Moment de Renversement d’un Barrage-Poids

Moment de Renversement d'un Barrage-Poids

Calcul du Moment de Renversement d'un Barrage-Poids

Comprendre la Stabilité d'un Barrage-Poids

Un barrage-poidsOuvrage de retenue d'eau qui assure sa stabilité principalement grâce à sa propre masse pour résister à la poussée de l'eau. est une structure massive, généralement en béton, conçue pour résister à la force de l'eau uniquement par sa propre masse. L'analyse de sa stabilité est primordiale pour éviter une rupture catastrophique. L'un des modes de défaillance possibles est le renversement autour de son "talon" aval (le point le plus en aval de sa base). Pour vérifier la sécurité, on compare le moment de renversementMoment des forces qui tendent à faire basculer le barrage autour de son talon aval. Principalement causé par la force hydrostatique., principalement dû à la poussée de l'eau, au moment stabilisateurMoment des forces qui s'opposent au basculement du barrage. Principalement dû au poids propre de la structure., généré par le poids du barrage lui-même. Le rapport entre ces deux moments définit le facteur de sécurité.

Remarque Pédagogique : Ce calcul est un exemple classique d'équilibre statique. On identifie toutes les forces agissant sur le corps (le barrage), on choisit un point de pivot, et on somme les moments (Force × bras de levier) pour voir si l'objet va tourner ou rester stable. La complexité ici vient du calcul des forces hydrostatiques et de la localisation de leur point d'application.

Données de l'étude

On analyse une section d'un barrage-poids de profil trapézoïdal. On souhaite vérifier sa stabilité au renversement.

Caractéristiques du barrage et du fluide :

Fluide : Eau (\(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\))
Hauteur d'eau (\(H\)) : \(21 \, \text{m}\)
Largeur du barrage au sommet (\(b_1\)) : \(3 \, \text{m}\)
Largeur du barrage à la base (\(b_2\)) : \(15 \, \text{m}\)
Longueur de la section étudiée (\(L\)) : \(1 \, \text{m}\) (calcul par mètre linéaire)
Masse volumique du béton (\(\rho_{\text{béton}}\)) : \(2400 \, \text{kg/m}^3\)

Constantes :

Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Schéma du Barrage-Poids

Questions à traiter

Calculer la force hydrostatique horizontale (\(F_h\)) exercée par l'eau sur le barrage.
Calculer le poids du barrage (\(W\)) et la position horizontale de son centre de gravité (\(x_G\)) par rapport au point amont.
Calculer le moment de renversement (\(M_o\)) par rapport au talon aval du barrage (point O).
Calculer le moment stabilisateur (\(M_s\)) par rapport au point O.

Correction : Bilan Énergétique sur une Section de Conduite

Question 1 : Force Hydrostatique Horizontale (\(F_h\))

Principe :

La force horizontale est le résultat de la pression de l'eau sur la face amont du barrage. Comme la pression augmente linéairement avec la profondeur, la distribution de force est triangulaire. La force résultante est égale à la pression au centroïde de la surface mouillée multipliée par l'aire de cette surface.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul est identique à celui d'une force sur une paroi verticale rectangulaire de hauteur \(H\) et de largeur \(L\). La forme trapézoïdale du barrage n'influence que son poids et son propre centre de gravité, pas la force que l'eau exerce sur lui.

Formule(s) utilisée(s) :

F_h = P_c \cdot A = (\rho_{\text{eau}} g h_c) \cdot (H \cdot L)

Avec \(h_c = H/2\) pour une surface rectangulaire.

Calcul(s) :

\begin{aligned} F_h &= \rho_{\text{eau}} g \frac{H}{2} (H \cdot L) = \frac{1}{2} \rho_{\text{eau}} g H^2 L \\ &= \frac{1}{2} \times 1000 \times 9.81 \times (21)^2 \times 1 \\ &= 0.5 \times 1000 \times 9.81 \times 441 \\ &= 2,163,205 \, \text{N} \approx 2.16 \, \text{MN} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La force hydrostatique horizontale est \(F_h \approx 2.16 \times 10^6 \, \text{N}\).

Question 2 : Poids du Barrage (\(W\)) et Position de son Centre de Gravité (\(x_G\))

Principe :

Le poids est la force stabilisatrice principale. Il se calcule à partir du volume du barrage et de la masse volumique du béton. Pour trouver son point d'application (le centre de gravité), on décompose le trapèze en un rectangle et un triangle, on trouve le centre de gravité de chaque forme, puis on calcule le barycentre de l'ensemble.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La position du centre de gravité est cruciale. Plus il est décalé vers l'aval (vers le talon), plus le bras de levier du poids est grand, et plus le barrage est stable au renversement. C'est la raison de la forme massive et asymétrique des barrages-poids.

Formule(s) utilisée(s) :

W = \rho_{\text{béton}} \cdot g \cdot V \quad | \quad V = L \cdot A_{\text{profil}}

x_G = \frac{\sum (A_i \cdot x_i)}{\sum A_i}

Calcul(s) :

1. Décomposition du trapèze (vu de profil) en un rectangle (1) et un triangle (2) :

\begin{aligned} A_1 &= b_1 H = 3 \times 21 = 63 \, \text{m}^2 \\ x_1 &= \frac{b_1}{2} = 1.5 \, \text{m} \\ A_2 &= \frac{1}{2} (b_2-b_1) H = \frac{1}{2} \times 12 \times 21 = 126 \, \text{m}^2 \\ x_2 &= b_1 + \frac{b_2-b_1}{3} = 3 + \frac{12}{3} = 7 \, \text{m} \end{aligned}

2. Calcul de la section totale et de la position du centre de gravité \(x_G\) (par rapport au parement amont) :

\begin{aligned} A_{\text{total}} &= A_1 + A_2 = 63 + 126 = 189 \, \text{m}^2 \\ x_G &= \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A_{\text{total}}} = \frac{(63 \times 1.5) + (126 \times 7)}{189} \\ &= \frac{94.5 + 882}{189} = \frac{976.5}{189} = 5.167 \, \text{m} \end{aligned}

3. Calcul du poids \(W\) par mètre de longueur :

\begin{aligned} V &= A_{\text{total}} \times L = 189 \, \text{m}^2 \times 1 \, \text{m} = 189 \, \text{m}^3 \\ W &= \rho_{\text{béton}} g V = 2400 \times 9.81 \times 189 \\ &= 4,448,256 \, \text{N} \approx 4.45 \, \text{MN} \end{aligned}

Résultat Question 2 : Le poids du barrage est \(W \approx 4.45 \times 10^6 \, \text{N}\) et son centre de gravité est situé à \(x_G \approx 5.17 \, \text{m}\) du parement amont.

Question 3 : Moment de Renversement (\(M_o\))

Principe :

Le moment de renversement est la tendance de la force hydrostatique à faire pivoter le barrage autour du talon O. Il est égal à la force horizontale multipliée par son bras de levier. Le point d'application de la force hydrostatique sur une paroi verticale se situe au tiers de la hauteur à partir de la base.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le bras de levier est la distance *perpendiculaire* entre la ligne d'action de la force et le point de pivot. C'est pourquoi on utilise \(H/3\), la hauteur verticale du centre de poussée.

Formule(s) utilisée(s) :

M_o = F_h \cdot y_p \quad \text{avec} \quad y_p = \frac{H}{3}

Calcul(s) :

\begin{aligned} M_o &= 2,163,205 \, \text{N} \times \frac{21 \, \text{m}}{3} \\ &= 2,163,205 \times 7 \\ &= 15,142,435 \, \text{N} \cdot \text{m} \approx 15.14 \, \text{MN} \cdot \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le moment de renversement est \(M_o \approx 15.14 \, \text{MN} \cdot \text{m}\).

Question 4 : Moment Stabilisateur (\(M_s\))

Principe :

Le moment stabilisateur est la tendance du poids du barrage à s'opposer au renversement. Il est égal au poids multiplié par son bras de levier, qui est la distance horizontale entre la ligne d'action du poids (passant par le centre de gravité \(x_G\)) et le point de pivot O.

Formule(s) utilisée(s) :

M_s = W \cdot d \quad \text{avec} \quad d = b_2 - x_G

Calcul(s) :

1. Calcul du bras de levier \(d\) :

d = 15 \, \text{m} - 5.167 \, \text{m} = 9.833 \, \text{m}

2. Calcul du moment stabilisateur :

\begin{aligned} M_s &= 4,448,256 \, \text{N} \times 9.833 \, \text{m} \\ &= 43,741,400 \, \text{N} \cdot \text{m} \approx 43.74 \, \text{MN} \cdot \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 4 : Le moment stabilisateur est \(M_s \approx 43.7 \, \text{MN} \cdot \text{m}\).

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée	Unité
Force Horizontale (\(F_h\))	Cliquez pour révéler	MN
Poids du Barrage (\(W\))	Cliquez pour révéler	MN
Moment de Renversement (\(M_o\))	Cliquez pour révéler	MN·m
Moment Stabilisateur (\(M_s\))	Cliquez pour révéler	MN·m

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Suite à de fortes pluies, le niveau d'eau monte à \(H = 25 \, \text{m}\). Calculez le nouveau moment de renversement \(M_o\) (en MN·m). Le barrage est-il toujours stable (\(M_s > M_o\)) ?

\(M_o\) (en MN·m) =

Pièges à Éviter

Point de Pivot : Tous les moments doivent être calculés par rapport au même point de pivot (ici, le talon aval O). Une erreur sur le point de pivot fausse tous les bras de levier.

Centre de Poussée : Le bras de levier de la force hydrostatique est \(H/3\), pas \(H/2\) (qui est le centroïde de la surface). C'est une erreur très courante.

Unités : Assurez-vous d'être cohérent. Si les forces sont en Newtons (N) et les distances en mètres (m), les moments seront en Newton-mètres (N·m).

Simulation Interactive de la Stabilité

Variez la hauteur de l'eau pour voir l'évolution des moments. Observez à quelle hauteur le moment de renversement dépasse le moment stabilisateur !

Paramètres de Simulation

Hauteur d'eau (\(H\)): 21.0 m

Comparaison des Moments (MN·m)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Sous-pression (Uplift) : De l'eau peut s'infiltrer sous la base du barrage, créant une force de sous-pression verticale dirigée vers le haut. Cette force réduit le poids effectif du barrage et donc son moment stabilisateur, et elle crée son propre moment de renversement. Elle doit absolument être prise en compte dans les calculs réels.

2. Stabilité au Glissement : Le renversement n'est pas le seul risque. La force hydrostatique pourrait aussi faire "glisser" le barrage sur sa fondation. Il faut donc aussi vérifier que les forces de frottement à la base sont suffisantes pour s'opposer à la force horizontale.

Le Saviez-Vous ?

Les barrages-voûtes, comme le barrage Hoover, utilisent la géométrie pour être incroyablement résistants. Leur forme courbe permet de transférer la force hydrostatique de l'eau (qui est immense) sur les parois rocheuses de la vallée. La roche encaisse alors la compression, ce qui permet au barrage d'être plus mince et d'utiliser moins de béton qu'un barrage-poids rectiligne.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi calculer par "mètre linéaire" de barrage ?

Les barrages sont de longues structures. En supposant que le profil est constant, il est plus simple de faire le calcul pour une "tranche" de 1 mètre de long, puis de multiplier par la longueur totale si nécessaire. Les forces et moments sont alors exprimés en N/m et N·m/m.

Et si la face amont du barrage était inclinée ?

Le calcul serait similaire. La force horizontale dépendrait toujours de la projection verticale. Cependant, la force verticale changerait : elle serait égale au poids du volume d'eau situé directement au-dessus de la face inclinée, ce qui modifierait le moment stabilisateur et potentiellement le moment de renversement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour augmenter la stabilité au renversement d'un barrage-poids, la solution la plus efficace est :

Augmenter sa hauteur.
Élargir sa base.
Utiliser un béton plus lisse.

2. Le point d'application de la force hydrostatique sur un mur vertical de hauteur H se situe à :

\(H/2\) de la base.
\(2H/3\) de la base.
\(H/3\) de la base.

Glossaire

Barrage-poids: Ouvrage de retenue d'eau qui assure sa stabilité principalement grâce à sa propre masse pour résister à la poussée de l'eau.
Moment de Renversement (Mo): Moment des forces qui tendent à faire basculer le barrage autour de son talon aval. Principalement causé par la force hydrostatique.
Moment Stabilisateur (Ms): Moment des forces qui s'opposent au basculement du barrage. Principalement dû au poids propre de la structure.
Centre de Poussée: Point d'application de la résultante des forces de pression sur une surface.

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Questions à traiter

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Question 1 : Force Hydrostatique Horizontale (\(F_h\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 2 : Poids du Barrage (\(W\)) et Position de son Centre de Gravité (\(x_G\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 3 : Moment de Renversement (\(M_o\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 4 : Moment Stabilisateur (\(M_s\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Tableau Récapitulatif Interactif

À vous de jouer ! (Défi)

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Paramètres de Simulation

Comparaison des Moments (MN·m)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Le Saviez-Vous ?

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