ÉTUDE HYDRAULIQUE

Propagation d’un Polluant dans un Réseau

Hydraulique : Propagation d'un Polluant dans un Réseau en Charge

Modélisation de la Propagation d'un Polluant dans un Réseau

Contexte : Suivre à la Trace une Contamination

La gestion des réseaux d'eau potable est une problématique cruciale. En cas de contamination accidentelle en un point du réseau, il est vital de pouvoir prédire comment et quand le polluant va se propager pour atteindre les consommateurs. Ce problème se modélise en utilisant deux principes fondamentaux : la conservation de la massePrincipe stipulant que la masse totale d'un système isolé reste constante. En hydraulique, cela implique que le débit entrant dans un nœud est égal au débit sortant. (pour l'eau et pour le polluant) et le concept d'advectionTransport d'une substance ou d'une quantité (comme la chaleur ou un polluant) par le mouvement d'ensemble d'un fluide. C'est le transport par le courant., qui décrit le transport du polluant par le courant. Cet exercice a pour but de modéliser un scénario simple de contamination pour calculer les temps d'arrivée et les concentrations résultantes.

Remarque Pédagogique : Ce modèle simplifié, basé sur l'advection pure, est la première étape de la modélisation de la qualité de l'eau. Dans la réalité, le polluant se disperse aussi par diffusion moléculaire et dispersion turbulente, ce qui étale le "front" de contamination. Cependant, l'advection reste le mécanisme dominant pour déterminer les temps de parcours moyens.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse d'écoulement à partir du débit et du diamètre d'une conduite.
  • Appliquer le principe de conservation de la masse à un nœud de réseau pour les débits et les polluants.
  • Calculer la concentration d'un mélange à une jonction.
  • Déterminer le temps de parcours d'un polluant dans une conduite (temps d'advection).
  • Combiner les temps de parcours pour prédire l'heure d'arrivée d'une contamination à un point donné.

Données de l'étude

Un réseau d'eau simple est constitué de deux conduites (1 et 2) qui se rejoignent en un nœud (A) pour former une troisième conduite (3). À l'instant \(t=0\), un polluant avec une concentration \(C_1 = 50 \, \text{mg/L}\) est introduit au début de la conduite 1. L'eau de la conduite 2 est considérée comme propre (\(C_2 = 0\)).

Schéma du Réseau de Conduites
Conduite 1 L1=200m, D1=150mm Q1=15 L/s, C1=50 mg/L Conduite 2 L2=100m, D2=100mm Q2=5 L/s, C2=0 Conduite 3 D3=200mm Point B A

Questions à traiter

  1. Calculer le débit \(Q_3\) et les vitesses moyennes \(V_1\), \(V_2\), \(V_3\) dans chaque conduite.
  2. Déterminer la concentration \(C_3\) du polluant dans la conduite 3, en supposant un mélange parfait au nœud A.
  3. Calculer le temps total nécessaire pour que le front de polluant, partant du début de la conduite 1 à \(t=0\), atteigne le point B situé à 500 m en aval du nœud A.

Correction : Modélisation de la Propagation d'un Polluant dans un Réseau

Question 1 : Calcul des Débits et Vitesses

Principe :
Q1 Q2 Q3 A

Le principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible stipule qu'en un nœud, la somme des débits entrants est égale à la somme des débits sortants. La vitesse moyenne dans une conduite est ensuite calculée en divisant le débit par l'aire de la section transversale de la conduite.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La conversion des unités est la source d'erreur la plus fréquente ici. Les débits sont souvent donnés en Litres par seconde (L/s) et les diamètres en millimètres (mm). Il est impératif de tout convertir en unités du Système International (m³/s et m) avant de calculer les vitesses en m/s.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_3 = Q_1 + Q_2 \]
\[ V = \frac{Q}{A} \quad \text{avec} \quad A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Donnée(s) :
  • \(Q_1 = 15 \, \text{L/s} = 0.015 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • \(Q_2 = 5 \, \text{L/s} = 0.005 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • \(D_1 = 150 \, \text{mm} = 0.15 \, \text{m}\)
  • \(D_2 = 100 \, \text{mm} = 0.10 \, \text{m}\)
  • \(D_3 = 200 \, \text{mm} = 0.20 \, \text{m}\)
Calcul(s) :

1. Débit dans la conduite 3 :

\[ \begin{aligned} Q_3 &= 0.015 + 0.005 \\ &= 0.020 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

2. Vitesses dans les conduites :

\[ V_1 = \frac{0.015}{\pi (0.15)^2 / 4} \approx \frac{0.015}{0.01767} \approx 0.849 \, \text{m/s} \]
\[ V_2 = \frac{0.005}{\pi (0.10)^2 / 4} \approx \frac{0.005}{0.00785} \approx 0.637 \, \text{m/s} \]
\[ V_3 = \frac{0.020}{\pi (0.20)^2 / 4} \approx \frac{0.020}{0.03142} \approx 0.637 \, \text{m/s} \]
Points de vigilance :

Unités : 1 m³ = 1000 L. Une erreur d'un facteur 1000 sur la conversion des débits est très courante et fausse tous les calculs suivants. De même, ne pas oublier de diviser le diamètre par 1000 pour passer de mm à m.

Le saviez-vous ?

Le fait que \(V_2\) et \(V_3\) soient quasi identiques est une coïncidence due aux données choisies. En général, les vitesses dans les différentes branches d'un réseau sont très différentes et dépendent de la demande en eau en aval.

FAQ en rapport avec la question :
La loi de conservation de la masse est-elle toujours vraie ?

Oui, pour un nœud simple, c'est l'un des principes les plus fondamentaux de la physique. Dans un réseau réel, il peut y avoir des fuites, ce qui signifie qu'une petite partie du débit "disparaît" du système, mais pour un réseau étanche, la loi est toujours respectée.

Résultat : \(Q_3 = 20 \, \text{L/s}\), \(V_1 \approx 0.85 \, \text{m/s}\), \(V_2 \approx 0.64 \, \text{m/s}\), et \(V_3 \approx 0.64 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Concentration du Polluant après Mélange

Principe :
C1, Q1 C2, Q2 C3, Q3 A

En plus de la masse d'eau, la masse de polluant doit aussi être conservée. Le flux de masse de polluant entrant dans le nœud A est la somme des flux de chaque conduite (\(C \times Q\)). Ce flux total doit être égal au flux de masse de polluant sortant dans la conduite 3. On suppose que le mélange au nœud est parfait et instantané.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La concentration résultante est une moyenne des concentrations d'entrée, pondérée par les débits. Si le débit d'eau propre (\(Q_2\)) est très grand par rapport au débit d'eau polluée (\(Q_1\)), la concentration finale sera très faible (forte dilution). Inversement, si \(Q_2\) est faible, la concentration finale sera proche de la concentration initiale \(C_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C_1 Q_1 + C_2 Q_2 = C_3 Q_3 \]
\[ C_3 = \frac{C_1 Q_1 + C_2 Q_2}{Q_3} \]
Donnée(s) :
  • \(C_1 = 50 \, \text{mg/L}\), \(Q_1 = 15 \, \text{L/s}\)
  • \(C_2 = 0 \, \text{mg/L}\), \(Q_2 = 5 \, \text{L/s}\)
  • \(Q_3 = 20 \, \text{L/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} C_3 &= \frac{(50 \times 15) + (0 \times 5)}{20} \\ &= \frac{750}{20} \\ &= 37.5 \, \text{mg/L} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités cohérentes pour le bilan : Pour que l'équation du bilan de masse soit correcte, les unités de débit (\(Q\)) et de concentration (\(C\)) doivent être cohérentes. Ici, on peut laisser les débits en L/s et les concentrations en mg/L, car les unités de volume (L) s'annulent. Le résultat pour \(C_3\) sera alors directement en mg/L.

Le saviez-vous ?

Les opérateurs de réseaux d'eau utilisent des modèles informatiques sophistiqués basés sur ce principe simple pour simuler en temps réel la qualité de l'eau. Ils peuvent ainsi anticiper l'impact d'une pollution et prendre des mesures correctives, comme fermer des vannes ou injecter du chlore, avant que l'eau contaminée n'atteigne les consommateurs.

FAQ en rapport avec la question :
Le mélange est-il vraiment parfait et instantané ?

Non, c'est une idéalisation. En réalité, il faut une certaine distance dans la conduite 3 pour que les filets d'eau des conduites 1 et 2 se mélangent complètement par turbulence. Cependant, pour des conduites longues, cette "longueur de mélange" est souvent considérée comme négligeable par rapport à la longueur totale.

Résultat : La concentration dans la conduite 3 est de 37.5 mg/L.

Question 3 : Temps de Propagation jusqu'au Point B

Principe :
t1 = L1 / V1 t3 = L3 / V3 Temps Total = t1 + t3

Le temps de parcours d'un polluant dans une conduite est le temps nécessaire pour que l'eau (et le polluant qu'elle transporte) traverse toute la longueur de la conduite à la vitesse moyenne d'écoulement. Le temps total pour atteindre le point B est la somme du temps de parcours dans la conduite 1 (pour que le polluant atteigne le nœud A) et du temps de parcours dans la conduite 3 jusqu'au point B.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul suppose que le polluant se déplace exactement à la même vitesse que l'eau (advection pure). C'est une excellente approximation pour les polluants "dissous" qui ne réagissent pas avec les parois. Le temps calculé est le temps d'arrivée du "front" de la vague de pollution.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ t = \frac{L}{V} \]
\[ t_{\text{total}} = t_1 + t_{3,B} = \frac{L_1}{V_1} + \frac{L_{3,B}}{V_3} \]
Donnée(s) :
  • \(L_1 = 200 \, \text{m}\), \(V_1 \approx 0.849 \, \text{m/s}\)
  • Distance dans la conduite 3 : \(L_{3,B} = 500 \, \text{m}\)
  • Vitesse dans la conduite 3 : \(V_3 \approx 0.637 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) :

1. Temps de parcours dans la conduite 1 :

\[ \begin{aligned} t_1 &= \frac{200}{0.849} \\ &\approx 235.6 \, \text{s} \end{aligned} \]

2. Temps de parcours dans la conduite 3 jusqu'à B :

\[ \begin{aligned} t_{3,B} &= \frac{500}{0.637} \\ &\approx 785.0 \, \text{s} \end{aligned} \]

3. Temps total :

\[ \begin{aligned} t_{\text{total}} &= 235.6 + 785.0 \\ &= 1020.6 \, \text{s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Conversion en minutes/heures : Un résultat en secondes est souvent peu parlant. Il est utile de le convertir en unités plus pratiques. \(1020.6 \, \text{s} = 1020.6 / 60 \approx 17.01\) minutes. C'est une information directement exploitable pour un opérateur de réseau.

Le saviez-vous ?

Le célèbre cas de choléra de Broad Street à Londres en 1854 a été résolu par le Dr John Snow en traçant les cas sur une carte. Il a identifié une pompe à eau comme la source de la contamination, prouvant que la maladie se propageait par l'eau bien avant la découverte des microbes. C'est un exemple historique de "traçage" de polluant.

FAQ en rapport avec la question :
La longueur de la conduite 2 a-t-elle une importance ?

Non, pas pour cette question. La longueur de la conduite 2 n'influence ni le débit, ni la concentration, ni le temps de parcours dans les conduites 1 et 3. Elle serait importante si on s'intéressait à un point situé sur la conduite 2 elle-même.

Résultat : Le polluant mettra environ 1021 secondes (ou 17 minutes) pour atteindre le point B.

Simulation de Mélange

Explorez comment les débits et la concentration initiale influencent la concentration finale après le mélange.

Paramètres d'Entrée
Débit Total (Q3)
Concentration Finale (C3)
Facteur de Dilution
Concentrations Avant et Après Mélange

Le Saviez-Vous ?

Pour suivre la propagation de l'eau dans des réseaux souterrains complexes (comme les grottes ou les aquifères), les hydrologues utilisent des "traceurs", comme des colorants fluorescents (fluorescéine) ou même des traceurs génétiques (ADN). En injectant le traceur en un point et en mesurant sa concentration à d'autres points, ils peuvent cartographier des connexions invisibles.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la dispersion ?

La dispersion est le phénomène qui fait que le "front" de polluant n'est pas parfaitement net. Au lieu de passer instantanément de 0 à C3, la concentration augmente progressivement. C'est dû à la fois à la diffusion moléculaire et aux variations de vitesse dans la section de la conduite (l'eau est plus rapide au centre et plus lente près des parois), ce qui étale le polluant. Notre modèle d'advection pure est une simplification qui ignore cet étalement.

Ce modèle fonctionne-t-il pour un gaz ?

Oui, le principe de conservation de la masse et de l'advection est le même. Cependant, pour les gaz, il faut utiliser le débit massique (kg/s) plutôt que le débit volumique (m³/s), car la masse volumique du gaz peut changer de manière significative avec la pression, ce qui n'est généralement pas le cas pour les liquides.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À une jonction, si le débit d'eau propre qui dilue le polluant double, la concentration finale du polluant sera :

2. Si le diamètre d'une conduite double mais que le débit reste le même, le temps de parcours du polluant dans cette conduite sera :

Glossaire

Advection
Transport d'une substance (polluant, chaleur) par le mouvement d'ensemble d'un fluide. C'est le principal mécanisme de propagation dans les réseaux en charge.
Conservation de la Masse
Principe physique selon lequel la masse totale d'un système fermé reste constante. Pour un nœud de réseau, cela se traduit par : somme des débits entrants = somme des débits sortants.
Flux de Masse
Quantité de masse d'une substance qui traverse une surface par unité de temps. Pour un polluant, il est égal au produit de la concentration par le débit volumique (\(C \times Q\)).
Front de Polluant
Interface imaginaire séparant le fluide contaminé du fluide propre. Dans un modèle d'advection pure, ce front est une ligne nette.
Hydraulique : Modélisation de la Propagation d'un Polluant dans un Réseau

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