ÉTUDE HYDRAULIQUE

Pertes de Charge Singulières : un Rétrécissement Brusque

Pertes de Charge Singulières : un Rétrécissement Brusque

Calcul des Pertes de Charge Singulières : un Rétrécissement Brusque

Comprendre le Calcul des Pertes de Charge Singulières : un Rétrécissement Brusque

Lorsqu'un fluide passe d'une conduite de grand diamètre à une conduite de plus petit diamètre, il subit une accélération. À cause de l'inertie, les lignes de courant continuent de converger même après l'entrée dans la section rétrécie, formant une zone de section minimale appelée "vena contracta". Juste après cette zone, le jet de fluide doit s'élargir à nouveau pour remplir toute la section du petit tuyau. Cet élargissement forcé crée des turbulences et des vortex intenses, similaires à ceux d'un élargissement brusque, qui sont la source principale de la perte d'énergie. La perte de charge est donc principalement calculée sur la base de la vitesse dans la section la plus petite (en aval).

Données de l'étude

On analyse la perte de charge engendrée par un rétrécissement brusque dans une conduite horizontale transportant de l'eau.

Caractéristiques du fluide et de la conduite :

  • Fluide : Eau à 20°C
  • Masse volumique (\(\rho\)) : \(998.2 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Diamètre amont (\(D_1\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Diamètre aval (\(D_2\)) : \(50 \, \text{mm}\)

Conditions de l'écoulement :

  • Débit volumique (\(Q\)) : \(15 \, \text{L/s}\)
Schéma du rétrécissement brusque
Vena Contracta & Vortex Section 1 V₁, P₁, D₁ Section 2 V₂, P₂, D₂

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse du fluide dans la section aval (\(V_2\)).
  2. Calculer le coefficient de perte de charge (\(K\)) pour ce rétrécissement.
  3. Calculer la perte de charge singulière (\(h_\text{s}\)) due au rétrécissement.
  4. Calculer la chute de pression (\(\Delta P\)) correspondante.

Correction : Calcul des Pertes de Charge Singulières : un Rétrécissement Brusque

Question 1 : Vitesse dans la section aval (\(V_2\))

Principe :

La vitesse est calculée à partir du débit volumique et de l'aire de la section aval. Les pertes de charge pour un rétrécissement sont conventionnellement calculées en se basant sur la vitesse en aval (\(V_2\)), là où l'énergie cinétique est la plus élevée.

Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 15 \, \text{L/s} = 0.015 \, \text{m}^3\text{/s} \\ D_2 &= 50 \, \text{mm} = 0.05 \, \text{m} \\ A_2 &= \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi \times (0.05)^2}{4} \approx 0.001963 \, \text{m}^2 \\ V_2 &= \frac{Q}{A_2} = \frac{0.015 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.001963 \, \text{m}^2} \\ &\approx 7.64 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La vitesse dans la section aval est \(V_2 \approx 7.64 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Coefficient de Perte de Charge (\(K\))

Principe :

Le coefficient de perte de charge pour un rétrécissement brusque peut être estimé à l'aide de formules empiriques. Une formule courante est \(K = 0.5 \times (1 - A_2/A_1)\). Le rapport des aires \(A_2/A_1\) est égal au carré du rapport des diamètres \((D_2/D_1)^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ K = 0.5 \left(1 - \frac{A_2}{A_1}\right) = 0.5 \left(1 - \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2\right) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} K &= 0.5 \left(1 - \left(\frac{50 \, \text{mm}}{100 \, \text{mm}}\right)^2\right) \\ &= 0.5 \left(1 - (0.5)^2\right) \\ &= 0.5 (1 - 0.25) \\ &= 0.5 \times 0.75 \\ &= 0.375 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le coefficient de perte de charge est \(K = 0.375\).

Question 3 : Perte de Charge Singulière (\(h_\text{s}\))

Principe :

La perte de charge singulière est calculée en multipliant le coefficient \(K\) par la hauteur de vitesse dans la section aval (\(V_2^2/2g\)), où la vitesse est maximale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_\text{s} = K \times \frac{V_2^2}{2g} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_\text{s} &= 0.375 \times \frac{(7.64 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 0.375 \times \frac{58.37}{19.62} \\ &= 0.375 \times 2.975 \\ &\approx 1.116 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La perte de charge due au rétrécissement est \(h_\text{s} \approx 1.12 \, \text{m}\).

Question 4 : Chute de Pression (\(\Delta P\))

Principe :

La perte de charge en mètres de colonne de fluide est convertie en une chute de pression en la multipliant par le poids volumique du fluide (\(\rho g\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta P = \rho g h_\text{s} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta P &= 998.2 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1.116 \, \text{m} \\ &\approx 10925 \, \text{Pa} \\ \\ \Delta P_\text{bar} &= \frac{10925}{100000} \\ &\approx 0.109 \, \text{bar} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La chute de pression est d'environ \(10925 \, \text{Pa}\) ou \(0.11 \, \text{bar}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. Le phénomène clé responsable de la majeure partie de la perte de charge dans un rétrécissement brusque est :

6. La perte de charge singulière pour un rétrécissement est conventionnellement calculée en utilisant :

7. Si le rapport des diamètres \(D_2/D_1\) diminue (le rétrécissement devient plus sévère), le coefficient de perte de charge \(K\) :

Glossaire

Rétrécissement Brusque
Diminution soudaine et non progressive de la section d'une conduite, passant d'un grand diamètre à un plus petit.
Vena Contracta
Point dans un écoulement fluide où le diamètre de la veine fluide est le plus faible, se produisant juste après un rétrécissement ou un orifice. C'est le point où la vitesse est la plus élevée.
Calcul des Pertes de Charge Singulières - Exercice d'Application

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