ÉTUDE HYDRAULIQUE

Pertes de Charge dans un Circuit de Chauffage

Exercice : Pertes de Charge dans un Circuit de Chauffage

Calcul des Pertes de Charge dans un Circuit de Chauffage

Contexte : Le dimensionnement des circulateurs en génie climatique.

Pour qu'un système de chauffage à eau chaude fonctionne correctement, il est impératif que l'eau circule à un débit précis dans tout le réseau. Le circulateur (ou pompe) est le cœur de ce système. Pour le choisir correctement, l'ingénieur doit calculer la "résistance" totale du circuit à l'écoulement du fluide. Cette résistance est appelée perte de chargePerte d'énergie d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) et aux obstacles comme les coudes ou les vannes (pertes singulières).. Elle est exprimée en hauteur de colonne d'eau (mCE) et représente l'énergie que la pompe doit fournir pour vaincre les frottements.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes fondamentales du calcul des pertes de charge, linéaires et singulières, pour un circuit simple. C'est une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur en génie thermique et hydraulique.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier et différencier les pertes de charge linéaires (dues aux frottements dans les tuyaux) et singulières (dues aux accidents de parcours).
  • Appliquer la formule de Darcy-Weisbach pour le calcul des pertes de charge linéaires.
  • Calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT)Énergie totale que le circulateur doit fournir au fluide pour vaincre les pertes de charge du circuit et assurer le débit souhaité. nécessaire au circulateur.

Données de l'étude

On étudie le circuit de chauffage simplifié d'une petite maison. Le circuit est une boucle fermée partant de la chaudière et y revenant après avoir traversé les radiateurs. L'objectif est de calculer la perte de charge totale pour dimensionner le circulateur.

Schéma de principe du circuit de chauffage
Chaudière Radiateur Aller (Chaud) Retour (Froid)
Caractéristique Symbole Valeur Unité
Fluide caloporteur - Eau à 60°C -
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 983.2 \(\text{kg/m}^3\)
Viscosité dynamique de l'eau \(\mu\) 0.467 x 10⁻³ \(\text{Pa.s}\)
Débit volumique requis \(Q_{\text{v}}\) 1.2 \(\text{m}^3\text{/h}\)
Tuyauterie - Cuivre -
Rugosité du cuivre \(\epsilon\) 0.0015 \(\text{mm}\)
Diamètre intérieur du tube \(D_{\text{i}}\) 26 \(\text{mm}\)
Longueur totale de tuyauterie \(L\) 50 \(\text{m}\)
Nombre de coudes à 90° - 12 -
Coefficient perte de charge d'un coude \(\zeta_{\text{coude}}\) 1.5 -
Coefficient perte de charge du radiateur + vanne \(\zeta_{\text{rad}}\) 4.0 -

Questions à traiter

  1. Calculer la section de la canalisation et la vitesse de l'eau.
  2. Calculer le Nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide (laminaire, transitoire ou turbulent). pour déterminer le régime d'écoulement.
  3. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire (facteur de friction) \(\lambda\).
  4. Calculer les pertes de charge linéaires (régulières) du circuit.
  5. Calculer les pertes de charge singulières dues aux coudes et au radiateur.
  6. En déduire la perte de charge totale du circuit en Pascals (Pa) puis la HMT en mètres de colonne d'eau (mCE).

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons deux concepts fondamentaux pour quantifier les pertes d'énergie dans un fluide qui s'écoule.

1. Pertes de charge linéaires (ou régulières)
Elles sont dues aux frottements du fluide sur les parois internes de la tuyauterie. Plus le tuyau est long et rugueux, et plus la vitesse est élevée, plus ces pertes sont importantes. On les calcule avec l'équation de Darcy-Weisbach : \[ \Delta P_{\text{lin}} = \lambda \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho V^2}{2} \] Où \(\lambda\) est le coefficient de perte de charge linéaire, \(L\) la longueur du tuyau, \(D\) son diamètre, \(\rho\) la masse volumique du fluide et \(V\) sa vitesse.

2. Pertes de charge singulières
Elles sont causées par les "accidents" de parcours : coudes, vannes, tés, élargissements, radiateurs, etc. Chaque accident est caractérisé par un coefficient \(\zeta\). La perte de charge est la somme des pertes de chaque singularité : \[ \Delta P_{\text{sing}} = \left( \sum \zeta_i \right) \cdot \frac{\rho V^2}{2} \]

Correction : Calcul des Pertes de Charge dans un Circuit de Chauffage

Question 1 : Calcul de la section et de la vitesse

Principe (le concept physique)

La vitesse du fluide est un paramètre clé. Elle se déduit du débit volumique (la quantité de fluide passant par seconde) et de la section (la surface intérieure) du tuyau. La relation est simple : plus le tuyau est large pour un même débit, plus le fluide s'écoule lentement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce calcul repose sur le principe de conservation de la masse, qui pour un fluide incompressible comme l'eau, se simplifie en conservation du débit volumique. Le débit \(Q_{\text{v}}\) (en m³/s) est constant tout au long d'un circuit sans embranchement. Il est égal au produit de la vitesse moyenne du fluide \(V\) (en m/s) par la section transversale de la conduite \(A\) (en m²).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape de tout calcul en hydraulique est de s'assurer que toutes les unités sont cohérentes. Le Système International (mètres, kilogrammes, secondes) est la référence. Convertir les débits (souvent en L/h ou m³/h) en m³/s et les diamètres (souvent en mm) en mètres est une étape cruciale qui évite 90% des erreurs de calcul.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul ne fait pas appel à une norme spécifique (comme un Eurocode) mais découle des lois fondamentales de la mécanique des fluides, universellement appliquées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation Vitesse-Débit

\[ V = \frac{Q_{\text{v}}}{A} \]

Formule de la Section Circulaire

\[ A = \frac{\pi D_{\text{i}}^2}{4} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère un écoulement stationnaire où le débit est constant en tout point du circuit. Le fluide (eau) est considéré comme incompressible.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé pour cette question spécifique.

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique requis\(Q_{\text{v}}\)1.2\(\text{m}^3\text{/h}\)
Diamètre intérieur du tube\(D_{\text{i}}\)26\(\text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les circuits de chauffage résidentiels, une vitesse d'eau comprise entre 0.5 m/s et 1.5 m/s est généralement recherchée. Une vitesse trop faible peut causer des problèmes de désembouage, tandis qu'une vitesse trop élevée peut générer des bruits et une érosion des tuyauteries. Calculer un ordre de grandeur mentalement permet de vite vérifier la plausibilité du résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Section de la canalisation
RVitesse (V)
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du débit volumique (Qv)

\[ \begin{aligned} Q_{\text{v}} &= 1.2 \text{ m}^3\text{/h} \\ &= \frac{1.2}{3600} \text{ m}^3\text{/s} \\ &\Rightarrow Q_{\text{v}} \approx 3.33 \times 10^{-4} \text{ m}^3\text{/s} \end{aligned} \]

Conversion du diamètre intérieur (Di)

\[ \begin{aligned} D_{\text{i}} &= 26 \text{ mm} \\ &= 0.026 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la section (A)

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.026 \text{ m})^2}{4} \\ &\Rightarrow A \approx 5.31 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse (V)

\[ \begin{aligned} V &= \frac{3.33 \times 10^{-4} \text{ m}^3\text{/s}}{5.31 \times 10^{-4} \text{ m}^2} \\ &\Rightarrow V \approx 0.627 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la vitesse
V ≈ 0.63 m/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vitesse de 0.63 m/s est tout à fait dans la plage habituelle pour ce type d'installation. Cela confirme que le diamètre de la tuyauterie est bien adapté au débit requis, ce qui est un bon point de départ.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le rayon au carré dans la formule de la section (\(\pi R^2\)) ou d'oublier le facteur 4 si on utilise le diamètre (\(\pi D^2 / 4\)). Une autre source d'erreur est la conversion des unités, en particulier du débit.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour maîtriser cette question, retenez :

  • La relation fondamentale : \(Q_{\text{v}} = V \times A\).
  • La formule de la section d'un cercle : \(A = \pi D^2 / 4\).
  • La nécessité absolue de travailler en unités du Système International.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le principe de conservation du débit est une simplification de l'équation de continuité de la masse. C'est grâce à ce même principe que l'on peut augmenter la vitesse d'un fluide en réduisant la section, comme dans une lance d'arrosage. C'est l'effet Venturi, du nom du physicien italien Giovanni Battista Venturi.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas utiliser directement les m³/h et les mm ?

Parce que les unités fondamentales de la physique (force en Newtons, énergie en Joules, pression en Pascals) sont toutes définies à partir du mètre, du kilogramme et de la seconde. Utiliser d'autres unités dans les formules mènerait à des résultats incohérents sans facteurs de conversion complexes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse de l'eau dans la canalisation est d'environ 0.63 m/s.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un projet de rénovation, le débit doit être augmenté à 1.5 m³/h. Quelle serait la nouvelle vitesse de l'eau dans le même tuyau ?

Question 2 : Calcul du Nombre de Reynolds

Principe (le concept physique)

Le Nombre de Reynolds (Re) est un nombre sans dimension crucial qui nous renseigne sur la nature de l'écoulement. Est-il calme et ordonné (laminaire, Re < 2300) ou chaotique et tourbillonnaire (turbulent, Re > 4000) ? Cette distinction est fondamentale car le calcul des frottements en dépend directement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le nombre de Reynolds compare les forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons et le chaos) aux forces de viscosité (qui tendent à amortir le mouvement et à le garder régulier). Quand les forces d'inertie dominent (haute vitesse, grand diamètre), l'écoulement devient turbulent.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Retenez bien les seuils classiques : en dessous de 2300, l'écoulement est presque toujours laminaire. Au-dessus de 4000, il est turbulent. Entre les deux, c'est une zone de transition instable. En chauffage, on est quasi systématiquement en régime turbulent.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul du nombre de Reynolds est une étape standardisée dans toutes les méthodologies de calcul de pertes de charge, y compris celles décrites dans les manuels techniques comme le ASHRAE Handbook.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du Nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{\rho V D_{\text{i}}}{\mu} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Le fluide est Newtonien (sa viscosité ne dépend pas des contraintes). Les propriétés du fluide (\(\rho\) et \(\mu\)) sont considérées comme constantes sur tout le circuit.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On reprend les données du fluide et le résultat de la question 1.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique\(\rho\)983.2\(\text{kg/m}^3\)
Viscosité dynamique\(\mu\)0.467 x 10⁻³\(\text{Pa.s}\)
Diamètre intérieur\(D_{\text{i}}\)0.026\(\text{m}\)
Vitesse de l'eau\(V\)0.627\(\text{m/s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une autre forme de la formule utilise la viscosité cinématique \(\nu = \mu / \rho\). La formule devient \(Re = V D_{\text{i}} / \nu\). Cela peut parfois simplifier les calculs si \(\nu\) est directement disponible dans les tables.

Schéma (Avant les calculs)
Régimes d'écoulement
Laminaire (Re < 2300)Turbulent (Re > 4000)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du Nombre de Reynolds

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{\rho V D_{\text{i}}}{\mu} \\ &= \frac{983.2 \times 0.627 \times 0.026}{0.467 \times 10^{-3}} \\ &\Rightarrow Re \approx 34388 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position du Nombre de Reynolds
LaminaireTransitionTurbulent23004000Re ≈ 34388
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le Nombre de Reynolds est de 34388. Comme \(Re > 4000\), l'écoulement est clairement turbulent. Cela signifie que les frottements seront plus importants que si l'écoulement était laminaire et qu'ils dépendront aussi de la rugosité du tuyau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la viscosité dynamique (\(\mu\), en Pa.s) et non la viscosité cinématique (\(\nu\), en m²/s) si votre formule contient la masse volumique \(\rho\). Les deux sont liées par \(\nu = \mu / \rho\). Confondre les deux est une erreur fréquente.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Maîtrisez la formule \(Re = \rho V D / \mu\) et les ordres de grandeur des régimes d'écoulement. Comprenez que le régime turbulent est le standard en CVC.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept a été introduit par George Stokes en 1851, mais c'est Osborne Reynolds qui l'a popularisé vers 1883 en montrant expérimentalement la transition entre les régimes laminaire et turbulent. Ses expériences consistaient à injecter un filet d'encre dans un écoulement d'eau dans un tube transparent.

FAQ (pour lever les doutes)
Le nombre de Reynolds a-t-il une unité ?

Non, c'est un nombre adimensionnel. Si vous faites l'analyse dimensionnelle de la formule \((\text{kg/m³} \cdot \text{m/s} \cdot \text{m}) / (\text{Pa.s})\), vous verrez que toutes les unités s'annulent (sachant que 1 Pa = 1 kg/(m·s²)).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le Nombre de Reynolds est d'environ 34 388, ce qui indique un régime d'écoulement turbulent.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Que deviendrait le nombre de Reynolds si l'on utilisait une huile avec \(\mu = 40 \times 10^{-3}\) Pa.s et \(\rho = 850\) kg/m³ à la même vitesse ?

Question 3 : Détermination du coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\)

Principe (le concept physique)

Le coefficient \(\lambda\) (lambda), aussi appelé facteur de friction de Darcy, quantifie l'intensité des frottements. En régime turbulent, il ne dépend pas que de la viscosité (via Re) mais aussi de la "granularité" de la paroi du tuyau, appelée rugosité relative (\(\epsilon/D\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour trouver \(\lambda\), la référence est l'équation de Colebrook-White. Cette équation est dite "implicite" : on ne peut pas isoler \(\lambda\) directement. Pour la résoudre, on doit procéder par itérations successives : on part d'une estimation de \(\lambda\), on calcule un nouveau \(\lambda\), puis on recommence avec cette nouvelle valeur jusqu'à ce que le résultat se stabilise.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul itératif peut sembler complexe, mais il illustre bien le processus de résolution numérique. L'objectif est de trouver la valeur de \(\lambda\) qui satisfait l'équation. En pratique, deux ou trois itérations suffisent pour obtenir une excellente précision.

Normes (la référence réglementaire)

L'équation de Colebrook-White est la base de la plupart des normes et codes de calcul en mécanique des fluides pour les écoulements en charge, notamment pour le dimensionnement des réseaux hydrauliques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de Colebrook-White

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D_{\text{i}}}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère que la rugosité du cuivre est uniforme sur toute la longueur du tuyau.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise le Reynolds calculé et les données de la tuyauterie.

ParamètreSymboleValeurUnité
Rugosité du cuivre\(\epsilon\)0.0015\(\text{mm}\)
Diamètre intérieur\(D_{\text{i}}\)26\(\text{mm}\)
Nombre de Reynolds\(Re\)34388-
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour démarrer les itérations, il faut une première estimation de \(\lambda\). Une bonne estimation de départ, \(\lambda_0\), peut être obtenue avec la formule de Blasius pour les tubes lisses : \(\lambda_0 = 0.3164 \cdot Re^{-0.25}\). Une bonne première estimation permet de converger plus vite vers la solution finale.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Moody simplifié
Nombre de Reynolds (Re) Facteur de Friction (λ) Tuyau lisse ε/D faible ε/D élevé Laminaire Turbulent Transition
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de la rugosité relative

\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D_{\text{i}}} &= \frac{0.0015 \text{ mm}}{26 \text{ mm}} \\ &\Rightarrow \frac{\epsilon}{D_{\text{i}}} \approx 5.77 \times 10^{-5} \end{aligned} \]

Étape 2 : Estimation initiale (\(\lambda_0\)) avec la formule de Blasius

\[ \begin{aligned} \lambda_0 &= 0.3164 \times (34388)^{-0.25} \\ &= 0.3164 \times (0.0734) \\ &\Rightarrow \lambda_0 \approx 0.0232 \end{aligned} \]

Étape 3 : Itération 1 (calcul de \(\lambda_1\))

On injecte \(\lambda_0 = 0.0232\) dans la partie droite de l'équation de Colebrook.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{5.77 \times 10^{-5}}{3.7} + \frac{2.51}{34388 \sqrt{0.0232}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 1.56 \times 10^{-5} + \frac{2.51}{34388 \times 0.1523} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 1.56 \times 10^{-5} + 4.79 \times 10^{-4} \right) \\ &= -2 \log_{10} (4.946 \times 10^{-4}) \\ &\approx 6.61 \\ \lambda_1 &= \frac{1}{(6.61)^2} \Rightarrow \lambda_1 \approx 0.0229 \end{aligned} \]

Étape 4 : Itération 2 (calcul de \(\lambda_2\))

On recommence avec la nouvelle valeur \(\lambda_1 = 0.0229\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{5.77 \times 10^{-5}}{3.7} + \frac{2.51}{34388 \sqrt{0.0229}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 1.56 \times 10^{-5} + \frac{2.51}{34388 \times 0.1513} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 1.56 \times 10^{-5} + 4.82 \times 10^{-4} \right) \\ &= -2 \log_{10} (4.976 \times 10^{-4}) \\ &\approx 6.606 \\ \lambda_2 &= \frac{1}{(6.606)^2} \Rightarrow \lambda_2 \approx 0.0229 \end{aligned} \]

La valeur de \(\lambda\) a convergé. On adopte \(\lambda = 0.0229\).

Schéma (Après les calculs)
Localisation de λ sur le diagramme de Moody
Nombre de Reynolds (Re)Facteur de friction (λ)ε/D ≈ 5.8e-5Re=34388λ≈0.0229
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un coefficient \(\lambda\) de 0.0229 est une valeur typique pour un écoulement turbulent dans un tuyau en cuivre relativement lisse. Si nous avions eu un tuyau en acier galvanisé (plus rugueux), cette valeur aurait été plus élevée pour le même Reynolds.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention, la rugosité \(\epsilon\) et le diamètre \(D_{\text{i}}\) doivent être dans la même unité (mm ou m) pour que le rapport \(\epsilon/D_{\text{i}}\) soit sans dimension. De plus, ne confondez pas le logarithme décimal (\(\log_{10}\) ou \(\log\)) et le logarithme népérien (\(\ln\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'essentiel est de retenir que pour un écoulement turbulent, le facteur de friction \(\lambda\) dépend à la fois du nombre de Reynolds et de la rugosité relative. C'est la principale différence avec le régime laminaire où \(\lambda = 64/Re\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le diagramme de Moody, publié en 1944 par Lewis Ferry Moody, est l'un des graphiques les plus célèbres et les plus utiles en ingénierie hydraulique. Il a permis à des générations d'ingénieurs de résoudre l'équation de Colebrook graphiquement, bien avant l'avènement des calculatrices programmables.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il autant de formules pour \(\lambda\) ?

L'équation de Colebrook étant implicite, de nombreux chercheurs ont proposé des formules explicites (comme celle de Haaland ou Swamee-Jain, que nous n'avons pas utilisées ici) pour l'approcher avec une grande précision, afin de simplifier les calculs manuels ou informatiques.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) est d'environ 0.0229.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le tuyau était en acier galvanisé avec une rugosité \(\epsilon = 0.15\) mm, quelle serait la nouvelle valeur de \(\lambda\) (tous les autres paramètres inchangés) ?

Question 4 : Calcul des pertes de charge linéaires

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous avons tous les ingrédients (\(\lambda\), L, D, V, \(\rho\)), nous pouvons appliquer directement l'équation de Darcy-Weisbach pour trouver la perte d'énergie totale, exprimée en pression (Pascals), due aux frottements sur les 50 mètres de tuyauterie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de Darcy-Weisbach montre que la perte de pression est proportionnelle au coefficient de friction \(\lambda\), à la longueur L, et au carré de la vitesse V. Elle est inversement proportionnelle au diamètre D. Le terme \(\rho V^2 / 2\) est appelé "pression dynamique" et représente l'énergie cinétique du fluide par unité de volume.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Observez l'impact de chaque paramètre : doubler la longueur double les pertes. Mais doubler la vitesse les quadruple ! C'est pourquoi on évite les vitesses excessives dans les réseaux. Augmenter le diamètre, en revanche, réduit considérablement les pertes de charge.

Normes (la référence réglementaire)

Cette formule est la pierre angulaire de tout calcul de réseau en charge, reconnue et utilisée par toutes les normes et réglementations techniques du domaine.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de Darcy-Weisbach

\[ \Delta P_{\text{lin}} = \lambda \cdot \frac{L}{D_{\text{i}}} \cdot \frac{\rho V^2}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le diamètre et la rugosité sont constants sur toute la longueur L du circuit.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous rassemblons toutes les données calculées et fournies nécessaires.

ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de friction\(\lambda\)0.0229-
Longueur du tube\(L\)50\(\text{m}\)
Diamètre intérieur\(D_{\text{i}}\)0.026\(\text{m}\)
Masse volumique\(\rho\)983.2\(\text{kg/m}^3\)
Vitesse de l'eau\(V\)0.627\(\text{m/s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour des calculs itératifs, il est pratique de pré-calculer le terme de pression dynamique \(\rho V^2 / 2\), car il sera réutilisé pour les pertes de charge singulières.

Schéma (Avant les calculs)
Frottement dans un tuyau
Longueur LÉcoulementFrottement
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul des pertes de charge linéaires

\[ \begin{aligned} \Delta P_{\text{lin}} &= \lambda \cdot \frac{L}{D_{\text{i}}} \cdot \frac{\rho V^2}{2} \\ &= 0.0229 \times \frac{50}{0.026} \times \frac{983.2 \times (0.627)^2}{2} \\ &\approx 44.04 \times 193.1 \\ &\Rightarrow \Delta P_{\text{lin}} \approx 8503 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Chute de pression le long du tuyau
Tuyau (Longueur L)Pression P1Pression P2ΔP lin
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une perte de 8503 Pa correspond à environ 0.085 bar. C'est la pression "consommée" par les frottements le long de la tuyauterie. Cette valeur, seule, ne signifie pas grand-chose ; elle doit être comparée aux pertes singulières pour juger de son importance relative.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur est de mal gérer les unités. Assurez-vous que L et D sont en mètres. Une autre erreur est d'oublier d'élever la vitesse V au carré, ce qui fausserait radicalement le résultat.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'équation de Darcy-Weisbach est l'outil central pour les pertes de charge linéaires. Chaque terme a une signification physique claire : \(\lambda\) pour le frottement, \(L/D\) pour la géométrie du tube, et \(\rho V^2 / 2\) pour l'énergie cinétique du fluide.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Henry Darcy était un ingénieur français qui, dans les années 1850, a mené des expériences sur l'écoulement de l'eau à travers des lits de sable pour le système de fontaines de la ville de Dijon. Ses travaux ont jeté les bases de l'hydrodynamique moderne et de la loi qui porte son nom.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle valable pour tous les fluides ?

Oui, à condition que l'écoulement soit monophasique (uniquement liquide ou uniquement gaz) et en charge (le tuyau est plein). Il faut simplement utiliser les bonnes valeurs de masse volumique (\(\rho\)) et de viscosité (\(\mu\)) pour le fluide en question.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes de charge linéaires s'élèvent à environ 8503 Pa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la longueur du circuit était de 75 m au lieu de 50 m, quelle serait la nouvelle perte de charge linéaire en Pa ?

Question 5 : Calcul des pertes de charge singulières

Principe (le concept physique)

Il faut maintenant quantifier l'énergie perdue dans les "obstacles" (coudes, vannes, radiateurs...). Chaque obstacle perturbe l'écoulement, créant des tourbillons qui dissipent de l'énergie. On modélise cet effet en additionnant les coefficients de perte de charge (\(\zeta\)) de tous les éléments singuliers.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les coefficients \(\zeta\) sont déterminés expérimentalement et sont fournis par les fabricants ou disponibles dans des manuels de référence. Ils sont adimensionnels. La perte de charge pour chaque singularité est proportionnelle à l'énergie cinétique du fluide (\(\rho V^2 / 2\)), tout comme les pertes linéaires.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dans un circuit avec de nombreux accidents et peu de longueur droite, les pertes de charge singulières peuvent devenir prépondérantes par rapport aux pertes linéaires. Ne les négligez jamais, même si leur calcul semble plus simple.

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs des coefficients \(\zeta\) sont souvent standardisées dans des normes (ex: normes ISO) ou des documents techniques de référence pour garantir l'uniformité des calculs entre ingénieurs.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule des pertes de charge singulières

\[ \Delta P_{\text{sing}} = \left( \sum \zeta_i \right) \cdot \frac{\rho V^2}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la vitesse de l'eau est la même à l'approche de chaque singularité, car le diamètre du tuyau ne change pas.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On reprend les données de l'énoncé concernant les singularités.

ParamètreSymboleValeurUnité
Nombre de coudes-12-
Coeff. \(\zeta\) d'un coude\(\zeta_{\text{coude}}\)1.5-
Coeff. \(\zeta\) du radiateur\(\zeta_{\text{rad}}\)4.0-
Pression dynamique\(\rho V^2/2\)193.1\(\text{Pa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une méthode alternative est la "longueur équivalente". Chaque singularité est assimilée à une longueur de tuyau droit qui produirait la même perte de charge. On ajoute alors ces longueurs équivalentes à la longueur réelle du circuit et on ne calcule qu'une seule perte de charge "linéaire" globale.

Schéma (Avant les calculs)
Écoulement dans un coude
Turbulence
Calcul(s) (l'application numérique)

Somme des coefficients \(\zeta\)

\[ \begin{aligned} \sum \zeta_i &= (12 \times \zeta_{\text{coude}}) + \zeta_{\text{rad}} \\ &= (12 \times 1.5) + 4.0 \\ &= 18 + 4 = 22 \end{aligned} \]

Calcul des pertes de charge singulières

\[ \begin{aligned} \Delta P_{\text{sing}} &= \left( \sum \zeta_i \right) \cdot \frac{\rho V^2}{2} \\ &= 22 \times \frac{983.2 \times (0.627)^2}{2} \\ &\approx 22 \times 193.1 \\ &\Rightarrow \Delta P_{\text{sing}} \approx 4248 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contribution aux Pertes Singulières
Répartition des ζCoudes18.0Radiateur4.0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les pertes singulières (4248 Pa) représentent environ la moitié des pertes linéaires (8503 Pa). Elles sont donc loin d'être négligeables et constituent une part significative de la perte de charge totale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez aucune singularité ! Il est facile d'omettre une vanne, un té, ou un clapet anti-retour dans le décompte. Faites une liste exhaustive de tous les composants du circuit avant de commencer le calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le calcul des pertes singulières se résume à deux étapes : 1. Sommer tous les coefficients \(\zeta\) du circuit. 2. Multiplier cette somme par la pression dynamique \(\rho V^2 / 2\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Certains composants, comme les vannes à passage direct (vannes à boisseau sphérique), ont un \(\zeta\) très faible lorsqu'elles sont complètement ouvertes. À l'inverse, une vanne à soupape, même ouverte, peut avoir un \(\zeta\) très élevé car elle force le fluide à effectuer un parcours tortueux.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment fait-on si le diamètre change dans le circuit ?

Si le diamètre change, la vitesse change également. Il faut alors calculer les pertes de charge (linéaires et singulières) séparément pour chaque tronçon ayant un diamètre différent, en utilisant la vitesse correspondante pour chaque tronçon.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes de charge singulières s'élèvent à environ 4248 Pa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'on remplaçait le radiateur par un modèle plus performant mais plus restrictif, avec un \(\zeta_{\text{rad}} = 7.0\), quelle serait la nouvelle perte de charge singulière en Pa ?

Question 6 : Perte de charge totale et HMT

Principe (le concept physique)

La perte de charge totale est simplement la somme des pertes linéaires et singulières. Cette valeur en Pascals représente la pression que la pompe doit fournir. Pour faciliter le choix des pompes, on convertit cette pression en une hauteur équivalente de colonne d'eau (HMT).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La HMT (Hauteur Manométrique Totale) est la "hauteur" que l'eau atteindrait si toute l'énergie de pression fournie par la pompe était utilisée pour la soulever verticalement. C'est une unité très pratique pour les techniciens, car elle est plus intuitive qu'une pression en Pascals et directement comparable aux courbes de performance des circulateurs.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul de la HMT est l'aboutissement de tout le travail précédent. C'est la valeur clé qui permettra de sélectionner le bon circulateur dans le catalogue d'un fabricant, en s'assurant que pour le débit souhaité (\(Q_{\text{v}}\)), la pompe fournit bien une HMT supérieure ou égale à celle calculée.

Normes (la référence réglementaire)

Le dimensionnement des pompes basé sur le calcul de la HMT est la méthode standard dans toutes les règles de l'art et DTU (Documents Techniques Unifiés) relatifs aux installations de chauffage.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la perte de charge totale

\[ \Delta P_{\text{tot}} = \Delta P_{\text{lin}} + \Delta P_{\text{sing}} \]

Formule de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

\[ HMT = \frac{\Delta P_{\text{tot}}}{\rho \cdot g} \quad \text{avec } g \approx 9.81 \text{ m/s}^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige les différences de hauteur géométrique dans le circuit, car il s'agit d'une boucle fermée. La pompe ne lutte que contre les frottements, pas contre la gravité.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les résultats des questions 4 et 5.

ParamètreSymboleValeurUnité
Pertes de charge linéaires\(\Delta P_{\text{lin}}\)8503\(\text{Pa}\)
Pertes de charge singulières\(\Delta P_{\text{sing}}\)4248\(\text{Pa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une conversion rapide, retenez qu'une pression de 1 bar correspond environ à 10 mCE. Donc, 10 000 Pa (0.1 bar) correspondent environ à 1 mCE. Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre HMT à partir de la pression en Pascals.

Schéma (Avant les calculs)
Composition de la Perte de Charge Totale
ΔP linΔP sing+=ΔP tot
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la perte de charge totale en Pascals

\[ \begin{aligned} \Delta P_{\text{tot}} &= \Delta P_{\text{lin}} + \Delta P_{\text{sing}} \\ &= 8503 \text{ Pa} + 4248 \text{ Pa} \\ &= 12751 \text{ Pa} \end{aligned} \]

Conversion en HMT (mCE)

\[ \begin{aligned} HMT &= \frac{\Delta P_{\text{tot}}}{\rho \cdot g} \\ &= \frac{12751}{983.2 \times 9.81} \\ &\approx \frac{12751}{9645} \\ &\Rightarrow HMT \approx 1.32 \text{ mCE} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Courbes Pompe & Réseau et Point de Fonctionnement
Débit (Qv) HMT (mCE) Courbe de Pompe Courbe de Réseau Qv = 1.2 m³/h 1.32 mCE Point de Fonctionnement
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La pompe (circulateur) devra donc fournir une pression d'au moins 12751 Pa, soit une HMT de 1.32 m, pour assurer le débit de 1.2 m³/h. On choisira un circulateur dont le point de fonctionnement se situe légèrement au-dessus de cette valeur pour avoir une marge de sécurité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne confondez pas la pression en Pascals (une force par unité de surface) et la HMT en mCE (une hauteur). Les deux représentent la même énergie, mais dans des unités différentes. Les fiches techniques des pompes sont presque toujours en mCE (ou m).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La perte de charge totale est la somme simple des pertes linéaires et singulières. La HMT s'obtient en divisant cette pression totale par \(\rho \cdot g\). C'est la valeur finale à comparer aux spécifications des circulateurs.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les circulateurs modernes sont souvent "à vitesse variable". Ils sont capables d'adapter leur vitesse de rotation (et donc leur courbe de performance) pour correspondre exactement au besoin du réseau, ce qui permet de réaliser d'importantes économies d'énergie par rapport aux anciens circulateurs à 3 vitesses fixes.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi divise-t-on par \(\rho \cdot g\) ?

C'est l'application de la loi fondamentale de l'hydrostatique, \(P = \rho \cdot g \cdot h\), qui relie la pression \(P\) au fond d'une colonne de fluide à sa hauteur \(h\), sa masse volumique \(\rho\) et l'accélération de la pesanteur \(g\). En l'inversant, on trouve la hauteur \(h\) (ici, la HMT) correspondant à une pression \(P\) donnée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La perte de charge totale du circuit est de 12 751 Pa. Le circulateur devra avoir une HMT d'au moins 1.32 mCE.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la perte de charge totale était de 20 000 Pa, quelle serait la HMT requise en mCE ?

Outil Interactif : Courbe de réseau

Utilisez ce simulateur pour visualiser comment la perte de charge totale (HMT) évolue en fonction du débit souhaité dans le circuit. C'est ce qu'on appelle la "courbe de réseau".

Paramètres du Circuit
50 m
22
Résultats pour un débit de 1.2 m³/h
Perte de charge Linéaire (Pa) -
HMT Totale (mCE) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À quoi sont principalement dues les pertes de charge linéaires ?

2. Si la vitesse de l'eau dans un tuyau double, comment évoluent approximativement les pertes de charge ?

3. Un Nombre de Reynolds élevé (ex: > 4000) caractérise un écoulement de type :

Perte de Charge
Perte d'énergie (exprimée en pression ou en hauteur de fluide) subie par un fluide en mouvement, due aux frottements (linéaires) et aux obstacles (singulières).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension qui permet de déterminer le régime d'écoulement d'un fluide (laminaire, transitoire ou turbulent). Il compare les forces d'inertie aux forces visqueuses.
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
C'est l'énergie totale, exprimée en mètres de colonne de fluide (ex: mCE pour l'eau), que la pompe doit fournir au fluide pour compenser l'ensemble des pertes de charge du circuit à un débit donné.
Coefficient \(\zeta\) (Zeta)
Coefficient sans dimension qui caractérise la perte de charge générée par un élément singulier (coude, vanne, etc.). Il est déterminé expérimentalement.
Exercice : Pertes de Charge Hydrauliques

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