Pression dans un Fluide à Plusieurs Couches

Comprendre la Pression dans les Fluides Statiques

La loi fondamentale de l'hydrostatiquePrincipe selon lequel la variation de pression dans un fluide au repos est directement proportionnelle à la variation de profondeur, à la masse volumique du fluide et à l'accélération de la pesanteur. stipule que la pression dans un fluide au repos augmente avec la profondeur. Cette augmentation est due au poids de la colonne de fluide située au-dessus du point de mesure. Lorsque nous avons affaire à plusieurs fluides non miscibles superposés (comme de l'huile sur de l'eau), la pression à un point donné est la somme de la pression à la surface et des pressions exercées par chaque couche de fluide traversée. Ce principe est essentiel en génie civil (barrages, réservoirs), en géologie (pressions dans les gisements de pétrole) et dans de nombreuses applications industrielles.

Remarque Pédagogique : Imaginez que vous empilez des livres de densités différentes. Le poids (et donc la pression) ressenti à la base de la pile est la somme des poids de tous les livres. C'est exactement le même principe pour les couches de fluides : chaque couche ajoute son propre "poids" de pression.

Données de l'étude

Un réservoir ouvert à l'atmosphère contient trois couches de fluides non miscibles au repos : de l'huile, de l'eau et du glycérol. On cherche à déterminer la pression en différents points du réservoir.

Caractéristiques des fluides et du réservoir :

Hauteur de la couche d'huile (\(h_{\text{huile}}\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
Hauteur de la couche d'eau (\(h_{\text{eau}}\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
Hauteur de la couche de glycérol (\(h_{\text{gly}}\)) : \(0.8 \, \text{m}\)

Propriétés physiques :

Masse volumique de l'huile (\(\rho_{\text{huile}}\)) : \(850 \, \text{kg/m}^3\)
Masse volumique de l'eau (\(\rho_{\text{eau}}\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
Masse volumique du glycérol (\(\rho_{\text{gly}}\)) : \(1260 \, \text{kg/m}^3\)
Pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101,325 \, \text{Pa}\) (environ 1.013 bar)
Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Schéma du Réservoir Multicouche

Questions à traiter

Calculer la pression relative à l'interface huile-eau (Point A).
Calculer la pression relative à l'interface eau-glycérol (Point B).
Calculer la pression relative au fond du réservoir (Point C).
Déterminer la pression absolue au fond du réservoir.

Correction : Calcul de la Pression dans un Fluide à Plusieurs Couches

Question 1 : Pression à l'Interface Huile-Eau (Point A)

Principe :

La pression au point A est due uniquement au poids de la colonne d'huile située au-dessus, puisque la surface est à la pression atmosphérique (pression relativeSurpression par rapport à la pression atmosphérique locale. C'est la pression mesurée par la plupart des manomètres. de 0). On applique la loi fondamentale de l'hydrostatique pour cette première couche.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La pression relative est une mesure de la surpression par rapport à l'atmosphère. C'est ce que mesurent la plupart des manomètres et c'est ce qui nous intéresse pour les forces structurelles. La pression absoluePression totale par rapport au vide absolu. Elle est égale à la pression relative plus la pression atmosphérique. est la pression totale incluant l'atmosphère. On commence par le plus simple : la pression ajoutée par la première couche.

Formule(s) utilisée(s) :

P_{\text{A}} = \rho_{\text{huile}} \cdot g \cdot h_{\text{huile}}

Données(s) :

\(\rho_{\text{huile}} = 850 \, \text{kg/m}^3\)
\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
\(h_{\text{huile}} = 0.5 \, \text{m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} P_{\text{A}} &= 850 \times 9.81 \times 0.5 \\ &= 4169.25 \, \text{Pa} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La pression relative au point A est \(P_A \approx 4169 \, \text{Pa}\) (soit 0.042 bar).

Question 2 : Pression à l'Interface Eau-Glycérol (Point B)

Principe :

La pression au point B est la somme de la pression déjà présente à l'interface supérieure (Point A) et de la pression ajoutée par la colonne d'eau. Les pressions s'additionnent à chaque couche successive.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'essence même de la loi de l'hydrostatique dans un milieu stratifié. La pression à une certaine profondeur ne dépend que de ce qui se trouve "au-dessus". Ce qui se trouve en dessous n'a aucune influence.

Formule(s) utilisée(s) :

P_{\text{B}} = P_{\text{A}} + \rho_{\text{eau}} \cdot g \cdot h_{\text{eau}}

Données(s) :

\(P_{\text{A}} = 4169.25 \, \text{Pa}\)
\(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
\(h_{\text{eau}} = 1.0 \, \text{m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} P_{\text{B}} &= 4169.25 + (1000 \times 9.81 \times 1.0) \\ &= 4169.25 + 9810 \\ &= 13979.25 \, \text{Pa} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La pression relative au point B est \(P_B \approx 13,979 \, \text{Pa}\) (soit 0.14 bar).

Question 3 : Pression au Fond du Réservoir (Point C)

Principe :

On continue le même processus : la pression au fond (Point C) est la pression au-dessus (Point B) plus la pression exercée par la dernière couche, celle de glycérol. C'est la somme des pressions de toutes les colonnes de fluide.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Notez que la pression augmente de plus en plus vite à chaque couche, car la masse volumique des fluides augmente. La couche de glycérol, bien que moins haute que celle de l'eau, ajoute une pression plus importante pour chaque mètre de profondeur car elle est plus dense.

Formule(s) utilisée(s) :

P_{\text{C}} = P_{\text{B}} + \rho_{\text{gly}} \cdot g \cdot h_{\text{gly}}

Données(s) :

\(P_{\text{B}} = 13979.25 \, \text{Pa}\)
\(\rho_{\text{gly}} = 1260 \, \text{kg/m}^3\)
\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
\(h_{\text{gly}} = 0.8 \, \text{m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} P_{\text{C}} &= 13979.25 + (1260 \times 9.81 \times 0.8) \\ &= 13979.25 + 9888.48 \\ &= 23867.73 \, \text{Pa} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La pression relative au fond est \(P_C \approx 23,868 \, \text{Pa}\) (soit 0.239 bar).

Question 4 : Pression Absolue au Fond (\(P_{C,abs}\))

Principe :

La pression absolue est la pression "totale" en un point, incluant la pression de l'atmosphère qui pèse sur la surface libre du fluide. Pour l'obtenir, on ajoute simplement la pression atmosphérique à la pression relative calculée précédemment.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La pression relative est utile pour les calculs de force (par exemple, la force sur une paroi de réservoir), car la pression atmosphérique s'applique des deux côtés et s'annule. La pression absolue est indispensable pour les phénomènes thermodynamiques, comme l'ébullition (cavitation).

Formule(s) utilisée(s) :

P_{\text{abs}} = P_{\text{rel}} + P_{\text{atm}}

Calcul(s) :

\begin{aligned} P_{\text{C,abs}} &= P_{\text{C}} + P_{\text{atm}} \\ &= 23867.73 + 101325 \\ &= 125192.73 \, \text{Pa} \end{aligned}

Soit environ 1.25 bar en pression absolue.

Résultat Question 4 : La pression absolue au fond du réservoir est \(P_{C,abs} \approx 125,193 \, \text{Pa}\).

Test de Compréhension : Si on transportait ce réservoir sur une haute montagne où la pression atmosphérique est plus faible, la pression relative au fond...

...resterait la même.
...augmenterait.
...diminuerait.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Point de Mesure	Pression Relative (Pa)	Pression Relative (bar)
Point A (interface huile/eau)	Cliquez pour révéler	Cliquez pour révéler
Point B (interface eau/glycérol)	Cliquez pour révéler	Cliquez pour révéler
Point C (Fond)	Cliquez pour révéler	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : On ajoute une couche de mercure (\(\rho_{\text{Hg}} = 13600 \, \text{kg/m}^3\)) de 10 cm de haut au fond du réservoir. Quelle est la nouvelle pression relative totale au fond (en Pascals) ?

\(P_{\text{fond}}\) (en Pa) =

Pièges à Éviter

Unités : Assurez-vous que toutes les hauteurs sont en mètres (m) et les masses volumiques en kg/m³ pour obtenir une pression en Pascals (Pa).

Ordre des couches : Les couches se stratifient par ordre de densité décroissante. Si vous calculez la pression de bas en haut, vous devez soustraire la pression de chaque couche au lieu de l'ajouter.

Pression Relative vs Absolue : Ne mélangez pas les deux ! Les calculs de pression hydrostatique (\(\rho g h\)) donnent une surpression (relative). N'ajoutez la pression atmosphérique qu'à la toute fin si on vous demande la pression absolue.

Simulation Interactive de la Pression

Variez la hauteur de la couche d'eau pour voir comment la pression totale au fond du réservoir évolue.

Paramètres de Simulation

Hauteur d'eau (\(h_{\text{eau}}\)): 1.0 m

Conditions fixes :
- Huile : 0.5 m
- Glycérol : 0.8 m

Pression Relative au Fond

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Force sur une paroi : La pression n'est pas uniforme sur une paroi verticale. Pour calculer la force totale exercée par le fluide sur la paroi du réservoir, il faudrait intégrer la fonction de pression \(P(z)\) sur toute la surface de la paroi.

2. Principe d'Archimède : Si on plongeait un objet dans ce réservoir, il flotterait à l'interface entre deux liquides si sa masse volumique est comprise entre celles des deux fluides. La poussée d'Archimède qu'il subirait dépendrait des volumes immergés dans chaque couche.

Le Saviez-Vous ?

La stratification des liquides due à leur densité est un phénomène crucial dans les océans. Les différences de température et de salinité créent des couches d'eau de densités différentes. Les frontières entre ces couches, appelées "thermoclines" ou "haloclines", peuvent être si nettes qu'elles peuvent même réfléchir les ondes sonar, rendant la détection de sous-marins difficile.

Foire Aux Questions (FAQ)

La forme du réservoir a-t-elle une importance ?

Non, pour un point situé à une certaine profondeur, la pression hydrostatique ne dépend que de la hauteur de fluide au-dessus de ce point, pas de la forme du contenant. C'est le paradoxe hydrostatique : un grand lac et un tube à essai étroit, s'ils ont la même profondeur d'eau, auront la même pression au fond.

Que se passe-t-il si les fluides sont miscibles ?

Si les fluides sont miscibles (comme l'alcool et l'eau), ils se mélangeraient pour former une solution unique avec une nouvelle masse volumique (généralement intermédiaire). Il n'y aurait plus de couches distinctes, et le calcul de la pression se ferait avec cette unique masse volumique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La pression hydrostatique dépend de :

La viscosité du fluide.
La hauteur et la masse volumique du fluide.
Le volume total du réservoir.

2. Si on remplace l'huile par un liquide moins dense, la pression au fond du réservoir va...

...augmenter.
...rester la même.
...diminuer.

Glossaire

Loi fondamentale de l'hydrostatique: Principe selon lequel la variation de pression dans un fluide au repos est directement proportionnelle à la variation de profondeur, à la masse volumique du fluide et à l'accélération de la pesanteur.
Pression relative: Surpression par rapport à la pression atmosphérique locale. C'est la pression mesurée par la plupart des manomètres.
Pression absolue: Pression totale par rapport au vide absolu. Elle est égale à la pression relative plus la pression atmosphérique.
Fluides non miscibles: Liquides qui ne se mélangent pas pour former une solution homogène, comme l'huile et l'eau.