Analyse du Point de Fonctionnement de Pompes en Série
Contexte : Augmenter la hauteur de refoulement avec des pompes en série
Lorsqu'un système de pompage requiert une hauteur manométrique totale (HMT) supérieure à ce qu'une seule pompe peut fournir, une solution courante consiste à monter plusieurs pompes en série. Dans cette configuration, le refoulement de la première pompe alimente l'aspiration de la seconde. Le débit total traversant l'ensemble reste le même, mais les hauteurs manométriques fournies par chaque pompe s'additionnent. La détermination du point de fonctionnement de l'ensemble (le débit et la HMT réels) nécessite de combiner les courbes caractéristiques des pompes individuelles pour obtenir une courbe "équivalente" et de trouver son intersection avec la courbe du réseau.
Remarque Pédagogique : Cette analyse est fondamentale pour le dimensionnement des stations de surpression dans les réseaux d'eau potable ou pour les applications industrielles à haute pression. Une compréhension fine de l'association en série permet de sélectionner des pompes de manière optimale, en s'assurant qu'elles fonctionnent près de leur meilleur point de rendement et qu'aucune n'est soumise à des conditions anormales (comme une cavitation ou un fonctionnement à débit nul).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe d'addition des hauteurs pour des pompes en série.
- Établir l'équation de la courbe de pompe équivalenteCourbe caractéristique H(Q) résultant de l'association de plusieurs pompes. Pour un montage en série, H_éq(Q) = H_pompe1(Q) + H_pompe2(Q)..
- Déterminer le point de fonctionnementPoint unique (Débit Q, Hauteur H) où la courbe de la pompe (ou de l'association de pompes) croise la courbe du réseau. C'est le point d'équilibre réel du système. du système par résolution graphique et analytique.
- Analyser la contribution de chaque pompe au point de fonctionnement.
- Calculer les puissances absorbées individuelles et totale.
Données de l'étude
Schéma de l'Installation de Pompes en Série
- Fluide : Eau (masse volumiqueMasse par unité de volume. Pour l'eau, environ 1000 kg/m³. \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\))
- Courbe caractéristique du réseau (pertes de charge incluses) : \( H_{réseau} = 25 + 800 \cdot Q^2 \)
- Courbe caractéristique de la Pompe 1 : \( H_{P1} = 20 - 1500 \cdot Q^2 \)
- Courbe caractéristique de la Pompe 2 : \( H_{P2} = 30 - 2500 \cdot Q^2 \)
- Rendement de la Pompe 1 : \(\eta_1 = 0.70\)
- Rendement de la Pompe 2 : \(\eta_2 = 0.78\)
Questions à traiter
- Déterminer l'équation de la courbe de la pompe équivalente \(H_{éq}\) résultant de l'association en série des pompes P1 et P2.
- Déterminer analytiquement le point de fonctionnement du système (Débit \(Q_{fonct}\) en L/s et HMT \(H_{fonct}\) en m).
- Calculer la hauteur manométrique fournie par chaque pompe (\(H_1\) et \(H_2\)) au point de fonctionnement.
- Calculer la puissance absorbée par chaque pompe (\(P_{abs1}\) et \(P_{abs2}\)) et la puissance absorbée totale (\(P_{abs,totale}\)) en kW.
Correction : Analyse du Point de Fonctionnement de Pompes en Série
Question 1 : Courbe de la Pompe Équivalente
Normes et Principes
Lorsque deux pompes sont montées en série, le fluide les traverse successivement. Le débit qui passe dans la pompe 1 est le même que celui qui passe dans la pompe 2 (\(Q_{éq} = Q_1 = Q_2\)). L'énergie (la hauteur manométrique) fournie par chaque pompe s'ajoute. La hauteur de la pompe équivalente pour un débit Q donné est donc la somme des hauteurs de chaque pompe pour ce même débit.
Remarque Pédagogique
Point Clé : La règle d'or pour l'association en série est simple : pour un débit donné, on additionne verticalement les hauteurs sur le graphique H(Q). Cela crée une nouvelle pompe "virtuelle" plus puissante en hauteur.
Visualisation du Principe
Formule(s) utilisée(s)
Calcul(s)
Points de Vigilance
Cohérence des modèles : Cette addition simple n'est valable que si les équations des pompes sont données sous la même forme (par exemple, \(H = A - B \cdot Q^2\)). Si les modèles étaient différents, l'addition se ferait numériquement ou graphiquement, point par point.
Question 2 : Point de Fonctionnement (Analytique)
Normes et Principes
Le point de fonctionnement du système est le point d'équilibre où la hauteur fournie par l'association des pompes est exactement égale à la hauteur requise par le réseau. Analytiquement, cela revient à résoudre l'équation où la courbe de la pompe équivalente est égale à la courbe du réseau.
Remarque Pédagogique
Point Clé : C'est la confrontation de l'offre et de la demande. L'offre est ce que les pompes peuvent fournir (\(H_{éq}\)), la demande est ce que le réseau exige (\(H_{réseau}\)). Le système ne peut fonctionner durablement qu'au seul et unique point où les deux sont égaux.
Visualisation du Principe
Formule(s) utilisée(s)
Calcul(s)
On pose l'égalité des deux équations :
On regroupe les termes en Q² et les constantes :
On isole Q :
On convertit le débit en L/s :
On calcule la HMT correspondante :
Points de Vigilance
Unités des équations : La résolution analytique suppose que le débit Q est dans la même unité (ici, m³/s) pour toutes les équations. Une erreur de conversion avant la résolution fausserait complètement le résultat. Toujours vérifier et convertir si nécessaire.
Question 3 : Contribution de chaque pompe
Normes et Principes
Une fois le débit de fonctionnement connu (\(Q_{fonct}\)), on peut calculer la hauteur que chaque pompe individuelle fournit à ce débit spécifique en utilisant sa propre équation caractéristique. La somme de ces hauteurs individuelles doit être égale à la HMT totale du point de fonctionnement.
Remarque Pédagogique
Point Clé : Le débit est le même partout, mais les pompes ne "travaillent" pas forcément de la même manière. La pompe avec la courbe la plus haute (ici P2) fournira toujours une plus grande part de la hauteur totale. C'est important pour analyser l'usure et le comportement de chaque machine.
Visualisation du Principe
Calcul(s)
On utilise \(Q = 0.07217 \, \text{m³/s}\) :
Vérification : On s'assure que la somme des hauteurs correspond bien à la HMT calculée : \(H_1 + H_2 = 12.19 + 16.98 = 29.17 \, \text{m}\). Le résultat est cohérent. C'est une excellente façon de vérifier qu'on ne s'est pas trompé dans les calculs.
Points de Vigilance
Ne pas inverser : Il faut bien utiliser l'équation de la pompe 1 pour calculer H1, et celle de la pompe 2 pour H2. Une simple inversion des coefficients (1500 et 2500) mènerait à un résultat final incohérent.
Question 4 : Calcul des Puissances Absorbées
Normes et Principes
La puissance absorbée par chaque pompe dépend de la puissance hydraulique qu'elle fournit (\(P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot H\)) et de son propre rendement (\(\eta\)). La puissance totale absorbée par l'installation est simplement la somme des puissances absorbées par chaque pompe.
Remarque Pédagogique
Point Clé : La puissance absorbée est ce qui coûte de l'argent (la facture d'électricité). On la calcule pour chaque pompe individuellement car elles ont des rendements différents. On ne peut pas utiliser un "rendement moyen" sans faire d'erreur.
Visualisation du Principe
Formule(s) utilisée(s)
Calcul(s)
Puissance absorbée par la Pompe 1 :
Puissance absorbée par la Pompe 2 :
Puissance absorbée totale :
Points de Vigilance
Puissance par pompe : Une erreur classique est de calculer la puissance hydraulique totale (\(\rho \cdot g \cdot Q \cdot H_{fonct}\)) et de la diviser par un rendement moyen. C'est incorrect car chaque pompe a son propre point de fonctionnement (H1 et H2) et son propre rendement. Il faut impérativement calculer la puissance pour chaque pompe séparément.
Tableau Récapitulatif Interactif
Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.
| Paramètre | Valeur Calculée |
|---|---|
| Débit de fonctionnement (Q_fonct) | Cliquez pour révéler |
| HMT de fonctionnement (H_fonct) | Cliquez pour révéler |
| Puissance Absorbée P1 (P_abs1) | Cliquez pour révéler |
| Puissance Absorbée P2 (P_abs2) | Cliquez pour révéler |
| Puissance Absorbée Totale | Cliquez pour révéler |
Visualisation Graphique Interactive des Courbes
Le graphique ci-dessous montre les courbes des pompes et du réseau. Le point de fonctionnement est à leur intersection. Utilisez le curseur pour voir comment le point de fonctionnement changerait si la hauteur géométrique du réseau augmentait.
À vous de jouer ! (Défi)
Nouveau Scénario : Si on remplaçait la Pompe 1 (la moins puissante) par une simple conduite (sans pertes de charge), que se passerait-il ?
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quand on associe deux pompes en série, on additionne leurs...
2. Le point de fonctionnement est l'intersection entre la courbe du réseau et...
Glossaire
- Courbe de pompe équivalente
- La courbe caractéristique (H-Q) qui représente le comportement d'une association de plusieurs pompes. Pour une association en série, la hauteur équivalente est la somme des hauteurs individuelles pour un débit donné.
- Point de Fonctionnement
- Le point d'équilibre (un débit Q et une hauteur H) où la performance de la pompe (ou de l'association de pompes) correspond exactement aux exigences du réseau. C'est l'intersection des courbes de pompe et de réseau.
- Courbe de Réseau
- La courbe qui représente la Hauteur Manométrique Totale (HMT) requise par le système de conduites en fonction du débit. Elle est la somme de la hauteur géométrique statique et des pertes de charge (qui varient avec le carré du débit).
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