Modélisation de la rupture d'un petit barrage

Contexte : L'Hydraulique à Surface LibreBranche de la mécanique des fluides qui étudie les écoulements où une surface est en contact avec l'atmosphère (rivières, vagues, etc.)..

La rupture de barrage est un phénomène hydraulique complexe et potentiellement dévastateur. Sa modélisation est cruciale pour l'évaluation des risques et la conception des plans d'urgence. Cet exercice se concentre sur le cas idéalisé, mais fondamental, de la rupture instantanée d'un barrage retenant de l'eau immobile, se propageant sur un lit sec. Nous utiliserons la solution analytique classique (solution de Ritter) issue des équations de Saint-Venant 1D.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les équations de Saint-VenantSystème d'équations aux dérivées partielles qui décrit les écoulements à surface libre unidimensionnels. pour simuler une onde de rupture et comprendre les concepts clés de sa propagation (vitesse du front, hauteur d'eau, écoulement critique).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le phénomène physique d'une rupture de barrage sur fond sec.
Appliquer la solution de RitterSolution analytique exacte pour le problème de la rupture de barrage sur fond sec, sans frottement, basée sur les équations de Saint-Venant..
Calculer la célérité du front de l'onde, la hauteur d'eau et la vitesse du fluide.
Identifier la condition d'écoulement critiqueRégime d'écoulement où la vitesse du fluide est égale à la célérité de l'onde (Nombre de Froude = 1)..

Données de l'étude

On étudie un canal rectangulaire très large, considéré comme unidimensionnel (1D). Un barrage, situé à \(x=0\), retient une hauteur d'eau immobile \(h_g\) à l'amont (gauche, \(x<0\)). L'aval (droit, \(x>0\)) est un lit sec, \(h_d = 0\). À l'instant \(t=0\), le barrage est supposé disparaître instantanément. On néglige le frottement sur le fond et la pente du canal.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type d'écoulement	Non-permanent, 1D, surface libre
Problème type	Problème de RiemannProblème mathématique consistant à résoudre un système d'équations avec des données initiales discontinues (comme un barrage qui casse). (fond sec)
Hypothèses clés	Canal rectangulaire large, sans frottement, sans pente

Configuration Initiale (t=0)

Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
\(h_g\)	Hauteur amont (gauche) à t=0	10	m
\(h_d\)	Hauteur aval (droit) à t=0	0	m
\(g\)	Accélération de la gravité	9.81	m/s²

Questions à traiter

Rappeler la forme simplifiée (sans frottement ni pente) des équations de Saint-Venant 1D pour un canal rectangulaire (conservation de la masse et de la quantité de mouvement).
Décrire qualitativement la solution attendue (type d'ondes) après la rupture à \(t > 0\).
Calculer la célérité du front de l'onde (vitesse maximale de propagation), notée \(c_{\text{front}}\).
Calculer la hauteur d'eau \(h(x=0)\) et la vitesse \(u(x=0)\) qui s'établissent à l'emplacement de l'ancien barrage.
À quel instant \(t\) le front de l'onde atteindra-t-il un point situé à \(x = 5 \text{ km}\) en aval ?

Les bases sur les Équations de Saint-Venant

Les écoulements non-permanents à surface libre dans un canal (comme une rivière ou une onde de rupture) sont décrits par les équations de Saint-Venant. Elles sont issues des principes de conservation de la masse et de la quantité de mouvement (similaires aux lois de Newton pour les fluides).

1. Conservation de la Masse (Continuité)
Pour un canal rectangulaire de largeur \(b\), la hauteur est \(h\). La section mouillée est \(A = bh\). Le débit est \(Q = A \cdot u = (bh)u\). L'équation de continuité 1D s'écrit : \[ \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial (bh)}{\partial t} + \frac{\partial (bhu)}{\partial x} = 0 \] Si la largeur \(b\) est constante, elle se simplifie en : \[ \frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial (hu)}{\partial x} = 0 \]

2. Conservation de la Quantité de Mouvement
Cette équation exprime l'équilibre des forces (gravité, pression, frottement) et l'accélération du fluide (terme de convection). Pour un canal rectangulaire, en négligeant la pente (\(S_0=0\)) et le frottement (\(S_f=0\)), l'équation s'écrit : \[ \frac{\partial (hu)}{\partial t} + \frac{\partial (hu^2 + \frac{1}{2}gh^2)}{\partial x} = 0 \] Le terme \(hu^2\) représente la convection (transport de q.d.m.) et le terme \(\frac{1}{2}gh^2\) représente la force de pression hydrostatique.

Correction : Modélisation de la rupture d’un petit barrage

Question 1 : Rappeler les équations de Saint-Venant (simplifiées)

Principe

On demande les deux équations fondamentales qui régissent le problème : la conservation de la masse (l'eau ne disparaît pas) et la conservation de la quantité de mouvement (les forces appliquées au fluide sont égales à son accélération).

Mini-Cours

Les équations de Saint-Venant forment un système d'équations aux dérivées partielles hyperbolique. Dans notre cas (canal rectangulaire, pas de frottement, pas de pente), elles représentent la forme la plus pure du transport d'ondes (similaire à la dynamique des gaz). Le débit linéique (par unité de largeur) est noté \(q = hu\).

Formule(s)

Les deux équations demandées sont :

1. Conservation de la Masse

\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial (hu)}{\partial x} = 0

2. Conservation de la Quantité de Mouvement

\frac{\partial (hu)}{\partial t} + \frac{\partial (hu^2 + \frac{1}{2}gh^2)}{\partial x} = 0

Points à retenir

Ces équations ne sont pas linéaires à cause des termes \(hu\), \(hu^2\) et \(h^2\).
C'est un système hyperbolique, ce qui signifie que l'information se propage à des vitesses finies (les célérités des ondes).

Résultat Final

Les équations de Saint-Venant 1D simplifiées sont \(\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial (hu)}{\partial x} = 0\) et \(\frac{\partial (hu)}{\partial t} + \frac{\partial (hu^2 + \frac{1}{2}gh^2)}{\partial x} = 0\).

Question 2 : Décrire qualitativement la solution (t > 0)

Principe

La discontinuité initiale (barrage) à \(t=0\) se résout en deux ondes. L'eau retenue (\(x<0\)) "apprend" que le barrage a disparu via une onde qui se propage vers l'amont (gauche). L'eau se propage ensuite vers l'aval (\(x>0\)) sur le lit sec.

Mini-Cours

C'est la solution de Ritter. L'onde se propageant vers l'amont (gauche) est une onde de détente (ou raréfaction) : la hauteur d'eau diminue progressivement. L'onde se propageant vers l'aval (droit) est le front de l'onde, qui avance sur le lit sec. La solution analytique montre que le profil de l'eau entre ces deux ondes est une parabole.

Schéma (Après les calculs)

Le profil de la ligne d'eau à un instant \(t > 0\) ressemble à ceci :

Profil de l'onde à t > 0 (Solution de Ritter)

Résultat Final

La rupture génère une onde de détente (raréfaction) qui se propage vers l'amont (faisant baisser le niveau d'eau) et un front d'onde qui se propage à grande vitesse sur le lit sec en aval.

Question 3 : Calculer la célérité du front de l'onde, \(c_{\text{front}}\)

Principe

La vitesse du front de l'onde sur un lit sec est la vitesse maximale que l'eau peut atteindre. Elle est déterminée par la solution des caractéristiques (Solution de Ritter).

Mini-Cours

La célérité d'une onde de gravité (comme une vague) dans l'eau peu profonde est \(c = \sqrt{gh}\). La solution de Ritter montre que le front de l'onde sur un lit sec se déplace à une vitesse double de la célérité initiale de l'eau, \(2 \times \sqrt{gh_g}\), car l'eau "tombe" et "pousse" le front simultanément.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de ne pas confondre la célérité de l'onde (\(c = \sqrt{gh}\)) avec la vitesse du fluide (\(u\)) ou la vitesse du front de l'onde. Ici, la vitesse du front se trouve être égale à la vitesse du fluide à cet endroit précis (\(u_{\text{max}} = c_{\text{front}}\)).

Normes

Ce calcul n'est pas directement normatif (comme un Eurocode), mais il représente la solution analytique de référence (un "benchmark") utilisée pour valider les modèles numériques de simulation d'inondation (comme HEC-RAS, TELEMAC, etc.) dans des cas simples.

Formule(s)

La solution de Ritter montre que la vitesse du front de l'onde (\(c_{\text{front}}\), qui est aussi la vitesse maximale du fluide \(u_{\text{max}}\) à la pointe de l'onde) est donnée par :

c_{\text{front}} = u_g + 2\sqrt{gh_g}

où \(u_g\) est la vitesse initiale de l'eau (ici, \(u_g = 0\)).

Hypothèses

Ce calcul est valide sous les hypothèses de la solution de Ritter :

Rupture instantanée (t=0).
Canal rectangulaire, infiniment large (pas d'effets de bord).
Lit sec en aval (\(h_d = 0\)).
Pas de frottement sur le fond (\(S_f = 0\)).
Pas de pente de fond (\(S_0 = 0\)).

Donnée(s)

Nous utilisons les données initiales :

\(h_g = 10 \text{ m}\)
\(u_g = 0 \text{ m/s}\)
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la célérité initiale \(\sqrt{gh_g}\)

\sqrt{gh_g} = \sqrt{9.81 \times 10} = \sqrt{98.1} \approx 9.9045 \text{ m/s}

Étape 2 : Calcul de la vitesse du front

\begin{aligned} c_{\text{front}} &= u_g + 2\sqrt{gh_g} \\ &= 0 + 2 \times (9.9045 \text{ m/s}) \\ &= 19.809 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le front de l'onde est le point le plus à droite (\(x_{\text{front}}\)) de la masse d'eau en mouvement. Sa vitesse est constante.

Propagation du front d'onde

Réflexions

La vitesse de \(19.81 \text{ m/s}\) (plus de 71 km/h) est considérable. Elle est indépendante de la rugosité du lit dans ce modèle idéalisé, mais en réalité, le frottement ralentirait ce front.

Points de vigilance

Cette vitesse est très élevée ! \(19.81 \text{ m/s} \approx 71.3 \text{ km/h}\). Cela montre la puissance destructrice des ruptures de barrage. Notez que cette formule est valable *uniquement* pour un fond sec ( \(h_d = 0\) ).

Points à retenir

La vitesse du front sur fond sec est \(c_{\text{front}} = 2\sqrt{gh_g}\).
Elle est constante tant qu'il n'y a pas de frottement ou de changement de géométrie.
Elle est significativement plus rapide que la célérité \(\sqrt{gh_g}\) de l'eau immobile.

Le saviez-vous ?

Lors de la catastrophe du barrage de Malpasset en 1959, l'onde de rupture a atteint une hauteur de 40 mètres et s'est déplacée à environ 70 km/h, détruisant tout sur son passage en quelques minutes. Les modèles idéalisés, bien que simples, capturent bien cet ordre de grandeur.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Résultat Final

La célérité du front de l'onde est d'environ \(c_{\text{front}} = 19.81 \text{ m/s}\).

A vous de jouer

Si le barrage se situait sur la Lune (gravité \(g_L \approx 1.62 \text{ m/s}^2\)), quelle serait la vitesse du front ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Vitesse du front d'onde sur fond sec.
Formule Essentielle : \(c_{\text{front}} = 2\sqrt{gh_g}\).
Point de Vigilance : Ne pas confondre avec \(c = \sqrt{gh_g}\).

Question 4 : Calculer h et u à l'emplacement du barrage (x=0)

Principe

La solution de Ritter fournit le profil complet de la hauteur et de la vitesse à tout instant \(t > 0\). À la position \(x=0\), ces valeurs deviennent constantes.

Mini-Cours

La position \(x=0\) est particulière. Elle fait la transition entre l'onde de détente (qui remonte) et l'onde de propagation (qui descend). La théorie des caractéristiques montre qu'à cet endroit précis, l'écoulement devient "critique". Cela signifie que la vitesse du fluide \(u\) est exactement égale à la célérité de l'onde \(c = \sqrt{gh}\). Ce point agit comme un déversoir qui contrôle le débit s'échappant du réservoir amont.

Remarque Pédagogique

Le fait que \(h\) et \(u\) soient constants à \(x=0\) (pour \(t>0\)) est un résultat majeur. Cela signifie que le débit \((q = u \times h)\) s'échappant du réservoir est constant, tant que l'onde de détente n'a pas atteint le fond du réservoir amont.

Normes

La notion d'écoulement critique à \(x=0\) est fondamentale en hydraulique et est utilisée pour le dimensionnement des déversoirs et des vannes, où l'on cherche à maximiser le débit pour une hauteur d'eau amont donnée.

Formule(s)

La solution de Ritter donne les profils suivants pour la zone de détente (entre \(x = -t\sqrt{gh_g}\) et \(x = c_{\text{front}} \cdot t\)) :

h(x, t) = \frac{1}{9g} \left( 2\sqrt{gh_g} - \frac{x}{t} \right)^2

u(x, t) = \frac{2}{3} \left( \sqrt{gh_g} + \frac{x}{t} \right)

Nous évaluons ces équations à \(x=0\).

Hypothèses

Les mêmes hypothèses que pour la Q3 s'appliquent (solution de Ritter).

Donnée(s)

\(h_g = 10 \text{ m}\)
\(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)
\(\sqrt{gh_g} \approx 9.9045 \text{ m/s}\) (calculé à la Q3)

Astuces

Retenez simplement les ratios : à \(x=0\), la hauteur tombe à \(4/9\) de la hauteur initiale (\(h_0\)) et la vitesse atteint \(2/3\) de la célérité initiale (\(c_0 = \sqrt{gh_0}\)). C'est un résultat classique du problème de Riemann.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur le point fixe \(x=0\) après que la rupture ait eu lieu.

Zoom sur x=0 (pour t > 0)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la hauteur \(h(x=0)\)

\begin{aligned} h(0, t) &= \frac{1}{9g} \left( 2\sqrt{gh_g} - \frac{0}{t} \right)^2 \\ &= \frac{1}{9g} \left( 2\sqrt{gh_g} \right)^2 \\ &= \frac{4gh_g}{9g} = \frac{4}{9} h_g \\ &= \frac{4}{9} \times 10 \text{ m} \approx 4.444 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la vitesse \(u(x=0)\)

\begin{aligned} u(0, t) &= \frac{2}{3} \left( \sqrt{gh_g} + \frac{0}{t} \right) \\ &= \frac{2}{3} \sqrt{gh_g} \\ &= \frac{2}{3} \times (9.9045 \text{ m/s}) \approx 6.603 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma confirme la relation \(u=c\) à \(x=0\), ce qui prouve l'état critique.

Vérification de l'état critique à x=0

Variable	Formule	Valeur Calculée
Vitesse fluide (u)	2/3 * sqrt(gh_g)	6.603 m/s
Célérité onde (c)	sqrt(g * h(0)) = sqrt(g * 4/9 * h_g)	2/3 * sqrt(gh_g) = 6.603 m/s

Conclusion : u = c => Écoulement Critique (Froude = 1)

Réflexions

Écoulement Critique : Vérifions la céléritéVitesse de propagation d'une petite perturbation à la surface de l'eau, c = sqrt(gh). à \(x=0\).
\(c(x=0) = \sqrt{g \cdot h(x=0)} = \sqrt{g \cdot \frac{4}{9}h_g} = \frac{2}{3}\sqrt{gh_g}\).
Nous voyons que \(u(x=0) = c(x=0) \approx 6.60 \text{ m/s}\). L'écoulement à l'emplacement du barrage est un écoulement critique (Nombre de Froude \(Fr = u/c = 1\)). C'est une caractéristique fondamentale des écoulements passant d'un régime fluvial (amont) à un régime torrentiel (aval).

Points de vigilance

Ne supposez pas que la hauteur est la moyenne (\(h_g/2\)). La dynamique non-linéaire de l'écoulement conduit à ce ratio spécifique de \(4/9\) (environ 44.4%), qui est moins intuitif.

Points à retenir

À l'emplacement d'une rupture (fond sec), la hauteur se stabilise à \(h = 4/9 h_g\).
L'écoulement à cet endroit est critique (\(Fr=1\)), signifiant \(u = c = \sqrt{gh}\).
La vitesse est \(u = 2/3 \sqrt{gh_g}\).

FAQ

...

Résultat Final

À l'emplacement \(x=0\), la hauteur d'eau se stabilise à \(h = 4.44 \text{ m}\) et la vitesse à \(u = 6.60 \text{ m/s}\). L'écoulement y est critique.

A vous de jouer

Quelle serait la hauteur d'eau \(h\) à \(x=0\) si le barrage avait une hauteur initiale de \(h_g = 18 \text{ m}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : État critique à la rupture.
Formule Essentielle : \(h(0) = \frac{4}{9}h_g\) et \(u(0) = \frac{2}{3}\sqrt{gh_g}\).
Résultat : \(u(0) = c(0)\) \(\Rightarrow\) Froude = 1.

Question 5 : Temps pour atteindre x = 5 km

Principe

Le front de l'onde (la pointe de l'eau sur le lit sec) se déplace à une vitesse constante \(c_{\text{front}}\) que nous avons calculée à la Question 3.

Mini-Cours

Dans ce modèle sans frottement, la vitesse du front d'onde \(c_{\text{front}}\) est constante. Le problème se réduit donc à un simple calcul de cinématique (Mouvement Rectiligne Uniforme), où \(Distance = Vitesse \times Temps\). C'est la solution la plus rapide possible ; tout frottement ou obstacle ne ferait que ralentir l'onde.

Remarque Pédagogique

Ce calcul donne le "temps d'arrivée" minimal absolu. Pour les plans d'urgence (Plan Particulier d'Intervention), les ingénieurs utilisent des modèles numériques 2D qui incluent le frottement et la topographie réelle (vallées, obstacles), ce qui donne des temps d'arrivée plus longs et plus précis.

Normes

Les études d'impact et les cartes de zones inondables (comme les "zones rouges" dans les Plans de Prévention des Risques d'Inondation - PPRI) sont basées sur ces calculs, mais réalisés avec des outils numériques sophistiqués validés sur des cas-tests analytiques comme celui-ci.

Formule(s)

Pour un mouvement à vitesse constante, la relation est simple :

\text{Distance} = \text{Vitesse} \times \text{Temps} \quad \Rightarrow \quad \text{Temps} = \frac{\text{Distance}}{\text{Vitesse}}

Hypothèses

On suppose que la vitesse du front \(c_{\text{front}}\) reste constante sur toute la distance, ce qui implique que le canal reste rectangulaire, sans pente et sans frottement sur 5 km.

Donnée(s)

Distance \(D = 5 \text{ km} = 5000 \text{ m}\)
Vitesse \(V = c_{\text{front}} \approx 19.81 \text{ m/s}\) (résultat de la Q3)

Calcul(s)

Calcul du temps de parcours

\begin{aligned} T &= \frac{5000 \text{ m}}{19.81 \text{ m/s}} \\ &\approx 252.4 \text{ secondes} \end{aligned}

Pour convertir en minutes : \(252.4 \text{ s} / 60 \approx 4.207 \text{ minutes}\).
Soit environ 4 minutes et 12 secondes (\(0.207 \times 60 \approx 12\)).

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du parcours de l'onde dans le temps.

Chronométrie de l'onde

Réflexions

4 minutes et 12 secondes pour parcourir 5 km est extrêmement rapide et ne laisse quasiment aucun temps de réaction pour une évacuation, soulignant l'importance vitale des systèmes d'alerte précoce.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes avant le calcul final : la distance doit être en mètres (m), pas en kilomètres (km), pour correspondre à la vitesse en mètres par seconde (m/s).

Points à retenir

Le temps de parcours est \(T = D / V\).
La conversion d'unités (km \(\rightarrow\) m) est une étape critique.

Le saviez-vous ?

Les modèles de rupture de barrage 1D comme celui-ci sont très rapides à calculer. Les modèles 2D, plus précis pour la topographie, peuvent prendre plusieurs heures ou jours de calcul sur des supercalculateurs pour simuler l'inondation d'une vallée entière sur plusieurs dizaines de kilomètres.

FAQ

...

Résultat Final

Le front de l'onde atteindra le point situé à 5 km en aval en environ \(252.4 \text{ secondes}\) (soit 4 minutes et 12 secondes).

A vous de jouer

Si la hauteur du barrage était de \(h_g = 40 \text{ m}\) (4 fois plus haute), en combien de temps l'onde atteindrait-elle 5 km ? (La vitesse \(c_{\text{front}}\) est proportionnelle à \(\sqrt{h_g}\)).

Astuce : Si \(h_g\) est 4x plus grand, \(\sqrt{h_g}\) est 2x plus grand, donc \(c_{\text{front}}\) est 2x plus grand, et le temps \(T\) sera 2x plus petit.

Outil Interactif : Simulateur de Rupture (Fond Sec)

Utilisez le curseur pour modifier la hauteur initiale du barrage (\(h_g\)) et observez l'impact direct sur la vitesse du front de l'onde et la hauteur critique à l'emplacement du barrage (\(x=0\)). Le graphique montre le profil de la ligne d'eau 10 secondes après la rupture.

Paramètres d'Entrée

Hauteur amont (h_g) (m) 10 m

Résultats Clés

Vitesse du front (\(c_{\text{front}}\)) (m/s) -

Hauteur à x=0 (\(h_{x=0}\)) (m) -

Glossaire

Célérité (c): Vitesse de propagation d'une petite perturbation à la surface de l'eau. Dans un canal rectangulaire, \(c = \sqrt{gh}\).
Écoulement Critique: Régime d'écoulement où la vitesse du fluide \(u\) est égale à la célérité \(c\). Le Nombre de Froude \(Fr = u/c\) est égal à 1. C'est un point de contrôle hydraulique.
Équations de Saint-Venant: Système d'équations (basé sur la conservation de la masse et de la q.d.m.) qui décrit les écoulements à surface libre 1D.
Problème de Riemann: En hydraulique, problème mathématique consistant à résoudre les équations de Saint-Venant avec des données initiales discontinues (ex: un barrage qui casse, séparant deux états d'eau).
Solution de Ritter: Solution analytique exacte (sans frottement) pour le problème de la rupture de barrage sur un fond sec, dérivée de la méthode des caractéristiques.