ÉTUDE HYDRAULIQUE

Modélisation de la rupture d’un petit barrage

Modélisation de la Rupture d'un Petit Barrage

Modélisation de la rupture d'un petit barrage

Comprendre la Rupture de Barrage

La rupture d'un barrage est un des événements les plus catastrophiques en génie civil, libérant une onde de submersion dévastatrice. La modélisation de cette onde est essentielle pour établir les plans de secours et cartographier les zones inondables. Pour une rupture idéalisée, instantanée et totale, la solution analytique de Ritter fournit une première estimation simple mais puissante des caractéristiques de l'onde. Elle décrit comment le volume d'eau stocké se propage sous la forme d'une onde négative vers l'amont (vidange du réservoir) et d'une onde positive vers l'aval (le front de l'inondation).

Données de l'étude

On modélise la rupture instantanée et totale d'un barrage retenant un réservoir d'eau initialement au repos.

Caractéristiques du barrage et du réservoir :

  • Hauteur d'eau initiale dans le réservoir (\(y_0\)) : \(8.0 \, \text{m}\)
  • Longueur du réservoir (\(L\)) : \(500 \, \text{m}\)
  • Hypothèse : Le lit de la rivière à l'aval est sec.
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma de l'Onde de Rupture (Solution de Ritter)
État Initial (t=0) y_0 Front d'onde État t > 0 Onde de vidange h(t)

Profil de la ligne d'eau avant et juste après la rupture du barrage.

Questions à traiter

  1. Calculer la célérité du front d'onde (\(c_0\)) juste après la rupture.
  2. Calculer la vitesse de l'eau (\(V\)) juste derrière le front d'onde.
  3. Déterminer la hauteur du front d'onde (\(y_f\)) selon la solution de Ritter.
  4. Calculer la célérité de l'onde de vidange qui se propage vers l'amont.
  5. Calculer le temps nécessaire pour que le réservoir se vide complètement (\(t_v\)).

Correction : Modélisation de la Rupture d'un Barrage

Question 1 : Célérité du Front d'Onde (\(c_0\))

Principe :

Selon la théorie de Ritter pour une rupture sur lit sec, le front de l'onde de submersion se propage vers l'aval à une vitesse (célérité) qui ne dépend que de la hauteur d'eau initiale dans le réservoir.

Formule(s) utilisée(s) :
\[c_0 = 2 \sqrt{g y_0}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} c_0 &= 2 \sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 8.0 \, \text{m}} \\ &= 2 \sqrt{78.48} \\ &= 2 \times 8.859 \\ &\approx 17.72 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Soit environ 64 km/h, ce qui illustre la rapidité et le danger du phénomène.

Résultat Question 1 : La célérité initiale du front d'onde est d'environ \(17.72 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Vitesse de l'Eau (\(V\))

Principe :

La théorie de Ritter montre que la vitesse des particules d'eau juste derrière le front de l'onde est égale à la célérité du front d'onde lui-même.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V = c_0 = 2 \sqrt{g y_0}\]
Résultat Question 2 : La vitesse de l'eau derrière le front d'onde est \(V \approx 17.72 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Hauteur du Front d'Onde (\(y_f\))

Principe :

Une des conclusions de la solution de Ritter est que la hauteur d'eau sur le front de l'onde n'est pas nulle. Elle est constante et vaut une fraction de la hauteur initiale du barrage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_f = \frac{4}{9} y_0\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_f &= \frac{4}{9} \times 8.0 \, \text{m} \\ &\approx 3.56 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La hauteur du front d'onde est d'environ \(3.56 \, \text{m}\).

Question 4 : Célérité de l'Onde de Vidange

Principe :

Simultanément à l'onde qui part vers l'aval, une onde négative (de vidange) part vers l'amont, à l'intérieur du réservoir. Sa célérité est également donnée par la théorie de Ritter.

Formule(s) utilisée(s) :
\[c_{\text{amont}} = \sqrt{g y_0}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} c_{\text{amont}} &= \sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 8.0 \, \text{m}} \\ &= \sqrt{78.48} \\ &\approx 8.86 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La célérité de l'onde de vidange vers l'amont est d'environ \(8.86 \, \text{m/s}\).

Question 5 : Temps de Vidange du Réservoir (\(t_v\))

Principe :

Le réservoir est considéré comme complètement vide lorsque l'onde de vidange, partie du barrage, a atteint l'extrémité amont du réservoir.

Formule(s) utilisée(s) :
\[t_v = \frac{L}{c_{\text{amont}}}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_v &= \frac{500 \, \text{m}}{8.86 \, \text{m/s}} \\ &\approx 56.4 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le temps de vidange total du réservoir est d'environ 56 secondes.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La solution de Ritter pour la rupture de barrage suppose que la rupture est :

2. Selon cette théorie, si la hauteur du barrage double, la vitesse du front d'onde :

3. L'onde de vidange qui se propage vers l'amont est :

Glossaire

Onde de Rupture de Barrage
Onde de submersion massive qui se propage vers l'aval suite à la défaillance d'un barrage. Elle est caractérisée par une montée très rapide des eaux et des vitesses élevées.
Solution de Ritter
Solution analytique classique pour le problème de la rupture d'un barrage (problème du "dam break"), qui suppose une rupture instantanée et totale sur un lit horizontal et sec.
Onde Positive
Onde qui provoque une surélévation du niveau de l'eau, se propageant vers l'aval dans le cas d'une rupture de barrage.
Onde Négative
Onde qui provoque un abaissement du niveau de l'eau, se propageant vers l'amont dans le réservoir après la rupture, causant sa vidange.
Hydraulique et Gestion des Risques - Exercice d'Application

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