ÉTUDE HYDRAULIQUE

Profil de Pression d’une Conduite de Refoulement

Hydraulique : Calcul du Profil de Pression le Long d'une Conduite de Refoulement

Calcul du profil de pression le long d'une conduite de refoulement

Contexte : Vaincre la Gravité et les Frottements

Contrairement à une conduite forcée qui utilise la gravité, une conduite de refoulementCanalisation dans laquelle un fluide est déplacé d'un point bas vers un point plus élevé grâce à l'énergie fournie par une pompe. sert à transporter un fluide vers une altitude supérieure. Cette opération nécessite un apport d'énergie externe, fourni par une pompe. Le rôle de la pompe est double : non seulement elle doit "soulever" l'eau pour vaincre la différence de hauteur (hauteur géométrique), mais elle doit aussi compenser l'énergie dissipée par les pertes de chargePerte d'énergie (et donc de pression) d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois de la conduite (pertes linéaires) et aux obstacles (coudes, vannes, etc.).. L'étude du profil de pression (ou ligne piézométriqueLigne représentant la hauteur d'énergie de pression (P/ρg + z) le long d'un écoulement. Elle permet de visualiser la pression en tout point de la conduite.) est essentielle pour s'assurer que la pression reste suffisante tout au long du parcours et, surtout, qu'elle ne chute pas en dessous de la pression de vapeur saturante, ce qui provoquerait un phénomène destructeur : la cavitationFormation de bulles de vapeur dans un liquide lorsque la pression locale chute en dessous de la pression de vapeur saturante. L'implosion de ces bulles est extrêmement destructrice pour les pompes et les conduites..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre la conception de n'importe quel réseau de transport de fluide sous pression : adduction d'eau potable, irrigation, circuits de refroidissement industriels, etc. Il met en lumière l'interaction entre la pompe, le réseau et le fluide, et introduit la notion capitale de la vérification de la pression minimale pour éviter la cavitation.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la hauteur géométrique de refoulement.
  • Déterminer les pertes de charge totales (linéaires et singulières) dans une conduite.
  • Calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT)Énergie totale que la pompe doit fournir au fluide. C'est la somme de la hauteur géométrique et des pertes de charge totales du circuit. requise pour un circuit de pompage.
  • Appliquer le théorème de Bernoulli pour calculer la pression en des points spécifiques du circuit.
  • Comprendre l'allure de la ligne piézométrique et son importance pour la sécurité de l'installation.

Données de l'étude

Une pompe est utilisée pour transférer de l'eau d'un réservoir inférieur (bassin A) à un réservoir supérieur (bassin B). L'altitude de la surface libre du bassin A est \(Z_A = 10 \, \text{m}\) et celle du bassin B est \(Z_B = 70 \, \text{m}\). La conduite en fonte a une longueur totale \(L = 800 \, \text{m}\), un diamètre \(D = 400 \, \text{mm}\) et une rugosité \(\epsilon = 0.26 \, \text{mm}\). Le débit souhaité est de \(Q = 0.5 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Schéma du Système de Pompage
Bassin A Z A = 10 m Pompe Bassin B Z B = 70 m

Données :

  • Masse volumique de l'eau : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Viscosité cinématique de l'eau : \(\nu = 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • Le coefficient de perte de charge singulière à la sortie de la conduite dans le bassin B est \(K_s = 1\). On néglige les autres pertes singulières.

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse \(v\), le nombre de Reynolds \(Re\), et le coefficient de perte de charge linéaire \(f\).
  2. Calculer les pertes de charge totales \(J_{\text{total}}\) (linéaires + singulière).
  3. Déterminer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) que la pompe doit fournir au minimum.
  4. Calculer la pression \(P_{\text{sortie}}\) juste à la sortie de la pompe (on suppose que la pompe est à la même altitude que la surface du bassin A).

Correction : Profil de Pression d'une Conduite de Refoulement

Question 1 : Vitesse, Reynolds et Coefficient de Frottement

Principe :
Écoulement Vitesse v Reynolds Re Frottement f

La première étape consiste à caractériser l'écoulement. La vitesse est déduite du débit et de la section. Le nombre de Reynolds nous indique le régime (turbulent), et le coefficient de frottement \(f\), qui dépend de Reynolds et de la rugosité, est la clé pour quantifier les pertes d'énergie.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ces trois valeurs (v, Re, f) sont interdépendantes et constituent la "carte d'identité" de l'écoulement dans la conduite. Sans elles, impossible de poursuivre l'analyse du système.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v = \frac{4Q}{\pi D^2} \quad ; \quad Re = \frac{vD}{\nu} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{f}} \approx -1.8 \log_{10} \left[ \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} \right)^{1.11} + \frac{6.9}{Re} \right] \]
Donnée(s) :
  • Débit : \(Q = 0.5 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Diamètre : \(D = 400 \, \text{mm} = 0.4 \, \text{m}\)
  • Rugosité : \(\epsilon = 0.26 \, \text{mm} = 0.00026 \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique : \(\nu = 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} v &= \frac{4 \times 0.5}{\pi \times (0.4)^2} \\ &= \frac{2}{0.16\pi} \\ &\approx 3.98 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{3.98 \times 0.4}{10^{-6}} \\ &\approx 1.59 \times 10^6 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.00026}{0.4} = 0.00065 \\ \frac{1}{\sqrt{f}} &\approx -1.8 \log_{10} \left[ \left( \frac{0.00065}{3.7} \right)^{1.11} + \frac{6.9}{1.59 \times 10^6} \right] \\ &\approx -1.8 \log_{10} \left[ 5.56 \times 10^{-5} + 4.34 \times 10^{-6} \right] \\ &\approx -1.8 \log_{10} (6.0 \times 10^{-5}) \\ &\approx -1.8 \times (-4.22) \\ &\approx 7.60 \\ f &\approx \left( \frac{1}{7.60} \right)^2 \approx 0.0173 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités du diamètre et de la rugosité : L'erreur la plus fréquente est de ne pas convertir les diamètres et rugosités, souvent donnés en mm, en mètres avant de calculer la section ou la rugosité relative.

Le saviez-vous ?

La fonte est un matériau historiquement très utilisé pour les conduites d'eau potable en raison de sa robustesse et de sa résistance à la corrosion. Cependant, sa rugosité est plus élevée que celle des matériaux modernes comme le PVC ou le PEHD (Polyéthylène Haute Densité), ce qui engendre des pertes de charge plus importantes.

FAQ en rapport avec la question :
La vitesse de 3.98 m/s est-elle élevée ?

Oui, c'est une vitesse assez élevée pour un écoulement en charge. En général, pour des raisons économiques (limiter les pertes de charge) et de durabilité (limiter l'érosion et les coups de bélier), les vitesses dans les grandes conduites de refoulement sont plutôt comprises entre 1 et 2.5 m/s. Une vitesse élevée ici implique des pertes de charge importantes.

Résultat : \(v \approx 3.98 \, \text{m/s}\), \(Re \approx 1.59 \times 10^6\), et \(f \approx 0.0173\).

Question 2 : Pertes de Charge Totales

Principe :

L'énergie totale perdue par le fluide le long de son parcours est la somme des pertes dues au frottement sur toute la longueur (linéaires) et des pertes dues aux accidents de parcours comme les coudes, vannes, et ici, la sortie dans le réservoir (singulières).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On distingue bien deux types de "dissipation" d'énergie. Les pertes linéaires sont une "taxe" continue sur l'énergie, payée à chaque mètre parcouru. Les pertes singulières sont des "péages" ponctuels, payés à chaque obstacle. Pour un dimensionnement correct, il faut additionner les deux.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ J_{\text{total}} = J_{\text{linéaire}} + J_{\text{singulière}} \]
\[ J_{\text{linéaire}} = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \quad ; \quad J_{\text{singulière}} = K_s \frac{v^2}{2g} \]
Donnée(s) :
  • Coefficient de perte de charge linéaire : \(f \approx 0.0173\)
  • Coefficient de perte de charge singulière : \(K_s = 1\)
  • Longueur : \(L = 800 \, \text{m}\)
  • Diamètre : \(D = 0.4 \, \text{m}\)
  • Vitesse : \(v \approx 3.98 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} J_{\text{linéaire}} &= 0.0173 \times \frac{800}{0.4} \times \frac{(3.98)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 0.0173 \times 2000 \times 0.807 \\ &\approx 27.92 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} J_{\text{singulière}} &= 1 \times \frac{(3.98)^2}{2 \times 9.81} \\ &\approx 0.81 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} J_{\text{total}} &= 27.92 + 0.81 \\ &= 28.73 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas oublier les pertes singulières : Même si elles sont parfois faibles par rapport aux pertes linéaires dans les conduites très longues, les négliger peut conduire à un sous-dimensionnement de la pompe. La perte à la sortie (\(K_s=1\)) est physiquement due à la dissipation de toute l'énergie cinétique résiduelle dans le réservoir d'arrivée.

Le saviez-vous ?

Les concepteurs de circuits hydrauliques utilisent des abaques et des logiciels qui fournissent les coefficients K pour des centaines de types d'accidents : coudes de différents angles, tés, vannes papillon, vannes à boisseau, clapets anti-retour, etc. Chaque composant a sa propre "signature" en termes de pertes de charge.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la perte à la sortie vaut-elle K=1 ?

Lorsque le fluide sort de la conduite et entre dans un grand réservoir, sa vitesse chute brutalement à presque zéro. Toute son énergie cinétique (\(\frac{v^2}{2g}\)) est alors dissipée en turbulence et en chaleur. La perte de charge est donc égale à la hauteur d'énergie cinétique, ce qui correspond à un coefficient K de 1.

Résultat : Les pertes de charge totales sont \(J_{\text{total}} \approx 28.73 \, \text{m}\).

Question 3 : Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Principe :

La Hauteur Manométrique Totale (HMT) représente l'énergie totale, exprimée en mètres de colonne de fluide, que la pompe doit fournir. Elle doit être suffisante pour vaincre la différence d'altitude statique entre les deux réservoirs (la hauteur géométrique) ET compenser toutes les pertes d'énergie par frottement (les pertes de charge totales).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La HMT est la caractéristique fondamentale à exiger du fabricant de la pompe pour un débit donné. C'est le "cahier des charges" énergétique du système. Si la pompe choisie a une HMT inférieure à celle requise, elle ne pourra pas fournir le débit souhaité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_{\text{géo}} = Z_B - Z_A \]
\[ HMT = H_{\text{géo}} + J_{\text{total}} \]
Donnée(s) :
  • Altitude bassin A : \(Z_A = 10 \, \text{m}\)
  • Altitude bassin B : \(Z_B = 70 \, \text{m}\)
  • Pertes de charge totales : \(J_{\text{total}} \approx 28.73 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} H_{\text{géo}} &= 70 - 10 \\ &= 60 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} HMT &= 60 + 28.73 \\ &= 88.73 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas confondre hauteur géométrique et HMT : La hauteur géométrique est la différence d'altitude statique, indépendante du débit. La HMT inclut les pertes de charge, qui, elles, dépendent fortement du débit (via la vitesse au carré). La HMT n'est donc pas une constante, mais une fonction du débit.

Le saviez-vous ?

Les fabricants de pompes fournissent des "courbes caractéristiques" qui montrent la HMT que peut fournir une pompe en fonction du débit qui la traverse. Le point de fonctionnement réel du système se trouve à l'intersection de la courbe du réseau (HMT requise en fonction de Q) et de la courbe de la pompe (HMT fournie en fonction de Q).

FAQ en rapport avec la question :
Et si la conduite d'aspiration était longue ?

Dans notre cas, la pompe est au niveau du bassin d'aspiration. Si elle était plus haute ou reliée par une longue conduite d'aspiration, il faudrait aussi calculer les pertes de charge sur ce tronçon et les ajouter aux pertes totales que la pompe doit compenser.

Résultat : La pompe doit fournir une HMT d'au moins \(88.73 \, \text{m}\).

Question 4 : Pression à la Sortie de la Pompe

Principe :

Pour trouver la pression en un point, on applique le théorème de Bernoulli généralisé entre un point de référence où la pression est connue (ici, la surface du bassin A, à pression atmosphérique) et le point désiré (la sortie de la pompe). La pompe apparaît dans l'équation comme un gain d'énergie, égal à la HMT.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le théorème de Bernoulli est un outil de "comptabilité énergétique". Il dit que l'énergie en un point A, plus l'énergie ajoutée par une pompe, est égale à l'énergie en un point B plus l'énergie perdue entre A et B. En connaissant tous les termes sauf un (ici la pression en sortie), on peut le résoudre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Z_A + \frac{P_A}{\rho g} + \frac{v_A^2}{2g} + HMT = Z_{\text{sortie}} + \frac{P_{\text{sortie}}}{\rho g} + \frac{v_{\text{sortie}}^2}{2g} + J_{A \rightarrow \text{sortie}} \]
Donnée(s) :
  • \(Z_A = 10 \, \text{m}\) ; \(Z_{\text{sortie}} = 10 \, \text{m}\) (pompe à la même altitude)
  • \(P_A = 0\) (pression relative à la surface d'un réservoir à l'air libre)
  • \(v_A \approx 0\) (la vitesse à la surface d'un grand réservoir est négligeable)
  • \(v_{\text{sortie}} = v = 3.98 \, \text{m/s}\)
  • \(HMT = 88.73 \, \text{m}\)
  • Pertes de charge entre A et la sortie : \(J_{A \rightarrow \text{sortie}} \approx 0\) (conduite d'aspiration très courte)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} 10 + 0 + 0 + 88.73 &= 10 + \frac{P_{\text{sortie}}}{\rho g} + \frac{(3.98)^2}{2 \times 9.81} + 0 \\ 88.73 &= \frac{P_{\text{sortie}}}{1000 \times 9.81} + 0.81 \\ \frac{P_{\text{sortie}}}{9810} &= 88.73 - 0.81 = 87.92 \\ P_{\text{sortie}} &= 87.92 \times 9810 \\ &\approx 862,495 \, \text{Pa} \\ &\approx 8.62 \, \text{bar} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Pressions relatives vs absolues : Les calculs avec Bernoulli utilisent souvent des pressions relatives (par rapport à la pression atmosphérique). La pression à la surface d'un réservoir ouvert est donc 0. Le résultat est une pression relative. Pour obtenir la pression absolue, il faudrait ajouter la pression atmosphérique (environ 1 bar ou 101325 Pa).

Le saviez-vous ?

La pression de 8.6 bars est considérable. C'est pourquoi les conduites de refoulement doivent être constituées de matériaux très résistants (fonte, acier, PRV - polyester renforcé de verre) et les jonctions entre les tuyaux doivent être parfaitement étanches et capables de résister à ces fortes pressions.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la pression n'est-elle pas simplement égale à la HMT ?

La HMT est une hauteur d'énergie, qui a trois composantes : l'énergie de pression (\(P/\rho g\)), l'énergie d'altitude (\(Z\)), et l'énergie cinétique (\(v^2/2g\)). La pompe fournit une HMT, mais cette énergie se répartit immédiatement entre ces trois formes. Ici, une partie de la HMT est "consommée" pour créer l'énergie cinétique de l'eau. Le reste constitue l'énergie de pression.

Résultat : La pression à la sortie de la pompe est d'environ \(P_{\text{sortie}} \approx 8.62 \, \text{bars}\).

Simulation Interactive du Système de Pompage

Faites varier le débit et la rugosité de la conduite. Observez comment la HMT requise évolue. Que se passe-t-il si la conduite vieillit et devient plus rugueuse ?

Paramètres du Projet
Pertes de Charge Totales
HMT Requise
Composition de la HMT Requise

Pour Aller Plus Loin : Le Risque de Cavitation

L'ennemi invisible : Si la conduite passe par un point haut, la pression y sera plus faible qu'à la sortie de la pompe. Si cette pression chute en dessous de la pression de vapeur saturante de l'eau (environ 0.02 bar absolu à 20°C), des bulles de vapeur se forment. Ces bulles sont ensuite transportées par l'écoulement vers des zones de plus haute pression où elles implosent violemment, créant des micro-jets capables d'éroder le métal. C'est la cavitation. Un calcul complet du profil de pression est donc nécessaire pour vérifier que la pression reste positive et suffisante en tout point du circuit.

Le Saviez-Vous ?

Le "coup de bélier" est un autre phénomène dangereux dans les conduites de refoulement. Il se produit lors d'un arrêt brusque de la pompe ou de la fermeture rapide d'une vanne. L'inertie de la colonne d'eau crée une onde de surpression massive qui peut se propager à la vitesse du son dans l'eau et détruire la conduite. Des dispositifs anti-bélier (ballons, cheminées d'équilibre) sont souvent nécessaires.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la pompe est trop puissante (HMT trop élevée) ?

Si la pompe fournit une HMT supérieure à celle requise par le réseau pour un débit donné, le point de fonctionnement se déplacera sur la courbe du réseau vers un débit plus élevé. L'eau circulera plus vite, les pertes de charge augmenteront jusqu'à ce qu'un nouvel équilibre soit trouvé. Cela peut entraîner une surconsommation d'énergie et une usure prématurée de l'installation.

Comment choisir le bon diamètre de conduite ?

Le choix est une optimisation technico-économique. On calcule la puissance perdue (et donc le coût d'exploitation annuel lié à cette perte) et le coût d'investissement de la conduite pour plusieurs diamètres. Le diamètre optimal est celui qui minimise la somme du coût d'investissement (qui augmente avec D) et du coût actualisé des pertes sur la durée de vie du projet (qui diminue avec D).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un système de pompage, si la rugosité de la conduite augmente avec le temps (corrosion), pour un même débit :

2. La ligne piézométrique représente :

Glossaire

Conduite de Refoulement
Canalisation dans laquelle un fluide est déplacé vers une altitude supérieure grâce à l'énergie d'une pompe.
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale par unité de poids que la pompe doit fournir au fluide pour vaincre la hauteur géométrique et les pertes de charge. Exprimée en mètres.
Ligne Piézométrique
Ligne imaginaire qui représente la charge de pression (\(Z + P/\rho g\)) le long de la conduite. Si la conduite est percée, l'eau monterait jusqu'à cette ligne.
Cavitation
Phénomène de formation et d'implosion de bulles de vapeur dans un liquide, qui se produit lorsque la pression locale tombe en dessous de la pression de vapeur saturante.
Pertes de Charge (J)
Énergie dissipée par le frottement (linéaires) et les obstacles (singulières). Exprimée en mètres de colonne de fluide.
Hydraulique en Charge : Calcul du Profil de Pression

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