ÉTUDE HYDRAULIQUE

Problème des Trois Réservoirs

Problème des Trois Réservoirs : Détermination des Débits

Problème des Trois Réservoirs : Détermination des Débits

Comprendre le Problème des Trois Réservoirs

Le problème des trois réservoirs est un cas d'étude classique en hydraulique en charge. Il concerne trois réservoirs situés à des altitudes différentes, tous connectés par des conduites à un nœud (ou jonction) commun. La complexité de ce problème réside dans le fait que la direction de l'écoulement dans l'une des conduites (celle du réservoir intermédiaire) n'est pas connue à l'avance. Elle dépend de la charge hydraulique au point de jonction. Si la charge à la jonction est inférieure à l'altitude de l'eau dans le réservoir intermédiaire, ce dernier alimentera la jonction. Si elle est supérieure, il sera alimenté par la jonction. La résolution passe par une méthode itérative qui consiste à trouver la charge à la jonction qui satisfait la loi de conservation de la masse (loi des nœuds).

Données de l'étude

Trois réservoirs A, B, et C sont connectés à une jonction commune J par trois conduites. On cherche à déterminer le débit et le sens de l'écoulement dans chaque conduite.

Caractéristiques du réseau et du fluide :

  • Altitude de la surface de l'eau dans le réservoir A : \(z_A = 100 \, \text{m}\)
  • Altitude de la surface de l'eau dans le réservoir B : \(z_B = 85 \, \text{m}\)
  • Altitude de la surface de l'eau dans le réservoir C : \(z_C = 60 \, \text{m}\)
  • Conduite 1 (AJ) : \(L_1 = 600 \, \text{m}\), \(D_1 = 300 \, \text{mm}\), \(\epsilon_1 = 0.15 \, \text{mm}\)
  • Conduite 2 (BJ) : \(L_2 = 400 \, \text{m}\), \(D_2 = 200 \, \text{mm}\), \(\epsilon_2 = 0.15 \, \text{mm}\)
  • Conduite 3 (CJ) : \(L_3 = 1000 \, \text{m}\), \(D_3 = 250 \, \text{mm}\), \(\epsilon_3 = 0.15 \, \text{mm}\)
  • Fluide : Eau (\(\nu = 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)) et \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\).
Schéma : Problème des Trois Réservoirs
Réservoir A (zA=100m) Réservoir B (zB=85m) Réservoir C (zC=60m) J (zJ=?)

Les trois réservoirs sont connectés à la jonction J.

Questions à traiter

  1. Poser l'équation de continuité à la jonction J.
  2. Par une méthode itérative, déterminer la charge hydraulique à la jonction J (\(H_J\)).
  3. En déduire le débit (\(Q_1, Q_2, Q_3\)) et le sens de l'écoulement dans chaque conduite.

Correction : Problème des Trois Réservoirs

Question 1 : Équation de Continuité à la Jonction

Principe :

La loi de conservation de la masse stipule qu'à la jonction J, la somme des débits entrants doit être égale à la somme des débits sortants. On peut écrire cela sous la forme d'une somme algébrique qui doit être nulle, en attribuant un signe positif aux débits entrants et un signe négatif aux débits sortants.

Équation :
\[ \sum Q_i = 0 \Rightarrow Q_{\text{entrant}} - Q_{\text{sortant}} = 0 \]

Le sens de l'écoulement dépend de la charge à la jonction \(H_J\). Le réservoir A (100 m) alimentera toujours la jonction. Le réservoir C (60 m) sera toujours alimenté par la jonction. Le sens pour le réservoir B (85 m) est inconnu. L'équation à satisfaire est : \(Q_A - Q_B - Q_C = 0\), où \(Q_B\) peut être positif (sortie) ou négatif (entrée).

Question 2 et 3 : Calcul Itératif de \(H_J\) et des Débits

Principe de Résolution :

La méthode consiste à supposer une valeur pour la charge à la jonction \(H_J\). Cette valeur doit être comprise entre l'altitude du réservoir le plus bas et celle du plus haut. Un bon point de départ est l'altitude du réservoir intermédiaire. Pour chaque \(H_J\) supposée, on calcule les débits dans les trois branches. On vérifie ensuite si la loi des nœuds (\(\sum Q = 0\)) est respectée. On ajuste \(H_J\) jusqu'à trouver l'équilibre.

Calculs :

Itération 1 : On suppose \(H_J = z_B = 85 \, \text{m}\).

Dans ce cas, \(Q_2 = 0\). Il faut calculer \(Q_1\) et \(Q_3\).

\[ \begin{aligned} \Delta H_1 &= z_A - H_J = 100 - 85 = 15 \, \text{m} \\ \Delta H_3 &= H_J - z_C = 85 - 60 = 25 \, \text{m} \end{aligned} \]

On suppose \(f \approx 0.02\) pour un premier calcul rapide :

\[ \begin{aligned} v_1 &= \sqrt{\frac{15 \cdot 0.3 \cdot 19.62}{0.02 \cdot 600}} \approx 2.71 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_1 \approx 0.192 \, \text{m}^3/\text{s} \\ v_3 &= \sqrt{\frac{25 \cdot 0.25 \cdot 19.62}{0.02 \cdot 1000}} \approx 2.48 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_3 \approx 0.122 \, \text{m}^3/\text{s} \\ \sum Q &= Q_1 - Q_3 = 0.192 - 0.122 = +0.070 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Le bilan est positif, ce qui signifie que le débit entrant est supérieur au débit sortant. La charge à la jonction \(H_J\) doit donc être plus élevée pour réduire \(Q_1\) et augmenter \(Q_3\) (et faire entrer en jeu \(Q_2\)).

Itération 2 : On essaie \(H_J = 90 \, \text{m}\).

Maintenant, B devient un réservoir de sortie. \(\Delta H_1 = 10\), \(\Delta H_2 = 5\), \(\Delta H_3 = 30\). On recalcule tout.

\[ \begin{aligned} v_1 &= \sqrt{\frac{10 \cdot 0.3 \cdot 19.62}{0.02 \cdot 600}} \approx 2.21 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_1 \approx 0.156 \, \text{m}^3/\text{s} \\ v_2 &= \sqrt{\frac{5 \cdot 0.2 \cdot 19.62}{0.02 \cdot 400}} \approx 1.57 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_2 \approx 0.049 \, \text{m}^3/\text{s} \\ v_3 &= \sqrt{\frac{30 \cdot 0.25 \cdot 19.62}{0.02 \cdot 1000}} \approx 2.71 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_3 \approx 0.133 \, \text{m}^3/\text{s} \\ \sum Q &= Q_1 - Q_2 - Q_3 = 0.156 - 0.049 - 0.133 = -0.026 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Le bilan est négatif. La vraie valeur de \(H_J\) est donc entre 85 m et 90 m.

Itération 3 : On essaie \(H_J = 88 \, \text{m}\).

\(\Delta H_1 = 12\), \(\Delta H_2 = 3\), \(\Delta H_3 = 28\). On recalcule (on peut affiner les \(f\) mais pour l'exemple on les garde à 0.02).

\[ \begin{aligned} v_1 &\approx 2.43 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_1 \approx 0.172 \, \text{m}^3/\text{s} \\ v_2 &\approx 1.21 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_2 \approx 0.038 \, \text{m}^3/\text{s} \\ v_3 &\approx 2.62 \, \text{m/s} \Rightarrow Q_3 \approx 0.128 \, \text{m}^3/\text{s} \\ \sum Q &= 0.172 - 0.038 - 0.128 = +0.006 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

C'est très proche de zéro. On peut considérer que la solution est trouvée.

Conclusion : Débits et Sens d'Écoulement

Résultat : La charge à la jonction est \(H_J \approx 88 \, \text{m}\). La répartition des débits est :
  • Conduite 1 (AJ) : \(Q_1 \approx 172 \, \text{L/s}\) (du réservoir A vers la jonction J)
  • Conduite 2 (BJ) : \(Q_2 \approx 38 \, \text{L/s}\) (de la jonction J vers le réservoir B)
  • Conduite 3 (CJ) : \(Q_3 \approx 128 \, \text{L/s}\) (de la jonction J vers le réservoir C)

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La principale difficulté du problème des trois réservoirs est de déterminer :

2. Si, lors d'une itération, la somme des débits à la jonction est négative (\(\sum Q < 0\)), cela signifie que l'estimation de la charge à la jonction \(H_J\) est :

3. Dans la solution trouvée, le réservoir B :

Glossaire

Problème des Trois Réservoirs
Cas d'étude d'un réseau hydraulique maillé simple où trois réservoirs sont connectés à une jonction commune. L'objectif est de trouver les débits et les sens d'écoulement dans les conduites.
Charge Hydraulique (\(H\))
Énergie totale d'un fluide par unité de poids, en un point donné. Elle est la somme de la charge d'altitude (\(z\)), de la charge de pression (\(P/\rho g\)) et de la charge de vitesse (\(v^2/2g\)). Pour un réservoir à surface libre, elle est approximativement égale à l'altitude de la surface de l'eau (\(H \approx z\)).
Jonction (ou Nœud)
Point d'un réseau où plusieurs conduites se rencontrent. La loi de conservation de la masse (loi des nœuds) s'applique à chaque jonction.
Problème des Trois Réservoirs - Exercice d'Application

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