ÉTUDE HYDRAULIQUE

Problème de la Mise en Charge d’une Conduite Vide

Exercice : Problème de la Mise en Charge d’une Conduite Vide

Problème de la Mise en Charge d’une Conduite Vide

Contexte : Le remplissage d'une conduite de refoulement.

Une station de pompage doit alimenter un réservoir situé en altitude via une longue conduite initialement vide. Avant la mise en service ou après une opération de maintenance, il est impératif de remplir cette conduite. Le temps nécessaire pour cette opération est un paramètre crucial pour la planification des opérations. Cet exercice vise à déterminer ce temps en modélisant l'interaction entre la courbe de la pompeRelation entre la hauteur manométrique fournie par une pompe et son débit. et les pertes de chargeÉnergie dissipée par le frottement du fluide contre les parois de la conduite. qui augmentent à mesure que l'eau progresse dans la tuyauterie.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un problème d'hydraulique non-permanent. Il vous apprendra à combiner la loi de Darcy-Weisbach pour les pertes de charge, la courbe caractéristique d'une pompe, et à poser une équation différentielle simple pour résoudre un problème dynamique concret.

Objectifs Pédagogiques

  • Modéliser la courbe caractéristique d'une pompe centrifuge.
  • Calculer les pertes de charge linéaires via la formule de Colebrook-White.
  • Établir l'équation différentielle régissant la progression du front d'eau.
  • Intégrer l'équation pour déterminer le temps total de remplissage.

Données de l'étude

On considère le système d'adduction d'eau potable schématisé ci-dessous.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type de projet Adduction d'eau potable
Norme de calcul des pertes de charge Formule de Colebrook-White
Objectif Estimer le temps de remplissage de la conduite
Schéma du système de pompage
Bassin Pompe Réservoir Longueur, L = 5000 m Δz = 50 m Front d'eau x(t)
Paramètre Description Valeur Unité
L Longueur de la conduite 5000 m
D Diamètre intérieur 400 mm
Δz Dénivelé géométrique total 50 m
k Rugosité de la conduite (fonte) 0.1 mm
ν Viscosité cinématique de l'eau 1.0 x 10⁻⁶ m²/s
H(Q) Courbe de pompe : H = A - BQ² A=80, B=800 m, s²/m⁵

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de perte de charge linéaire λ (lambda), en supposant un régime pleinement turbulent (haute vitesse).
  2. Établir l'expression de la Hauteur Manométrique Totale (HMT) du circuit en fonction du débit Q et de la longueur de conduite remplie x(t).
  3. Déterminer l'expression du débit de remplissage Q en fonction de la longueur remplie x(t).
  4. Établir l'équation différentielle décrivant l'évolution de la longueur remplie x(t) en fonction du temps.
  5. En résolvant l'équation différentielle, calculer le temps total de remplissage de la conduite.

Les bases de l'hydraulique en charge et des pompes

Pour résoudre cet exercice, deux concepts fondamentaux sont nécessaires : la compréhension des pertes de charge dans les conduites et le fonctionnement d'une pompe centrifuge dans un réseau.

1. Pertes de Charge Linéaires (Darcy-Weisbach)
Lorsqu'un fluide s'écoule dans une conduite, il perd de l'énergie à cause des frottements sur les parois. Cette perte, appelée perte de charge linéaire (J, en m/m), est calculée avec l'équation de Darcy-Weisbach : \[ J = \lambda \frac{V^2}{D \cdot 2g} = \lambda \frac{8 \cdot Q^2}{\pi^2 \cdot g \cdot D^5} \] Où λ est le coefficient de perte de charge (sans dimension), V la vitesse, Q le débit, D le diamètre, et g l'accélération de la pesanteur. λ dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative (k/D) et peut être trouvé avec l'équation de Colebrook-White.

2. Point de Fonctionnement d'une Pompe
Une pompe fournit de l'énergie au fluide sous forme de hauteur (H_pompe). Cette hauteur diminue à mesure que le débit Q augmente, selon une "courbe caractéristique" propre à chaque pompe. Le réseau, de son côté, requiert une certaine hauteur (la HMT) pour vaincre le dénivelé et les pertes de charge. Le débit réel dans le circuit, appelé "point de fonctionnement", est celui où l'offre de la pompe égale la demande du réseau : \[ H_{\text{pompe}}(Q) = HMT(Q) \]

Correction : Problème de la Mise en Charge d’une Conduite Vide

Question 1 : Calcul du coefficient de perte de charge linéaire λ

Principe

Pour obtenir une valeur plus précise du coefficient λ, nous allons utiliser l'équation complète de Colebrook-White. Contrairement à la formule simplifiée de Von Karman-Prandtl, celle-ci prend en compte à la fois la rugosité de la conduite et le régime d'écoulement (via le nombre de Reynolds). Comme λ apparaît des deux côtés de l'équation, elle ne peut être résolue que par une méthode itérative (calculs successifs) jusqu'à ce que la solution converge vers une valeur stable.

Mini-Cours

La formule de Colebrook-White est une relation implicite universellement reconnue pour calculer λ dans tous les régimes turbulents (lisse, transitoire et rugueux). Sa forme est : \( \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left(\frac{k/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}}\right) \). La méthode de résolution consiste à partir d'une estimation initiale de λ (λ₀), à l'injecter dans le côté droit de l'équation pour calculer une nouvelle valeur (λ₁), puis à répéter le processus (\(λ₂\), \(λ₃\), ...) jusqu'à ce que λ ne change pratiquement plus d'une itération à l'autre.

Remarque Pédagogique

L'approche itérative, bien que plus longue à la main, est la méthode standard utilisée par les logiciels de calcul hydraulique pour sa grande précision. Commencer avec une bonne estimation initiale (par exemple, issue de la formule simplifiée ou une valeur typique comme 0.015) permet de converger vers la solution en seulement quelques itérations.

Normes

L'équation de Colebrook-White est la base de la plupart des normes et codes de calcul modernes en mécanique des fluides pour la détermination des pertes de charge en régime turbulent, notamment dans les normes ISO et ASME.

Formule(s)

Équation de Colebrook-White (Précise)

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left(\frac{k/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}}\right) \]

Équation de Von Karman-Prandtl (Simplifiée)

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left(\frac{k/D}{3.71}\right) \]

Nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses

Pour calculer un nombre de Reynolds représentatif, nous devons supposer une vitesse d'écoulement. Une vitesse élevée est attendue, surtout au début. Nous prendrons une vitesse représentative de \(V = 2 \text{ m/s}\). La valeur exacte de λ dépend peu de cette vitesse car nous sommes en régime très turbulent.

Donnée(s)

Nous avons besoin des caractéristiques du fluide et de la conduite.

ParamètreSymboleValeurUnité
Diamètre intérieurD0.4m
Rugositék0.0001m
Viscosité cinématiqueν1.0 x 10⁻⁶m²/s
Vitesse représentativeV2.0m/s
Astuces

Utilisez le résultat de l'estimation initiale (régime turbulent rugueux) comme excellente valeur de départ pour la première itération. Cela garantit une convergence très rapide vers la solution précise.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre la rugosité à l'échelle microscopique, qui est à l'origine des frottements.

Visualisation de la rugosité d'une conduite
Paroi de la conduiteDk
Calcul(s)

Calcul de la rugosité relative et du Reynolds

\[ \begin{aligned} \frac{k}{D} &= \frac{0.0001 \text{ m}}{0.4 \text{ m}} \\ &= 0.00025 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{2.0 \text{ m/s} \cdot 0.4 \text{ m}}{1.0 \times 10^{-6} \text{ m²/s}} \\ &= 800000 \end{aligned} \]

Étape 1 : Estimation initiale (méthode simplifiée)

On utilise la formule de Von Karman-Prandtl qui ne dépend que de la rugosité pour obtenir une bonne valeur de départ \( \lambda_0 \).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_0}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{k/D}{3.71}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.00025}{3.71}\right) \\ &\approx 8.34 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda_0 &= \left(\frac{1}{8.34}\right)^2 \\ &\approx 0.0144 \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul précis par itérations (Colebrook-White)

On injecte \( \lambda_0 = 0.0144 \) dans la partie droite de l'équation complète pour démarrer les itérations.

Itération 1

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.00025}{3.7} + \frac{2.51}{800000 \sqrt{0.0144}}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(6.757 \times 10^{-5} + 2.615 \times 10^{-5}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(9.372 \times 10^{-5}\right) \\ &\approx 8.056 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda_1 &= \left(\frac{1}{8.056}\right)^2 \\ &\approx 0.0154 \end{aligned} \]

Itération 2

On réinjecte la nouvelle valeur \( \lambda_1 = 0.0154 \) pour affiner le résultat.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.00025}{3.7} + \frac{2.51}{800000 \sqrt{0.0154}}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(6.757 \times 10^{-5} + 2.529 \times 10^{-5}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(9.286 \times 10^{-5}\right) \\ &\approx 8.064 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda_2 &= \left(\frac{1}{8.064}\right)^2 \\ &\approx 0.01537 \end{aligned} \]

La valeur a convergé (\( \lambda_1 \approx \lambda_2 \)). On peut donc adopter la valeur stabilisée pour la suite des calculs.

Schéma (Après les calculs)

Le point calculé se situerait sur le diagramme de Moody dans la zone de droite, où les courbes sont horizontales.

Positionnement sur le Diagramme de Moody
Diagramme de Moody (Conceptuel)Nombre de Reynolds, Re (échelle log)Coefficient de perte de charge, λk/D = 0.00025k/D = 0.0005k/D = 0.001Régime
LaminaireRégime Turbulent RugueuxNotre Point
Réflexions

La valeur obtenue par la méthode simplifiée (\(\lambda_0 \approx 0.0144\)) est une bonne première estimation. Le calcul itératif précis affine ce résultat à \(\lambda \approx 0.0154\). La différence, bien que faible, montre que l'écoulement n'est pas encore dans la zone "pleinement" rugueuse et que le nombre de Reynolds a encore une petite influence, ce que la formule de Colebrook-White prend correctement en compte.

Points de vigilance

Le principal défi de la méthode itérative est de ne pas faire d'erreur de calcul en réinjectant les valeurs successives. Il est crucial d'être méthodique. Notez que si l'estimation de départ est très mauvaise, plusieurs itérations peuvent être nécessaires.

Points à retenir
  • L'équation de Colebrook-White est la référence pour un calcul précis de λ.
  • Sa nature implicite oblige à une résolution par itérations successives.
  • Le résultat final est plus précis que les formules simplifiées.
Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, publié en 1944, est une compilation de milliers d'expériences sur les écoulements en conduite. Il reste, encore aujourd'hui, un outil indispensable pour les ingénieurs hydrauliciens du monde entier pour sa capacité à synthétiser des phénomènes complexes de manière graphique.

FAQ

Les questions les plus fréquentes sur ce calcul.

Pourquoi ne pas se contenter de la méthode simplifiée ?

Pour de nombreux calculs préliminaires, la méthode simplifiée est suffisante. Cependant, pour des études de conception détaillées ou des calculs de performance, la précision supplémentaire de Colebrook-White est nécessaire pour garantir la sécurité et l'efficacité économique du système.

Résultat Final
Le coefficient de perte de charge linéaire est estimé à \(\lambda \approx 0.0154\).
A vous de jouer

Quel serait le coefficient λ pour une conduite en PVC (\(k = 0.0015 \text{ mm}\)) de même diamètre et pour le même Reynolds ?

Question 2 : Expression de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Principe

La HMT représente l'énergie totale que la pompe doit fournir pour que l'eau atteigne le front d'avancement x(t). Elle se compose de la hauteur géométrique à vaincre (dénivelé) et des pertes de charge sur la longueur déjà remplie.

Mini-Cours

La HMT d'un réseau de refoulement se décompose toujours en deux parties : une partie statique (la dénivelée, constante) et une partie dynamique (les pertes de charge, qui dépendent du carré du débit). La courbe HMT = f(Q) est donc une parabole. Dans notre cas, cette parabole évolue dans le temps, car sa "courbure" dépend de la longueur remplie x(t).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de comprendre que la HMT n'est pas une caractéristique de la pompe, mais bien du circuit. C'est la "demande" en énergie du réseau. La pompe, elle, fournit "l'offre". L'équilibre entre les deux donne le point de fonctionnement.

Normes

Le calcul de la HMT est une application directe du théorème de Bernoulli généralisé, qui est le principe de conservation de l'énergie pour les fluides en mouvement, incluant les apports d'énergie (pompes) et les pertes (pertes de charge).

Formule(s)

Équation de la HMT

\[ HMT = \Delta z + \Delta H = \Delta z + J \cdot x(t) \]

Perte de Charge Linéaire

\[ J = \left( \frac{8 \lambda}{\pi^2 g D^5} \right) Q^2 = K \cdot Q^2 \]
Hypothèses

Nous posons les hypothèses suivantes :

  • Les pertes de charge singulières (coudes, vannes) sont négligées.
  • La pression à l'exutoire (le front d'eau) est la pression atmosphérique, donc nulle en pression relative.
Donnée(s)

On utilise le λ calculé précédemment et les données de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de perte de chargeλ0.0154-
DiamètreD0.4m
DéniveléΔz50m
Astuces

Le terme \(K = \frac{8 \lambda}{\pi^2 g D^5}\) est une constante pour un tuyau donné. Il est judicieux de le calculer une bonne fois pour toutes pour simplifier les équations suivantes. Il représente la "résistance" de la conduite à l'écoulement.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre la décomposition de l'énergie à fournir par la pompe.

Décomposition de la HMT
Débit, QHauteur, HH_stat = ΔzHMT = Δz + J(Q)·xPertes de charge
J(Q)·x
Calcul(s)

Calcul de la constante de perte de charge K

\[ \begin{aligned} K &= \frac{8 \lambda}{\pi^2 g D^5} \\ &= \frac{8 \times 0.0154}{\pi^2 \times 9.81 \times (0.4)^5} \\ &\approx \frac{0.1232}{0.993} \\ &\approx 124 \text{ s²/m⁵} \end{aligned} \]

Expression finale de la HMT

\[ HMT(Q, x) = 50 + 124 \cdot x \cdot Q^2 \]
Schéma (Après les calculs)

Ce schéma montre comment la courbe du réseau (HMT) se redresse au fur et à mesure que x augmente, déplaçant le point de fonctionnement.

Évolution de la HMT avec le remplissage
Débit, QHauteur, HH_pompe(Q)HMT (x petit)HMT (x grand)
Réflexions

L'équation obtenue montre bien que la "demande" du réseau augmente avec le débit (terme en \(Q^2\)) ET avec la distance de remplissage (terme en \(x\)). C'est le cœur du problème : le système est dynamique et sa résistance évolue au cours du temps.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier la hauteur géométrique Δz ou de mal calculer le terme K. Assurez-vous d'utiliser le diamètre en mètres (0.4 m) et non en millimètres dans la formule de K, car le terme \(D^5\) est très sensible aux erreurs.

Points à retenir
  • HMT = Hauteur statique + Pertes de charge dynamiques.
  • Les pertes de charge sont proportionnelles à la longueur de la conduite remplie.
  • La HMT n'est pas constante pendant le remplissage.
Le saviez-vous ?

Le concept de hauteur manométrique a été développé pour unifier les termes d'énergie dans l'équation de Bernoulli. En divisant l'énergie (en Joules) par le poids d'un volume de fluide (en Newtons), on obtient une grandeur homogène à une longueur (en mètres), ce qui est beaucoup plus intuitif pour les ingénieurs travaillant sur le terrain.

FAQ

Les questions les plus fréquentes sur ce calcul.

Pourquoi la hauteur géométrique est-elle constante à Δz=50m ?

On suppose que la conduite se vide à l'air libre à son point le plus haut. L'eau doit donc vaincre la totalité du dénivelé dès le début. La pression au front d'eau est la pression atmosphérique tout au long du remplissage.

Résultat Final
L'expression de la hauteur manométrique du réseau est \(HMT = 50 + 124 \cdot x \cdot Q^2\).
A vous de jouer

Quelle serait la HMT pour un débit de \(10 \text{ L/s}\) (\(0.01 \text{ m³/s}\)) lorsque la conduite est à moitié pleine (\(x=2500 \text{ m}\)) ?

Question 3 : Expression du débit de remplissage Q(x)

Principe

Le débit instantané est déterminé par le point de fonctionnement, c'est-à-dire l'intersection entre la courbe de la pompe et la courbe du réseau (HMT). En égalisant les deux expressions, on peut isoler le débit Q.

Mini-Cours

La courbe d'une pompe centrifuge est souvent modélisée par une parabole de la forme \(H = A - BQ²\). Le paramètre A est la hauteur à débit nul (la pression maximale que la pompe peut atteindre) et B caractérise la "chute" de la courbe. L'intersection de cette parabole avec celle du réseau (\(HMT = \Delta z + KxQ²\)) donne le débit réel à un instant t (pour une longueur x donnée).

Remarque Pédagogique

L'étape cruciale est de bien poser l'égalité \(H_{\text{pompe}} = HMT\). C'est la traduction mathématique de l'équilibre physique entre ce que la pompe peut fournir et ce que le réseau exige. Toute la dynamique du problème découle de cette égalité.

Normes

Les caractéristiques des pompes sont régies par des normes internationales comme l'ISO 9906, qui définissent les tolérances et les méthodes d'essai pour garantir que la courbe fournie par le constructeur correspond bien aux performances réelles de la machine.

Formule(s)

Égalité au point de fonctionnement

\[ H_{\text{pompe}}(Q) = HMT(Q, x) \Rightarrow A - BQ^2 = \Delta z + K \cdot x \cdot Q^2 \]
Hypothèses

Nous supposons que la courbe de la pompe fournie par le constructeur est exacte et ne varie pas dans le temps (pas d'usure, vitesse de rotation constante).

Donnée(s)

On utilise les équations de H(Q) et HMT(Q,x).

ParamètreExpression
Courbe Pompe\(H(Q) = 80 - 800 Q^2\)
Courbe Réseau\(HMT(Q,x) = 50 + 124 x Q^2\)
Astuces

Avant de remplacer par les chiffres, regroupez tous les termes en Q² d'un côté et les termes constants de l'autre. Cela rend l'algèbre plus claire et moins sujette aux erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre graphiquement la recherche du point d'intersection qui définit le débit Q pour une longueur x donnée.

Recherche du Point de Fonctionnement
Débit, QHauteur, HH_pompe(Q)HMT(Q,x)Q(x)
Calcul(s)

Isolation du terme \(Q^2\)

\[ \begin{aligned} A - \Delta z &= BQ^2 + K \cdot x \cdot Q^2 \\ A - \Delta z &= (B + K \cdot x) Q^2 \\ Q^2 &= \frac{A - \Delta z}{B + K \cdot x} \end{aligned} \]

Expression finale de Q(x)

\[ \begin{aligned} Q(x) &= \sqrt{\frac{A - \Delta z}{B + K \cdot x}} \\ &= \sqrt{\frac{80 - 50}{800 + 124 \cdot x}} \\ &= \sqrt{\frac{30}{800 + 124x}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le graphique du débit en fonction de x montre une décroissance rapide au début, puis plus lente.

Débit Q en fonction de la longueur remplie x
Longueur remplie, x (m)Débit, Q (m³/s)Q(0)Q(L)
Réflexions

On voit que le débit Q n'est pas constant : il diminue à mesure que la longueur remplie x augmente. C'est logique, car plus la conduite est pleine, plus les pertes de charge sont importantes, et plus la pompe "peine" à fournir du débit.

Points de vigilance

Attention aux signes en réarrangeant l'équation. Le terme \(BQ^2\) passe de l'autre côté et devient positif. Une erreur ici inverserait complètement la physique du problème.

Points à retenir
  • Le débit de fonctionnement dépend de l'équilibre entre la pompe et le réseau.
  • Le débit diminue au fur et à mesure que la conduite se remplit.
  • L'expression de Q(x) est la clé pour passer à l'étape suivante : l'équation différentielle.
Le saviez-vous ?

Pour démarrer de très longues conduites, les ingénieurs utilisent parfois des pompes "jockeys" de plus faible puissance pour un remplissage lent et contrôlé, afin d'éviter les coups de bélier. Une fois la conduite pleine, les pompes principales prennent le relais.

FAQ

Les questions les plus fréquentes sur ce calcul.

Que se passe-t-il si A < Δz ?

Si la hauteur maximale de la pompe est inférieure au dénivelé, la pompe ne pourra jamais vaincre la hauteur statique. Le débit sera nul et la conduite ne se remplira jamais. Le terme sous la racine carrée deviendrait négatif, ce qui n'a pas de sens physique.

Résultat Final
Le débit de remplissage en fonction de x est : \(Q(x) = \sqrt{\frac{30}{800 + 124x}} \text{ m³/s}\).
A vous de jouer

Quel est le débit (en L/s) au tout début du remplissage (\(x=0\)) ?

Question 4 : Établissement de l'équation différentielle

Principe

Le débit Q représente un volume par unité de temps. Ce volume remplit une portion de la conduite de section A et de longueur dx. La relation entre le débit et la vitesse de progression du front d'eau (dx/dt) est donc directe.

Mini-Cours

Cette étape est une application du principe de conservation de la masse. Le volume d'eau entrant dans la conduite pendant un temps dt (\(Q \cdot dt\)) est égal au volume d'un petit cylindre de section A et de longueur dx qui est rempli. On a donc \(Q \cdot dt = A \cdot dx\). En réarrangeant, on obtient la relation fondamentale \(V = dx/dt = Q/A\), qui lie la vitesse du front d'eau au débit.

Remarque Pédagogique

C'est ici que l'on passe d'un problème "statique" (trouver le débit pour un x fixe) à un problème "dynamique" (trouver comment x évolue avec le temps t). C'est la magie des équations différentielles : elles décrivent une évolution.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique ici, car il s'agit d'une application directe des principes fondamentaux de la physique (conservation de la masse) et des mathématiques (calcul différentiel).

Formule(s)

Relation Débit-Vitesse

\[ Q = A \cdot V = A \cdot \frac{dx}{dt} \]
Hypothèses

Nous supposons que l'eau se déplace comme un "bouchon" parfait, sans emprisonner de poches d'air. La section A est constante sur toute la longueur.

Donnée(s)

Nous avons besoin du diamètre D et de l'expression de Q(x) de la question 3.

ParamètreSymbole/ExpressionValeur
DiamètreD0.4 m
DébitQ(x)\(\sqrt{30 / (800 + 124x)}\)
Astuces

Calculez la section A une seule fois et gardez sa valeur. C'est une constante qui apparaîtra souvent. Ne la recalculez pas à chaque fois pour éviter les erreurs d'arrondi.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre la progression du front d'eau sur une petite longueur dx pendant un temps dt.

Progression du front d'eau
Pompex(t)x(t+dt)dx
Calcul(s)

Calcul de la section A

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi D^2}{4} \\ &= \frac{\pi (0.4 \text{ m})^2}{4} \\ &\approx 0.1257 \text{ m²} \end{aligned} \]

Écriture de l'équation différentielle

\[ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{Q(x)}{A} \\ &= \frac{1}{0.1257} \sqrt{\frac{30}{800 + 124x}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une équation. Un schéma conceptuel peut montrer que la vitesse dx/dt est liée à Q(x).

Relation Vitesse - Débit
Section ADébit QV = Q / A
Réflexions

Cette équation nous dit que la vitesse de remplissage (dx/dt) n'est pas constante. Elle est rapide au début (quand x est petit) et de plus en plus lente à mesure que la conduite se remplit (quand x augmente). C'est la traduction mathématique de notre intuition.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien diviser Q par A, et non l'inverse. Une erreur commune est d'inverser la relation. Pensez aux unités : \((\text{m³/s}) / (\text{m²})\) donne bien des \((\text{m/s})\), une vitesse.

Points à retenir
  • La vitesse de remplissage est \(V = dx/dt\).
  • La conservation de la masse impose \(Q = A \cdot V\).
  • L'équation différentielle lie la variation de x à la valeur de x elle-même.
Le saviez-vous ?

Les équations différentielles sont au cœur de l'ingénierie. Elles décrivent presque tous les phénomènes dynamiques : la vibration d'un pont, le refroidissement d'un moteur, la charge d'un condensateur, et bien sûr, le remplissage de notre conduite !

FAQ

Les questions les plus fréquentes sur ce calcul.

Est-ce que cette équation est facile à résoudre ?

Oui, c'est une équation différentielle "à variables séparables". Cela signifie qu'on peut mettre tous les termes en 'x' d'un côté et tous les termes en 't' de l'autre, puis intégrer chaque côté séparément, ce qui est l'objet de la question suivante.

Résultat Final
L'équation différentielle régissant le remplissage est : \(\frac{dx}{dt} \approx \frac{1}{0.1257} \sqrt{\frac{30}{800 + 124x}}\).
A vous de jouer

Quelle est la vitesse de remplissage (en m/s) au tout début (\(x=0\)) ?

Question 5 : Calcul du temps total de remplissage

Principe

Pour trouver le temps total T, il faut intégrer l'équation différentielle. On sépare les variables (x et t) et on intègre de t=0 à T et de x=0 à L.

Mini-Cours

Résoudre une équation différentielle à variables séparables comme \(dx/dt = f(x)\) consiste à la réécrire sous la forme \(dx/f(x) = dt\). On peut alors intégrer le membre de gauche par rapport à x (entre les bornes 0 et L) et le membre de droite par rapport à t (entre 0 et T). L'intégrale de droite donne simplement T, le temps total recherché.

Remarque Pédagogique

C'est l'aboutissement de notre raisonnement. Chaque question précédente était une étape pour construire cette intégrale finale. L'intégration est l'opération mathématique qui permet de "sommer" tous les petits temps 'dt' nécessaires pour remplir chaque petit segment 'dx'.

Normes

Le calcul intégral est une branche fondamentale des mathématiques. Les tables de primitives, comme celle de \(\sqrt{u}\), sont des outils standards pour l'ingénieur, au même titre qu'une calculatrice.

Formule(s)

Séparation des variables

\[ dt = A \frac{dx}{Q(x)} = A \sqrt{\frac{B + Kx}{A_{\text{pompe}} - \Delta z}} dx \]

Intégration

\[ T = \int_{0}^{T} dt = \frac{A}{\sqrt{A_{\text{pompe}} - \Delta z}} \int_{0}^{L} \sqrt{B + Kx} \,dx \]

Primitive de référence

\[ \int \sqrt{u} \,du = \frac{2}{3}u^{3/2} \]
Hypothèses

Nous supposons que les paramètres (A, B, K, L) sont constants pendant toute la durée du remplissage.

Donnée(s)

Toutes les valeurs numériques calculées ou données précédemment sont utilisées ici.

ParamètreSymboleValeurUnité
Section de la conduiteA0.1257m²
Constante de perte de chargeK124s²/m⁵
Hauteur pompe à débit nul\(A_{\text{pompe}}\)80m
Coefficient de chute de pompe\(B_{\text{pompe}}\)800s²/m⁵
DéniveléΔz50m
Longueur totaleL5000m
Astuces

Avant l'application numérique, sortez toutes les constantes de l'intégrale (\(A\), \(K\), \(A_{\text{pompe}}\), etc.). L'intégration ne portera que sur le terme \(\sqrt{B+Kx}\), ce qui simplifie grandement la résolution.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul du temps T correspond à l'aire sous la courbe de la fonction \(1/V(x) = A/Q(x)\) entre 0 et L.

Signification graphique du temps de remplissage
x (m)1/V(x) (s/m)T = Aire sous la courbeL
Calcul(s)

Résolution de l'intégrale

\[ \begin{aligned} T &= \frac{A}{\sqrt{A_{\text{pompe}} - \Delta z}} \left[ \frac{2}{3K}(B + Kx)^{3/2} \right]_{0}^{L} \\ &= \frac{2A}{3K\sqrt{A_{\text{pompe}} - \Delta z}} \left( (B + KL)^{3/2} - B^{3/2} \right) \end{aligned} \]

Application numérique

\[ \begin{aligned} T &= \frac{2 \times 0.1257}{3 \times 124 \sqrt{80 - 50}} \left( (800 + 124 \times 5000)^{3/2} - 800^{3/2} \right) \\ &= \frac{0.2514}{372 \sqrt{30}} \left( (620800)^{3/2} - 800^{3/2} \right) \\ &\approx (1.234 \times 10^{-4}) \times (4.887 \times 10^8 - 22627) \\ &\approx 64410 \text{ s} \end{aligned} \]

Conversion en heures

\[ \begin{aligned} T_{\text{heures}} &= \frac{64410 \text{ s}}{3600 \text{ s/h}} \\ &\approx 17.89 \text{ heures} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat final peut être présenté sur une ligne de temps pour visualiser la durée de l'opération.

Durée totale du remplissage
Début
t=0Fin
t=TT ≈ 17.9 heures
Réflexions

Un temps de près de 18 heures est considérable. Cela montre que le remplissage des conduites est une opération longue qui doit être planifiée, surtout pour les grands réseaux. Ce résultat est très sensible à la puissance de la pompe et à la longueur de la conduite, comme le montre le simulateur.

Points de vigilance

La plus grande difficulté est le calcul numérique final, qui implique de grands nombres élevés à la puissance 3/2. Utilisez une calculatrice avec soin et vérifiez les ordres de grandeur. Une erreur fréquente est d'oublier de soustraire le terme en \(B^{3/2}\).

Points à retenir
  • Le temps de remplissage s'obtient en intégrant la vitesse inverse (\(1/V\)) sur la longueur.
  • La solution analytique existe si la courbe de pompe est une parabole simple.
  • Le temps de remplissage n'est PAS simplement (Volume / Débit initial), car le débit varie.
Le saviez-vous ?

Pour des réseaux complexes ou des courbes de pompe non analytiques, les ingénieurs n'effectuent pas ce calcul à la main. Ils utilisent des logiciels de modélisation hydraulique (comme EPANET) qui résolvent numériquement le système d'équations pas à pas dans le temps (méthode des éléments finis ou des différences finies).

FAQ

Les questions les plus fréquentes sur ce calcul.

Cette méthode est-elle précise ?

Elle donne un très bon ordre de grandeur. Les principales sources d'imprécision sont l'hypothèse sur λ (constant) et la non-prise en compte des pertes singulières et des éventuelles poches d'air, qui peuvent ralentir le remplissage.

Résultat Final
Le temps total pour remplir la conduite de 5 km est d'environ 17.9 heures.
A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Quel serait le temps de remplissage si la pompe était plus puissante (\(A_{\text{pompe}}=90 \text{ m}\)) ?

Outil Interactif : Simulateur de Remplissage

Ce simulateur vous permet de voir comment le temps de remplissage (en heures) évolue en fonction de la longueur de la conduite et de la puissance de la pompe (représenteé par sa hauteur à débit nul).

Paramètres d'Entrée
5 km
80 m
Résultats Clés
Temps de remplissage (heures) -
Débit initial (L/s) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Lors du remplissage d'une conduite, comment évolue le débit fourni par la pompe ?

2. La perte de charge linéaire dans une conduite est principalement due à :

3. Le "point de fonctionnement" d'un système de pompage est atteint quand :

4. Si la rugosité (k) de la conduite augmente, le temps de remplissage va :

5. L'équation de Colebrook-White sert à déterminer :

Perte de Charge
Diminution de la pression ou de l'énergie d'un fluide en mouvement, due aux frottements contre les parois de la conduite (pertes linéaires) ou aux accidents de parcours comme les coudes ou vannes (pertes singulières).
Courbe Caractéristique
Graphique qui représente la relation entre la hauteur manométrique (pression) qu'une pompe peut fournir et le débit qu'elle génère. Typiquement, la hauteur diminue lorsque le débit augmente.
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale par unité de poids que la pompe doit fournir au fluide pour le transporter d'un point A à un point B. Elle inclut la différence d'altitude, la différence de pression et les pertes de charge.
Coefficient de Perte de Charge (λ)
Nombre sans dimension qui caractérise la résistance à l'écoulement due au frottement dans une conduite. Il dépend de la rugosité de la paroi et du régime d'écoulement (nombre de Reynolds).
Problème de la Mise en Charge d’une Conduite Vide

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