Calcul d'un Circuit Hydraulique : Le Problème des Trois Réservoirs
Contexte : L'Hydraulique en ChargeÉtude des écoulements de liquides dans des conduites complètement remplies, où la pression est généralement supérieure à la pression atmosphérique..
Le problème des trois réservoirs est un cas d'étude classique en hydraulique, illustrant le comportement des réseaux de distribution d'eau ramifiés. Il consiste à déterminer la répartition des débits et les pressions dans un système où trois réservoirs, situés à des altitudes différentes, sont connectés à un nœud commun. Cet exercice vous guidera dans la résolution d'un tel problème. Nous considérons trois réservoirs A, B et C alimentant ou étant alimentés par un nœud de jonction J via trois conduites. L'objectif est de trouver la charge hydrauliqueL'énergie totale d'un fluide par unité de poids, généralement exprimée en mètres. C'est la somme de l'altitude, de la hauteur de pression et de la hauteur de vitesse. au nœud J (Hj), puis de calculer les débits (Q1, Q2, Q3) dans chaque conduite. La principale difficulté réside dans le fait que le sens de l'écoulement dans la conduite intermédiaire (reliant le réservoir B) n'est pas connu a priori et dépend de la valeur de Hj.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il vous apprend à poser un système d'équations non-linéaires et à le résoudre par une méthode itérative (essais-erreurs), une compétence essentielle pour l'analyse de réseaux hydrauliques complexes.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer l'équation de Bernoulli entre un réservoir et un point de jonction.
- Calculer les pertes de charge régulières en utilisant la formule de Darcy-Weisbach.
- Mettre en œuvre une méthode de résolution numérique par itérations.
- Déterminer le sens de l'écoulement dans une conduite en comparant les charges.
- Vérifier la loi de continuité des débits à un nœud (loi des nœuds).
Données de l'étude
Caractéristiques du système
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de problème | Hydraulique en charge, réseau ramifié |
| Fluide | Eau (\(\rho = 1000 \text{ kg/m³}\), \(\nu = 10⁻⁶ \text{ m²/s}\)) |
| Accélération de la pesanteur (g) | 9.81 m/s² |
Schéma du Problème des Trois Réservoirs
| Conduite | Longueur (L) | Diamètre (D) | Rugosité (k) |
|---|---|---|---|
| 1 (AJ) | 1200 m | 300 mm | 0.25 mm |
| 2 (BJ) | 800 m | 200 mm | 0.15 mm |
| 3 (CJ) | 1000 m | 250 mm | 0.20 mm |
Questions à traiter
- Établir la relation entre la charge au nœud J et la charge dans chaque réservoir en utilisant l'équation de l'énergie (Bernoulli).
- Faire une hypothèse initiale pour la charge au nœud J (H_j). Justifier ce choix et en déduire le sens des écoulements.
- Pour cette hypothèse, calculer les débits (Q) dans chaque conduite.
- Appliquer la loi de continuité au nœud J pour vérifier si votre hypothèse est correcte.
- Procéder par itérations successives pour trouver la valeur de H_j qui satisfait la loi de continuité avec une précision de |ΣQ| < 0.001 m³/s. Présenter les résultats finaux (H_j, Q1, Q2, Q3).
Les bases sur l'Hydraulique en Charge
1. Équation de Bernoulli Généralisée
Elle exprime la conservation de l'énergie pour un fluide réel en mouvement. Entre la surface libre d'un réservoir (point 1) et le nœud J (point 2), en négligeant la vitesse à la surface du réservoir (\(V_1 \approx 0\)) et en considérant la pression atmosphérique (\(P_1 = P_{\text{atm}}\)), l'équation se simplifie :
\[ z_1 = \left(\frac{P_J}{\rho g} + z_J\right) + \frac{V_J^2}{2g} + \Delta H_{1 \to J} \]
Le terme \( H_J = \frac{P_J}{\rho g} + z_J \) est la charge piézométrique au nœud J. En incluant le terme d'énergie cinétique, on obtient la charge totale H_j. Pour simplifier, on pose souvent \(H_j \approx \frac{P_J}{\rho g} + z_J \) en considérant le nœud J comme un point de référence où la vitesse n'est pas encore répartie. L'équation devient :
\[ z_{\text{réservoir}} = H_j + \Delta H_{\text{pertes de charge}} \]
2. Pertes de Charge (Formule de Darcy-Weisbach)
Les pertes d'énergie par frottement dans une conduite sont calculées par cette formule universelle :
\[ \Delta H = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Où \( \lambda \) est le coefficient de perte de charge, qui dépend du régime d'écoulement.
3. Coefficient \( \lambda \) (Équation de Colebrook-White)
Pour les écoulements turbulents, \( \lambda \) est calculé par l'équation implicite de Colebrook-White, qui nécessite une résolution itérative :
\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{k/D}{3.71} + \frac{2.51}{\text{Re} \sqrt{\lambda}} \right) \quad \text{avec} \quad \text{Re} = \frac{VD}{\nu} \]
4. Loi des Nœuds (Continuité)
Elle stipule que la somme algébrique des débits à un nœud est nulle. C'est le principe de conservation de la masse.
\[ \sum Q_i = 0 \quad (\text{Convention : entrant positif, sortant négatif}) \]
Correction : Problème des Trois Réservoirs
Question 1 : Établissement des équations d'énergie
Principe (le concept physique)
On applique le principe de conservation de l'énergie pour un fluide réel en mouvement, connu sous le nom d'équation de Bernoulli généralisée. On l'écrit entre la surface libre de chaque réservoir (où l'énergie est connue) et le point de jonction commun J (où l'énergie est l'inconnue principale).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'équation de Bernoulli relie la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide. Pour un fluide réel, on ajoute un terme pour les pertes d'énergie (pertes de charge) dues aux frottements. Entre la surface d'un réservoir (point 1) et le nœud J (point 2), l'équation est : \( \frac{P_1}{\rho g} + z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{P_2}{\rho g} + z_2 + \frac{V_2^2}{2g} + \Delta H_{1 \to 2} \). À la surface d'un grand réservoir, \(P_1 = P_{\text{atm}}\) (pression de référence, posée à 0) et \(V_1 \approx 0\). Au nœud J, l'énergie est représentée par la charge hydraulique \( H_j \). L'équation se simplifie donc en : \( z_{\text{réservoir}} = H_j + \Delta H_{\text{pertes}} \).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La clé est de toujours partir d'un point où vous connaissez le maximum d'informations (pression, vitesse, altitude). Les surfaces libres des réservoirs sont idéales pour cela. L'équation relie ensuite cette énergie connue à l'énergie inconnue au point J, via les pertes dans la conduite.
Normes (la référence réglementaire)
L'équation de Bernoulli est un principe fondamental de la mécanique des fluides. Elle n'est pas une "norme" au sens réglementaire (comme un Eurocode), mais elle est le fondement théorique sur lequel reposent toutes les normes de calcul des réseaux de fluides sous pression.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Les deux outils mathématiques fondamentaux que nous allons combiner sont l'équation de l'énergie et l'équation des pertes de charge.
Équation de Bernoulli généralisée
Équation de Darcy-Weisbach
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour cette première étape, nous ne posons pas d'hypothèses sur les valeurs numériques, mais sur le modèle physique :
- Le niveau de l'eau dans les réservoirs est constant.
- La vitesse de l'eau à la surface des réservoirs est négligeable.
- Les pertes de charge singulières (coudes, vannes) sont négligées pour simplifier l'exercice.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
À ce stade, nous utilisons les données symboliques : les altitudes \(z_A, z_B, z_C\) et la charge inconnue \(H_j\).
Astuces (Pour aller plus vite)
Regroupez le terme \( \left( \frac{8 \lambda L}{\pi^2 g D^5} \right) \) en une seule constante \( K \) pour chaque conduite. L'équation devient alors \( \Delta H = K \cdot Q^2 \), ce qui simplifie l'écriture. Notez cependant que \(K\) dépend de \( \lambda \), qui lui-même dépend de \(Q\), c'est pourquoi la résolution est itérative.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation des charges et pertes de charge
Calcul(s) (l'application numérique)
L'objectif est de partir de l'équation de Bernoulli générale et de la simplifier pour obtenir la relation pratique entre la perte de charge et le débit au carré.
Étape 1 : Équation de Bernoulli générale
On écrit l'équation de l'énergie entre la surface du réservoir (point 1) et le nœud J (point 2).
Étape 2 : Simplification des termes au réservoir
À la surface d'un grand réservoir, la pression est atmosphérique (\(P_1 = P_{atm} \Rightarrow P_{1, \text{relative}} = 0\)) et la vitesse est quasi-nulle (\(V_1 \approx 0\)). L'équation devient :
Étape 3 : Introduction de la charge au nœud J
On regroupe les termes d'énergie au point 2 pour définir la charge totale au nœud J, \(H_j\).
En substituant, on obtient la relation fondamentale entre l'altitude du réservoir, la charge au nœud et les pertes de charge.
Étape 4 : Expression des pertes de charge en fonction du débit
On exprime la vitesse \(V\) en fonction du débit \(Q\) et de la section \(A\).
On substitue cette expression de la vitesse dans la formule de Darcy-Weisbach.
Étape 5 : Équation finale
On obtient ainsi l'équation finale reliant la différence de charge au débit, qui sera utilisée dans tout l'exercice.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons un système de 4 équations avec 4 inconnues principales (Hj, Q1, Q2, Q3). Cependant, les équations de perte de charge sont non-linéaires (à cause de Q² et de λ qui dépend de Q). Le système ne peut donc pas être résolu directement, ce qui justifie l'utilisation d'une méthode itérative.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est de se tromper dans le signe de la différence de charge. Assurez-vous que la perte de charge (\(\Delta H\)) est toujours une valeur positive. C'est pourquoi on utilise une valeur absolue : \( \Delta H = |z_{\text{amont}} - z_{\text{aval}}| \).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Concept Clé : L'énergie (charge) se conserve le long d'un écoulement, moins les pertes par frottement.
- Formule Essentielle : \( z_1 - z_2 = \Delta H_{1 \to 2} \).
- Objectif : Transformer un problème physique en un système d'équations mathématiques.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Daniel Bernoulli, un physicien suisse du 18ème siècle, a formulé ce principe initialement pour les fluides parfaits (sans frottement). C'est l'ingénieur français Henry Darcy et le physicien allemand Julius Weisbach qui, au 19ème siècle, ont introduit les concepts de pertes de charge pour l'appliquer aux fluides réels, rendant l'équation utilisable par les ingénieurs.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Comment s'écrirait l'équation pour la conduite 1 si on ajoutait une perte de charge singulière \(K \frac{V_1^2}{2g}\) due à une vanne ?
Question 2 : Hypothèse initiale et sens des écoulements
Principe (le concept physique)
Puisque le système est non-linéaire, on ne peut le résoudre directement. On doit donc "deviner" une solution et la raffiner. La première étape est de poser une hypothèse sur la valeur de la charge au nœud J pour pouvoir démarrer les calculs.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Une méthode itérative consiste à choisir une valeur de départ pour une inconnue (ici H_j), à calculer toutes les autres grandeurs en fonction de cette hypothèse, puis à vérifier si une condition fondamentale (ici la loi des nœuds) est respectée. Si elle ne l'est pas, on ajuste l'hypothèse de départ en se basant sur le déséquilibre constaté et on recommence le processus jusqu'à convergence.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le choix de la première hypothèse pour H_j est crucial pour faire converger la solution rapidement. Une bonne pratique est de choisir l'altitude du réservoir intermédiaire (z_B), car cela simplifie la première itération (Q2=0) et donne une bonne idée de l'équilibre du système.
Normes (la référence réglementaire)
Les méthodes de résolution numérique ne sont pas normalisées, mais constituent les bonnes pratiques de l'ingénieur.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La comparaison des charges détermine le sens de l'écoulement. Si \(z_X > H_j\), l'écoulement va de X vers J. Si \(H_j > z_X\), l'écoulement va de J vers X.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On pose la première hypothèse de calcul : \( H_{j,1} = z_B = 100 \text{ m} \).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Charge au nœud J (hypothèse) | 100 | m |
| Altitude Réservoir A | 120 | m |
| Altitude Réservoir C | 75 | m |
Schéma (Avant les calculs)
Hypothèse initiale H_j = 100 m
Calcul(s) (l'application numérique)
On compare les altitudes :
- Conduite 1 : \( z_A (120 \text{ m}) > H_{j,1} (100 \text{ m}) \Rightarrow \) écoulement de A vers J.
- Conduite 2 : \( z_B (100 \text{ m}) = H_{j,1} (100 \text{ m}) \Rightarrow \) pas de différence de charge, donc pas d'écoulement.
- Conduite 3 : \( H_{j,1} (100 \text{ m}) > z_C (75 \text{ m}) \Rightarrow \) écoulement de J vers C.
Schéma (Après les calculs)
Sens des écoulements pour H_j = 100m
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le choix \(H_j = z_B\) a l'avantage de neutraliser une des conduites, simplifiant le premier bilan de continuité. Il nous donne un point de départ clair pour l'ajustement : si le débit de A est plus grand que le débit vers C, il faudra augmenter H_j, et inversement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention, le sens de l'écoulement n'est pas définitif. Il peut changer lors des itérations suivantes si H_j passe au-dessus ou en dessous de z_B.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Concept Clé : Le sens de l'écoulement est dicté par le gradient de charge (du plus haut vers le plus bas).
- Méthode : On fixe une inconnue pour rendre le problème calculable étape par étape.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Cette méthode "essais-erreurs" manuelle est la base de puissants algorithmes informatiques, comme la méthode de Newton-Raphson, utilisés par les logiciels de modélisation de réseaux (EPANET, etc.) pour résoudre des systèmes de milliers de conduites en quelques secondes.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'on avait choisi comme hypothèse initiale H_j = 110 m, quel aurait été le sens de l'écoulement dans les trois conduites ?
Question 3 : Calcul des débits pour l'hypothèse initiale
Principe (le concept physique)
Pour une différence de charge \( \Delta H \) donnée entre les deux extrémités d'une conduite, on peut calculer le débit Q qui la traverse. Ce débit dépend des caractéristiques de la conduite (L, D, k) et de la perte d'énergie.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour calculer le débit, il faut résoudre l'équation de Darcy-Weisbach. Comme le coefficient \( \lambda \) dépend lui-même du débit (via le nombre de Reynolds), le calcul est implicite. On utilise soit des diagrammes (comme l'abaque de Moody), soit des formules explicites approchées (comme celle de Swamee-Jain, très pratique pour les calculs directs) pour trouver le débit sans devoir faire une sous-itération sur \( \lambda \).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Dans un contexte d'examen sans outil de calcul puissant, l'utilisation d'une formule explicite est souvent attendue. Assurez-vous d'avoir une telle formule (ex: Swamee-Jain) dans votre formulaire. Le simulateur de cette page utilise justement cette approche pour sa rapidité.
Normes (la référence réglementaire)
Les formules de Colebrook-White et de Darcy-Weisbach sont les références internationales pour le calcul des pertes de charge en régime turbulent dans les conduites sous pression.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de Swamee-Jain
Hypothèses (le cadre du calcul)
On se base sur l'hypothèse de la question précédente : \( H_{j,1} = 100 \text{ m} \). On suppose également un régime d'écoulement turbulent rugueux, ce qui est quasiment toujours le cas dans les réseaux de distribution d'eau.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Pour cette première itération, les données sont : les caractéristiques des conduites, et les différences de charge (ΔH) qui découlent directement de l'hypothèse posée à la question 2 (\(H_{j,1} = 100 \text{ m}\)).
| Conduite | L (m) | D (m) | k (m) |
|---|---|---|---|
| 1 (AJ) | 1200 | 0.300 | 0.00025 |
| 2 (BJ) | 800 | 0.200 | 0.00015 |
| 3 (CJ) | 1000 | 0.250 | 0.00020 |
Calcul de la différence de charge ΔH₁
Calcul de la différence de charge ΔH₂
Calcul de la différence de charge ΔH₃
Schéma (Avant les calculs)
Différences de charge pour l'itération 1
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule de Swamee-Jain pour chaque conduite où il y a un écoulement.
Calcul du débit Q₁ (Conduite 1)
Avec \( \Delta H_1 = 20 \text{ m} \), L=1200m, D=0.3m, k=0.00025m.
Calcul du débit Q₂ (Conduite 2)
Avec \( \Delta H_2 = 0 \text{ m} \), il n'y a pas d'écoulement.
Calcul du débit Q₃ (Conduite 3)
Avec \( \Delta H_3 = 25 \text{ m} \), L=1000m, D=0.25m, k=0.0002m. Le débit est sortant (signe négatif).
Schéma (Après les calculs)
Débits calculés pour l'itération 1
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons maintenant une première estimation chiffrée des flux d'eau dans le système. Ces valeurs ne sont valides que si l'hypothèse de départ est correcte, ce que nous allons vérifier à la prochaine étape.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente ici est l'incohérence des unités. Assurez-vous que les diamètres et rugosités sont en mètres, les longueurs en mètres, etc. Une autre erreur est d'oublier d'appliquer la convention de signe (+ entrant, - sortant) au débit calculé.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Concept Clé : Le débit est une fonction non-linéaire de la perte de charge.
- Objectif : Quantifier les flux d'eau pour une situation énergétique donnée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La rugosité 'k' n'est pas une mesure directe de la taille des aspérités, mais une "rugosité équivalente" ou "rugosité de Nikuradse". Elle représente la hauteur des grains de sable qui, collés sur une paroi initialement lisse, produiraient la même perte de charge que la conduite réelle.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 4 : Vérification de la loi de continuité
Principe (le concept physique)
La loi de continuité, ou loi des nœuds, est une expression de la conservation de la masse. Pour un fluide incompressible comme l'eau, cela signifie que tout ce qui entre dans le nœud J doit en ressortir. La somme algébrique des débits doit donc être nulle.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette étape est le "juge de paix" de votre itération. Le résultat de la somme, appelé "résidu", vous indique non seulement si votre hypothèse était fausse, mais aussi dans quelle direction la corriger pour l'itération suivante.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équation de la loi de continuité
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Débit \(Q_1\) | +0.155 | m³/s |
| Débit \(Q_2\) | 0 | m³/s |
| Débit \(Q_3\) | -0.125 | m³/s |
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des débits au nœud J (Itération 1)
Calcul(s) (l'application numérique)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du déséquilibre (Résidu)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La somme n'est pas nulle (+0.030 m³/s). Cela signifie qu'il y a un excédent de débit entrant au nœud J. Physiquement, c'est impossible. Cela veut dire que notre hypothèse de charge H_j = 100 m est trop basse. Une charge plus élevée à J aurait réduit le débit entrant de A et augmenté le débit sortant vers C, nous rapprochant de l'équilibre.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Une erreur de signe dans les débits à cette étape invalidera toute la logique de convergence. Vérifiez bien votre convention (+ entrant, - sortant).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Concept Clé : Le bilan de masse au nœud doit être nul.
- Interprétation : Si ΣQ > 0, l'hypothèse H_j est trop basse. Si ΣQ < 0, l'hypothèse H_j est trop haute.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 5 : Résolution par itérations successives
Principe (le concept physique)
On ajuste systématiquement l'hypothèse de H_j en se basant sur le signe du résidu ΣQ de l'itération précédente, et on répète les calculs jusqu'à ce que le résidu soit suffisamment proche de zéro, ce qui signifie que l'équilibre physique du système est atteint.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La méthode de la sécante ou l'interpolation linéaire sont des techniques efficaces pour ajuster H_j. Ayant deux points (H_j1, ΣQ1) et (H_j2, ΣQ2), on peut tracer une droite et trouver son intersection avec l'axe ΣQ=0 pour obtenir une bien meilleure estimation H_j3. Cela accélère grandement la convergence par rapport à des essais au hasard.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Organisez vos calculs dans un tableau pour garder une trace claire de chaque itération : H_j, ΔH1, Q1, ΔH2, Q2, ΔH3, Q3, ΣQ. Cela vous évitera de vous perdre dans les chiffres.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On fixe un critère d'arrêt, ou une tolérance. Ici, on s'arrête lorsque \( |\sum Q| < 0.001 \text{ m³/s} \).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Itération | H_j (m) | ΣQ (m³/s) |
|---|---|---|
| 1 | 100.0 | +0.030 |
| 2 (suggestion) | 102.0 | -0.011 |
Astuces (Pour aller plus vite)
Comme l'itération 1 (Hj=100) a donné ΣQ=+0.030 et l'itération 2 (Hj=102) a donné ΣQ=-0.011, la solution se trouve entre 100 et 102. Une interpolation linéaire vous donnera une excellente troisième estimation : \( H_{j,3} \approx 101.46 \text{ m} \).
Schéma (Avant les calculs)
Illustration de la méthode itérative (Sécante)
Calcul(s) (l'application numérique)
Itération 1 (Rappel)
On repart du résultat de la première itération (calculé aux questions 3 et 4).
Le résidu est positif, donc l'hypothèse pour \(H_j\) est trop basse. Il faut l'augmenter.
Itération 2 : Tentative avec \(H_{j,2} = 102 \text{ m}\)
Calculons les nouvelles différences de charge.
Calculons les nouveaux débits correspondants.
Calcul du débit Q₁ (Conduite 1)
L'écoulement va de A vers J (entrant, positif).
Calcul du débit Q₂ (Conduite 2)
Comme \( H_j > z_B \), l'écoulement va de J vers B (sortant, négatif).
Calcul du débit Q₃ (Conduite 3)
Comme \( H_j > z_C \), l'écoulement va de J vers C (sortant, négatif).
Calculons le nouveau bilan des débits.
Le résidu est maintenant négatif. La solution se trouve donc bien entre 100 m et 102 m.
Itération 3 : Interpolation linéaire
Pour trouver une meilleure estimation, on cherche le point où la droite passant par nos deux premiers résultats coupe l'axe \( \sum Q = 0 \).
Cette nouvelle estimation est très proche de la solution finale. Nous allons maintenant vérifier la solution convergente qui est \(H_j = 101.36 \text{ m}\) (valeur obtenue après quelques raffinements).
Vérification de la solution convergente : \(H_j = 101.36 \text{ m}\)
La valeur absolue du résidu est \( |\sum Q| = 0.0006 \text{ m³/s} \). Cette valeur est inférieure à la tolérance de 0.001 m³/s, la solution est donc considérée comme correcte.
Schéma (Après les calculs)
Solution Finale - Sens et Valeurs des Débits
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La solution finale montre que le réservoir A alimente la jonction J. De là, le débit se sépare pour alimenter à la fois le réservoir C (qui est le plus bas) et le réservoir B. Le réservoir B n'est donc ni purement distributeur, ni purement récepteur, son comportement dépend de l'équilibre global du réseau.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne vous arrêtez pas trop tôt dans les itérations. Assurez-vous d'atteindre la précision demandée. Une solution qui ne respecte pas la continuité n'est pas une solution physiquement valide.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Concept Clé : La résolution d'un réseau hydraulique ramifié passe par la recherche d'une charge de jonction qui équilibre les débits.
- Méthode : Hypothèse -> Calcul des débits -> Vérification de la continuité -> Ajustement de l'hypothèse.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Outil Interactif : Visualiseur de Solution
Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier votre hypothèse de la charge au nœud J (H_j) et observez comment les débits et leur somme (le résidu) changent. L'objectif est de trouver la valeur de H_j pour laquelle la somme des débits (ΣQ) est égale à zéro. Le graphique illustre cette recherche de la racine.
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La principale condition physique à respecter au nœud J est :
2. Si la charge calculée H_j est de 95 m, et que z_B = 100 m, quel est le sens de l'écoulement dans la conduite 2 ?
3. Dans la formule de Darcy-Weisbach, la perte de charge est directement proportionnelle à :
4. Lors d'une itération, vous trouvez un débit net entrant au nœud J (ΣQ > 0). Pour la prochaine itération, vous devez :
5. La rugosité 'k' d'une conduite influence directement :
Glossaire
- Charge Hydraulique (H)
- L'énergie totale d'un fluide par unité de poids, somme de l'altitude (z), de la hauteur de pression (P/ρg) et de la hauteur cinétique (V²/2g). Unité : mètres (m).
- Perte de Charge (ΔH)
- La perte d'énergie (de charge) due aux frottements du fluide contre les parois de la conduite (pertes régulières) ou à des accidents de parcours (coudes, vannes, etc.).
- Nombre de Reynolds (Re)
- Un nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement. Re < 2000 indique un régime laminaire, Re > 4000 indique un régime turbulent.
- Loi des Nœuds
- Principe de conservation de la masse stipulant que la somme des débits entrant dans un nœud est égale à la somme des débits sortant.
D’autres exercices d’hydraulique en charge:
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