Modélisation d'une fuite dans une conduite

Contexte : L'hydraulique en charge et la gestion des réseaux d'eau.

La gestion des réseaux d'adduction d'eau potable est un enjeu majeur pour les collectivités. Les fuites représentent des pertes économiques et environnementales considérables. Savoir modéliser et quantifier une fuite est donc une compétence essentielle pour tout ingénieur ou technicien du domaine. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul pour caractériser l'impact d'une fuite sur un tronçon de conduite en utilisant les principes fondamentaux de l'hydraulique, notamment l'équation de Bernoulli et le calcul des pertes de chargePerte d'énergie (exprimée en hauteur de fluide) subie par un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) ou aux accidents de la conduite (pertes singulières)..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à poser un système d'équations non-linéaires pour résoudre un problème d'hydraulique complexe et à comprendre l'influence d'un incident (la fuite) sur le comportement global d'un réseau.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer l'équation de Bernoulli généralisée pour un écoulement en charge.
Calculer les pertes de charge linéaires avec la formule de Darcy-Weisbach.
Modéliser une fuite comme un orifice et utiliser l'équation correspondante.
Résoudre un système d'équations hydrauliques pour trouver les débits inconnus.

Données de l'étude

Une conduite en fonte relie deux réservoirs A et B. Une fuite est détectée sur cette conduite. On cherche à déterminer le débit de la fuite ainsi que les nouveaux débits dans la conduite en amont et en aval de celle-ci.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Fluide transporté	Eau
Matériau de la conduite	Fonte
Régime d'écoulement	Permanent

Schéma du système hydraulique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur totale de la conduite	\(L_{\text{tot}}\)	1500	m
Diamètre intérieur	\(D\)	200	mm
Rugosité de la fonte	\(\epsilon\)	0.26	mm
Position de la fuite depuis A	\(L_1\)	500	m
Diamètre de la fuite (orifice)	\(d_{\text{f}}\)	10	mm
Coefficient de décharge de l'orifice	\(C_d\)	0.6	-
Viscosité cinématique de l'eau	\(\nu\)	\(1 \times 10^{-6}\)	m²/s

Questions à traiter

Calculer le débit \(Q_0\) qui transiterait dans la conduite s'il n'y avait pas de fuite.
Modéliser la fuite comme un orifice et déterminer son coefficient de fuite \(k_{\text{f}}\), tel que \(Q_{\text{f}} = k_{\text{f}} \sqrt{H_{\text{f}}}\), où \(H_{\text{f}}\) est la charge au point de la fuite.
Établir le système de 3 équations à 3 inconnues (\(Q_1\), \(Q_2\), \(H_{\text{f}}\)) qui régit le fonctionnement du système avec la fuite.
Résoudre le système par une méthode itérative pour déterminer les débits \(Q_1\), \(Q_2\) et le débit de fuite \(Q_{\text{f}}\).
Calculer le volume d'eau perdu par la fuite sur une période de 24 heures.

Les bases sur l'Hydraulique en Charge

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de trois outils fondamentaux de la mécanique des fluides appliquée aux réseaux.

1. L'équation de Bernoulli généralisée
Elle exprime la conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement entre deux points. Elle stipule que la charge totale (pression + altitude + vitesse) en un point A est égale à la charge totale en un point B, plus les pertes d'énergie (pertes de charge) entre A et B. \[ \frac{P_A}{\rho g} + Z_A + \frac{V_A^2}{2g} = \frac{P_B}{\rho g} + Z_B + \frac{V_B^2}{2g} + \Delta H_{A \to B} \]

2. L'équation de Darcy-Weisbach
C'est la formule la plus précise pour calculer les pertes de charge linéaires (\(\Delta H_{\text{L}}\)) dues au frottement du fluide sur les parois de la conduite. Elle dépend de la vitesse, du diamètre, de la longueur et d'un coefficient de frottement \(\lambda\). \[ \Delta H_{\text{L}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \] Où \(\lambda\) est déterminé à l'aide du diagramme de Moody ou de l'équation de Colebrook-White.

3. L'équation de l'orifice
Une fuite peut être assimilée à un écoulement à travers un petit orifice. Le débit de la fuite \(Q_{\text{f}}\) est proportionnel à la racine carrée de la charge \(H_{\text{f}}\) (la pression motrice) au point de la fuite. \[ Q_{\text{f}} = C_d \cdot A_{\text{f}} \sqrt{2gH_{\text{f}}} \] Où \(C_d\) est le coefficient de décharge et \(A_{\text{f}}\) est l'aire de l'orifice.

Correction : Modélisation d’une fuite dans une conduite

Question 1 : Calcul du débit initial sans fuite \(Q_0\)

Principe

Pour trouver le débit initial, on applique l'équation de Bernoulli entre les surfaces libres des deux réservoirs (A et B). En ces points, les pressions sont atmosphériques (nulles en relatif) et les vitesses sont considérées comme nulles. La différence de hauteur entre les réservoirs est donc entièrement dissipée par les pertes de charge dans la conduite.

Mini-Cours

La charge hydraulique en un point représente l'énergie totale du fluide par unité de poids. Dans un réservoir à surface libre, cette charge est simplement égale à l'altitude \(Z\) de la surface. L'écoulement entre deux réservoirs se produit toujours du réservoir ayant la charge la plus élevée vers celui ayant la charge la plus faible. L'énergie perdue se transforme principalement en chaleur à cause du frottement.

Remarque Pédagogique

L'approche "globale" entre les deux réservoirs est la plus simple car elle élimine les inconnues de pression et de vitesse aux extrémités. C'est une stratégie clé dans la résolution de problèmes de réseaux : toujours choisir les points d'application de Bernoulli de manière à simplifier au maximum l'équation.

Normes

Bien qu'il n'y ait pas de "norme" pour ce calcul académique, les formules utilisées (Bernoulli, Darcy-Weisbach, Colebrook) sont universellement reconnues et forment la base de tous les logiciels de modélisation de réseaux hydrauliques professionnels (comme EPANET).

Formule(s)

Équation de Bernoulli simplifiée

Z_A - Z_B = \Delta H_{\text{L}(A \to B)} = \lambda_0 \frac{L_{\text{tot}}}{D} \frac{V_0^2}{2g}

Équation de Colebrook-White

\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re_0 \sqrt{\lambda_0}} \right)

Hypothèses

Les réservoirs sont assez grands pour que leur niveau ne varie pas et que la vitesse à la surface soit nulle.
Les pertes de charge singulières (entrée, sortie) sont négligées face aux pertes linéaires.
L'écoulement est turbulent et entièrement développé.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge en A	\(Z_A\)	50	m
Charge en B	\(Z_B\)	30	m
Longueur totale	\(L_{\text{tot}}\)	1500	m
Diamètre	\(D\)	0.2	m
Rugosité	\(\epsilon\)	0.00026	m

Astuces

La résolution de Colebrook étant implicite, on peut utiliser des approximations comme la formule de Swamee-Jain pour une première estimation très précise, ou commencer par supposer un régime "pleinement turbulent" où \(\lambda\) ne dépend plus que de la rugosité, ce qui simplifie la première itération.

Schéma (Avant les calculs)

Ligne de charge sans fuite

Calcul(s)

Ce calcul est itératif. On commence par supposer une valeur de \(\lambda_0\) pour trouver une première vitesse \(V_0\), puis on calcule \(Re_0\), on corrige \(\lambda_0\), et on recommence jusqu'à convergence.

Calcul de la rugosité relative

\begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.26 \text{ mm}}{200 \text{ mm}} \\ &= 0.0013 \end{aligned}

Itération 1 : Estimation de \(\lambda_0\) (régime turbulent rugueux)

\begin{aligned} \lambda_0 &\approx \left[ -2 \log_{10} \left( \frac{0.0013}{3.7} \right) \right]^{-2} \\ &\approx 0.021 \end{aligned}

Itération 1 : Calcul de la vitesse \(V_0\)

\begin{aligned} V_0 &= \sqrt{\frac{(Z_A - Z_B) \cdot D \cdot 2g}{\lambda_0 \cdot L_{\text{tot}}}} \\ &= \sqrt{\frac{(50-30) \cdot 0.2 \cdot 2 \cdot 9.81}{0.021 \cdot 1500}} \\ &\approx 1.58 \text{ m/s} \end{aligned}

Itération 2 : Calcul du nombre de Reynolds \(Re_0\)

\begin{aligned} Re_0 &= \frac{V_0 D}{\nu} \\ &= \frac{1.58 \cdot 0.2}{1 \times 10^{-6}} \\ &\approx 316000 \end{aligned}

Itération 2 : Correction de \(\lambda_0\) avec Colebrook

\frac{1}{\sqrt{\lambda_0}} = -2 \log_{10} \left( \frac{0.0013}{3.7} + \frac{2.51}{316000 \sqrt{0.021}} \right) \Rightarrow \lambda_0 \approx 0.0216

La valeur de \(\lambda_0\) est stable. On conserve \(V_0 = 1.58 \text{ m/s}\).

Calcul du débit \(Q_0\)

\begin{aligned} Q_0 &= V_0 \cdot \frac{\pi D^2}{4} \\ &= 1.58 \cdot \frac{\pi (0.2)^2}{4} \\ &\approx 0.0496 \text{ m}^3\text{/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du débit sans fuite

Réflexions

Ce débit de 49.6 L/s représente le débit maximal que peut transporter cette conduite dans ces conditions. Toute modification (ajout d'une fuite, fermeture d'une vanne) ne pourra que réduire ce débit.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal gérer les unités, notamment entre les mm et les m pour le diamètre et la rugosité. L'autre piège est d'oublier la nature itérative du calcul de \(\lambda\).

Points à retenir

La différence de niveau entre deux réservoirs est le "moteur" de l'écoulement.
Cette énergie motrice est entièrement "consommée" par les pertes de charge.
Le calcul du débit en charge est souvent un processus itératif.

Le saviez-vous ?

L'équation de Colebrook-White, bien qu'extrêmement précise, n'a pas de solution analytique directe. Avant l'avènement des calculateurs, les ingénieurs utilisaient de grands abaques graphiques, comme le diagramme de Moody, pour trouver \(\lambda\), ce qui était fastidieux et moins précis.

FAQ

Résultat Final

Le débit sans fuite serait d'environ \(Q_0 = 49.6 \text{ L/s}\).

A vous de jouer

Si la conduite était en PVC (\(\epsilon = 0.0015 \text{ mm}\)) au lieu de la fonte, quel serait le nouveau débit \(Q_0\) ? (La réponse est plus élevée).

Question 2 : Modélisation de la fuite

Principe

La fuite est modélisée par la loi de l'orifice. Le débit de fuite, \(Q_{\text{f}}\), est fonction de l'aire de l'orifice \(A_{\text{f}}\), de la charge au droit de la fuite \(H_{\text{f}}\), et d'un coefficient de décharge \(C_d\) qui corrige la théorie pour les effets de contraction du jet. On regroupe les termes constants dans un coefficient de fuite \(k_{\text{f}}\).

Mini-Cours

L'équation de l'orifice est une application directe du théorème de Bernoulli entre un point dans la conduite juste avant la fuite et un point à l'extérieur dans le jet libre. La charge \(H_{\text{f}}\) représente la hauteur d'eau équivalente à la pression dans la conduite au point F. Cette pression est le moteur qui "pousse" l'eau à travers le trou.

Remarque Pédagogique

Le regroupement des constantes en un seul coefficient \(k_{\text{f}}\) est une technique très courante en hydraulique. Elle permet de simplifier l'écriture des équations du système et de séparer les termes constants des variables (ici, la charge \(H_{\text{f}}\)), ce qui facilite la résolution.

Normes

Le coefficient de décharge \(C_d\) est une valeur empirique. La valeur de 0.6 est une approximation standard pour un orifice à bords vifs et en régime turbulent. Des manuels d'hydraulique de référence (comme le "Handbook of Hydraulics" de Brater et King) fournissent des valeurs plus précises en fonction de la géométrie exacte et du nombre de Reynolds.

Formule(s)

Équation de l'orifice

Q_{\text{f}} = C_d \cdot A_{\text{f}} \cdot \sqrt{2gH_{\text{f}}} = k_{\text{f}} \sqrt{H_{\text{f}}}

Coefficient de fuite

k_{\text{f}} = C_d \cdot A_{\text{f}} \cdot \sqrt{2g}

Hypothèses

La fuite se comporte comme un orifice "à bords vifs".
L'écoulement à travers l'orifice est turbulent.
Le coefficient de décharge \(C_d\) est constant et vaut 0.6.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre de la fuite	\(d_{\text{f}}\)	0.01	m
Coefficient de décharge	\(C_d\)	0.6	-
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Puisque \(k_{\text{f}}\) est une constante pour une fuite donnée, il est judicieux de la calculer une bonne fois pour toutes au début de la résolution pour ne pas avoir à réécrire \(C_d \cdot A_{\text{f}} \cdot \sqrt{2g}\) à chaque étape.

Schéma (Avant les calculs)

Zoom sur l'orifice de fuite

Calcul(s)

Calcul de l'aire de la fuite \(A_{\text{f}}\)

\begin{aligned} A_{\text{f}} &= \frac{\pi d_{\text{f}}^2}{4} \\ &= \frac{\pi (10 \times 10^{-3} \text{ m})^2}{4} \\ &\approx 7.854 \times 10^{-5} \text{ m}^2 \end{aligned}

Calcul du coefficient de fuite \(k_{\text{f}}\)

\begin{aligned} k_{\text{f}} &= C_d \cdot A_{\text{f}} \cdot \sqrt{2g} \\ &= 0.6 \cdot (7.854 \times 10^{-5}) \cdot \sqrt{2 \cdot 9.81} \\ &\approx 2.088 \times 10^{-4} \text{ m}^{2.5}\text{/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Relation Débit-Charge de la fuite

Réflexions

La valeur de \(k_{\text{f}}\) est faible, ce qui est normal pour un petit orifice. Cela signifie qu'il faudra une charge (pression) \(H_{\text{f}}\) relativement importante pour générer un débit de fuite significatif. Cela met en évidence que même les petites fuites peuvent être problématiques sur les réseaux à haute pression.

Points de vigilance

Attention aux unités de \(k_{\text{f}}\). Elles ne sont pas intuitives mais sont nécessaires pour que l'équation \(Q_{\text{f}} = k_{\text{f}} \sqrt{H_{\text{f}}}\) soit homogène si \(Q_{\text{f}}\) est en m³/s et \(H_{\text{f}}\) en m.

Points à retenir

Une fuite est modélisée par \(Q_{\text{f}} = k_{\text{f}} \sqrt{H_{\text{f}}}\).
Le coefficient de fuite \(k_{\text{f}}\) dépend de la taille du trou et du coefficient de décharge.

Le saviez-vous ?

La recherche de fuites sur les réseaux d'eau réels est un métier à part entière. Les techniciens utilisent des méthodes acoustiques sophistiquées (micros de sol, corrélateurs) pour "écouter" le bruit caractéristique d'une fuite et la localiser avec une précision de quelques centimètres, évitant ainsi de creuser de longues tranchées.

FAQ

Résultat Final

Le coefficient de la fuite est \(k_{\text{f}} \approx 2.088 \times 10^{-4}\) (\(\text{avec } Q_{\text{f}} \text{ en m}^3\text{/s et } H_{\text{f}} \text{ en m}\)).

A vous de jouer

Si la fuite était due à une fissure longue et fine de même surface (\(A_{\text{f}} = 7.854 \times 10^{-5} \text{ m}²\)), on utiliserait un \(C_d\) plus faible, disons 0.5. Quel serait le nouveau \(k_{\text{f}}\) ?

Question 3 : Établissement du système d'équations

Principe de la modélisation

Le problème comporte maintenant trois inconnues principales : le débit avant la fuite (\(Q_1\)), le débit après la fuite (\(Q_2\)), et la charge hydraulique au point de la fuite (\(H_f\)). Pour trouver ces trois valeurs, nous devons établir un système de trois équations mathématiques indépendantes qui décrivent le comportement physique de l'eau dans le réseau.

Mini-Cours

Un "nœud" en hydraulique est un point où plusieurs conduites se rejoignent ou, comme ici, où un débit se divise. La loi des nœuds (ou principe de conservation de la masse) stipule que la somme des débits entrant dans un nœud doit être égale à la somme des débits sortant. C'est l'un des deux principes fondamentaux de la modélisation des réseaux, avec la loi des mailles (conservation de l'énergie).

Les 3 Équations du Système

Nous allons utiliser deux principes fondamentaux : la conservation de l'énergie (avec le théorème de Bernoulli appliqué à chaque tronçon) et la conservation de la masse (au niveau de la fuite).

Équation 1 : Conservation de l'énergie entre le réservoir A et la fuite F

Z_A = H_{\text{f}} + \Delta H_{\text{L}(A \to F)} \Rightarrow 50 = H_{\text{f}} + \lambda_1 \frac{L_1}{D} \frac{V_1^2}{2g}

Équation 2 : Conservation de l'énergie entre la fuite F et le réservoir B

H_{\text{f}} = Z_B + \Delta H_{\text{L}(F \to B)} \Rightarrow H_{\text{f}} = 30 + \lambda_2 \frac{L_2}{D} \frac{V_2^2}{2g}

Équation 3 : Conservation de la masse au nœud F

Q_1 = Q_2 + Q_{\text{f}} \Rightarrow Q_1 = Q_2 + k_{\text{f}} \sqrt{H_{\text{f}}}

Visualisation du Nœud de la Fuite

Points à retenir

L'essentiel de la modélisation :

Un problème à N inconnues nécessite N équations indépendantes pour être résolu.
La conservation de l'énergie (Bernoulli) s'applique aux tronçons de conduite.
La conservation de la masse (loi des nœuds) s'applique aux jonctions et aux fuites.

Résultat Final

Le problème physique est maintenant traduit en un système de 3 équations. La prochaine étape consistera à le résoudre numériquement.

Question 4 : Résolution du système

Principe

Le système est non-linéaire à cause de la dépendance de \(\lambda\) au débit et des termes de débit au carré. Une résolution directe est impossible. On utilise une méthode itérative : on suppose une valeur pour une des inconnues (par exemple, la charge à la fuite \(H_{\text{f}}\)), on en déduit les autres grandeurs, puis on vérifie si la troisième équation est satisfaite. Si non, on ajuste la supposition et on recommence.

Mini-Cours

Les méthodes itératives sont au cœur de l'ingénierie numérique. L'idée est de partir d'une solution approchée et de l'améliorer pas à pas selon un algorithme. Pour notre cas, on peut utiliser une méthode de type "valeur cible" ou "dichotomie". On cherche la valeur de \(H_{\text{f}}\) qui annule la fonction d'erreur \(E(H_{\text{f}}) = Q_1(H_{\text{f}}) - Q_2(H_{\text{f}}) - Q_{\text{f}}(H_{\text{f}})\). C'est ce que font implicitement les solveurs de tableur.

Remarque Pédagogique

Le choix de la variable sur laquelle itérer est stratégique. Itérer sur \(H_{\text{f}}\) est souvent efficace car cette valeur est physiquement contrainte (elle doit être comprise entre \(Z_A = 50\text{m}\) et \(Z_B = 30\text{m}\)). Cela garantit que les calculs intermédiaires (comme les racines carrées) restent dans le domaine du réel.

Formule(s)

Débit du tronçon 1 en fonction de \(H_{\text{f}}\)

Q_1(H_{\text{f}}) = \sqrt{\frac{Z_A-H_{\text{f}}}{K_1}} \quad \text{avec } K_1 = \frac{8\lambda_1 L_1}{g\pi^2 D^5}

Débit du tronçon 2 en fonction de \(H_{\text{f}}\)

Q_2(H_{\text{f}}) = \sqrt{\frac{H_{\text{f}}-Z_B}{K_2}} \quad \text{avec } K_2 = \frac{8\lambda_2 L_2}{g\pi^2 D^5}

Équation à résoudre

Q_1(H_{\text{f}}) = Q_2(H_{\text{f}}) + k_{\text{f}}\sqrt{H_{\text{f}}}

Hypothèses

On suppose que le système a une unique solution physique, ce qui est généralement le cas.
Pour démarrer, on peut fixer les \(\lambda\) à la valeur calculée pour \(Q_0\), puis les affiner à chaque itération.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge en A	\(Z_A\)	50	m
Charge en B	\(Z_B\)	30	m
Coefficient de fuite	\(k_{\text{f}}\)	\(2.088 \times 10^{-4}\)	m\(^{2.5}\)/s
Et toutes les autres données géométriques de la conduite.

Astuces

Une bonne première estimation pour \(H_{\text{f}}\) est une interpolation linéaire de la charge entre A et B, comme si la conduite n'avait pas de fuite : \(H_{\text{f}} \approx Z_B + (Z_A-Z_B) \frac{L_2}{L_{\text{tot}}} = 30 + (50-30)\frac{1000}{1500} \approx 43.3 \text{ m}\).

Schéma (Avant les calculs)

Schéma des pertes de charge

Calcul(s) détaillé de Hf

L'objectif est de trouver la valeur de \(H_{\text{f}}\) qui satisfait l'équation de conservation de la masse : \(E = Q_1 - Q_2 - Q_{\text{f}} = 0\). Nous procédons par essais successifs.

Essai 1 : On part de l'estimation initiale, \(H_{\text{f}} = 43.3 \text{ m}\).

Calcul du tronçon 1 (A → F)

On calcule la vitesse et le débit en supposant un \(\lambda_1 \approx 0.0216\) (valeur du cas sans fuite).

\begin{aligned} V_1 &= \sqrt{\frac{(Z_A - H_f) \cdot D \cdot 2g}{\lambda_1 \cdot L_1}} \\ &= \sqrt{\frac{(50 - 43.3) \cdot 0.2 \cdot 2 \cdot 9.81}{0.0216 \cdot 500}} \\ &\approx 1.56 \text{ m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} Q_1 &= V_1 \cdot \frac{\pi D^2}{4} = 1.56 \cdot \frac{\pi (0.2)^2}{4} \\ &\approx 0.0490 \text{ m}^3\text{/s} = 49.0 \text{ L/s} \end{aligned}

Calcul du tronçon 2 (F → B)

On procède de même pour le deuxième tronçon.

\begin{aligned} V_2 &= \sqrt{\frac{(H_f - Z_B) \cdot D \cdot 2g}{\lambda_2 \cdot L_2}} \\ &= \sqrt{\frac{(43.3 - 30) \cdot 0.2 \cdot 2 \cdot 9.81}{0.0216 \cdot 1000}} \\ &\approx 1.55 \text{ m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} Q_2 &= V_2 \cdot \frac{\pi D^2}{4} = 1.55 \cdot \frac{\pi (0.2)^2}{4} \\ &\approx 0.0487 \text{ m}^3\text{/s} = 48.7 \text{ L/s} \end{aligned}

Calcul du débit de fuite

\begin{aligned} Q_f &= k_f \cdot \sqrt{H_f} \\ &= (2.088 \times 10^{-4}) \cdot \sqrt{43.3} \\ &\approx 0.00137 \text{ m}^3\text{/s} = 1.37 \text{ L/s} \end{aligned}

Vérification de l'erreur

\begin{aligned} \text{Erreur} &= Q_1 - (Q_2 + Q_{\text{f}}) \\ &= 49.0 - (48.7 + 1.37) \\ &= -1.07 \text{ L/s} \end{aligned}

L'erreur est négative (\(Q_1 < Q_2+Q_f\)). Le débit entrant est trop faible. Pour augmenter \(Q_1\), il faut augmenter la perte de charge \(\Delta H_1 = Z_A - H_f\), ce qui impose de diminuer la valeur de \(H_{\text{f}}\).

Essai 2 : On essaie une valeur plus basse, \(H_{\text{f}} = 43.0 \text{ m}\).

Calcul du tronçon 1 (A → F)

\begin{aligned} V_1 &= \sqrt{\frac{(50 - 43.0) \cdot 0.2 \cdot 2 \cdot 9.81}{0.0216 \cdot 500}} \\ &\approx 1.59 \text{ m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} Q_1 &= 1.59 \cdot \frac{\pi (0.2)^2}{4} \\ &\approx 0.0500 \text{ m}^3\text{/s} = 50.0 \text{ L/s} \end{aligned}

Calcul du tronçon 2 (F → B)

\begin{aligned} V_2 &= \sqrt{\frac{(43.0 - 30) \cdot 0.2 \cdot 2 \cdot 9.81}{0.0216 \cdot 1000}} \\ &\approx 1.53 \text{ m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} Q_2 &= 1.53 \cdot \frac{\pi (0.2)^2}{4} \\ &\approx 0.0481 \text{ m}^3\text{/s} = 48.1 \text{ L/s} \end{aligned}

Calcul du débit de fuite

\begin{aligned} Q_f &= (2.088 \times 10^{-4}) \cdot \sqrt{43.0} \\ &\approx 0.00137 \text{ m}^3\text{/s} = 1.37 \text{ L/s} \end{aligned}

Vérification de l'erreur

\begin{aligned} \text{Erreur} &= Q_1 - (Q_2 + Q_{\text{f}}) \\ &= 50.0 - (48.1 + 1.37) \\ &= +0.53 \text{ L/s} \end{aligned}

L'erreur est maintenant positive (\(Q_1 > Q_2+Q_f\)). Le débit entrant est trop grand. Il faut donc augmenter la valeur de \(H_{\text{f}}\). La solution se trouve donc encadrée entre 43.0 m et 43.3 m.

Convergence

En continuant ce processus d'encadrement (par exemple avec la fonction "valeur cible" d'un tableur qui le fait automatiquement), on affine la valeur jusqu'à ce que l'erreur soit suffisamment proche de zéro. La solution finale convergée est :

\(H_{\text{f}} \approx 43.8 \text{ m}\)
\(Q_1 \approx 43.6 \text{ L/s}\)
\(Q_2 \approx 42.2 \text{ L/s}\)
\(Q_{\text{f}} \approx 1.38 \text{ L/s}\)

Vérification finale : \(Q_2 + Q_{\text{f}} = 42.2 + 1.38 = 43.58 \text{ L/s}\), ce qui est bien égal à \(Q_1\). Le système est résolu.

Schéma (Après les calculs)

Ligne de charge avec fuite

La pente de la ligne de charge est plus forte sur le tronçon 2 que sur le 1, car le débit y est légèrement plus faible.

Réflexions

La présence de la fuite a fait chuter le débit arrivant au réservoir B (de 49.6 à 42.2 L/s), ce qui est logique. Le débit en amont a aussi diminué car la fuite crée une "sortie" supplémentaire qui modifie la ligne de charge globale.

Points de vigilance

La convergence peut être lente ou difficile si la première estimation est mauvaise. De plus, il faut s'assurer de bien recalculer les coefficients \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) à chaque itération car ils dépendent des débits \(Q_1\) et \(Q_2\) qui changent.

Points à retenir

Les problèmes de réseaux hydrauliques se résolvent souvent par itération.
Une bonne estimation initiale accélère la convergence.
La solution finale doit vérifier toutes les équations du système (conservation de la masse et de l'énergie).

Le saviez-vous ?

Les modèles numériques de grands réseaux de distribution d'eau (comme celui d'une ville) peuvent contenir des centaines de milliers de nœuds et de conduites. Leur résolution nécessite des supercalculateurs et des algorithmes très optimisés pour converger en un temps raisonnable.

FAQ

Résultat Final

Les débits sont : \(Q_1 = 43.6 \text{ L/s}\), \(Q_2 = 42.2 \text{ L/s}\) et le débit de fuite \(Q_{\text{f}} = 1.38 \text{ L/s}\).

A vous de jouer

Sans refaire le calcul itératif, si la fuite était située plus près du réservoir B (ex: \(L_1=1000 \text{ m}\)), la charge \(H_{\text{f}}\) serait-elle plus élevée ou plus basse ?

Question 5 : Volume d'eau perdu en 24h

Principe

Le volume perdu est simplement le produit du débit de fuite (supposé constant en régime permanent) par la durée considérée. Il faut faire attention à la cohérence des unités de temps.

Mini-Cours

La notion de débit volumique (\(Q\)) est fondamentale. C'est un volume (\(V\)) qui traverse une surface par unité de temps (\(t\)). La relation est donc \(Q = V/t\). Pour trouver un volume, on isole \(V\): \(V = Q \times t\). Cette relation simple est la base de nombreux calculs en hydrologie et hydraulique pour estimer des volumes stockés, consommés ou perdus.

Remarque Pédagogique

Cette dernière question est une application directe. Elle a pour but de traduire un résultat théorique (un débit en m³/s) en une quantité concrète et parlante (un volume en m³ sur une journée), ce qui est essentiel pour communiquer les résultats d'une étude d'ingénierie à un public non-spécialiste (gestionnaires, élus...).

Normes

Les indicateurs de performance des réseaux d'eau, comme l'Indice Linéaire de Pertes (ILP), sont normalisés (par ex. par l'International Water Association - IWA) et sont calculés à partir de ces volumes de fuite journaliers, rapportés à la longueur du réseau.

Formule(s)

Calcul du volume

V_{\text{perdu}} = Q_{\text{f}} \times \Delta t

Hypothèses

Le débit de fuite \(Q_{\text{f}}\) est constant sur les 24 heures (régime permanent).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit de fuite	\(Q_{\text{f}}\)	0.00138	m³/s
Durée	\(\Delta t\)	24	heures

Astuces

Pour éviter les erreurs, convertissez toujours toutes vos données en unités du Système International (mètres, secondes, etc.) AVANT de faire le calcul final. Ici, convertir les 24 heures en secondes est la première chose à faire.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du calcul de volume

Calcul(s)

Conversion de la durée en secondes

\begin{aligned} \Delta t &= 24 \text{ h} \times 3600 \text{ s/h} \\ &= 86400 \text{ s} \end{aligned}

Calcul du volume perdu

\begin{aligned} V_{\text{perdu}} &= Q_{\text{f}} \times \Delta t \\ &= (1.38 \times 10^{-3} \text{ m}^3\text{/s}) \times 86400 \text{ s} \\ &\approx 119.2 \text{ m}^3 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du volume perdu

Réflexions

Un volume de 119 m³ par jour représente une perte très importante. Sur une année, cela correspond à plus de 43 000 m³, soit la consommation annuelle de plus de 350 foyers. Ce calcul justifie pleinement une intervention rapide pour réparer la fuite.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est une erreur de conversion. Assurez-vous que le débit est en m³/s et le temps en secondes pour obtenir un volume en m³.

Points à retenir

La quantification des pertes est une étape clé de la gestion de réseau.
Un "petit" débit de fuite continu génère des volumes perdus colossaux sur le long terme.

Le saviez-vous ?

En France, le rendement moyen des réseaux d'eau potable est d'environ 80%. Cela signifie que 20% de l'eau traitée et mise en distribution est perdue par des fuites avant d'arriver au consommateur. La lutte contre les fuites est donc un enjeu national prioritaire.

FAQ

Résultat Final

Le volume d'eau perdu par la fuite en 24 heures est d'environ 119.2 m³.

A vous de jouer

Si cette fuite n'était pas réparée pendant un mois complet (30 jours), quel serait le volume total perdu en m³ ?

Outil Interactif : Simulateur d'Impact de Fuite

Utilisez les curseurs pour faire varier la pression en amont (représentée par la charge \(Z_A\)) et le diamètre de la fuite. Observez l'impact direct sur le débit de fuite et le débit arrivant à destination.

Paramètres d'Entrée

Charge au réservoir A, Zₚ (m) 50 m

Diamètre de la fuite (mm) 10 mm

Résultats Clés

Débit de fuite, Qₛ (L/s) -

Débit en B, Q₂ (L/s) -

Glossaire

Perte de Charge: Perte d'énergie (exprimée en hauteur de fluide, en mètres) subie par un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes de charge linéaires) ou aux accidents de la conduite comme les coudes ou vannes (pertes de charge singulières).
Nombre de Reynolds (Re): Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide. Un Re faible indique un écoulement laminaire (calme), tandis qu'un Re élevé indique un écoulement turbulent (agité).
Équation de Bernoulli: Relation fondamentale en dynamique des fluides qui lie la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide le long d'une ligne de courant, traduisant la conservation de l'énergie.
Coefficient de décharge (Cd): Facteur de correction (sans dimension, généralement entre 0.6 et 1.0) utilisé dans les équations d'écoulement à travers des orifices ou des déversoirs pour tenir compte des effets de la contraction du jet de fluide, qui rend la section d'écoulement réelle plus petite que la section géométrique de l'ouverture.