Positionnement d'un Ressaut Hydraulique

Contexte : L'hydraulique à surface libre et la dissipation d'énergie.

Lorsqu'un écoulement passe brusquement d'un régime rapide (supercritique) à un régime lent (fluvial ou subcritique), un phénomène turbulent appelé ressaut hydrauliqueTransition brusque d'un écoulement supercritique (rapide) à un écoulement subcritique (lent), caractérisée par une augmentation soudaine de la hauteur d'eau et une forte turbulence. se produit. Ce phénomène est essentiel en ingénierie civile, car il permet de dissiper une grande quantité d'énergie et de protéger les infrastructures (comme les pieds de barrages) de l'érosion. Savoir où ce ressaut va se former est donc un enjeu majeur pour le dimensionnement des ouvrages.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul pour déterminer la position exacte d'un ressaut hydraulique dans un canal à pente douce, en utilisant les notions de hauteurs conjuguées et de lignes d'eau.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les hauteurs d'eau caractéristiques : critique (\(y_c\)) et normale (\(y_n\)).
Déterminer le régime de l'écoulement à l'aide du nombre de FroudeNombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il permet de classifier les écoulements : Fr < 1 (fluvial), Fr = 1 (critique), Fr > 1 (torrentiel)..
Calculer la hauteur conjuguée nécessaire à la formation du ressaut.
Estimer la longueur d'une ligne d'eau en régime varié par la méthode de l'intégration directe (Direct Step Method).

Données de l'étude

Un canal rectangulaire de 3 mètres de large évacue un débit de 12 m³/s. La pente du fond est de 0.25% (\(S_0 = 0.0025\)) et le coefficient de Manning est estimé à \(n = 0.015\). En un point donné, suite à un ouvrage (vanne), la hauteur de l'écoulement est de 0.60 m. On suppose que loin en aval, l'écoulement atteint son régime uniforme normal.

Schéma du Problème

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur du canal	\(B\)	3	m
Débit	\(Q\)	12	m³/s
Pente du fond	\(S_0\)	0.0025	-
Coeff. de Manning	\(n\)	0.015	s/m¹/³
Hauteur initiale	\(y_1\)	0.6	m

Questions à traiter

Calculer la hauteur critique \(y_c\) et déterminer le régime de l'écoulement initial à la hauteur \(y_1 = 0.6\) m.
Calculer la hauteur normale \(y_n\) pour cet écoulement. Le régime normal est-il fluvial ou torrentiel ?
Le ressaut se formera pour passer du régime torrentiel au régime fluvial. Déterminer la hauteur \(y_{j1}\) juste avant le ressaut, sachant que la hauteur juste après le ressaut sera la hauteur normale \(y_n\).
Calculer l'énergie spécifique et la pente de la ligne d'énergie aux points de hauteur \(y_1=0.6\) m et \(y_{j1}\).
Estimer la distance \(L\) entre le point où la hauteur est de 0.6 m et le début du ressaut hydraulique.

Les bases sur les Lignes d'Eau et Ressauts

Pour résoudre cet exercice, nous devons maîtriser deux concepts clés : la classification des écoulements et le calcul des lignes d'eau.

1. Régimes d'écoulement et Ressaut Hydraulique
Le nombre de Froude \(Fr = v / \sqrt{gy}\) nous permet de classifier un écoulement. Si \(Fr > 1\), l'écoulement est supercritique (torrentiel). Si \(Fr < 1\), il est subcritique (fluvial). Le passage de supercritique à subcritique se fait via un ressaut. Les hauteurs avant (\(y_1\)) et après (\(y_2\)) le ressaut sont dites "conjuguées" et liées par l'équation de Bélanger : \[ \frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right) \]

2. Écoulement Graduellement Varié (Ligne d'eau)
Quand la hauteur d'eau varie progressivement le long du canal, on parle d'écoulement graduellement varié. La longueur \(L\) de ce profil peut être calculée avec la méthode de l'intégration directe ("Direct Step Method") qui s'appuie sur le bilan énergétique entre deux sections : \[ \Delta L = \frac{E_2 - E_1}{S_0 - \bar{S_f}} \] Où \(E = y + \frac{v^2}{2g}\) est l'énergie spécifique et \(\bar{S_f}\) est la pente moyenne de la ligne d'énergie, calculée avec la formule de Manning.

Correction : Positionnement d’un Ressaut Hydraulique

Question 1 : Hauteur critique et régime initial

Principe

La première étape consiste à calculer la hauteur critique, qui est une propriété intrinsèque de l'écoulement (liée au débit et à la géométrie). En la comparant à la hauteur réelle, nous pouvons déterminer si l'écoulement est rapide (torrentiel) ou lent (fluvial) grâce au nombre de Froude.

Mini-Cours

La hauteur critique \(y_c\) représente un état de transition. C'est la profondeur pour laquelle l'énergie spécifique de l'écoulement est minimale. Le nombre de Froude, \(Fr\), est le rapport entre la vitesse de l'écoulement et la vitesse des ondes de surface (célérité). Si \(Fr=1\), l'écoulement est critique. Si \(Fr>1\), il est supercritique, et si \(Fr<1\), il est subcritique.

Remarque Pédagogique

Pensez à la hauteur critique comme une "frontière" naturelle pour un débit donné. Tout écoulement tendra à s'en approcher ou à la traverser (via un ressaut, par exemple). Le calcul de \(y_c\) est presque toujours le point de départ en hydraulique à surface libre.

Normes

Les calculs de base de l'hydraulique à surface libre ne sont pas régis par des normes de type Eurocodes, mais par les principes fondamentaux de la mécanique des fluides (conservation de la masse, de l'énergie et de la quantité de mouvement).

Formule(s)

Débit par unité de largeur

q = \frac{Q}{B}

Hauteur Critique

y_c = \left( \frac{q^2}{g} \right)^{1/3}

Hypothèses

Pour ce calcul, on suppose :

Le canal est rectangulaire et prismatique.
Le débit est constant.
L'accélération de la pesanteur \(g\) est de 9.81 m/s².

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	\(Q\)	12	m³/s
Largeur du canal	\(B\)	3	m

Astuces

Pour mémoriser la formule de la hauteur critique, rappelez-vous que \(Fr=1\), ce qui signifie \(v = \sqrt{gy}\). En remplaçant \(v\) par \(q/y\), on obtient \(q^2/y^2 = gy\), d'où l'on tire facilement \(y_c\).

Schéma (Avant les calculs)

Section transversale du canal

Calcul(s)

Calcul du débit par unité de largeur

\begin{aligned} q &= \frac{12 \text{ m³/s}}{3 \text{ m}} \\ &= 4 \text{ m²/s} \end{aligned}

Calcul de la hauteur critique

\begin{aligned} y_c &= \left( \frac{4^2}{9.81} \right)^{1/3} \\ &= \left( \frac{16}{9.81} \right)^{1/3} \\ &\approx 1.177 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des hauteurs

Réflexions

La hauteur d'eau initiale est \(y_1 = 0.6\) m. Comme \(y_1 < y_c\) (0.6 m < 1.177 m), l'écoulement initial est en régime supercritique (ou torrentiel). Cela confirme qu'un ressaut est possible pour rejoindre un régime fluvial en aval.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est d'oublier de calculer le débit par unité de largeur (\(q\)) et d'utiliser le débit total (\(Q\)) dans la formule de la hauteur critique, ce qui fausse tous les calculs suivants.

Points à retenir

La hauteur critique est le pivot de l'analyse.
Si \(y < y_c \Rightarrow\) Régime torrentiel / supercritique.
Si \(y > y_c \Rightarrow\) Régime fluvial / subcritique.

Le saviez-vous ?

Le concept de hauteur critique a été développé par le scientifique et ingénieur franco-irlandais Jean-François d'Aubuisson de Voisins au début du 19ème siècle, dans le cadre de ses études sur les écoulements dans les canaux d'irrigation.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

La hauteur critique est \(y_c \approx 1.18\) m. L'écoulement initial à \(y_1=0.6\) m est supercritique.

A vous de jouer

Si le débit était de 15 m³/s dans le même canal, quelle serait la nouvelle hauteur critique ?

Question 2 : Hauteur normale et régime normal

Principe

La hauteur normale (\(y_n\)) est la hauteur d'équilibre atteinte lorsque les forces de frottement compensent exactement la composante de la gravité due à la pente. On la trouve en utilisant l'équation de Manning-Strickler. La comparaison entre \(y_n\) et \(y_c\) nous dira si la pente du canal est "douce" (régime fluvial normal) ou "forte" (régime torrentiel normal).

Mini-Cours

L'équation de Manning est une formule empirique qui relie la vitesse d'un écoulement à la géométrie du canal, à sa pente et à sa rugosité. En régime uniforme, la pente de la ligne d'énergie est égale à la pente du fond (\(S_f = S_0\)). C'est cette condition qui permet de déterminer \(y_n\).

Remarque Pédagogique

La résolution de l'équation de Manning pour trouver \(y_n\) n'est presque jamais directe. Il faut utiliser une méthode numérique (calculatrice, solveur) ou, comme ici, procéder par tâtonnement intelligent. C'est une compétence clé pour l'ingénieur.

Normes

Le coefficient de rugosité de Manning (\(n\)) est tabulé dans de nombreux manuels et normes de conception hydraulique. La valeur de 0.015 est typique pour un béton de finition courante.

Formule(s)

Équation de Manning

Q = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_0^{1/2}

Pour un canal rectangulaire, la surface \(A = B \cdot y\) et le périmètre mouillé \(P = B + 2y\), donc le rayon hydraulique \(R_h = A/P\).

Hypothèses

On suppose que l'écoulement peut atteindre un régime uniforme (canal suffisamment long) et que le coefficient de Manning est constant avec la hauteur d'eau.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	\(Q\)	12	m³/s
Pente du fond	\(S_0\)	0.0025	-
Coeff. de Manning	\(n\)	0.015	s/m¹/³
Largeur du canal	\(B\)	3	m

Astuces

Pour l'itération, si votre essai donne un débit trop faible, c'est que la hauteur \(y_n\) est trop petite : augmentez-la. Si le débit est trop fort, diminuez \(y_n\). Cela converge rapidement.

Schéma (Avant les calculs)

Concept de l'écoulement uniforme

Calcul(s)

Mise en place de l'équation

Nous devons d'abord réarranger l'équation de Manning pour isoler le terme géométrique. Nous cherchons la hauteur \(y_n\) qui satisfait cette égalité.

\begin{aligned} A R_h^{2/3} &= \frac{Q \cdot n}{S_0^{1/2}} \\ &= \frac{12 \cdot 0.015}{\sqrt{0.0025}} \\ &= \frac{0.18}{0.05} \\ &= 3.6 \end{aligned}

Équation géométrique à résoudre

En remplaçant A et R_h par leurs expressions pour un canal rectangulaire, l'équation devient :

(B \cdot y_n) \left( \frac{B \cdot y_n}{B + 2y_n} \right)^{2/3} = 3.6

Résolution par tâtonnement (essais et erreurs)

Comme nous ne pouvons pas résoudre cette équation directement, nous allons tester des valeurs de \(y_n\) jusqu'à ce que le terme de gauche soit proche de 3.6.

Essai n°1 : Prenons \(y_n = 1.0 \text{ m}\)

Calculons les termes géométriques pour cette hauteur :

\begin{aligned} A &= 3 \cdot 1.0 = 3.0 \text{ m²} \\ P &= 3 + 2 \cdot 1.0 = 5.0 \text{ m} \\ R_h &= \frac{3.0}{5.0} = 0.6 \text{ m} \end{aligned}

Injectons ces valeurs dans l'équation :

\begin{aligned} A R_h^{2/3} &= 3.0 \cdot (0.6)^{2/3} \\ &\approx 3.0 \cdot 0.714 \\ &\approx 2.14 \end{aligned}

Le résultat (2.14) est bien inférieur à notre cible (3.6). Cela signifie que notre hauteur \(y_n\) est trop petite. Il faut donc essayer une valeur plus grande.

Essai n°2 : Prenons une valeur plus grande, \(y_n = 1.5 \text{ m}\)

Recalculons les termes géométriques :

\begin{aligned} A &= 3 \cdot 1.5 = 4.5 \text{ m²} \\ P &= 3 + 2 \cdot 1.5 = 6.0 \text{ m} \\ R_h &= \frac{4.5}{6.0} = 0.75 \text{ m} \end{aligned}

Injectons ces nouvelles valeurs :

\begin{aligned} A R_h^{2/3} &= 4.5 \cdot (0.75)^{2/3} \\ &\approx 4.5 \cdot 0.825 \\ &\approx 3.71 \end{aligned}

Le résultat (3.71) est maintenant très proche et légèrement supérieur à 3.6. La bonne valeur de \(y_n\) est donc juste en dessous de 1.5 m.

Essai n°3 : Affinons avec \(y_n = 1.48 \text{ m}\)

Recalculons une dernière fois les termes :

\begin{aligned} A &= 3 \cdot 1.48 = 4.44 \text{ m²} \\ P &= 3 + 2 \cdot 1.48 = 5.96 \text{ m} \\ R_h &= \frac{4.44}{5.96} \approx 0.745 \text{ m} \end{aligned}

Et le calcul final :

\begin{aligned} A R_h^{2/3} &= 4.44 \cdot (0.745)^{2/3} \\ &\approx 4.44 \cdot 0.821 \\ &\approx 3.64 \end{aligned}

Ce résultat est suffisamment proche de 3.6. Nous pouvons donc valider cette valeur.

Schéma (Après les calculs)

Position de la hauteur normale

Réflexions

On adopte \(y_n \approx 1.48\) m. Comme \(y_n > y_c\) (1.48 m > 1.18 m), la pente du canal est qualifiée de douce et le régime normal (uniforme) est fluvial (subcritique).

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le terme \(S_0^{1/2}\) dans le calcul. Une autre erreur est de mal calculer le rayon hydraulique \(R_h\), surtout pour des formes non rectangulaires.

Points à retenir

La hauteur normale caractérise l'état d'équilibre de l'écoulement dans un long canal. La comparaison de \(y_n\) avec \(y_c\) définit si la pente est douce (\(y_n > y_c\)) ou forte (\(y_n < y_c\)), ce qui est fondamental pour prédire le comportement des lignes d'eau.

Le saviez-vous ?

L'ingénieur irlandais Robert Manning a proposé sa formule en 1890. Elle reste, plus de 130 ans plus tard, la formule la plus utilisée au monde pour les calculs d'écoulements à surface libre, malgré son caractère purement empirique.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

La hauteur normale est \(y_n \approx 1.48\) m. Le régime d'écoulement normal est fluvial.

A vous de jouer

Si la pente S₀ était de 0.4%, quelle serait la nouvelle hauteur normale ?

Question 3 : Hauteur avant le ressaut (\(y_{j1}\))

Principe

Le ressaut hydraulique permet à l'écoulement de passer d'un état supercritique à un état subcritique. Dans notre cas, l'écoulement tend vers la hauteur normale \(y_n\). Le ressaut se formera donc de telle sorte que sa hauteur aval (\(y_{j2}\)) soit égale à \(y_n\). Nous devons trouver la hauteur amont correspondante (\(y_{j1}\)) en utilisant l'équation des hauteurs conjuguées.

Mini-Cours

L'équation de Bélanger, qui relie les hauteurs conjuguées, est issue de l'application du théorème de la quantité de mouvement à travers le ressaut. L'énergie n'est pas conservée (elle est dissipée), mais la "force spécifique" (ou fonction de quantité de mouvement) l'est. Cette fonction s'écrit \( F_s = \frac{q^2}{gy} + \frac{y^2}{2} \). Les hauteurs conjuguées sont les deux hauteurs (l'une < \(y_c\), l'autre > \(y_c\)) qui donnent la même valeur de \(F_s\).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de comprendre la logique : on connaît l'état d'arrivée (la hauteur normale \(y_n\)) et on en déduit l'état de départ du ressaut (\(y_{j1}\)). Le profil de la ligne d'eau en amont devra donc évoluer de \(y_1 = 0.6\) m jusqu'à cette valeur de \(y_{j1}\) pour que le ressaut puisse se former.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul, qui relève de la physique de base. Cependant, des manuels de conception (comme ceux du US Army Corps of Engineers) fournissent des abaques et des guides détaillés sur les ressauts.

Formule(s)

Équation des hauteurs conjuguées

\frac{y_1}{y_2} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_2^2} - 1 \right)

Où \(Fr_2\) est le nombre de Froude du régime fluvial en aval du ressaut.

Hypothèses

Le calcul suppose un ressaut stable, dans un canal prismatique rectangulaire, et que les effets de frottement sur la courte distance du ressaut sont négligeables.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur après ressaut	\(y_{j2} = y_n\)	1.48	m
Débit par largeur	\(q\)	4	m²/s
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Les deux formes de l'équation de Bélanger sont symétriques. Si vous en connaissez une, vous pouvez retrouver l'autre simplement en inversant les indices 1 et 2.

Schéma (Avant les calculs)

Concept des hauteurs conjuguées

Calcul(s)

Calcul de la vitesse en aval du ressaut

\begin{aligned} v_2 &= \frac{q}{y_{j2}} \\ &= \frac{4}{1.48} \\ &\approx 2.70 \text{ m/s} \end{aligned}

Calcul du nombre de Froude en aval

\begin{aligned} Fr_2 &= \frac{v_2}{\sqrt{g y_{j2}}} \\ &= \frac{2.70}{\sqrt{9.81 \cdot 1.48}} \\ &\approx 0.71 \end{aligned}

Calcul de la hauteur conjuguée amont

\begin{aligned} y_{j1} &= y_{j2} \cdot \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_2^2} - 1 \right) \\ &= 1.48 \cdot \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 \cdot (0.71)^2} - 1 \right) \\ &= 0.74 \cdot \left( \sqrt{1 + 4.03} - 1 \right) \\ &= 0.74 \cdot \left( \sqrt{5.03} - 1 \right) \\ &= 0.74 \cdot (2.24 - 1) \\ &\approx 0.91 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Hauteurs conjuguées calculées

Réflexions

Le ressaut se déclenchera lorsque l'écoulement, parti de 0.6 m, atteindra par variation graduelle la hauteur de 0.91 m.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser le bon nombre de Froude dans la bonne formule. Si vous cherchez \(y_1\) à partir de \(y_2\), vous devez utiliser \(Fr_2\).

Points à retenir

Le ressaut est un "ajustement" de l'écoulement. Il se place à l'endroit précis où la hauteur du régime supercritique amont devient la conjuguée de la hauteur du régime subcritique aval.

Le saviez-vous ?

La dissipation d'énergie dans un ressaut peut être colossale. Dans les grands évacuateurs de crue, elle peut atteindre plusieurs gigawatts, l'équivalent de la production de plusieurs réacteurs nucléaires, dissipée en pure chaleur dans l'eau.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

La hauteur juste avant le début du ressaut sera \(y_{j1} \approx 0.91\) m.

A vous de jouer

Si la hauteur normale en aval était de 2.0m, quelle serait la hauteur conjuguée en amont du ressaut (\(y_{j1}\)) ?

Question 4 : Calcul des énergies et pentes de ligne d'énergie

Principe

Pour calculer la longueur de la ligne d'eau entre \(y_1\) et \(y_{j1}\), nous avons besoin de l'énergie spécifique (\(E\)) et de la pente de la ligne d'énergie (\(S_f\)) à ces deux points. Ces valeurs sont les ingrédients de la méthode de l'intégration directe.

Mini-Cours

L'énergie spécifique E est la somme de la hauteur d'eau (énergie potentielle) et de la hauteur de vitesse (énergie cinétique). La pente de la ligne d'énergie \(S_f\) représente la perte d'énergie par unité de longueur due aux frottements. On la calcule avec la formule de Manning, mais en la réarrangeant pour exprimer la pente.

Remarque Pédagogique

Cette étape est préparatoire. On "mesure" l'état énergétique de l'écoulement au début et à la fin du tronçon qui nous intéresse. La différence d'énergie sera ensuite expliquée par la différence entre la pente du fond (qui apporte de l'énergie) et la pente de frottement (qui en dissipe).

Normes

Pas de normes applicables, ce sont des calculs basés sur les équations de l'énergie et de Manning.

Formule(s)

Énergie Spécifique

E = y + \frac{q^2}{2gy^2}

Pente de la Ligne d'Énergie (via Manning)

S_f = \left( \frac{n \cdot v}{R_h^{2/3}} \right)^2 = \left( \frac{n \cdot q}{y \cdot R_h^{2/3}} \right)^2

Hypothèses

On continue avec les mêmes hypothèses que précédemment : canal rectangulaire, débit constant, Manning constant.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur initiale	\(y_1\)	0.6	m
Hauteur avant ressaut	\(y_{j1}\)	0.91	m
Débit par largeur	\(q\)	4	m²/s
Largeur du canal	\(B\)	3	m
Coeff. de Manning	\(n\)	0.015	s/m¹/³

Astuces

Faites attention aux unités. Calculez d'abord tous les paramètres géométriques (A, P, Rh) pour chaque hauteur avant de les injecter dans les formules finales. Cela réduit les risques d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Tronçon de la ligne d'eau à calculer

Calcul(s)

Section 1 (amont) : \(y_1 = 0.6 \text{ m}\)

Calcul de l'énergie spécifique E₁

\begin{aligned} E_1 &= 0.6 + \frac{4^2}{2 \cdot 9.81 \cdot 0.6^2} \\ &= 0.6 + 2.26 \\ &= 2.86 \text{ m} \end{aligned}

Calcul du rayon hydraulique Rₕ₁

\begin{aligned} R_{h1} &= \frac{B \cdot y_1}{B + 2 y_1} \\ &= \frac{3 \cdot 0.6}{3 + 2 \cdot 0.6} \\ &= \frac{1.8}{4.2} \\ &\approx 0.428 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la pente de frottement S_f1

\begin{aligned} S_{f1} &= \left( \frac{n \cdot q}{y_1 \cdot R_{h1}^{2/3}} \right)^2 \\ &= \left( \frac{0.015 \cdot 4}{0.6 \cdot (0.428)^{2/3}} \right)^2 \\ &\approx (0.174)^2 \\ &\approx 0.0303 \end{aligned}

Section 2 (avant ressaut) : \(y_2 = y_{j1} = 0.91 \text{ m}\)

Calcul de l'énergie spécifique E₂

\begin{aligned} E_2 &= 0.91 + \frac{4^2}{2 \cdot 9.81 \cdot 0.91^2} \\ &= 0.91 + 0.98 \\ &= 1.89 \text{ m} \end{aligned}

Calcul du rayon hydraulique Rₕ₂

\begin{aligned} R_{h2} &= \frac{B \cdot y_2}{B + 2 y_2} \\ &= \frac{3 \cdot 0.91}{3 + 2 \cdot 0.91} \\ &= \frac{2.73}{4.82} \\ &\approx 0.566 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la pente de frottement S_f2

\begin{aligned} S_{f2} &= \left( \frac{n \cdot q}{y_2 \cdot R_{h2}^{2/3}} \right)^2 \\ &= \left( \frac{0.015 \cdot 4}{0.91 \cdot (0.566)^{2/3}} \right)^2 \\ &\approx (0.096)^2 \\ &\approx 0.0092 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme d'Énergie Spécifique

Réflexions

On observe que l'énergie spécifique diminue de 2.86 m à 1.89 m. C'est normal, car l'écoulement perd de l'énergie à cause des frottements. On note aussi que la pente de la ligne d'énergie \(S_f\) est très forte au début (0.0303) et diminue à mesure que la hauteur augmente, car la vitesse diminue.

Points de vigilance

Le calcul de \(S_f\) est sensible. Une erreur dans le rayon hydraulique \(R_h\) ou l'oubli de mettre au carré le terme entre parenthèses sont des erreurs classiques.

Points à retenir

En régime supercritique (\(y < y_c\)), l'énergie spécifique diminue quand la hauteur d'eau augmente. C'est contre-intuitif mais fondamental : l'écoulement ralentit, et la perte d'énergie cinétique est plus importante que le gain d'énergie potentielle.

Le saviez-vous ?

La pente de la ligne d'énergie \(S_f\) représente la perte de charge par unité de longueur. C'est l'équivalent hydraulique de la chute de tension par mètre dans un câble électrique.

Résultat Final

Point 1 (y=0.6m): \(E_1=2.86 \text{ m}\), \(S_{f1}=0.0303\).
Point 2 (y=0.91m): \(E_2=1.89 \text{ m}\), \(S_{f2}=0.0092\).

A vous de jouer

Recalculez l'énergie spécifique E₁ si la hauteur y₁ n'était que de 0.5m.

Question 5 : Distance \(L\) jusqu'au ressaut

Principe

Nous appliquons maintenant la méthode de l'intégration directe. Nous utilisons les valeurs d'énergie et la pente moyenne de la ligne d'énergie entre les deux sections pour trouver la distance qui les sépare. Cette méthode est une approximation qui suppose que la pente de frottement varie linéairement entre les deux points.

Mini-Cours

L'équation de l'écoulement graduellement varié est une équation différentielle : \( \frac{dy}{dx} = \frac{S_0 - S_f}{1 - Fr^2} \). La méthode de l'intégration directe est une manière de résoudre cette équation par pas, en l'approximant par \( \Delta x = \Delta E / (S_0 - \bar{S_f}) \). Pour une meilleure précision, on peut découper le tronçon en plusieurs sous-tronçons plus petits.

Remarque Pédagogique

Cette dernière étape rassemble tous les éléments précédents. C'est l'aboutissement de notre analyse : passer de la connaissance des états hydrauliques (hauteurs, énergies) à une information spatiale (la position du phénomène).

Normes

Les logiciels de calcul de lignes d'eau (comme HEC-RAS) utilisent des versions plus sophistiquées de cette méthode, mais le principe de base reste le même.

Formule(s)

Méthode de l'intégration directe (Direct Step Method)

L = \frac{E_2 - E_1}{S_0 - \bar{S_f}} \quad \text{avec} \quad \bar{S_f} = \frac{S_{f1} + S_{f2}}{2}

Hypothèses

On suppose que l'utilisation de la moyenne arithmétique de \(S_f\) est une approximation suffisante pour la pente de frottement sur le tronçon.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie initiale	E₁	2.86	m
Énergie finale	E₂	1.89	m
Pente du fond	S₀	0.0025	-
Pente de frottement 1	S_f1	0.0303	-
Pente de frottement 2	S_f2	0.0092	-

Astuces

Vérifiez le signe du dénominateur. Pour une ligne d'eau de type M3 (subcritique sur pente douce), la hauteur augmente, \(S_f > S_0\) et \(E\) diminue. Le numérateur et le dénominateur doivent être négatifs, donnant une distance L positive.

Schéma (Avant les calculs)

Tronçon de la ligne d'eau à calculer

Calcul(s)

Calcul de la pente de frottement moyenne

\begin{aligned} \bar{S_f} &= \frac{0.0303 + 0.0092}{2} \\ &= 0.01975 \end{aligned}

Calcul de la distance L

\begin{aligned} L &= \frac{E_2 - E_1}{S_0 - \bar{S_f}} \\ &= \frac{1.89 - 2.86}{0.0025 - 0.01975} \\ &= \frac{-0.97}{-0.01725} \\ &\approx 56.2 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Position finale du ressaut

Réflexions

La distance calculée est positive, ce qui est cohérent pour une ligne d'eau M3 où la hauteur augmente dans le sens de l'écoulement. Le ressaut se formera donc à environ 56 mètres en aval du point où la hauteur était de 0.6 m.

Points de vigilance

Cette méthode n'est précise que pour des pas de calcul courts. Ici, le pas est grand (de 0.6 à 0.91 m), le résultat est donc une estimation. Une méthode plus précise découperait ce tronçon en plusieurs segments.

Points à retenir

La position d'un phénomène hydraulique comme un ressaut est le résultat d'un équilibre entre l'énergie apportée par la pente (\(S_0\)) et l'énergie dissipée par les frottements (\(S_f\)).

Le saviez-vous ?

Les premiers calculs de lignes d'eau ont été réalisés à la main par des ingénieurs comme Bresse au 19ème siècle. Cela demandait des jours de calculs fastidieux pour un seul profil, là où un ordinateur le fait aujourd'hui en une fraction de seconde.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

Le ressaut hydraulique débute à une distance \(L \approx 56.2 \text{ m}\) du point de départ.

A vous de jouer

Pour mieux sentir l'influence des paramètres, que deviendrait la distance L si la rugosité était plus faible (n=0.012) ? (La réponse est qualitative : plus courte, plus longue, ou identique ?)

Outil Interactif : Simulation de la Ligne d'Eau

Utilisez les curseurs pour voir comment le débit et la pente du canal influencent la position du ressaut hydraulique. Le graphique montre la ligne d'eau (profil M3) depuis la hauteur initiale jusqu'au début du ressaut.

Paramètres d'Entrée

Débit, Q (m³/s) 12 m³/s

Pente, S₀ (‰) 2.5 ‰

Résultats Clés

Hauteur Normale, yₙ (m) -

Hauteur avant ressaut, yⱼ₁ (m) -

Distance au ressaut, L (m) -

Glossaire

Hauteur Critique (\(y_c\)): Hauteur d'eau pour laquelle l'énergie spécifique est minimale pour un débit donné. Le nombre de Froude vaut 1.
Hauteur Normale (\(y_n\)): Hauteur d'eau constante en régime d'écoulement uniforme, où les forces motrices (gravité) équilibrent les forces de frottement.
Hauteurs Conjuguées: Les deux hauteurs d'eau, l'une supercritique (\(y_1\)) et l'autre subcritique (\(y_2\)), qui peuvent exister de part et d'autre d'un ressaut hydraulique pour une même fonction de quantité de mouvement.
Ligne d'eau: Profil de la surface libre de l'eau le long d'un canal en régime d'écoulement graduellement varié.
Ressaut Hydraulique: Transition brusque et turbulente d'un écoulement supercritique à un écoulement subcritique, avec une dissipation d'énergie importante.