ÉTUDE HYDRAULIQUE

Pertes de Charge Singulières : un Élargissement Brusque

Pertes de Charge Singulières : un Élargissement Brusque

Calcul des Pertes de Charge Singulières : un Élargissement Brusque

Comprendre le Calcul des Pertes de Charge Singulières : un Élargissement Brusque

Lorsqu'une conduite s'élargit brusquement, la vitesse du fluide diminue, ce qui, d'après l'équation de Bernoulli, devrait entraîner une augmentation de la pression. Cependant, le changement soudain de section provoque un "décollement de la veine fluide". Des tourbillons (vortex) se forment dans les zones mortes près des parois, créant une turbulence intense qui dissipe une part importante de l'énergie de l'écoulement. Cette perte d'énergie irréversible est une perte de charge singulière, souvent appelée perte de Borda-Carnot. Elle est principalement fonction de la différence de vitesse entre l'amont et l'aval de l'élargissement.

Données de l'étude

On analyse la perte de charge engendrée par un élargissement brusque dans une conduite horizontale transportant de l'huile.

Caractéristiques du fluide et de la conduite :

  • Fluide : Huile
  • Masse volumique (\(\rho\)) : \(850 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Diamètre amont (\(D_1\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Diamètre aval (\(D_2\)) : \(150 \, \text{mm}\)

Conditions de l'écoulement :

  • Vitesse dans la section amont (\(V_1\)) : \(3.0 \, \text{m/s}\)
Schéma de l'élargissement brusque
Vortex Section 1 V₁, P₁, D₁ Section 2 V₂, P₂, D₂

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse du fluide dans la section aval (\(V_2\)).
  2. Calculer la perte de charge singulière (\(h_\text{s}\)) due à l'élargissement brusque en utilisant l'équation de Borda-Carnot.
  3. Calculer la chute de pression (\(\Delta P\)) équivalente due à cette perte de charge.

Correction : Calcul des Pertes de Charge Singulières : un Élargissement Brusque

Question 1 : Vitesse dans la section aval (\(V_2\))

Principe :

La vitesse dans la section aval se calcule à l'aide de l'équation de continuité pour un fluide incompressible (\(Q_1 = Q_2\)). Comme le débit \(Q\) est le produit de l'aire \(A\) par la vitesse \(V\), on a \(A_1 V_1 = A_2 V_2\). On peut donc isoler \(V_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_2 = V_1 \times \frac{A_1}{A_2} = V_1 \times \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_2 &= 3.0 \, \text{m/s} \times \left(\frac{80 \, \text{mm}}{150 \, \text{mm}}\right)^2 \\ &= 3.0 \, \text{m/s} \times (0.5333)^2 \\ &= 3.0 \, \text{m/s} \times 0.2844 \\ &\approx 0.853 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La vitesse dans la section aval est \(V_2 \approx 0.85 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Perte de Charge Singulière (\(h_\text{s}\))

Principe :

La perte de charge dans un élargissement brusque est donnée par l'équation de Borda-Carnot. Elle est égale à la hauteur de vitesse basée sur la différence des vitesses entre l'amont et l'aval.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_\text{s} = \frac{(V_1 - V_2)^2}{2g} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_\text{s} &= \frac{(3.0 \, \text{m/s} - 0.853 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{(2.147 \, \text{m/s})^2}{19.62 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{4.6096}{19.62} \\ &\approx 0.235 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La perte de charge due à l'élargissement est \(h_\text{s} \approx 0.235 \, \text{m}\) de colonne d'huile.

Question 3 : Chute de Pression (\(\Delta P\))

Principe :

La perte de charge (\(h_s\)) représente une perte d'énergie qui peut être exprimée en termes de pression. La chute de pression est calculée en multipliant la perte de charge par le poids volumique du fluide (\(\rho g\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta P = \rho g h_\text{s} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta P &= 850 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 0.235 \, \text{m} \\ &\approx 1957 \, \text{Pa} \\ \\ \Delta P_\text{bar} &= \frac{1957}{100000} \\ &\approx 0.0196 \, \text{bar} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La chute de pression due à la perte de charge est d'environ \(1957 \, \text{Pa}\) ou \(0.020 \, \text{bar}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

4. La perte de charge dans un élargissement brusque est principalement due à :

5. Selon l'équation de Borda-Carnot, la perte de charge dépend directement :

6. Si le diamètre aval (\(D_2\)) était beaucoup plus grand que le diamètre amont (\(D_1\)), la vitesse \(V_2\) serait proche de zéro. Dans ce cas, la perte de charge \(h_s\) serait approximativement égale à :

Glossaire

Élargissement Brusque
Changement soudain et non progressif de la section d'une conduite, passant d'un petit diamètre à un plus grand.
Perte de Charge Singulière (\(h_\text{s}\))
Perte d'énergie localisée, due à la turbulence créée par une modification de la géométrie de l'écoulement.
Équation de Borda-Carnot
Formule spécifique qui calcule la perte de charge singulière dans un élargissement brusque, basée sur la différence de vitesse entre les deux sections.
Équation de Continuité
Principe de conservation de la masse pour un écoulement, qui stipule que pour un fluide incompressible, le débit volumique (\(Q = A \times V\)) est constant tout au long d'une conduite.
Calcul des Pertes de Charge Singulières - Exercice d'Application

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