Perte de Charge Totale d'une Tuyauterie Simple

Contexte : L'écoulement de l'eau dans les canalisations.

En hydraulique, et notamment dans les domaines liés à la topographie comme l'adduction d'eau potable ou l'assainissement, il est crucial de comprendre et de quantifier l'énergie perdue par un fluide lorsqu'il s'écoule dans une tuyauterie. Cette perte d'énergie, appelée perte de chargeDiminution de la pression d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) et aux obstacles comme les coudes ou vannes (pertes singulières)., est due aux frottements du fluide contre les parois de la conduite (pertes de charge linéaires) et aux obstacles qui perturbent l'écoulement, tels que les coudes, les vannes ou les changements de section (pertes de charge singulières). Le calcul précis de ces pertes est indispensable pour dimensionner correctement les pompes ou pour s'assurer qu'un écoulement gravitaire est possible.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes fondamentales du calcul de la perte de charge totale dans un système de tuyauterie simple, en appliquant les principes de la mécanique des fluides et les formules standards de l'industrie.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la distinction entre pertes de charge linéaires et singulières.
Appliquer la formule de Darcy-Weisbach pour le calcul des pertes de charge linéaires.
Calculer le nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide (laminaire ou turbulent). pour déterminer la nature de l'écoulement.
Déterminer le facteur de frottementCoefficient sans dimension utilisé dans l'équation de Darcy-Weisbach, qui dépend de la rugosité de la conduite et du nombre de Reynolds. à l'aide d'une approximation de la formule de Colebrook-White.
Calculer l'énergie totale dissipée dans une conduite simple.

Données de l'étude

On étudie un système d'adduction d'eau. L'eau à 10°C est transportée d'un point A à un point B via une conduite en fonte. Le système est représenté schématiquement ci-dessous.

Schéma de l'installation de tuyauterie

Caractéristique	Symbole	Valeur
Débit volumique	\(Q\)	20 L/s
Diamètre intérieur de la conduite	\(D\)	100 mm
Longueur totale de la conduite	\(L\)	150 m
Matériau de la conduite	-	Fonte
Rugosité absolue de la fonte	\(\epsilon\)	0.26 mm
Viscosité cinématique de l'eau à 10°C	\(\nu\)	\(1.3 \times 10^{-6}\) m²/s
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81 m/s²
Accessoires sur la ligne	\(\sum K\)	2 coudes standard 90° (\(K=0.9\)) et 1 vanne à opercule ouverte (\(K=0.2\))

Questions à traiter

Calculer la vitesse de l'écoulement (\(V\)) et le nombre de Reynolds (\(Re\)).
Déterminer le facteur de frottement (\(f\)) en utilisant une approximation de la formule de Colebrook-White.
Calculer les pertes de charge linéaires (\(h_f\)).
Calculer la somme des pertes de charge singulières (\(h_s\)).
Déterminer la perte de charge totale (\(H_T\)) du système.

Les bases sur les Pertes de Charge

La perte de charge totale (\(H_T\)) dans une conduite est la somme des pertes de charge linéaires (\(h_f\)) et des pertes de charge singulières (\(h_s\)).

1. Régime d'écoulement et Nombre de Reynolds (\(Re\))
Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension qui permet de déterminer si un écoulement est laminaire (faibles vitesses, filets de fluides parallèles) ou turbulent (hautes vitesses, tourbillons). \[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \] Où \(V\) est la vitesse (m/s), \(D\) le diamètre (m) et \(\nu\) la viscosité cinématique (m²/s). Si \(Re < 2000\), l'écoulement est laminaire. Si \(Re > 4000\), il est turbulent.

2. Pertes de Charge Linéaires (\(h_f\)) et Équation de Darcy-Weisbach
Elles sont dues au frottement du fluide sur la longueur de la canalisation. On les calcule avec l'équation de Darcy-Weisbach : \[ h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \] Où \(f\) est le facteur de frottement, \(L\) la longueur (m), \(D\) le diamètre (m), \(V\) la vitesse (m/s) et \(g\) l'accélération de la pesanteur (m/s²).

3. Pertes de Charge Singulières (\(h_s\))
Elles sont localisées au niveau des accidents de tuyauterie (coudes, vannes, etc.). Chaque singularité est caractérisée par un coefficient de perte de charge K. \[ h_s = \sum K \cdot \frac{V^2}{2g} \] Où \(\sum K\) est la somme des coefficients de tous les accidents de la conduite.

Correction : Perte de Charge Totale d’une Tuyauterie Simple

Question 1 : Calculer la vitesse (\(V\)) et le nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe

La première étape consiste à déterminer les caractéristiques de base de l'écoulement. La vitesse est directement liée au débit et à la section de la conduite (principe de conservation de la masse). Le nombre de Reynolds nous indiquera ensuite si l'écoulement est calme (laminaire) ou agité (turbulent), ce qui est crucial pour la suite des calculs.

Mini-Cours

L'équation de continuité pour un fluide incompressible (\(Q = V \times A\)) stipule que le débit est constant. Le nombre de Reynolds compare physiquement les forces d'inertie (qui tendent à créer le chaos, la turbulence) aux forces de viscosité (qui tendent à amortir le mouvement et à le garder ordonné, laminaire). Un Re élevé signifie que l'inertie domine, d'où la turbulence.

Remarque Pédagogique

Commencez toujours par ces calculs préliminaires. Ils posent les fondations de toute l'étude. Une erreur ici se répercutera sur tous les résultats suivants. La détermination correcte du régime d'écoulement (laminaire ou turbulent) est l'étape la plus importante.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul de base, mais les valeurs des propriétés des fluides (comme la viscosité de l'eau en fonction de la température) sont standardisées dans des tables de référence internationales (par exemple, IAPWS - International Association for the Properties of Water and Steam).

Formule(s)

Formule de la vitesse

V = \frac{Q}{A} \quad \text{avec} \quad A = \frac{\pi D^2}{4}

Formule du Nombre de Reynolds

Re = \frac{V \cdot D}{\nu}

Hypothèses

Pour ces calculs, nous posons les hypothèses suivantes :

Le fluide (eau) est incompressible.
L'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
La vitesse est uniforme sur la section de la conduite (une approximation pour le calcul de la vitesse moyenne).

Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	20	L/s
Diamètre intérieur	\(D\)	100	mm
Viscosité cinématique	\(\nu\)	\(1.3 \times 10^{-6}\)	m²/s

Astuces

Dans les systèmes d'adduction d'eau courants, les vitesses sont généralement comprises entre 0.5 et 3 m/s. Si votre calcul de vitesse tombe très en dehors de cette plage, vérifiez vos unités !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la vitesse dans la conduite

Calcul(s)

1. Conversions des unités

Nous devons d'abord convertir le débit et le diamètre en unités du Système International (m³/s et m). Commençons par le débit :

\begin{aligned} Q &= 20 \text{ L/s} \\ &= 20 \times 10^{-3} \text{ m}^3\text{/s} \\ &= 0.02 \text{ m}^3\text{/s} \end{aligned}

Puis, on convertit le diamètre :

\begin{aligned} D &= 100 \text{ mm} \\ &= 0.1 \text{ m} \end{aligned}

2. Calcul de la section (Aire) \(A\)

On utilise la formule de l'aire d'un disque \(A = \pi D^2 / 4\) avec la valeur du diamètre en mètres :

\begin{aligned} A &= \frac{\pi D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.1)^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.01}{4} \\ &\approx 0.007854 \text{ m}^2 \end{aligned}

La section de la conduite est donc d'environ 0.007854 m².

3. Calcul de la vitesse \(V\)

On utilise la relation Débit = Vitesse × Section (\(Q = V \times A\)), donc \(V = Q / A\). On utilise les valeurs en m³/s et m² :

\begin{aligned} V &= \frac{Q}{A} \\ &= \frac{0.02 \text{ m}^3\text{/s}}{0.007854 \text{ m}^2} \\ &\approx 2.546 \text{ m/s} \end{aligned}

La vitesse moyenne de l'eau dans la conduite est de 2.546 m/s.

4. Calcul du Nombre de Reynolds \(Re\)

On applique la formule \(Re = VD/\nu\) en insérant la vitesse calculée, le diamètre en mètres et la viscosité cinématique :

\begin{aligned} Re &= \frac{V \cdot D}{\nu} \\ &= \frac{2.546 \text{ m/s} \times 0.1 \text{ m}}{1.3 \times 10^{-6} \text{ m}^2\text{/s}} \\ &= \frac{0.2546}{1.3 \times 10^{-6}} \\ &\approx 195\ 846 \end{aligned}

Le nombre est adimensionnel (sans unité). Comme \(195\ 846 > 4000\), l'écoulement est turbulent.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du Régime Turbulent

Réflexions

Le nombre de Reynolds est de 195 846. Comme cette valeur est très supérieure à 4000, nous pouvons conclure que l'écoulement est en régime turbulent. Cette information est essentielle car le calcul du facteur de frottement en dépend.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est la conversion des unités. S'assurer que le débit est en m³/s et le diamètre en m avant tout calcul est impératif pour ne pas obtenir un résultat erroné de plusieurs ordres de grandeur.

Points à retenir

La vitesse se déduit du débit par la formule \(V=Q/A\).
Le nombre de Reynolds (\(Re = VD/\nu\)) est le critère qui définit le régime d'écoulement.
\(Re > 4000 \Rightarrow\) Écoulement Turbulent.

Le saviez-vous ?

L'expérience qui a permis de visualiser la transition entre l'écoulement laminaire et turbulent a été menée par l'ingénieur britannique Osborne Reynolds en 1883. Il injectait un filet d'encre dans un tube en verre transparent pour observer le comportement du fluide à différentes vitesses.

FAQ

Résultat Final

La vitesse d'écoulement est de 2.55 m/s et le nombre de Reynolds est de 195 846.

A vous de jouer

Si le débit était réduit à 5 L/s, quelle serait la nouvelle vitesse ?

Question 2 : Déterminer le facteur de frottement (\(f\))

Principe

Le facteur de frottement \(f\) quantifie la résistance à l'écoulement due à la rugosité des parois de la conduite. En régime turbulent, il dépend à la fois du nombre de Reynolds (l'intensité de la turbulence) et de la rugosité relative de la conduite (\(\epsilon/D\), l'importance des "obstacles" microscopiques de la paroi par rapport à la taille du tuyau).

Mini-Cours

La relation la plus précise pour le facteur de frottement en régime turbulent est l'équation de Colebrook-White. C'est une équation dite "implicite" : le terme \(f\) que l'on cherche apparaît des deux côtés de l'équation, ce qui signifie qu'on ne peut pas l'isoler directement. Pour la résoudre, on doit utiliser une méthode numérique par itérations successives : on part d'une estimation, on l'injecte dans la formule pour en obtenir une nouvelle, et on répète le processus jusqu'à ce que la valeur se stabilise (converge).

Remarque Pédagogique

Le choix de la bonne formule est dicté par le régime d'écoulement. Pour un écoulement laminaire, la formule serait beaucoup plus simple (\(f=64/Re\)). Comme nous sommes en turbulent, une formule plus complexe est nécessaire. La méthode itérative, bien que plus longue, est la référence pour obtenir un résultat précis.

Normes

Les valeurs de rugosité absolue (\(\epsilon\)) pour les différents matériaux de tuyauterie (fonte, PVC, acier...) sont tabulées dans les normes d'ingénierie et les manuels de mécanique des fluides. Il est important de choisir la valeur correspondant au matériau et à l'état du tuyau (neuf ou usé).

Formule(s)

Équation de Colebrook-White (implicite)

\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10}\left(\frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re\sqrt{f}}\right)

Formule de Haaland (pour l'estimation initiale)

\frac{1}{\sqrt{f_0}} \approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{\epsilon/D}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{Re}\right]

Hypothèses

Nous supposons que la valeur de rugosité de \(\epsilon = 0.26\) mm est uniforme et représentative de l'état de la conduite sur toute sa longueur.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de la question précédente et les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre de Reynolds	\(Re\)	195 846	-
Rugosité absolue	\(\epsilon\)	0.26	mm
Diamètre intérieur	\(D\)	100	mm

Astuces

Une bonne estimation initiale permet de converger plus rapidement vers la solution. La formule de Haaland est une excellente candidate pour cela. Généralement, 2 ou 3 itérations suffisent pour obtenir une précision excellente.

Schéma (Avant les calculs)

Concept de Rugosité Relative

Calcul(s)

1. Calcul de la rugosité relative (\(\epsilon/D\))

C'est le rapport entre la hauteur de la rugosité et le diamètre. Les deux doivent être dans la même unité (mm ou m). Ce rapport est adimensionnel.

\begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.26 \text{ mm}}{100 \text{ mm}} \\ &= 0.0026 \end{aligned}

2. Résolution de Colebrook-White par itérations

L'équation \(\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10}\left(\frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re\sqrt{f}}\right)\) ne peut pas être résolue directement. On utilise une valeur de départ (estimation) et on "affine" le résultat à chaque étape.

Étape 2a : Estimation initiale (\(f_0\)) avec Haaland

On utilise la formule de Haaland pour trouver un \(f_0\) proche de la réalité. On remplace \(\epsilon/D\) par 0.0026 et \(Re\) par 195 846 :

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f_0}} &\approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{\epsilon/D}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{Re}\right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{0.0026}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{195846}\right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}\left[(0.0007027)^{1.11} + 0.0000352\right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}\left[0.000185 + 0.0000352\right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}[0.0002202] \\ &\approx -1.8 \times (-3.657) \\ &\approx 6.5826 \end{aligned}

Maintenant, on isole \(f_0\) en prenant l'inverse au carré :

\begin{aligned} f_0 &\approx \left(\frac{1}{6.5826}\right)^2 \\ &\approx 0.02307 \end{aligned}

Notre première estimation est \(f_0 \approx 0.02307\).

Étape 2b : Itération 1 (Calcul de \(f_1\))

On injecte \(f_0 = 0.02307\) dans la partie droite de l'équation de Colebrook-White pour trouver une meilleure approximation, \(f_1\) :

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f_1}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.0026}{3.7} + \frac{2.51}{195846 \times \sqrt{0.02307}}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(0.0007027 + \frac{2.51}{195846 \times 0.1519}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(0.0007027 + \frac{2.51}{29749}\right) \\ &= -2 \log_{10}(0.0007027 + 0.00008437) \\ &= -2 \log_{10}(0.00078707) \\ &\approx 6.2078 \end{aligned}

On isole \(f_1\) :

\begin{aligned} f_1 &= \left(\frac{1}{6.2078}\right)^2 \\ &\approx 0.02595 \end{aligned}

Cette nouvelle valeur \(f_1 = 0.02595\) est différente de \(f_0\). On continue donc l'itération.

Étape 2c : Itération 2 (Calcul de \(f_2\))

On répète l'opération en injectant la nouvelle valeur \(f_1 = 0.02595\) dans la partie droite :

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f_2}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.0026}{3.7} + \frac{2.51}{195846 \times \sqrt{0.02595}}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(0.0007027 + \frac{2.51}{195846 \times 0.1611}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(0.0007027 + \frac{2.51}{31551}\right) \\ &= -2 \log_{10}(0.0007027 + 0.00007955) \\ &= -2 \log_{10}(0.00078225) \\ &\approx 6.2134 \end{aligned}

On isole \(f_2\) :

\begin{aligned} f_2 &= \left(\frac{1}{6.2134}\right)^2 \\ &\approx 0.02590 \end{aligned}

La valeur \(f_2 = 0.02590\) est très proche de \(f_1 = 0.02595\). On fait une dernière itération pour confirmer.

Étape 2d : Itération 3 (Calcul de \(f_3\))

On injecte \(f_2 = 0.02590\). On voit que la valeur converge (ne change presque plus).

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f_3}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.0026}{3.7} + \frac{2.51}{195846 \times \sqrt{0.02590}}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(0.0007027 + \frac{2.51}{31521}\right) \\ &= -2 \log_{10}(0.00078233) \\ &\approx 6.2132 \end{aligned}

On isole \(f_3\) :

\begin{aligned} f_3 &= \left(\frac{1}{6.2132}\right)^2 \\ &\approx 0.02590 \end{aligned}

Les valeurs de \(f_2\) et \(f_3\) sont identiques à quatre décimales près. Le calcul a convergé. On retient \(f \approx 0.0259\).

Schéma (Après les calculs)

Positionnement sur le Diagramme de Moody

Réflexions

La valeur de \(f_2\) est quasiment identique à \(f_3\). On peut donc considérer que le calcul a convergé et que la valeur du facteur de frottement est \(f \approx 0.0259\). Ce résultat est très proche de celui obtenu avec l'approximation de Swamee-Jain, ce qui valide cette dernière comme un excellent outil de calcul rapide.

Points de vigilance

Attention à la rugosité relative : \(\epsilon\) et \(D\) doivent être dans la même unité avant de faire le ratio. Ici, nous avons utilisé des mm pour les deux, ce qui est correct. Oublier cette étape est une source d'erreur classique.

Points à retenir

En turbulent, \(f\) dépend de \(Re\) et \(\epsilon/D\).
L'équation de Colebrook-White est la plus précise mais nécessite une résolution itérative.

Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, qui représente graphiquement le facteur de frottement, a été créé en 1944 par Lewis Ferry Moody. Il reste aujourd'hui un outil de base pour les ingénieurs hydraulicien·ne·s du monde entier, même à l'ère du calcul numérique.

FAQ

Résultat Final

Le facteur de frottement pour cet écoulement est \(f \approx 0.0259\).

A vous de jouer

Si la conduite était en PVC lisse (\(\epsilon=0.0015\) mm), quel serait approximativement le nouveau facteur de frottement \(f\) ?

Question 3 : Calculer les pertes de charge linéaires (\(h_f\))

Principe

Les pertes de charge linéaires représentent l'énergie dissipée par frottement sur toute la longueur de la conduite. C'est comme une force de freinage continue que le fluide subit. Nous allons quantifier cette "perte de hauteur d'énergie" en utilisant l'équation de Darcy-Weisbach, qui relie cette perte au facteur de frottement, aux dimensions de la conduite et à l'énergie cinétique du fluide.

Mini-Cours

Le terme \(V^2/(2g)\) est appelé "hauteur dynamique" ou "charge de vitesse". Il représente l'énergie cinétique du fluide par unité de poids. L'équation de Darcy-Weisbach montre que la perte linéaire est proportionnelle à cette énergie cinétique, à la longueur de la conduite, et inversement proportionnelle à son diamètre.

Remarque Pédagogique

Dans les réseaux étendus, comme en adduction d'eau ou en topographie de réseaux, les pertes de charge linéaires constituent presque toujours la part la plus importante des pertes totales. Leur calcul précis est donc primordial.

Normes

L'équation de Darcy-Weisbach est universellement reconnue et constitue la base de tous les codes et normes de calcul de tuyauterie hydraulique dans le monde.

Formule(s)

Équation de Darcy-Weisbach

h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g}

Hypothèses

Nous supposons que le facteur de frottement \(f\) que nous avons calculé est constant sur toute la longueur \(L\) de la conduite.

Donnée(s)

Nous rassemblons toutes les valeurs nécessaires :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Facteur de frottement	\(f\)	0.02590	-
Longueur	\(L\)	150	m
Diamètre	\(D\)	0.1	m
Vitesse	\(V\)	2.546	m/s
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Calculez d'abord le terme de charge de vitesse \(V^2/(2g)\), car il sera réutilisé pour le calcul des pertes singulières. Cela évite de refaire le même calcul plusieurs fois.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des forces de frottement

Calcul(s)

1. Calcul de la hauteur dynamique (charge de vitesse)

Ce terme \(V^2 / 2g\) représente l'énergie cinétique du fluide par unité de poids. Nous le calculons en premier car il sera réutilisé :

\begin{aligned} \frac{V^2}{2g} &= \frac{(2.546 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &= \frac{6.482}{19.62} \\ &\approx 0.3304 \text{ m} \end{aligned}

2. Calcul de la perte de charge linéaire \(h_f\)

On applique la formule de Darcy-Weisbach en insérant le facteur de frottement \(f\), le rapport \(L/D\) et la hauteur dynamique :

h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \left( \frac{V^2}{2g} \right)

Substitution des valeurs numériques :

\begin{aligned} h_f &= 0.02590 \times \frac{150 \text{ m}}{0.1 \text{ m}} \times (0.3304 \text{ m}) \\ &= 0.02590 \times 1500 \times 0.3304 \\ &= 38.85 \times 0.3304 \\ &\approx 12.83 \text{ m} \end{aligned}

La perte d'énergie due au frottement sur 150 m de conduite est de 12.83 mètres de colonne d'eau.

Schéma (Après les calculs)

Chute de la Ligne de Charge (Linéaire)

Réflexions

Une perte de 12.83 mètres signifie que si l'on plaçait des tubes piézométriques le long du tuyau, on verrait le niveau de l'eau baisser de 12.83 m sur une distance de 150 m, uniquement à cause du frottement. C'est une perte d'énergie considérable qui doit être compensée.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités sont dans le Système International (mètres, secondes) avant d'appliquer la formule. Une erreur de conversion sur la longueur \(L\) ou le diamètre \(D\) est fréquente.

Points à retenir

Les pertes linéaires sont calculées par l'équation de Darcy-Weisbach.
Elles sont proportionnelles à la longueur \(L\) et au facteur de frottement \(f\).
Elles sont inversement proportionnelles au diamètre \(D\).

Le saviez-vous ?

L'ingénieur français Henry Darcy a mené ses expériences sur l'écoulement de l'eau à travers des lits de sable à Dijon en 1856, posant les bases de l'hydrodynamique moderne et de l'hydrologie. L'équation a ensuite été affinée par l'ingénieur saxon Julius Weisbach.

FAQ

Résultat Final

Les pertes de charge linéaires s'élèvent à environ 12.83 mètres de colonne d'eau.

A vous de jouer

Si la conduite ne mesurait que 50 mètres, quelle serait la perte de charge linéaire \(h_f\) ?

Question 4 : Calculer les pertes de charge singulières (\(h_s\))

Principe

Les pertes de charge singulières représentent l'énergie perdue à cause des perturbations locales de l'écoulement. Chaque accessoire (coude, vanne, etc.) force le fluide à changer de direction ou de vitesse, ce qui génère des turbulences intenses qui dissipent de l'énergie sous forme de chaleur. Nous additionnons les effets de chaque accessoire pour obtenir la perte singulière totale.

Mini-Cours

Le coefficient de perte de charge \(K\) est un nombre sans dimension déterminé expérimentalement. Il représente le multiple de la hauteur dynamique (\(V^2/2g\)) qui est perdue lors du passage à travers l'accessoire. Plus \(K\) est élevé, plus l'obstacle est important pour l'écoulement.

Remarque Pédagogique

Bien que souvent plus faibles que les pertes linéaires dans les longues conduites, les pertes singulières peuvent devenir dominantes dans les systèmes courts et complexes avec de nombreux accessoires, comme dans les locaux techniques de pompage.

Normes

Les coefficients de perte de charge \(K\) pour des milliers d'accessoires standards (coudes, tés, vannes, réductions...) sont répertoriés dans des manuels d'ingénierie comme le "Crane Technical Paper No. 410" ou des normes ISO.

Formule(s)

Formule des pertes de charge singulières

h_s = \left( \sum K \right) \cdot \frac{V^2}{2g}

Hypothèses

Nous supposons que les valeurs de K fournies par les tables de référence sont applicables à notre cas. Nous négligeons les interactions entre les accessoires (on suppose qu'ils sont suffisamment espacés pour que l'écoulement se stabilise entre chacun).

Donnée(s)

Les données sont issues de l'énoncé et des calculs précédents :

Coude standard 90° : \(K = 0.9\) (x2)
Vanne à opercule ouverte : \(K = 0.2\)
Charge de vitesse : \(V^2/(2g) \approx 0.3304\) m

Astuces

Pour simplifier, regroupez tous les accessoires identiques. Ici, nous avons 2 coudes, donc leur contribution est \(2 \times K_{\text{coude}}\). La somme de tous les \(K\) est un bon indicateur de la "complexité" hydraulique d'un circuit.

Schéma (Avant les calculs)

Exemples de singularités créant des turbulences

Calcul(s)

1. Somme des coefficients K

On additionne les coefficients de perte de charge pour tous les accessoires listés (2 coudes et 1 vanne) :

\begin{aligned} \sum K &= (K_{\text{coude}} \times 2) + K_{\text{vanne}} \\ &= (0.9 \times 2) + 0.2 \\ &= 1.8 + 0.2 \\ &= 2.0 \end{aligned}

La somme des coefficients de perte singulière est 2.0.

2. Calcul des pertes de charge singulières \(h_s\)

On applique la formule \(h_s = (\sum K) \cdot (V^2 / 2g)\) en utilisant la hauteur dynamique \(V^2 / 2g\) calculée à la question 3 (qui valait 0.3304 m) :

h_s = \left( \sum K \right) \cdot \left( \frac{V^2}{2g} \right)

Substitution des valeurs :

\begin{aligned} h_s &= 2.0 \times (0.3304 \text{ m}) \\ &\approx 0.66 \text{ m} \end{aligned}

La perte d'énergie due aux accessoires est de 0.66 mètre de colonne d'eau.

Schéma (Après les calculs)

Chutes de la Ligne de Charge (Linéaire + Singulière)

Réflexions

La perte due aux accessoires est de 0.66 m. Comparée à la perte linéaire de 12.83 m, elle est faible (environ 5% de la perte linéaire). Cela confirme que pour cette conduite, le frottement sur la longueur est le facteur dominant de perte d'énergie.

Points de vigilance

Une erreur fréquente est d'oublier un accessoire ou d'utiliser un mauvais coefficient K. Ces coefficients sont empiriques et doivent être choisis avec soin dans des abaques ou tables de référence en fonction de la nature exacte de l'accessoire (ex: un coude à grand rayon a un K bien plus faible qu'un coude brusque).

Points à retenir

Les pertes singulières sont localisées aux accidents de parcours de la conduite.
Chaque accident est caractérisé par un coefficient \(K\).
La perte totale singulière est \(\sum K \times V^2/(2g)\).

Le saviez-vous ?

La conception moderne des circuits hydrauliques, assistée par ordinateur (CFD - Computational Fluid Dynamics), permet de simuler précisément l'écoulement dans des géométries complexes et de calculer les pertes de charge avec une grande précision, réduisant le besoin de se fier uniquement aux coefficients K tabulés.

FAQ

Résultat Final

Les pertes de charge singulières s'élèvent à 0.66 mètre de colonne d'eau.

A vous de jouer

Si on ajoutait un clapet anti-retour (\(K=2.5\)) sur la ligne, quelle serait la nouvelle valeur de \(h_s\) ?

Question 5 : Déterminer la perte de charge totale (\(H_T\))

Principe

La perte de charge totale est simplement la somme arithmétique des deux types de pertes que nous venons de calculer : les pertes continues dues au frottement (linéaires) et les pertes localisées dues aux obstacles (singulières). C'est la dissipation d'énergie totale du système.

Mini-Cours

Dans l'équation de Bernoulli généralisée, qui est le bilan énergétique de l'écoulement entre deux points, \(H_T\) représente le terme de perte d'énergie. Pour que l'écoulement se produise, la somme de la charge de pression, de la charge de vitesse et de la charge d'altitude au point de départ doit être supérieure à la somme de ces mêmes charges au point d'arrivée, plus les pertes de charge totales entre les deux. \(H_T\) est l'énergie qui a été "perdue" (transformée en chaleur).

Remarque Pédagogique

C'est cette valeur finale qui est cruciale pour l'ingénieur. Elle permet de dimensionner la hauteur manométrique totale (HMT) d'une pompe, ou de vérifier qu'une dénivelée topographique est suffisante pour assurer un écoulement gravitaire avec le débit requis.

Normes

Les normes de conception des réseaux d'adduction d'eau (comme les fascicules techniques en France) imposent des règles sur les vitesses maximales pour limiter les pertes de charge et les risques de coup de bélier, influençant indirectement la valeur maximale acceptable pour \(H_T\).

Formule(s)

Formule de la perte de charge totale

\[ H_T = h_f + h_s \]

Hypothèses

Nous supposons qu'il n'existe pas d'autres sources de pertes non comptabilisées dans notre analyse.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats finaux des questions 3 et 4.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pertes de charge linéaires	\(h_f\)	12.83	m
Pertes de charge singulières	\(h_s\)	0.66	m

Schéma (Avant les calculs)

Addition des Pertes Linéaires et Singulières

Calcul(s)

Calcul de la perte de charge totale \(H_T\)

Il s'agit de la simple addition des pertes linéaires (dues au frottement sur la longueur) et des pertes singulières (dues aux obstacles) :

\[ H_T = h_f + h_s \]

On additionne les résultats des questions 3 et 4 :

\begin{aligned} H_T &= 12.83 \text{ m} + 0.66 \text{ m} \\ &= 13.49 \text{ m} \end{aligned}

La perte de charge totale pour l'ensemble du système est de 13.49 m.

Schéma (Après les calculs)

Ligne de Charge Totale Résultante

Réflexions

La perte de charge totale est de 13.49 m. Cela signifie qu'il faut une "poussée" équivalente à une colonne d'eau de 13.49 mètres de haut (soit environ 1.35 bar de pression) juste pour vaincre les résistances à l'écoulement et maintenir le débit de 20 L/s. Cette énergie doit être fournie soit par une pompe, soit par une différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée.

Points de vigilance

L'erreur ici serait de négliger l'un des deux types de pertes. Même si les pertes singulières sont faibles dans ce cas, elles peuvent être significatives dans d'autres configurations et ne doivent jamais être oubliées.

Points à retenir

La perte de charge totale est la somme des pertes linéaires et singulières.
\(H_T = h_f + h_s\).
Cette valeur représente l'énergie totale à fournir au système pour maintenir l'écoulement.

Le saviez-vous ?

Optimiser un réseau pour réduire les pertes de charge est un enjeu économique et écologique majeur. Une faible réduction des pertes sur un grand réseau de distribution d'eau fonctionnant 24h/24 peut représenter des économies d'énergie de plusieurs milliers d'euros par an et réduire l'empreinte carbone de la ville.

FAQ

Résultat Final

La perte de charge totale de l'installation est de 13.49 mètres.

A vous de jouer

En utilisant les résultats des "A vous de jouer" précédents (conduite de 50m et ajout d'un clapet anti-retour), quelle serait la nouvelle perte de charge totale \(H_T\) ?

Outil Interactif : Simulateur de Perte de Charge

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit et la longueur de la conduite, et observez leur impact sur les pertes de charge linéaires et totales. Le diamètre (100 mm) et la rugosité (0.26 mm) restent fixes.

Paramètres d'Entrée

Débit (\(Q\)) 20 L/s

Longueur de la conduite (\(L\)) 150 m

Résultats Clés

Perte Linéaire (\(h_f\)) - m

Perte Singulière (\(h_s\)) - m

Perte Totale (\(H_T\)) - m

Glossaire

Perte de Charge: Perte d'énergie (exprimée en hauteur de fluide, ex: mètres de colonne d'eau) subie par un fluide en mouvement dans une canalisation due aux frottements et aux obstacles.
Nombre de Reynolds (Re): Nombre adimensionnel qui caractérise le régime d'écoulement (laminaire, transitoire, turbulent). Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses.
Rugosité (\(\epsilon\)): Mesure des aspérités de la surface intérieure d'une conduite, qui influence le frottement du fluide. Elle est généralement donnée en millimètres.
Facteur de Frottement (f): Coefficient sans dimension, aussi appelé coefficient de perte de charge linéaire, utilisé dans l'équation de Darcy-Weisbach pour calculer les pertes par frottement.