Mesure de Pression avec un Manomètre à Tube en U

Comprendre la Mesure de Pression par Manométrie

Un manomètre à tube en U est un instrument simple et efficace pour mesurer la pression d'un fluide. Il fonctionne en équilibrant la pression du fluide à mesurer avec la pression d'une colonne d'un autre fluide, appelé fluide manométrique (souvent du mercure ou de l'eau colorée). La différence de hauteur entre les deux colonnes du fluide manométrique permet de déterminer la pression relative (ou manométrique) du fluide étudié. Ce principe est une application directe de la loi fondamentale de l'hydrostatique.

Données de l'étude

Un manomètre à tube en U contenant du mercure est utilisé pour mesurer la pression de l'eau circulant dans une conduite horizontale.

Caractéristiques physiques et géométriques :

Hauteur de dénivelé du mercure : \(h_m = 250 \, \text{mm}\)
Distance verticale entre le centre de la conduite et l'interface eau/mercure : \(h_e = 100 \, \text{mm}\)
Masse volumique de l'eau : \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
Masse volumique du mercure : \(\rho_{\text{mercure}} = 13600 \, \text{kg/m}^3\)
Pression atmosphérique : \(P_{\text{atm}} = 101.3 \, \text{kPa}\)
Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Schéma : Manomètre à tube en U

Le point A est au centre de la conduite. Le point B est à la même altitude que l'interface eau-mercure.

Questions à traiter

Écrire la relation de pression entre le point B (dans le tube de gauche) et la sortie à l'air libre (dans le tube de droite).
Calculer la pression manométrique (ou relative) au point B.
En déduire la pression manométrique au centre de la conduite (point A).
Calculer la pression absolue au point A.

Correction : Mesure de Pression avec un Manomètre à Tube en U

Question 1 : Relation de pression

Principe :

La loi fondamentale de l'hydrostatique stipule que dans un fluide continu au repos, tous les points situés à la même altitude ont la même pression. On choisit un plan de référence horizontal passant par l'interface des deux fluides (ici, l'interface eau-mercure). Le point B se trouve sur ce plan dans la branche gauche. Un point équivalent, appelons-le C, se trouve à la même altitude dans la branche droite, qui est remplie de mercure.

Formule(s) utilisée(s) :

P_B = P_C\] \[P_C = P_{\text{atm}} + \rho_{\text{mercure}} \cdot g \cdot h_m

La pression au point C est la somme de la pression atmosphérique (agissant sur la surface libre du mercure) et de la pression exercée par la colonne de mercure de hauteur \(h_m\).

Question 2 : Pression manométrique au point B

Principe :

La pression manométrique (ou relative) est la pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique. La pression manométrique au point C (et donc au point B) est simplement la pression exercée par la colonne de mercure, car la pression atmosphérique est notre référence (zéro manométrique).

Formule(s) utilisée(s) :

P_{B, \text{man}} = \rho_{\text{mercure}} \cdot g \cdot h_m

Données spécifiques (en unités SI) :

\(\rho_{\text{mercure}} = 13600 \, \text{kg/m}^3\)
\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
\(h_m = 250 \, \text{mm} = 0.25 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} P_{B, \text{man}} &= 13600 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 0.25 \, \text{m} \\ &= 33354 \, \text{Pa} \\ &= 33.35 \, \text{kPa} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La pression manométrique au point B est de \(33354 \, \text{Pa}\).

Question 3 : Pression manométrique au point A

Principe :

Maintenant, nous nous déplaçons verticalement dans l'eau du point B au point A. Comme nous montons dans le fluide, la pression diminue. La pression en A est donc la pression en B moins la pression exercée par la colonne d'eau de hauteur \(h_e\).

Formule(s) utilisée(s) :

P_{A, \text{man}} = P_{B, \text{man}} - \rho_{\text{eau}} \cdot g \cdot h_e

Données spécifiques (en unités SI) :

\(P_{B, \text{man}} = 33354 \, \text{Pa}\)
\(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
\(h_e = 100 \, \text{mm} = 0.10 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} P_{A, \text{man}} &= 33354 \, \text{Pa} - (1000 \times 9.81 \times 0.10) \, \text{Pa} \\ &= 33354 - 981 \\ &= 32373 \, \text{Pa} \\ &\approx 32.37 \, \text{kPa} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La pression manométrique au centre de la conduite est d'environ \(32.37 \, \text{kPa}\).

Question 4 : Pression absolue au point A

Principe :

La pression absolue est la somme de la pression manométrique et de la pression atmosphérique. Elle représente la pression totale par rapport au vide.

Formule(s) utilisée(s) :

P_{A, \text{abs}} = P_{A, \text{man}} + P_{\text{atm}}

Données spécifiques (en unités SI) :

\(P_{A, \text{man}} = 32373 \, \text{Pa}\)
\(P_{\text{atm}} = 101.3 \, \text{kPa} = 101300 \, \text{Pa}\)

Calcul :

\begin{aligned} P_{A, \text{abs}} &= 32373 \, \text{Pa} + 101300 \, \text{Pa} \\ &= 133673 \, \text{Pa} \\ &\approx 133.67 \, \text{kPa} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La pression absolue au centre de la conduite est d'environ \(133.67 \, \text{kPa}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un manomètre, si le fluide mesuré a une pression supérieure à la pression atmosphérique, le fluide manométrique dans la branche ouverte à l'air sera :

Plus bas que dans l'autre branche.
Plus haut que dans l'autre branche.
Au même niveau.

2. La pression manométrique peut être :

Uniquement positive.
Uniquement négative.
Positive, négative ou nulle.

Glossaire

Manomètre à tube en U: Instrument de mesure de la pression basé sur l'équilibre d'une colonne de liquide dans un tube en forme de U. Il mesure la différence de pression entre deux points.
Pression Manométrique (Relative): Pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique locale. Une pression manométrique négative est souvent appelée "dépression" ou "vide partiel".
Pression Absolue: Pression mesurée par rapport au vide parfait (0 Pa). C'est la somme de la pression manométrique et de la pression atmosphérique.
Fluide Manométrique: Liquide dense et non miscible avec le fluide mesuré, utilisé dans un manomètre. Le mercure est souvent utilisé pour mesurer de grandes pressions en raison de sa haute densité.