Profil d’eau par la méthode du pas à pas standard

Hydraulique : Calcul du Profil d'Eau par la Méthode du Pas à Pas Standard

Calcul du profil d'eau par la méthode du pas à pas standard

Contexte : La Forme de l'Eau en Mouvement

Dans un canal ou une rivière, la hauteur d'eau n'est que rarement constante. La présence d'un obstacle (seuil, vanne), un changement de pente, ou la rencontre avec un lac ou la mer, forcent la ligne d'eau à s'adapter. L'écoulement devient alors "graduellement varié". Le calcul du profil d'eauForme de la surface libre d'un écoulement le long d'un canal. On l'appelle aussi "ligne d'eau" ou "courbe de remous"., c'est-à-dire la détermination de la hauteur d'eau en tout point du canal, est un problème majeur en hydraulique. Il permet de prédire les zones d'inondation, de dimensionner les murs de protection ou de s'assurer qu'un pont est suffisamment haut. La méthode du pas à pas standardMéthode numérique de calcul de profil d'eau qui procède par petits incréments de distance (Δx) ou de hauteur (Δh) en résolvant l'équation de l'énergie entre deux sections successives. est une technique numérique fondamentale pour résoudre ce problème en calculant, section par section, la distance nécessaire pour une petite variation de la hauteur d'eau.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de l'équation de l'énergie à un écoulement non-uniforme. Il montre comment, en partant d'un point où la hauteur est connue (un "point de contrôle"), on peut remonter ou descendre le cours d'eau de manière itérative pour reconstruire la ligne d'eau. C'est l'un des calculs les plus importants et les plus courants en ingénierie fluviale et en aménagement de cours d'eau.


Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les hauteurs normale et critique, qui sont les références de tout profil d'eau.
  • Classifier un profil d'eau (ex: M1, S2) en fonction des conditions de l'écoulement.
  • Comprendre et appliquer l'équation de l'énergie pour un écoulement graduellement varié.
  • Mettre en œuvre la méthode du pas à pas standard pour calculer la longueur d'un profil d'eau.
  • Comprendre l'influence de la pente du fond et de la pente de la ligne d'énergie.

Données de l'étude

Un canal rectangulaire de grande largeur (\(b \to \infty\)), avec un revêtement en béton, subit un changement de pente. Le débit par unité de largeur est \(q = 2 \, \text{m}^2/\text{s}\). La pente du premier tronçon (amont) est \(S_{0,1} = 0.001\), et celle du second tronçon (aval) est \(S_{0,2} = 0.008\). On sait que loin à l'aval, sur le tronçon 2, l'écoulement atteint sa hauteur normale \(h_{n2}\).

Schéma du Canal avec Rupture de Pente
Pente S01 Pente S02 Hauteur normale hn1 Hauteur normale hn2 Hauteur critique hc

Données :

  • Coefficient de Strickler pour le béton : \(K_s = 70 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur critique \(h_c\), puis les hauteurs normales \(h_{n1}\) (amont) et \(h_{n2}\) (aval).
  2. Classifier les régimes d'écoulement et les profils de ligne d'eau attendus sur les deux tronçons.
  3. On veut calculer la longueur du profil d'eau sur le tronçon 1, en partant de la rupture de pente (où la hauteur est \(h_c\)) jusqu'à atteindre une hauteur \(h = 0.95 h_{n1}\). En utilisant la méthode du pas à pas, calculer la longueur \(\Delta x\) du premier pas, pour une variation de hauteur de \(h_c\) à \(h = 0.8 \, \text{m}\).
  4. Le calcul complet par pas successifs donne le tableau de résultats ci-dessous. Quelle est la longueur totale du remous sur le tronçon 1 ?
Section ih (m)v (m/s)Es (m)Rh (m)SfS0-Sf(S0-Sf)moyenΔEs (m)Δx (m)x (m)
10.7362.7171.1120.7360.00319-0.002190
20.8002.5001.1190.8000.00255-0.00155-0.001870.007-3.74-3.74
.................................
N1.2501.6001.3801.2500.000650.00035.........-265.3

Correction : Calcul du profil d'eau par la méthode du pas à pas standard

Question 1 : Hauteurs Critique et Normales

Principe :
Fond du canal (S0) Hauteur Normale (hn) (Équilibre Pente / Frottement) Hauteur Critique (hc) (Énergie Spécifique Minimale)

La hauteur normale (\(h_n\)) est la hauteur d'équilibre où la pente de la ligne d'énergie est égale à la pente du fond (\(S_f = S_0\)). Elle est calculée avec la formule de Manning-Strickler. La hauteur critique (\(h_c\)) est une propriété intrinsèque du débit, correspondant au minimum de l'énergie spécifique (\(Fr=1\)). Ces deux hauteurs sont les références qui permettent de classifier tous les profils d'eau possibles.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La hauteur normale dépend de la pente et de la rugosité (les frottements), alors que la hauteur critique ne dépend que du débit. C'est pourquoi \(h_c\) est la même pour les deux tronçons, mais \(h_n\) change avec la pente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_n = \left( \frac{q}{K_s \sqrt{S_0}} \right)^{3/5} \quad \text{(pour canal large, où } R_h \approx h \text{)} \]
\[ h_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} \]
Donnée(s) :
  • Débit par unité de largeur : \(q = 2 \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • Strickler : \(K_s = 70 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
  • Pentes : \(S_{0,1} = 0.001\), \(S_{0,2} = 0.008\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} h_c &= \sqrt[3]{\frac{2^2}{9.81}} = \sqrt[3]{0.408} \approx 0.74 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} h_{n1} &= \left( \frac{2}{70 \times \sqrt{0.001}} \right)^{3/5} \approx (0.904)^{3/5} \approx 0.94 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} h_{n2} &= \left( \frac{2}{70 \times \sqrt{0.008}} \right)^{3/5} \approx (0.321)^{3/5} \approx 0.54 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Canal Large : L'approximation \(R_h \approx h\) n'est valable que pour les canaux rectangulaires très larges. Pour une section quelconque, il faut utiliser la formule complète de Manning et résoudre l'équation implicite.

Le saviez-vous ?
Résultat : \(h_c \approx 0.74 \, \text{m}\), \(h_{n1} \approx 0.94 \, \text{m}\) (pente faible), \(h_{n2} \approx 0.54 \, \text{m}\) (pente forte).

Question 2 : Classification des Profils d'Eau

Principe :
hn hc Zone 1 Zone 2 Zone 3

La forme de la ligne d'eau dépend de la nature de la pente (faible, critique, ou forte) et de la position de la hauteur d'eau par rapport aux hauteurs normale et critique. Une pente est dite "faible" (Mild, M) si \(h_n > h_c\), et "forte" (Steep, S) si \(h_n < h_c\). On définit ensuite trois zones : zone 1 (\(h > h_n, h_c\)), zone 2 (\(h\) entre \(h_n\) et \(h_c\)), et zone 3 (\(h < h_n, h_c\)). La combinaison de la lettre de la pente et du numéro de la zone donne le type de profil (ex: M1, S2).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette classification peut sembler abstraite, mais elle est très puissante. Elle permet de prédire qualitativement l'allure de la ligne d'eau avant même de commencer les calculs. Par exemple, un profil de type 1 est toujours un "remous" (la hauteur augmente vers l'amont), un profil de type 2 est une "courbe de rabattement" (la hauteur diminue vers l'aval), et un profil de type 3 est une courbe de "remontée" (la hauteur augmente vers l'aval).

Formule(s) utilisée(s) :

La classification se base sur la comparaison des hauteurs.

Donnée(s) :
  • Hauteur critique : \(h_c \approx 0.74 \, \text{m}\)
  • Hauteur normale 1 : \(h_{n1} \approx 0.94 \, \text{m}\)
  • Hauteur normale 2 : \(h_{n2} \approx 0.54 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \text{Tronçon 1 (amont): } h_{n1} (0.94 \, \text{m}) > h_c (0.74 \, \text{m}) \Rightarrow \text{Pente Faible (M)} \]

L'eau arrive de l'amont avec la hauteur normale \(h_{n1}\) et doit atteindre la hauteur critique \(h_c\) à la rupture de pente. Elle se trouve donc dans la **zone 2**. Le profil est de type **M2**.

\[ \text{Tronçon 2 (aval): } h_{n2} (0.54 \, \text{m}) < h_c (0.74 \, \text{m}) \Rightarrow \text{Pente Forte (S)} \]

L'eau part de la hauteur critique \(h_c\) à la rupture de pente et tend vers la hauteur normale \(h_{n2}\). Elle se trouve donc dans la **zone 2**. Le profil est de type **S2**.

Points de vigilance :

Ordre de comparaison : La classification de la pente (\(h_n\) vs \(h_c\)) est la première étape. Ensuite seulement, on positionne la ligne d'eau réelle par rapport à ces deux références pour déterminer la zone. Inverser l'ordre mène à des confusions.

Le saviez-vous ?
Résultat : Le profil d'eau est de type M2 sur le tronçon amont et de type S2 sur le tronçon aval.

Question 3 : Calcul d'un Pas de la Ligne d'Eau

Principe :
h1 h2 Δx Ligne d'énergie

La méthode du pas à pas standard est basée sur l'équation de l'énergie. On écrit que la perte d'énergie entre deux sections 1 et 2 (\(E_{s1} - E_{s2}\)) est égale à la perte de hauteur due à la pente du fond (\(S_0 \Delta x\)) moins la perte due aux frottements (\(S_f \Delta x\)). En réarrangeant, on peut isoler \(\Delta x\), la distance entre les deux sections, en fonction de la variation d'énergie et de la différence entre la pente du fond et la pente de frottement.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul se fait "à l'envers". Au lieu de calculer \(h\) pour un \(x\) donné, on calcule le \(\Delta x\) nécessaire pour passer d'une hauteur \(h_1\) à une hauteur \(h_2\) très proche. On part toujours d'un point de contrôle où la hauteur est connue (ici, \(h=h_c\) à la rupture de pente) et on remonte le courant (car le régime est fluvial sur le tronçon 1).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta x = \frac{E_{s2} - E_{s1}}{S_0 - \bar{S_f}} \quad \text{avec} \quad \bar{S_f} = \frac{S_{f1} + S_{f2}}{2} \]
\[ S_f = \frac{n^2 v^2}{R_h^{4/3}} = \frac{q^2 n^2}{h^{10/3}} \quad \text{(pour canal large)} \]
Donnée(s) :
  • Section 1 (point de départ) : \(h_1 = h_c \approx 0.74 \, \text{m}\)
  • Section 2 (point d'arrivée du pas) : \(h_2 = 0.8 \, \text{m}\)
  • Pente du tronçon : \(S_{0,1} = 0.001\)
  • Autres données : \(q=2\), \(n=0.013\), \(K_s=70\).
Calcul(s) :
\[ \text{Pour } h_1 = 0.74 \, \text{m} : \begin{cases} v_1 = 2.70 \, \text{m/s} \\ E_{s1} = 1.112 \, \text{m} \\ S_{f1} = 0.00319 \end{cases} \]
\[ \text{Pour } h_2 = 0.80 \, \text{m} : \begin{cases} v_2 = 2.50 \, \text{m/s} \\ E_{s2} = 1.119 \, \text{m} \\ S_{f2} = 0.00255 \end{cases} \]
\[ \begin{aligned} \Delta E_s &= E_{s2} - E_{s1} = 1.119 - 1.112 = 0.007 \, \text{m} \\ \bar{S_f} &= \frac{0.00319 + 0.00255}{2} = 0.00287 \\ S_0 - \bar{S_f} &= 0.001 - 0.00287 = -0.00187 \\ \Delta x &= \frac{0.007}{-0.00187} \approx -3.74 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Signe de Δx : Le signe négatif de \(\Delta x\) est correct et crucial. Il signifie que pour que la hauteur augmente (de 0.74 à 0.80 m), on doit se déplacer vers l'amont (dans le sens des x négatifs). C'est la définition d'une courbe de remous.

Le saviez-vous ?
Résultat : La distance pour passer de h=0.74m à h=0.80m est d'environ 3.74 m vers l'amont.

Question 4 : Longueur Totale du Profil d'Eau

Principe :
Δx1 Δx2 Δx3 ...

En répétant le calcul du pas à pas pour de petits incréments de hauteur, de la hauteur de contrôle (\(h_c\)) jusqu'à la hauteur finale désirée (\(0.95 h_{n1}\)), et en additionnant toutes les longueurs \(\Delta x\) calculées, on obtient la longueur totale du profil d'eau. C'est le principe de l'intégration numérique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La longueur totale du remous est une information capitale. Elle indique sur quelle distance en amont d'un obstacle (ici, la rupture de pente) l'écoulement est perturbé. Si un pont ou une prise d'eau se trouve dans cette zone, son dimensionnement doit tenir compte de cette ligne d'eau surélevée et non de la hauteur normale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L_{\text{total}} = \sum_{i} \Delta x_i \]
Donnée(s) :
  • Tableau de calcul fourni dans l'énoncé.
  • Hauteur finale visée : \(h_{\text{fin}} = 0.95 \times h_{n1}\).
Calcul(s) :
\[ h_{\text{fin}} = 0.95 \times 0.94 \approx 0.89 \, \text{m} \]

Le tableau montre que pour atteindre une hauteur de 1.25 m, il faut remonter sur une distance de 265.3 m. La hauteur finale de 0.89 m étant comprise entre 0.74 m et 1.25 m, la longueur totale du remous sera inférieure à 265.3 m. Le tableau est un exemple des calculs intermédiaires. La longueur totale est simplement la valeur de \(x\) (en valeur absolue) correspondant à la dernière ligne de calcul, lorsque \(h\) atteint la valeur cible.

Points de vigilance :

Convergence : À mesure que la hauteur d'eau \(h\) s'approche de la hauteur normale \(h_n\), le dénominateur de l'équation du pas à pas (\(S_0 - S_f\)) tend vers zéro. La longueur \(\Delta x\) tend alors vers l'infini. Théoriquement, la hauteur normale n'est atteinte qu'à une distance infinie. En pratique, on arrête le calcul lorsque la hauteur est "suffisamment proche" (ex: 95% ou 99%) de la hauteur normale.

Le saviez-vous ?
Résultat : La longueur totale du profil d'eau pour atteindre 95% de la hauteur normale est de plusieurs dizaines de mètres, comme l'indique le tableau de calcul. Le calcul précis nécessiterait de poursuivre les itérations jusqu'à \(h=0.89\) m.

Simulation Interactive du Profil d'Eau

Faites varier le débit et la pente du canal amont. Observez comment la forme et la longueur de la courbe de remous (profil M2) changent.

Paramètres de l'Écoulement
Hauteur Critique hc
Hauteur Normale hn1
Longueur du remous (à 95% hn1)
Profil de la Ligne d'Eau (Courbe de Remous)

Pour Aller Plus Loin : Le Ressaut Hydraulique

Le retour à l'équilibre : Sur le second tronçon, l'écoulement est en régime torrentiel (pente forte) et tend vers sa hauteur normale \(h_{n2}\), qui est inférieure à la hauteur critique \(h_c\). Si le canal aval est très long, l'écoulement ne peut pas rester indéfiniment en régime torrentiel. Il va subir une transition brutale vers le régime fluvial, en passant par un "ressaut hydraulique". C'est une vague stationnaire très turbulente où la hauteur d'eau augmente brusquement, en dissipant une grande quantité d'énergie. Le calcul de la position de ce ressaut est un autre problème classique de l'hydraulique à surface libre.


Le Saviez-Vous ?

Le mascaret est un exemple naturel spectaculaire de profil d'eau non-uniforme. C'est une vague qui remonte le cours de certains fleuves et estuaires, causée par l'onde de marée montante. Il s'agit essentiellement d'un ressaut hydraulique mobile, ou "ondulation". Le mascaret de la Garonne ou de la Seine était autrefois célèbre, et celui du fleuve Qiantang en Chine peut atteindre plusieurs mètres de haut.


Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la pente du fond est nulle ou négative ?

Si la pente est nulle (canal horizontal, profil H) ou négative (adverse, profil A), il n'y a pas de hauteur normale car la gravité ne peut pas compenser les frottements. L'eau s'accumule indéfiniment, sauf si elle est contrôlée par un exutoire en aval. Les profils d'eau existent toujours (H2, H3, A2, A3) mais tendent vers une asymptote horizontale.

Cette méthode fonctionne-t-elle pour les rivières naturelles ?

Le principe reste le même, mais les calculs sont infiniment plus complexes. La section d'une rivière n'est pas régulière, la pente du fond varie constamment, et la rugosité (due aux rochers, à la végétation) change à chaque section. Les modèles numériques modernes (comme HEC-RAS) utilisent la même équation de l'énergie, mais sur des milliers de sections transversales mesurées sur le terrain pour reconstituer le profil d'eau.


Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une courbe de remous (la hauteur d'eau augmente vers l'amont) se produit typiquement sur :

2. Dans la méthode du pas à pas, si la pente de la ligne d'énergie \(S_f\) est supérieure à la pente du fond \(S_0\), cela signifie que :


Glossaire

Écoulement Graduellement Varié
Écoulement à surface libre où la hauteur d'eau change progressivement le long du canal, par opposition à l'écoulement uniforme (hauteur constante) ou rapidement varié (changement brutal).
Profil d'Eau (Ligne d'Eau)
Représentation graphique de la position de la surface libre de l'eau le long d'un canal.
Méthode du Pas à Pas Standard
Technique numérique pour calculer un profil d'eau en résolvant l'équation de l'énergie entre des sections successives.
Hauteur Normale (\(h_n\))
Profondeur d'équilibre de l'écoulement en régime uniforme, où la pente de la ligne d'énergie égale la pente du fond.
Hauteur Critique (\(h_c\))
Profondeur pour laquelle l'énergie spécifique est minimale pour un débit donné, et le nombre de Froude est égal à 1.
Hydraulique à Surface Libre : Calcul du Profil d'Eau

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