Pertes de Charge Singulières : un Élargissement Brusque

Contexte : Les fondamentaux de l'hydraulique.

En hydraulique, le transport des fluides dans les conduites n'est jamais parfait. L'énergie se dissipe sous forme de chaleur à cause du frottement (pertes de charge régulières) et des "accidents" de parcours comme les coudes, vannes ou changements de section. Ces derniers créent des pertes de charge singulièresPerte d'énergie localisée dans un écoulement, causée par une perturbation géométrique comme un coude, une vanne ou un changement de section.. Cet exercice se concentre sur un cas très courant : l'élargissement brusqueChangement soudain de la section d'une conduite, où le fluide passe d'un petit diamètre à un plus grand, provoquant turbulence et perte d'énergie., où le fluide passe subitement d'une conduite de petit diamètre à une conduite de plus grand diamètre. Comprendre et calculer cette perte d'énergie est crucial pour dimensionner correctement les pompes et optimiser l'efficacité énergétique des réseaux hydrauliques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer l'équation de Borda-Carnot, un outil fondamental pour quantifier la perte d'énergie due à la turbulence générée par une expansion soudaine du flux.

Objectifs Pédagogiques

Identifier et définir une perte de charge singulière.
Calculer les vitesses d'écoulement à partir d'un débit et des diamètres.
Appliquer la formule de Borda-Carnot pour déterminer la perte de charge.
Convertir une perte de charge (en mètres) en perte de pression (en Pascals).

Données de l'étude

On considère un écoulement d'eau permanent dans une conduite horizontale qui subit un élargissement brusque.

Schéma de l'Élargissement Brusque

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre de la conduite amont	\(D_1\)	100	mm
Diamètre de la conduite aval	\(D_2\)	200	mm
Débit volumique	\(Q_v\)	50	L/s
Masse volumique de l'eau	\(\rho\)	1000	kg/m³
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Questions à traiter

Calculer les sections (aires) \(S_1\) et \(S_2\) des conduites.
Calculer les vitesses moyennes de l'eau \(v_1\) et \(v_2\) dans chaque conduite.
En utilisant la formule de Borda-Carnot, calculer la perte de charge singulière \(h_s\).
Calculer la perte de pression \(\Delta P\) correspondante.

Les bases sur les Pertes de Charge

Lorsqu'un fluide s'écoule dans une conduite, il perd de l'énergie. Cette énergie, souvent appelée "charge", est exprimée en mètres de colonne de fluide. On distingue deux types de pertes de charge : les régulières (dues au frottement sur la longueur) et les singulières (dues aux obstacles locaux).

1. Principe de continuité
Pour un fluide incompressible, le débit volumique \(Q_v\) (en m³/s) est constant. La vitesse moyenne \(v\) est donc inversement proportionnelle à la section \(S\) de la conduite. \[ Q_v = S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2 \]

2. Équation de Borda-Carnot
La perte de charge \(h_s\) (en mètres) lors d'un élargissement brusque est due à la dissipation d'énergie dans les tourbillons créés par la décélération du fluide. Elle ne dépend que de la variation de vitesse : \[ h_s = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2g} \]

Correction : Pertes de Charge Singulières : Un Élargissement Brusque

Question 1 : Calculer les sections \(S_1\) et \(S_2\) des conduites.

Principe

Le concept physique est la conversion d'une dimension linéaire (le diamètre) en une surface (l'aire de la section). Cette surface est ce qui "contient" l'écoulement du fluide. Plus la surface est grande, plus le fluide a de place pour s'écouler.

Mini-Cours

En mécanique des fluides, la section transversale d'une conduite est fondamentale. C'est l'aire de la surface perpendiculaire à la direction de l'écoulement. Elle détermine, pour un débit donné, la vitesse du fluide. Pour les conduites circulaires, cette section est un disque.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'hydraulique est presque toujours de s'assurer que toutes les unités sont cohérentes. Prenez l'habitude de tout convertir dans le Système International (mètres, secondes, kilogrammes) avant même de commencer à appliquer les formules.

Normes

Bien que ce soit un calcul de base, les diamètres de tuyauterie sont standardisés (normes ISO, ASTM, etc.). Dans un contexte professionnel, on utiliserait le diamètre nominal (DN) pour trouver le diamètre intérieur réel dans les tables de fabricants.

Formule(s)

Aire d'une section circulaire

S = \frac{\pi D^2}{4}

Hypothèses

On suppose que les conduites sont parfaitement circulaires et que les diamètres donnés sont les diamètres intérieurs exacts de l'écoulement.

Donnée(s)

Nous devons d'abord convertir les diamètres de millimètres (mm) en mètres (m).

Conversion du diamètre \(D_1\)

D_1 = 100 \text{ mm} = 0.1 \text{ m}

Conversion du diamètre \(D_2\)

D_2 = 200 \text{ mm} = 0.2 \text{ m}

Astuces

Pour vérifier rapidement : si vous doublez le diamètre, la surface est multipliée par \(2^2 = 4\). Ici, \(D_2 = 2 \times D_1\), donc on s'attend à ce que \(S_2 = 4 \times S_1\). C'est un excellent moyen de repérer une erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons la géométrie de base : un cercle avec son diamètre.

Section Circulaire

Calcul(s)

Calcul de la section \(S_1\)

\begin{aligned} S_{1} &= \frac{\pi \times (0.1 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.01 \text{ m}^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \text{ m}^2 \end{aligned}

Calcul de la section \(S_2\)

\begin{aligned} S_{2} &= \frac{\pi \times (0.2 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.04 \text{ m}^2}{4} \\ &\approx 0.031416 \text{ m}^2 \end{aligned}

Réflexions

Le résultat confirme notre astuce : \(S_2 / S_1 \approx 0.031416 / 0.007854 \approx 4\). La section de la conduite aval est quatre fois plus grande que celle de la conduite amont. Cette différence majeure aura un impact direct et important sur la vitesse du fluide.

Points de vigilance

La principale erreur à éviter est de confondre rayon et diamètre. La formule avec le rayon est \(S = \pi r^2\). Si vous utilisez le diamètre, n'oubliez pas de diviser par 4. De plus, l'oubli de la conversion des unités est une source d'erreur très fréquente.

Points à retenir

La section est la surface de passage : \(S = \pi D^2 / 4\).
Toujours convertir les unités en mètres avant le calcul.
La relation entre section et diamètre n'est pas linéaire mais quadratique.

Le saviez-vous ?

Le nombre \(\pi\) a fasciné les mathématiciens depuis l'Antiquité. Les Babyloniens l'estimaient à 3,125. C'est Archimède qui, vers 250 av. J.-C., a été l'un des premiers à l'encadrer avec une grande précision en utilisant des polygones inscrits et circonscrits à un cercle.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Les sections des conduites sont \(S_1 \approx 0.00785 \text{ m}^2\) et \(S_2 \approx 0.03142 \text{ m}^2\).

A vous de jouer

Quelle serait l'aire \(S\) (en m²) pour une conduite de diamètre \(D = 150 \text{ mm}\) ?

Question 2 : Calculer les vitesses moyennes \(v_1\) et \(v_2\).

Principe

C'est l'application du principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible, connu sous le nom d'équation de continuité. Le volume de fluide qui entre dans une section par seconde doit être le même que celui qui en sort. Si la section diminue, la vitesse doit augmenter pour maintenir le même débit, et vice-versa.

Mini-Cours

L'équation de continuité \(Q_v = S \cdot v = \text{constante}\) est l'une des pierres angulaires de l'hydraulique. Elle montre la relation inverse entre la section d'écoulement et la vitesse moyenne. C'est ce principe qui explique pourquoi l'eau sort plus vite d'un tuyau d'arrosage quand on en pince l'extrémité (on réduit la section S, donc v augmente).

Remarque Pédagogique

Avant de calculer, essayez d'anticiper le résultat. Ici, le fluide passe d'une petite section (\(S_1\)) à une grande section (\(S_2\)). On doit donc s'attendre à ce que la vitesse \(v_1\) soit significativement plus grande que la vitesse \(v_2\). Cette anticipation permet de valider le bon sens de vos résultats.

Normes

Les codes de conception pour les réseaux de tuyauterie (par exemple en plomberie ou en CVC) recommandent souvent des vitesses maximales à ne pas dépasser pour limiter le bruit, l'érosion et les pertes de charge. Typiquement, entre 1 et 3 m/s pour l'eau.

Formule(s)

Formule de la vitesse moyenne

v = \frac{Q_v}{S}

Hypothèses

On suppose que l'écoulement est uniforme sur toute la section, c'est-à-dire que la vitesse est la même en tout point de la section. En réalité, la vitesse est nulle à la paroi (à cause de la viscosité) et maximale au centre. On travaille donc avec une vitesse "moyenne".

Donnée(s)

\(Q_v = 0.05 \text{ m}^3\text{/s}\)
\(S_1 \approx 0.007854 \text{ m}^2\)
\(S_2 \approx 0.031416 \text{ m}^2\)

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma suivant montre le débit volumique \(Q_v\) constant traversant les deux sections différentes, ce qui va induire des vitesses différentes.

Continuité du Débit

Calcul(s)

Calcul de la vitesse \(v_1\)

\begin{aligned} v_{1} &= \frac{Q_v}{S_1} \\ &= \frac{0.05 \text{ m}^3\text{/s}}{0.007854 \text{ m}^2} \\ &\approx 6.366 \text{ m/s} \end{aligned}

Calcul de la vitesse \(v_2\)

\begin{aligned} v_{2} &= \frac{Q_v}{S_2} \\ &= \frac{0.05 \text{ m}^3\text{/s}}{0.031416 \text{ m}^2} \\ &\approx 1.591 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat du calcul est visualisé ci-dessous. Les vecteurs vitesse montrent que le fluide ralentit considérablement en passant de la petite à la grande section.

Visualisation des Vitesses

Réflexions

Le résultat est conforme à notre attente : la vitesse chute drastiquement de plus de 6 m/s à environ 1.6 m/s. La vitesse \(v_1\) est d'ailleurs assez élevée et pourrait causer de l'érosion ou du bruit dans un vrai réseau. La décélération brutale du fluide est la cause directe de la perte de charge que nous allons calculer ensuite.

Points de vigilance

L'erreur classique est une mauvaise conversion du débit. Assurez-vous de diviser les L/s par 1000 pour obtenir des m³/s. Une autre erreur est d'inverser les sections, ce qui mènerait à une conclusion physiquement absurde (vitesse augmentant avec la section).

Points à retenir

Principe de continuité : \(Q_v = S \cdot v\).
La vitesse est inversement proportionnelle à la section.
Convertir le débit en m³/s est impératif.

Le saviez-vous ?

Le principe de continuité est aussi ce qui permet aux ailes d'avion de générer de la portance. L'air parcourant le dessus de l'aile (extrados) va plus vite que l'air parcourant le dessous (intrados). Selon le théorème de Bernoulli (qui est lié), une vitesse plus grande implique une pression plus faible, créant une force ascendante.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Les vitesses moyennes sont \(v_1 \approx 6.37 \text{ m/s}\) et \(v_2 \approx 1.59 \text{ m/s}\).

A vous de jouer

Si le débit était réduit à 25 L/s, quelle serait la nouvelle vitesse \(v_1\) (en m/s) ?

Question 3 : Calculer la perte de charge singulière \(h_s\).

Principe

Le concept physique est la conservation de l'énergie, ou plus précisément sa dissipation. Lorsque le fluide décélère brusquement, son énergie cinétique (liée à la vitesse) n'est pas entièrement convertie en énergie de pression. Une partie est perdue en chaos (turbulence), se transformant en chaleur. Cette énergie "perdue" est ce qu'on appelle la perte de charge.

Mini-Cours

La formule de Borda-Carnot est une application du bilan de quantité de mouvement sur le volume de contrôle de l'élargissement. Elle démontre que la perte d'énergie est proportionnelle à l'énergie cinétique "perdue", qui est basée non pas sur les vitesses elles-mêmes, mais sur le carré de leur différence. C'est un cas particulier du théorème de Bernoulli généralisé qui inclut les pertes.

Remarque Pédagogique

Notez bien que la perte de charge dépend du carré de la différence des vitesses. Cela signifie qu'elle est très sensible aux variations de vitesse. Doubler la différence de vitesse multiplie la perte par quatre ! C'est pourquoi les concepteurs de réseaux hydrauliques évitent les changements de section trop brutaux lorsque c'est possible.

Normes

Les manuels de génie hydraulique et les normes de conception fournissent des coefficients de perte de charge (K) pour de nombreuses singularités. Pour un élargissement brusque, ce coefficient \(K\) est égal à 1, et la formule générale \(h_s = K \frac{v^2}{2g}\) devient la formule de Borda-Carnot si on utilise la vitesse relative \((v_1 - v_2)\).

Formule(s)

Formule de Borda-Carnot

h_s = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2g}

Hypothèses

Cette formule suppose que la pression dans la zone de décollement à l'entrée de la grande section est approximativement égale à la pression amont. C'est une hypothèse simplificatrice qui fonctionne très bien en pratique pour les régimes turbulents.

Donnée(s)

\(v_1 \approx 6.366 \text{ m/s}\)
\(v_2 \approx 1.591 \text{ m/s}\)
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente le phénomène physique : la décélération brutale de \(v_1\) à \(v_2\) génère des zones de turbulence où l'énergie se dissipe, créant la perte de charge \(h_s\).

Phénomène de Perte de Charge

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la différence de vitesse

\begin{aligned} \Delta v &= v_{1} - v_{2} \\ &\approx 6.366 - 1.591 \\ &= 4.775 \text{ m/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la perte de charge

\begin{aligned} h_{s} &= \frac{(\Delta v)^2}{2g} \\ &= \frac{(4.775 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &= \frac{22.80 \text{ m}^2\text{/s}^2}{19.62 \text{ m/s}^2} \\ &\approx 1.162 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme ci-dessous montre la ligne de charge (énergie totale) et la ligne piézométrique (pression). On observe une remontée de la ligne piézométrique (la pression augmente car la vitesse diminue), mais la ligne de charge subit une chute brutale et irréversible \(h_s\) au niveau de l'élargissement.

Diagramme des Lignes de Charge et Piézométrique

Réflexions

Une perte de charge de 1.162 m est significative. Dans un système de pompage, cela signifie que la pompe doit fournir une énergie supplémentaire équivalente à remonter toute l'eau de 1.162 mètres de hauteur, juste pour compenser cette singularité. Cela a un coût énergétique direct.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le carré dans la formule. Une autre erreur est de calculer \(\frac{v_1^2 - v_2^2}{2g}\), ce qui est physiquement incorrect. C'est bien le carré de la différence des vitesses, et non la différence des carrés.

Points à retenir

La perte de charge dans un élargissement est due à la décélération brutale.
Formule de Borda-Carnot : \(h_s = (v_1 - v_2)^2 / (2g)\).
La perte est proportionnelle au carré de la différence de vitesse.

Le saviez-vous ?

Jean-Charles de Borda et Lazare Carnot étaient deux scientifiques français du 18ème siècle. Leurs travaux sur l'hydraulique et la mécanique ont jeté les bases de l'ingénierie moderne. Carnot, aussi homme politique majeur de la Révolution, est l'un des 72 savants dont le nom est inscrit sur la Tour Eiffel.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La perte de charge singulière due à l'élargissement est \(h_s \approx 1.16 \text{ m}\) de colonne d'eau.

A vous de jouer

Si \(v_1=5 \text{ m/s}\) et \(v_2=1 \text{ m/s}\), quelle serait la perte de charge \(h_s\) en mètres ?

Question 4 : Calculer la perte de pression \(\Delta P\) correspondante.

Principe

La perte de charge (\(h_s\)) et la perte de pression (\(\Delta P\)) sont deux façons d'exprimer la même perte d'énergie. La charge est une hauteur (énergie par unité de poids), tandis que la pression est une force par unité de surface. On peut passer de l'une à l'autre grâce au poids volumique du fluide (\(\rho g\)).

Mini-Cours

La pression hydrostatique est donnée par \(P = \rho g h\). Cette même relation lie la perte de charge (qui est une hauteur 'équivalente' de perte) à la chute de pression correspondante. C'est une conversion fondamentale entre les deux unités les plus utilisées pour quantifier les pertes dans un réseau.

Remarque Pédagogique

Les ingénieurs utilisent les deux concepts. La 'charge' (en mètres) est très visuelle et pratique pour comparer les pertes aux hauteurs de pompage ou aux dénivelés. La 'pression' (en Pascals ou en bars) est plus directe pour vérifier si un équipement peut résister aux contraintes ou pour le calcul des forces.

Normes

Le Pascal (Pa) est l'unité de pression du Système International. Cependant, dans l'industrie, le bar est encore très utilisé (1 bar = 100 000 Pa). Il est essentiel de savoir naviguer entre ces unités.

Formule(s)

Relation Pression-Charge

\Delta P = \rho \cdot g \cdot h_s

Hypothèses

On suppose que la masse volumique \(\rho\) de l'eau est constante (1000 kg/m³), ce qui est une excellente approximation pour les applications courantes sans grands changements de température.

Donnée(s)

\(\rho = 1000 \text{ kg/m}^3\)
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
\(h_s \approx 1.162 \text{ m}\)

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre que la perte de charge \(h_s\) (une hauteur) est directement proportionnelle à la perte de pression \(\Delta P\) via le poids volumique du fluide \(\rho g\).

Relation entre Charge et Pression

Calcul(s)

Calcul de la perte de pression en Pascals

\begin{aligned} \Delta P &= \rho \cdot g \cdot h_s \\ &= 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 1.162 \text{ m} \\ &\approx 11399 \text{ Pa} \end{aligned}

Conversion en kilopascals

\Delta P \approx 11.4 \text{ kPa}

Réflexions

Une perte de 11.4 kPa peut sembler faible, mais elle s'ajoute à toutes les autres pertes du réseau. Sur un long système, la somme de ces pertes peut devenir la principale consommatrice d'énergie de la pompe. C'est pourquoi la minimisation des singularités est un enjeu de conception important.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes vos unités sont dans le Système International avant ce calcul final : \(\rho\) en kg/m³, \(g\) en m/s², et \(h_s\) en m. Le résultat sera alors directement en Pascals (Pa).

Points à retenir

Relation fondamentale : \(\Delta P = \rho g h_s\).
Permet de convertir une hauteur de perte en une chute de pression.
Pour l'eau, 1 m de perte \(\approx\) 9810 Pa \(\approx\) 10 kPa \(\approx\) 0,1 bar.

Le saviez-vous ?

Blaise Pascal, qui a donné son nom à l'unité de pression, était un mathématicien, physicien et philosophe français du 17ème siècle. Il a démontré que la pression atmosphérique diminuait avec l'altitude, en faisant réaliser à son beau-frère une expérience avec un baromètre au sommet du Puy de Dôme, en Auvergne.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La perte de pression correspondante est \(\Delta P \approx 11.4 \text{ kPa}\).

A vous de jouer

Si la perte de charge était de 2.5 m, quelle serait la perte de pression en kPa ?

Outil Interactif : Simulateur d'Élargissement

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit et le diamètre de la petite conduite (\(D_1\)) et observez en temps réel leur impact sur la perte de charge. Le diamètre de la grande conduite (\(D_2\)) est fixé à 200 mm.

Paramètres d'Entrée

Débit Volumique (\(Q_v\)) 50 L/s

Diamètre Amont (\(D_1\)) 100 mm

Résultats Clés

Perte de Charge (\(h_s\)) - m

Perte de Pression (\(\Delta P\)) - kPa

Glossaire

Perte de Charge Singulière: Perte d'énergie localisée dans un écoulement, causée par une perturbation géométrique comme un coude, une vanne ou un changement de section.
Élargissement Brusque: Changement soudain de la section d'une conduite, où le fluide passe d'un petit diamètre à un plus grand, provoquant turbulence et perte d'énergie.
Débit Volumique (\(Q_v\)): Volume de fluide qui traverse une section donnée de la conduite par unité de temps. Son unité est le m³/s.
Ligne de Charge: Ligne représentant l'énergie totale du fluide par unité de poids. Elle diminue le long de l'écoulement à cause des pertes de charge.