Pertes de Charge Singulières : un Rétrécissement Brusque

Contexte : L'étude des pertes de charge singulièresChutes de pression locales dans un écoulement, causées par des accidents géométriques (coudes, vannes, rétrécissements) qui perturbent les lignes de courant. est fondamentale en hydraulique.

Contrairement aux pertes de charge régulières (ou linéaires) qui se produisent sur toute la longueur d'une conduite, les pertes singulières sont concentrées au niveau d'obstacles ou de changements de géométrie. Un cas d'école est le rétrécissement brusque, où un fluide passe d'une conduite de grand diamètre à une conduite de plus petit diamètre. Ce changement force les lignes de courant à converger, créant une zone de turbulence et une dissipation d'énergie qui se traduit par une chute de pression. La quantification de cette perte est cruciale pour le dimensionnement des réseaux hydrauliques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de décomposer le calcul d'une perte de charge singulière, en identifiant chaque paramètre (vitesses, coefficient de perte) pour appliquer la formule de Borda-Carnot modifiée pour les rétrécissements.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les vitesses d'écoulement à partir d'un débit volumique.
Déterminer le coefficient de perte de charge pour un rétrécissement brusque.
Calculer la perte de charge singulière en mètres de colonne de fluide.
Convertir la perte de charge en perte de pression (en Pascals).

Données de l'étude

On s'intéresse à une conduite horizontale transportant de l'eau. La conduite subit un rétrécissement brusque. Nous souhaitons quantifier l'énergie dissipée par cet accident hydraulique.

Fiche Technique du Fluide

Caractéristique	Valeur
Fluide	Eau à 10°C
Masse volumique (\(\rho\))	\(1000 \text{ kg/m}^3\)
Viscosité cinématique (\(\nu\))	\(1.3 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}\)

Schéma du Rétrécissement Brusque

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre amont	\(D_1\)	200	mm
Diamètre aval	\(D_2\)	100	mm
Débit volumique	\(Q_v\)	50	L/s

Questions à traiter

Calculer les vitesses moyennes \(v_1\) (amont) et \(v_2\) (aval).
Calculer le nombre de Reynolds dans la section aval (\(Re_2\)) et confirmer la nature de l'écoulement.
Déterminer la valeur du coefficient de perte de charge singulière \(K\).
Calculer la perte de charge singulière \(\Delta h_s\) (en mètres de colonne d'eau).
En déduire la perte de pression \(\Delta P\) correspondante (en Pascals, puis en kPa).

Les bases sur les Pertes de Charge Singulières

En mécanique des fluides, l'énergie d'un écoulement est conservée, à moins d'être dissipée. Les accidents de parcours dans une conduite, comme un rétrécissement, génèrent des turbulences qui dissipent cette énergie sous forme de chaleur. C'est ce qu'on appelle une perte de charge singulière.

1. Équation de continuité
Pour un fluide incompressible, le débit volumique \(Q_v\) est constant. La vitesse moyenne \(v\) dans une section d'aire \(A\) est donc inversement proportionnelle à cette aire. \[ Q_v = A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \quad \text{avec} \quad A = \frac{\pi D^2}{4} \]

2. Formule générale des pertes de charge singulières
La perte de charge \(\Delta h_s\) est proportionnelle à l'énergie cinétique du fluide. On la calcule par rapport à la vitesse d'écoulement de référence, généralement la vitesse la plus élevée (ici, \(v_2\)). \[ \Delta h_s = K \frac{v_{\text{ref}}^2}{2g} \] Où \(K\) est le coefficient de perte de charge (sans dimension), dépendant de la géométrie de la singularité.

Correction : Pertes de Charge pour un Rétrécissement Brusque

Question 1 : Calculer les vitesses moyennes \(v_1\) et \(v_2\).

Principe (le concept physique)

Le débit d'un fluide incompressible étant constant tout au long de la conduite, la vitesse du fluide doit augmenter lorsque la section de passage diminue. Nous allons utiliser l'équation de continuité pour trouver les vitesses dans chaque section à partir du débit et des diamètres.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de continuité est une expression du principe de conservation de la masse. Pour un fluide incompressible (dont la masse volumique \(\rho\) est constante), le débit massique (\(\dot{m} = \rho \cdot Q_v\)) est conservé. Par conséquent, le débit volumique (\(Q_v = A \cdot v\)) l'est aussi. Cela signifie que le produit de la section transversale \(A\) par la vitesse moyenne \(v\) est le même en tout point de la conduite : \(A_1 v_1 = A_2 v_2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez l'écoulement comme des voitures sur une autoroute. Si l'autoroute passe de 4 voies à 2 voies, pour que le même nombre de voitures passe par minute, elles doivent accélérer. C'est exactement ce qui se passe pour les particules de fluide dans notre conduite.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des vitesses à partir du débit est basé sur des principes fondamentaux de la physique (conservation de la masse) et ne dépend pas d'une norme d'ingénierie spécifique. C'est une étape préliminaire universelle à toute étude hydraulique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la vitesse en fonction du débit

v = \frac{Q_v}{A}

Formule de l'aire d'une section circulaire

A = \frac{\pi D^2}{4}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour appliquer cette formule, nous posons les hypothèses suivantes :

Le fluide est incompressible (la masse volumique est constante).
L'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
La vitesse est considérée comme uniforme sur toute la section (profil de vitesse "plat").

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous rappelons les données nécessaires pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q_v\)	50	L/s
Diamètre amont	\(D_1\)	200	mm
Diamètre aval	\(D_2\)	100	mm

Astuces (Pour aller plus vite)

Notez que la vitesse est inversement proportionnelle au carré du diamètre (\(v \propto 1/D^2\)). Si le diamètre est divisé par 2 (comme ici), la vitesse sera multipliée par \(2^2 = 4\). C'est un excellent moyen de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de vos résultats.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre les sections de la conduite où nous allons calculer les vitesses v₁ et v₂.

Sections de calcul des vitesses

Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du débit volumique (Qv)

On convertit les Litres par seconde (L/s) en mètres cubes par seconde (m³/s), l'unité du Système International (SI), en divisant par 1000.

\begin{aligned} Q_v &= 50 \text{ L/s} \\ &= 50 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s} \\ &= 0.05 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned}

Le débit volumique à utiliser pour les calculs est donc de 0.05 m³/s.

Conversion du diamètre amont (D₁)

On convertit les millimètres (mm) en mètres (m) en divisant par 1000.

\begin{aligned} D_1 &= 200 \text{ mm} \\ &= 0.2 \text{ m} \end{aligned}

Le diamètre amont est de 0.2 m.

Conversion du diamètre aval (D₂)

De même pour le diamètre aval.

\begin{aligned} D_2 &= 100 \text{ mm} \\ &= 0.1 \text{ m} \end{aligned}

Le diamètre aval est de 0.1 m.

Calcul de l'aire amont (A₁)

On applique la formule de l'aire \(A = \pi D^2 / 4\) avec la valeur de \(D_1\) en mètres.

\begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi D_1^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.2)^2}{4} \\ &\approx 0.031416 \text{ m}^2 \end{aligned}

L'aire de la section amont est d'environ 0.031416 m².

Calcul de l'aire aval (A₂)

On applique la même formule avec la valeur de \(D_2\) en mètres.

\begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi D_2^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.1)^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \text{ m}^2 \end{aligned}

L'aire de la section aval est d'environ 0.007854 m².

Calcul de la vitesse amont (v₁)

On utilise l'équation de continuité \(v_1 = Q_v / A_1\) en utilisant les valeurs en unités SI.

\begin{aligned} v_1 &= \frac{Q_v}{A_1} \\ &= \frac{0.05}{0.031416} \\ &\approx 1.591 \text{ m/s} \end{aligned}

La vitesse moyenne en amont est d'environ 1.591 m/s.

Calcul de la vitesse aval (v₂)

On applique la même équation pour la section 2 : \(v_2 = Q_v / A_2\).

\begin{aligned} v_2 &= \frac{Q_v}{A_2} \\ &= \frac{0.05}{0.007854} \\ &\approx 6.366 \text{ m/s} \end{aligned}

La vitesse moyenne en aval, qui servira de référence pour les pertes, est d'environ 6.366 m/s.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma annote la géométrie de la conduite avec les valeurs de vitesses calculées.

Visualisation des Vitesses d'Écoulement

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme attendu, la vitesse dans la conduite aval (\(v_2\)) est bien supérieure à celle dans la conduite amont (\(v_1\)). Plus précisément, comme le diamètre est divisé par 2, l'aire est divisée par \(2^2=4\), donc la vitesse est multipliée par 4, ce qui est cohérent avec nos résultats (\(1.591 \times 4 \approx 6.364\)).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de ne pas convertir les unités dans le Système International avant de commencer les calculs. Le débit doit être en \(\text{m}^3/\text{s}\) et les diamètres en mètres (m). Une autre erreur est d'oublier de mettre le diamètre au carré dans la formule de l'aire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour maîtriser cette étape, retenez les points suivants :

Concept Clé : Conservation du débit (\(Q_v = \text{constante}\)).
Formule Essentielle : \(v = Q_v / A\) avec \(A = \pi D^2 / 4\).
Point de Vigilance Majeur : Toujours convertir les unités en SI (m, m³/s) avant tout calcul.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le principe de continuité a été formalisé pour la première fois par Léonard de Vinci, mais c'est l'équation de Daniel Bernoulli qui l'intégrera plus tard dans un principe plus large de conservation de l'énergie pour les fluides.

FAQ (pour lever les doutes)

Voici les questions les plus fréquentes sur cette étape.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les vitesses moyennes sont \(v_1 \approx 1.59 \text{ m/s}\) et \(v_2 \approx 6.37 \text{ m/s}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si le débit était de \(75 \text{ L/s}\), quelle serait la nouvelle vitesse \(v_2\) ?

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds (\(Re_2\)) et confirmer la nature de l'écoulement.

Principe (le concept physique)

Le nombre de ReynoldsNombre sans dimension utilisé en mécanique des fluides pour caractériser le régime d'un écoulement. Il représente le rapport des forces d'inertie sur les forces visqueuses. permet de déterminer si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent. La plupart des écoulements industriels sont turbulents, ce qui est une hypothèse pour l'utilisation des formules de pertes de charge classiques.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le nombre de Reynolds compare les forces d'inertie (qui tendent à maintenir le fluide en mouvement, \( \propto \rho v^2\)) aux forces de viscosité (qui tendent à freiner le fluide, \( \propto \mu v / D\)). Quand les forces d'inertie dominent (Re élevé), l'écoulement devient chaotique et turbulent. Quand les forces de viscosité dominent (Re faible), l'écoulement est ordonné et laminaire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est bon de prendre l'habitude de vérifier le régime d'écoulement. Si par surprise vous tombez sur un régime laminaire (\(Re < 2000\)), les formules de pertes de charge que nous utilisons ici ne seraient plus valables et il faudrait en utiliser d'autres, spécifiques à ce régime.

Normes (la référence réglementaire)

Les seuils de transition entre les régimes d'écoulement (typiquement 2000 et 4000) sont des valeurs empiriques universellement reconnues et utilisées dans tous les manuels et codes de calcul en mécanique des fluides, comme ceux de la Hydraulic Institute ou de l'ASME.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du nombre de Reynolds

Re = \frac{v \cdot D}{\nu}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour ce calcul, nous faisons l'hypothèse que le fluide est Newtonien, c'est-à-dire que sa viscosité ne dépend pas des contraintes qu'il subit. C'est le cas de l'eau, de l'air et de nombreuses huiles.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons les résultats de la Q1 et les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse aval	\(v_2\)	6.366	m/s
Diamètre aval	\(D_2\)	0.1	m
Viscosité cinématique	\(\nu\)	\(1.3 \times 10^{-6}\)	m²/s

Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque le nombre de Reynolds est sans dimension, assurez-vous que toutes vos unités s'annulent bien. Si vous utilisez des mètres, des m/s et des m²/s, le résultat sera correct. C'est une vérification simple pour éviter les erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma conceptuel illustre la différence entre les régimes d'écoulement laminaire (ordonné) et turbulent (chaotique).

Régimes d'Écoulement Laminaire et Turbulent

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du nombre de Reynolds (Re₂)

On applique la formule du nombre de Reynolds en utilisant la vitesse \(v_2\) (calculée à la Q1), le diamètre \(D_2\) (converti à la Q1) et la viscosité cinématique \(\nu\) (donnée dans l'énoncé). Toutes les valeurs sont en unités SI (m/s, m, m²/s).

\begin{aligned} Re_2 &= \frac{v_2 \cdot D_2}{\nu} \\ &= \frac{6.366 \text{ m/s} \times 0.1 \text{ m}}{1.3 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} \\ &= \frac{0.6366}{1.3 \times 10^{-6}} \\ &\approx 489692 \end{aligned}

Le nombre de Reynolds obtenu est d'environ 489 692. Cette valeur est très supérieure à 4000, ce qui confirme que l'écoulement est en régime turbulent.

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme situe la valeur calculée sur l'échelle des régimes d'écoulement, confirmant la nature turbulente.

Positionnement du Régime d'Écoulement

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur obtenue (\(Re_2 \approx 4.9 \times 10^5\)) est très largement supérieure au seuil de 4000. L'écoulement dans la section aval (et donc a fortiori dans la section amont) est bien en régime turbulent. Les formules empiriques pour les pertes de charge sont donc tout à fait applicables.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la viscosité cinématique (\(\nu\) en m²/s) et non la viscosité dynamique (\(\mu\) en Pa.s). Si vous utilisez la viscosité dynamique, la formule devient \(Re = (\rho v D) / \mu\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Maîtrisez les points suivants :

Concept Clé : Le nombre de Reynolds compare les forces d'inertie et de viscosité.
Formule Essentielle : \(Re = vD/\nu\).
Seuils à connaître : Laminaire < 2000, Turbulent > 4000.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'expérience qui a permis de visualiser la transition entre écoulement laminaire et turbulent a été menée en 1883 par l'ingénieur britannique Osborne Reynolds, en injectant un filet de colorant dans un écoulement d'eau dans un tube de verre.

FAQ (pour lever les doutes)

Voici une question fréquente :

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le nombre de Reynolds est \(Re_2 \approx 4.9 \times 10^5\), ce qui confirme un régime d'écoulement turbulent.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Calculez le nombre de Reynolds \(Re_1\) dans la conduite amont.

Question 3 : Déterminer la valeur du coefficient de perte de charge singulière K.

Principe (le concept physique)

Le coefficient \(K\) est un nombre sans dimension qui dépend uniquement de la géométrie de la singularité. Pour un rétrécissement brusque, il dépend du rapport des sections (ou des diamètres). Il est déterminé expérimentalement ou via des formules empiriques et représente l'efficacité avec laquelle la singularité dissipe l'énergie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour un rétrécissement brusque, le coefficient de perte de charge \(K\) est souvent calculé par rapport à la vitesse en aval \(v_2\). Une formule empirique couramment utilisée (formule de Weisbach) est : \[ \begin{aligned} K &= 0.5 \left( 1 - \frac{A_2}{A_1} \right) \\ &= 0.5 \left( 1 - \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 \right) \end{aligned} \] Cette formule montre bien que si les diamètres sont très différents (\(D_2 \ll D_1\)), \(K\) tend vers 0.5. Si les diamètres sont proches (\(D_2 \approx D_1\)), \(K\) tend vers 0, ce qui est logique car il n'y a plus de singularité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Retenez que le coefficient \(K\) est une "signature" de l'obstacle. Chaque type de coude, de vanne, ou de changement de section possède son propre \(K\) (ou sa propre méthode de calcul). Les ingénieurs se réfèrent à des abaques ou des manuels pour trouver la valeur de \(K\) correspondant à leur configuration.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules et valeurs pour les coefficients de perte de charge se trouvent dans des ouvrages de référence faisant autorité, tels que "Internal Flow Systems" de D.S. Miller ou le "Handbook of Hydraulic Resistance" d'I.E. Idel'cik. Ces manuels sont des compilations de décennies de données expérimentales.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de Weisbach pour le rétrécissement

K = 0.5 \left( 1 - \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 \right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'application de cette formule suppose un écoulement pleinement turbulent et un rétrécissement avec des bords "vifs" (non arrondis). Un arrondissement même léger des bords peut réduire significativement la valeur de \(K\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les seules données nécessaires sont les diamètres.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre amont	\(D_1\)	200	mm
Diamètre aval	\(D_2\)	100	mm

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un rétrécissement, la valeur de \(K\) est toujours inférieure à 0.5. Si vous trouvez une valeur supérieure, c'est qu'il y a une erreur dans votre calcul du rapport des diamètres.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma met en évidence les deux diamètres, D₁ et D₂, qui sont les seuls paramètres géométriques nécessaires pour calculer K.

Géométrie pour le calcul de K

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du rapport des diamètres

On calcule d'abord le rapport des diamètres. Notez qu'on peut utiliser les millimètres directement (ou les mètres convertis de la Q1), car les unités s'annulent.

\begin{aligned} \frac{D_2}{D_1} &= \frac{100 \text{ mm}}{200 \text{ mm}} = 0.5 \\ \text{ou} \quad \frac{D_2}{D_1} &= \frac{0.1 \text{ m}}{0.2 \text{ m}} = 0.5 \end{aligned}

Le rapport des diamètres est de 0.5 (sans dimension).

Calcul du coefficient K

On injecte ce rapport (0.5) dans la formule de Weisbach pour le coefficient K. On calcule d'abord le carré, puis la soustraction, et enfin la multiplication.

\begin{aligned} K &= 0.5 \left( 1 - (0.5)^2 \right) \\ &= 0.5 \left( 1 - 0.25 \right) \\ &= 0.5 \times 0.75 \\ &= 0.375 \end{aligned}

Le coefficient de perte de charge singulière \(K\) est de 0.375.

Schéma (Après les calculs)

Ce graphique montre comment le coefficient K évolue en fonction du rapport D₂/D₁, et positionne notre cas de figure sur la courbe.

Variation de K avec le rapport D₂/D₁

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un coefficient de 0.375 signifie que la perte d'énergie dans le rétrécissement équivaut à 37.5% de l'énergie cinétique du fluide dans la conduite la plus petite. C'est une valeur non négligeable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Veillez à bien utiliser le rapport des diamètres (\(D_2/D_1\)) et non l'inverse. De plus, n'oubliez pas d'élever ce rapport au carré avant de le soustraire de 1.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour cette question, il faut retenir :

Concept Clé : \(K\) est un coefficient géométrique.
Formule Essentielle : La formule de Weisbach pour le rétrécissement.
Point de Vigilance Majeur : L'ordre du rapport des diamètres (\(D_{\text{petit}}/D_{\text{grand}}\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'étude des pertes de charge dans les rétrécissements et élargissements a été pionnière par deux physiciens du 18ème siècle, Jean-Charles de Borda et Lazzaro Spallanzani, puis formalisée au 19ème siècle par des ingénieurs comme Julius Weisbach.

FAQ (pour lever les doutes)

Une question fréquente :

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le coefficient de perte de charge pour ce rétrécissement est \(K = 0.375\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Quel serait le coefficient \(K\) si le diamètre aval \(D_2\) était de 150 mm ?

Question 4 : Calculer la perte de charge singulière \(\Delta h_s\).

Principe (le concept physique)

La perte de charge représente l'énergie mécanique "perdue" par unité de poids de fluide, convertie en chaleur à cause des turbulences. Elle s'exprime en mètres de colonne de fluide (mCE pour mètres de colonne d'eau). On utilise la formule générale avec le coefficient \(K\) et la vitesse de référence \(v_2\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le terme \(v^2/(2g)\) est appelé "hauteur dynamique" ou "charge de vitesse". Il représente l'énergie cinétique du fluide par unité de poids. La formule \(\Delta h_s = K \cdot (v^2/2g)\) signifie donc que la perte de charge est une fraction \(K\) de cette hauteur dynamique. C'est une application directe de l'équation de Bernoulli étendue pour les écoulements avec pertes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est crucial de toujours être cohérent. Le coefficient \(K\) que nous avons calculé à la question 3 est défini par rapport à la vitesse en aval, \(v_2\). Nous devons donc impérativement utiliser \(v_2\) dans la formule de la perte de charge. Utiliser \(v_1\) serait une erreur majeure.

Normes (la référence réglementaire)

Cette formulation de la perte de charge fait partie intégrante de l'équation de Darcy-Weisbach, qui est la méthode standard et la plus précise pour le calcul des pertes de charge dans les réseaux de tuyauterie à travers le monde.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la perte de charge singulière

\Delta h_s = K \frac{v_2^2}{2g}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que l'accélération de la pesanteur \(g\) est constante et vaut \(9.81 \text{ m/s}^2\). Cette valeur est une approximation standard suffisante pour la plupart des calculs d'ingénierie sur Terre.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de perte	\(K\)	0.375	-
Vitesse aval	\(v_2\)	6.366	m/s
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces (Pour aller plus vite)

Calculez d'abord la hauteur dynamique \(h_v = v_2^2 / (2g)\). C'est un terme que vous retrouverez très souvent. Une fois que vous l'avez, il suffit de le multiplier par \(K\). Cela décompose le calcul en étapes plus simples et moins sujettes à erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Ce diagramme illustre la Ligne d'Énergie (L.E.) et la Ligne de Charge (L.C.). La perte de charge \(\Delta h_s\) est une chute soudaine de la Ligne d'Énergie. La Ligne de Charge, qui représente la pression, chute également à cause de la perte ET de l'augmentation de la vitesse.

Chute de la Ligne de Charge au niveau de la singularité

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la perte de charge singulière (\(\Delta h_s\))

On applique la formule de la perte de charge en utilisant le coefficient \(K\) (calculé à la Q3), la vitesse \(v_2\) (calculée à la Q1) et l'accélération de la pesanteur \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\).

\begin{aligned} \Delta h_s &= K \times \frac{v_2^2}{2g} \\ &= 0.375 \times \frac{(6.366)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 0.375 \times \frac{40.526}{19.62} \\ &\approx 0.775 \text{ mCE} \end{aligned}

La perte de charge singulière, exprimée en hauteur de colonne d'eau, est d'environ 0.775 mCE.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma précédent est maintenant mis à jour avec la valeur numérique de la chute d'énergie calculée.

Chute de la Ligne de Charge Quantifiée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une perte de 0.775 mètres de colonne d'eau signifie que si on plaçait des tubes piézométriques juste avant et loin après le rétrécissement, la différence de niveau d'eau (corrigée de la variation de hauteur dynamique) serait de 77.5 cm. C'est une perte d'énergie concrète et mesurable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur est d'utiliser la mauvaise vitesse (\(v_1\) au lieu de \(v_2\)). Assurez-vous que la vitesse utilisée dans le terme d'énergie cinétique est bien celle à laquelle le coefficient \(K\) se rapporte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour cette question, retenez :

Concept Clé : La perte de charge est une fraction de l'énergie cinétique.
Formule Essentielle : \(\Delta h_s = K \cdot (v_{\text{ref}}^2 / 2g)\).
Cohérence : Toujours associer \(K\) à sa vitesse de référence.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les logiciels de simulation de réseaux hydrauliques, l'ingénieur ne rentre pas la formule mais sélectionne un "composant" (coude, vanne, etc.) dans une bibliothèque. Le logiciel va alors chercher la valeur de \(K\) appropriée et effectue ce calcul automatically des milliers de fois pour analyser le réseau complet.

FAQ (pour lever les doutes)

Une question fréquente :

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La perte de charge singulière due au rétrécissement est d'environ \(0.775 \text{ mCE}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si la vitesse \(v_2\) était de 10 m/s (avec le même K), quelle serait la perte de charge \(\Delta h_s\) ?

Question 5 : En déduire la perte de pression \(\Delta P\).

Principe (le concept physique)

La perte de charge (\(\Delta h_s\)) et la perte de pression (\(\Delta P\)) sont deux façons d'exprimer la même perte d'énergie. La relation qui les lie est la relation hydrostatique fondamentale : une colonne de fluide d'une certaine hauteur exerce une pression à sa base. Nous convertissons donc la "hauteur d'énergie perdue" en une "pression perdue".

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de Bernoulli montre que la charge totale \(H = Z + P/(\rho g) + v^2/(2g)\) diminue à cause des pertes de charge \(\Delta h_s\). Si la conduite est horizontale (\(Z_1=Z_2\)) et qu'on isole la pression, on a \(P_2 - P_1 = \rho g (\Delta h_{\text{cinétique}} - \Delta h_s)\). La perte de pression est donc directement liée à la perte de charge, mais aussi à la variation d'énergie cinétique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette conversion est extrêmement importante en pratique. Les pompes sont choisies pour fournir une certaine "hauteur manométrique" (en mètres) afin de vaincre les pertes de charge, mais les capteurs sur le terrain (manomètres) mesurent des pressions (en bars ou Pascals). Un ingénieur doit être capable de jongler entre ces deux unités en permanence.

Normes (la référence réglementaire)

La relation \(\Delta P = \rho g \Delta h\) est un principe premier de la physique des fluides et n'est pas sujette à une norme. L'unité de pression officielle du Système International est le Pascal (Pa), comme défini par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de conversion hauteur-pression

\Delta P = \rho \cdot g \cdot \Delta h_s

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous continuons avec les hypothèses d'une masse volumique \(\rho\) et d'une accélération de la pesanteur \(g\) constantes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise le résultat de la question précédente et les données du fluide.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Perte de charge	\(\Delta h_s\)	0.775	m
Masse volumique	\(\rho\)	1000	kg/m³
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour l'eau, une règle d'or très pratique est que 10 mètres de colonne d'eau (mCE) équivalent environ à 1 bar (\(10^5\) Pa). Donc, pour notre perte de ~0.8 mCE, on s'attend à trouver une perte de pression d'environ 0.08 bar, soit 8000 Pa. C'est un excellent moyen de vérifier son résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre que la perte de charge \(\Delta h_s\) est physiquement équivalente à une chute de pression \(\Delta P\).

Relation entre Perte de Charge et Perte de Pression

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la perte de pression (\(\Delta P\)) en Pascals

On utilise la relation hydrostatique fondamentale. On multiplie la perte de charge en mètres (\(\Delta h_s\), calculée à la Q4) par la masse volumique de l'eau (\(\rho\), donnée dans l'énoncé) et la gravité (\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)).

\begin{aligned} \Delta P &= \rho \cdot g \cdot \Delta h_s \\ &= 1000 \text{ kg/m}^3 \times 9.81 \text{ m/s}^2 \times 0.775 \text{ m} \\ &\approx 7602 \text{ Pa} \end{aligned}

La perte d'énergie correspond à une perte de pression d'environ 7602 Pa.

Conversion en kilopascals (kPa)

Pour une lecture plus facile, on convertit les Pascals (Pa) en kilopascals (kPa) en divisant par 1000.

\begin{aligned} \Delta P &= \frac{7602}{1000} \\ &\approx 7.60 \text{ kPa} \end{aligned}

La perte de pression est donc de 7.60 kPa.

Schéma (Après les calculs)

Ce visuel montre l'équivalence concrète : la hauteur d'eau perdue (0.775 m) correspond à la chute de pression mesurée (7.60 kPa).

Équivalence Hauteur - Pression

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une perte de charge de 0.775 mCE correspond à une chute de pression de 7.6 kPa. Pour mettre en perspective, la pression atmosphérique est d'environ 101 kPa. Cette perte, bien que "singulière", peut être significative dans le bilan énergétique global d'un réseau, surtout si de nombreuses singularités sont présentes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans les unités. Si vous utilisez \(\rho\) en kg/m³, \(g\) en m/s² et \(\Delta h_s\) en m, le résultat \(\Delta P\) sera obligatoirement en Pascals (Pa). N'oubliez pas les conversions finales si on vous demande des bars ou des kPa.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Ce qu'il faut absolument retenir :

Concept Clé : Pression et hauteur de fluide sont proportionnelles.
Formule Essentielle : \(\Delta P = \rho g \Delta h\).
Conversion utile : \(10 \text{ mCE} \approx 1 \text{ bar} = 100 \text{ kPa}\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La pression est nommée en l'honneur de Blaise Pascal, un scientifique français du 17ème siècle, qui a démontré que pour un fluide au repos, la pression est la même en tous points d'une même profondeur (principe de Pascal).

FAQ (pour lever les doutes)

Une question fréquente :

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La perte de pression correspondante est d'environ \(7602 \text{ Pa}\), soit \(7.6 \text{ kPa}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si le fluide était de l'huile avec une masse volumique de \(850 \text{ kg/m}^3\), quelle serait la perte de pression \(\Delta P\) (pour la même perte de charge de \(0.775\) m) ?

Outil Interactif : Simulateur de Rétrécissement

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit et le diamètre de la conduite aval. Observez en temps réel l'impact sur la vitesse d'écoulement et sur la perte de charge singulière. Le graphique illustre la relation quadratique entre le débit et la perte de charge.

Paramètres d'Entrée

Débit Volumique (\(Q_v\)) 50 L/s

Diamètre Aval (\(D_2\)) 100 mm

Résultats Clés

Vitesse Aval (\(v_2\)) - m/s

Perte de Charge (\(\Delta h_s\)) - mCE

Perte de Charge Singulière: Perte d'énergie localisée dans un écoulement due à une perturbation géométrique (coude, vanne, rétrécissement). Elle est distincte de la perte de charge régulière qui se produit sur la longueur de la conduite.
Nombre de Reynolds (Re): Un nombre adimensionnel qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide. Un Re élevé (>4000) indique un écoulement turbulent, tandis qu'un Re faible (<2000) indique un écoulement laminaire.
Régime Turbulent: Un régime d'écoulement chaotique caractérisé par des tourbillons et des fluctuations de vitesse et de pression. C'est le régime le plus courant dans les applications industrielles.