la perte d'énergie (exprimée en hauteur de colonne de fluide, en mètres) d'un fluide en mouvement due aux frottements.
Nombre de Reynolds (Re): Un nombre adimensionnel utilisé en mécanique des fluides pour caractériser un régime d'écoulement. Il quantifie le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses.
Facteur de Frottement (f): Un coefficient sans dimension qui intervient dans le calcul des pertes de charge linéaires et qui dépend de la rugosité de la conduite et du nombre de Reynolds.
Rugosité (\(\varepsilon\)): Une mesure des imperfections de surface à l'intérieur d'une conduite, qui influence le frottement du fluide.