ÉTUDE HYDRAULIQUE

Modélisation d’une onde de rupture de barrage

Hydraulique : Modélisation d'une Onde de Rupture de Barrage (Ritter)

Modélisation d'une onde de rupture de barrage (solution de Ritter)

Contexte : La Vague Dévastatrice

La rupture instantanée d'un barrage génère une onde de submersion puissante et rapide. La modéliser est crucial pour évaluer les risques et prévoir les zones inondées. La solution de RitterSolution analytique des équations de Saint-Venant pour le cas d'une rupture de barrage instantanée sur un fond plat et sans frottement. C'est un modèle de référence en hydraulique. est une solution analytique classique qui, malgré ses hypothèses simplificatrices (pas de frottement, rupture instantanée), donne un premier aperçu très pertinent de la forme de l'onde, de sa vitesse de propagation et des hauteurs d'eau résultantes. Cet exercice explore cette solution fondamentale.

Remarque Pédagogique : La solution de Ritter est un excellent exemple de la manière dont les physiciens et ingénieurs utilisent des modèles simplifiés pour comprendre des phénomènes complexes. En supprimant le frottement, on peut résoudre les équations à la main et obtenir des formules explicites. C'est la base sur laquelle des modèles numériques plus complexes sont construits et validés.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre les hypothèses du modèle de Ritter.
  • Calculer la céléritéVitesse de propagation d'une onde par rapport au fluide. Pour une onde de gravité en eau peu profonde, elle est donnée par c = √(gh). de l'onde et la vitesse du front d'onde.
  • Déterminer le profil de la ligne d'eau (hauteur d'eau) à un instant donné.
  • Calculer la vitesse de l'écoulement en un point et à un instant donnés.
  • Visualiser la propagation de l'onde et la déformation de la surface libre.

Données de l'étude

Un barrage retient une masse d'eau de hauteur initiale \(h_0 = 20 \, \text{m}\). Le barrage est situé à la position \(x=0\). À l'instant \(t=0\), il est retiré instantanément. On se place dans le cadre des hypothèses de Ritter (canal horizontal, sans frottement).

Schéma de la Rupture de Barrage (t > 0)
Fond du canal (z=0) Niveau initial (h0) x=0 Profil de l'onde Front u = 2*c0 Onde de détente u = -c0

Donnée :

  • Intensité de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la célérité initiale de l'onde (\(c_0\)) dans l'eau immobile. En déduire la vitesse du front d'onde (\(u_{\text{front}}\)) et de l'onde de détente vers l'amont.
  2. Déterminer la hauteur d'eau \(h\) et la vitesse de l'écoulement \(u\) au niveau de l'ancien barrage (\(x=0\)) pour tout temps \(t > 0\).
  3. À l'instant \(t = 5 \, \text{s}\), calculer la position du front d'onde.
  4. Toujours à \(t = 5 \, \text{s}\), calculer la hauteur d'eau \(h\) et la vitesse \(u\) à la position \(x = 30 \, \text{m}\).

Correction : Modélisation d'une onde de rupture de barrage (solution de Ritter)

Question 1 : Célérités et Vitesses des Fronts d'Onde

Principe :
Retenue (h0) u = -c0 u = 2*c0

La solution de Ritter se base sur les équations de Saint-VenantEnsemble de deux équations aux dérivées partielles (continuité et quantité de mouvement) qui décrivent les écoulements à surface libre non permanents.. La célérité \(c\) d'une petite perturbation dans une eau de hauteur \(h\) est \(c = \sqrt{gh}\). L'onde de rupture se propage vers l'aval (front d'onde) et vers l'amont (onde de détente). La théorie montre que le front d'onde se déplace à \(u_{\text{front}} = 2c_0\) et l'onde de détente à \(u_{\text{detente}} = -c_0\), où \(c_0 = \sqrt{gh_0}\) est la célérité dans la retenue initiale.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Il est essentiel de distinguer la célérité (vitesse de l'onde par rapport à l'eau) de la vitesse de l'eau elle-même. Les formules de Ritter nous donnent la vitesse de propagation des "informations" (le front et l'onde de détente), qui déterminent la zone d'influence de la rupture.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ c_0 = \sqrt{g h_0} \]
\[ u_{\text{front}} = 2c_0 \quad | \quad u_{\text{detente}} = -c_0 \]
Donnée(s) :
  • Hauteur d'eau initiale \(h_0 = 20 \, \text{m}\)
  • Intensité de la pesanteur \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} c_0 &= \sqrt{9.81 \times 20} \\ &= \sqrt{196.2} \\ &\approx 14.01 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u_{\text{front}} &= 2 \times 14.01 \\ &= 28.02 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ u_{\text{detente}} = -14.01 \, \text{m/s} \]
Points de vigilance :

Hypothèse d'eau peu profonde : La formule \(c = \sqrt{gh}\) n'est valide que lorsque la longueur d'onde de la perturbation est très grande par rapport à la hauteur d'eau. C'est heureusement le cas pour une onde de rupture de barrage.

Le saviez-vous ?

La même physique s'applique aux tsunamis. En plein océan, où la profondeur \(h\) est de plusieurs kilomètres, la célérité \(c = \sqrt{gh}\) atteint des vitesses d'avion de ligne (plus de 800 km/h), ce qui explique leur propagation rapide à travers les bassins océaniques.

FAQ en rapport avec la question :
La forme du canal a-t-elle un impact ?

Oui, absolument. La solution de Ritter est développée pour un canal rectangulaire très large. Pour un canal de forme différente (trapézoïdal, triangulaire), les équations changent et cette solution simple n'est plus directement applicable. Il faut alors recourir à des modèles numériques.

Résultat : La célérité initiale est \(c_0 \approx 14.01 \, \text{m/s}\). Le front d'onde se propage à \(28.02 \, \text{m/s}\) vers l'aval, et l'onde de détente à \(-14.01 \, \text{m/s}\) vers l'amont.

Question 2 : Conditions à l'Emplacement du Barrage (x=0)

Principe :
x=0 h0 h = 4/9 h0

La théorie de Ritter prédit que, juste à l'emplacement de l'ancien barrage (\(x=0\)), la hauteur d'eau et la vitesse de l'écoulement atteignent des valeurs constantes (pour \(t>0\)) qui ne dépendent que des conditions initiales. Ces valeurs sont remarquablement fixes, quelle que soit la distance parcourue par l'onde.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le fait que la hauteur au barrage chute instantanément à 4/9 de la hauteur initiale (soit environ 44%) est un résultat fondamental et non intuitif de la théorie. Cela signifie qu'une partie de l'énergie potentielle de la retenue s'est transformée en énergie cinétique, mettant le fluide en mouvement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h(x=0, t>0) = \frac{4}{9} h_0 \]
\[ u(x=0, t>0) = \frac{2}{3} c_0 \]
Donnée(s) :
  • Hauteur d'eau initiale \(h_0 = 20 \, \text{m}\)
  • Célérité initiale \(c_0 \approx 14.01 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} h(x=0) &= \frac{4}{9} \times 20 \\ &= \frac{80}{9} \\ &\approx 8.89 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u(x=0) &= \frac{2}{3} \times 14.01 \\ &\approx 9.34 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Rupture instantanée : Ce résultat suppose une disparition instantanée du barrage. Dans la réalité, une rupture progressive conduit à une baisse plus lente et à un débit de pointe potentiellement moins élevé, bien que toujours extrêmement dangereux.

Le saviez-vous ?

Le ratio 4/9 est un résultat "universel" pour ce problème idéalisé. Il ne dépend ni de \(g\), ni de la densité du fluide. Cela en fait un point de repère essentiel pour valider les codes de calcul numériques qui, eux, incluent le frottement et d'autres complexités.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la hauteur ne tombe-t-elle pas à zéro ?

L'eau située en amont de l'ancien barrage continue de "pousser" vers l'aval. Elle possède encore une énergie potentielle qui alimente l'écoulement. La hauteur se stabilise donc à une valeur d'équilibre (8.89 m dans notre cas) qui permet de faire transiter ce débit.

Résultat : À l'emplacement du barrage, la hauteur d'eau se stabilise à \(h \approx 8.89 \, \text{m}\) et la vitesse à \(u \approx 9.34 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Position du Front d'Onde à t=5s

Principe :
x=0 x_front = u_front * t

Le front de l'onde se déplace à une vitesse constante \(u_{\text{front}}\). Sa position \(x_{\text{front}}\) à un instant \(t\) est donc simplement le produit de cette vitesse par le temps écoulé, selon la loi du mouvement rectiligne uniforme.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul simple est la première étape de toute carte de risque d'inondation. Il permet de définir l'enveloppe maximale de la zone inondée à un temps donné et de déterminer les délais d'alerte et d'évacuation pour les populations en aval.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ x_{\text{front}}(t) = u_{\text{front}} \times t = 2c_0 t \]
Donnée(s) :
  • Vitesse du front \(u_{\text{front}} \approx 28.02 \, \text{m/s}\)
  • Temps \(t = 5 \, \text{s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} x_{\text{front}}(5\text{s}) &= 28.02 \times 5 \\ &= 140.1 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Absence de frottement : Dans la réalité, le frottement sur le fond du canal ralentit l'onde. La position réelle du front serait donc légèrement inférieure à cette valeur théorique. L'écart augmente avec le temps et la distance parcourue.

Le saviez-vous ?

La position du front d'onde est la toute première information que les ingénieurs calculent pour dimensionner les ouvrages de protection en aval ou pour définir les plans d'urgence (Plan Particulier d'Intervention en France).

FAQ en rapport avec la question :
Le front de l'onde est-il un mur d'eau vertical ?

Non. Théoriquement, la hauteur d'eau au front de l'onde est nulle (\(h=0\)). Le profil est parabolique, donc la hauteur d'eau augmente progressivement (mais très rapidement) juste en amont du front. Dans la réalité, à cause de la tension de surface et du frottement, le front est une fine langue d'eau, pas un mur vertical.

Résultat : Après 5 secondes, le front de l'onde aura parcouru 140.1 mètres en aval du barrage.

Question 4 : Hauteur et Vitesse à x=30m et t=5s

Principe :
Profil parabolique h(x,t) x = 30m t = 5s

Pour tout point situé entre l'onde de détente et le front d'onde (\(-c_0 t < x < 2c_0 t\)), la solution de Ritter donne des formules explicites pour la hauteur \(h\) et la vitesse \(u\) en fonction de la position \(x\) et du temps \(t\). Il faut d'abord vérifier que le point (x, t) est bien dans la zone de l'onde.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ces formules montrent que la hauteur et la vitesse ne sont pas uniformes dans l'onde. La vitesse de l'eau est plus faible loin du barrage et augmente à mesure qu'on s'en approche. Inversement, la hauteur d'eau est plus importante près du barrage et diminue vers le front.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u(x,t) = \frac{2}{3} \left( c_0 + \frac{x}{t} \right) \]
\[ c(x,t) = \sqrt{gh} = \frac{1}{3} \left( 2c_0 - \frac{x}{t} \right) \Rightarrow h(x,t) = \frac{c(x,t)^2}{g} \]
Donnée(s) :
  • Position \(x = 30 \, \text{m}\)
  • Temps \(t = 5 \, \text{s}\)
  • Célérité initiale \(c_0 \approx 14.01 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} u(30, 5) &= \frac{2}{3} \left( 14.01 + \frac{30}{5} \right) \\ &= \frac{2}{3} (14.01 + 6) \\ &= \frac{2}{3} \times 20.01 \\ &\approx 13.34 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} c(30, 5) &= \frac{1}{3} \left( 2 \times 14.01 - \frac{30}{5} \right) \\ &= \frac{1}{3} (28.02 - 6) \\ &= \frac{1}{3} \times 22.02 \\ &\approx 7.34 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} h(30, 5) &= \frac{c(30,5)^2}{g} \\ &= \frac{7.34^2}{9.81} \\ &= \frac{53.88}{9.81} \\ &\approx 5.49 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Validité des formules : Il est crucial de toujours vérifier que le point \((x, t)\) se trouve bien dans la zone \([-c_0 t, 2c_0 t]\) avant d'appliquer les formules. En dehors de cette zone, les formules ne sont pas valides (la hauteur est soit \(h_0\), soit \(0\)).

Le saviez-vous ?

La solution de Ritter est "auto-similaire". Cela signifie que la forme de la parabole est toujours la même ; elle ne fait que s'étirer dans l'espace avec le temps. Si vous regardez le profil à \(t=1\text{s}\) et à \(t=10\text{s}\), le second sera juste une version "zoomée" du premier.

FAQ en rapport avec la question :
Comment calculer la force sur un pilier de pont à cet endroit ?

La force d'impact (traînée) sur un obstacle est approximativement proportionnelle à la hauteur d'eau \(h\) et au carré de la vitesse \(u^2\). Connaître \(h\) et \(u\) à l'emplacement du pilier est donc la première étape indispensable pour un ingénieur en génie civil afin de dimensionner la structure pour qu'elle résiste à la crue.

Résultat : À \(t=5\text{s}\) et \(x=30\text{m}\), la hauteur d'eau est de \(h \approx 5.49 \, \text{m}\) et la vitesse de l'eau est de \(u \approx 13.34 \, \text{m/s}\).

Simulation Interactive du Profil de l'Onde

Faites varier la hauteur initiale du barrage et l'instant après la rupture. Observez l'évolution du profil de la ligne d'eau.

Paramètres de la Simulation
Position du front d'onde
Hauteur au barrage (x=0)
Profil de la Ligne d'Eau h(x)

Pour Aller Plus Loin : Les Limites du Modèle de Ritter

Le monde réel est plus complexe : La solution de Ritter est une base, mais elle ignore des aspects cruciaux. Le frottement sur le fond du canal ralentit l'onde et modifie son profil. Une pente du fond change la vitesse de propagation. La rupture n'est jamais parfaitement instantanée, ce qui adoucit la forme du front d'onde. Les modèles numériques modernes (utilisant les mêmes équations de Saint-Venant mais résolues par ordinateur) intègrent ces effets pour des prédictions plus précises.

Le Saviez-Vous ?

La rupture du barrage de Malpasset en 1959 dans le sud de la France est l'une des plus grandes catastrophes civiles françaises. L'onde, haute de plusieurs dizaines de mètres, a déferlé à plus de 70 km/h, causant 423 victimes. L'étude de cet événement a grandement fait progresser la modélisation des ondes de rupture et la sécurité des barrages.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la vitesse de l'eau n'est-elle pas maximale au front de l'onde ?

C'est une excellente question et un point souvent contre-intuitif. Au front même de l'onde (\(x = 2c_0 t\)), la hauteur d'eau est nulle. Il n'y a donc "pas encore" d'eau qui s'écoule. La vitesse de l'eau \(u\) est maximale un peu en amont du front, là où il y a déjà une certaine hauteur d'eau mise en mouvement. La vitesse de 2c₀ est la vitesse de propagation de la perturbation (le front), pas la vitesse de la matière (l'eau).

Que se passe-t-il si le canal en aval n'est pas sec ?

Si il y a déjà une hauteur d'eau en aval, le problème change et se nomme "problème de Riemann". La solution est plus complexe. Au lieu d'un front d'onde simple, on peut voir apparaître un "ressaut hydraulique" (une discontinuité brusque de la hauteur d'eau) qui se propage vers l'aval. La solution de Ritter est le cas particulier du problème de Riemann avec une hauteur d'eau nulle en aval.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la hauteur initiale du barrage \(h_0\), la vitesse du front d'onde :

2. Selon le modèle de Ritter, le profil de la ligne d'eau (la forme de la vague) :

Glossaire

Solution de Ritter
Solution analytique des équations de Saint-Venant pour le cas d'une rupture de barrage instantanée sur un fond plat, horizontal et sans frottement.
Équations de Saint-Venant
Ensemble de deux équations (conservation de la masse et de la quantité de mouvement) qui modélisent les écoulements à surface libre non permanents et unidimensionnels.
Célérité (c)
Vitesse de propagation d'une onde par rapport au fluide dans lequel elle se propage. Pour une onde de gravité en eau peu profonde, elle est donnée par la formule \(c = \sqrt{gh}\).
Onde de détente
Onde qui se propage vers l'amont (dans la retenue) suite à la rupture, provoquant la baisse du niveau d'eau.
Front d'onde
Limite aval de l'eau en mouvement, qui se propage sur le fond initialement sec.
Modélisation d'une onde de rupture de barrage (solution de Ritter)

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