Mesure de Pression avec un Manomètre à Tube en U
Contexte : Les fondamentaux de l'hydraulique.
Cet exercice porte sur l'utilisation d'un manomètre à tube en UInstrument de mesure de la pression d'un fluide par la comparaison avec une autre pression, souvent la pression atmosphérique, grâce au décalage d'un liquide dans un tube., un outil fondamental en mécanique des fluides pour déterminer la pression d'un gaz ou d'un liquide. Nous allons analyser comment la différence de hauteur d'un liquide manométrique (ici, du mercure) permet de calculer la pression relative d'un gaz contenu dans un réservoir.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer le principe fondamental de l'hydrostatique pour résoudre un problème concret et de comprendre la relation directe entre la hauteur d'une colonne de fluide et la pression qu'elle exerce.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi fondamentale de l'hydrostatique.
- Calculer une pression relative à partir d'une mesure manométrique.
- Convertir des unités de pression (Pascals, bars, mm de mercure).
- Déterminer une dénivellation pour une pression donnée.
- Analyser l'influence de la masse volumique du fluide manométrique.
Données de l'étude
Schéma du montage expérimental
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique du mercure | \(\rho_{\text{Hg}}\) | 13600 | kg/m³ |
| Masse volumique de l'eau | \(\rho_{\text{eau}}\) | 1000 | kg/m³ |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| Pression atmosphérique locale | \(P_{\text{atm}}\) | 101325 | Pa |
| Dénivellation du mercure | \(h\) | 80 | mm |
Questions à traiter
- Calculer la pression relative du gaz en Pascals (Pa).
- Déterminer la pression absolue du gaz en Pascals (Pa).
- Exprimer la pression absolue du gaz en bars.
- Quelle serait la dénivellation \(h\) (en mm) si la pression relative du gaz était de 20 kPa ?
- Si l'on remplaçait le mercure par de l'eau, quelle serait la nouvelle dénivellation \(h'\) (en cm) pour la pression initiale du gaz ?
Les bases sur l'Hydrostatique
L'hydrostatique est la branche de la mécanique des fluides qui étudie les fluides au repos. Le principe fondamental régit la variation de pression au sein d'un fluide.
1. Principe Fondamental de l'Hydrostatique
La différence de pression entre deux points A et B dans un même fluide au repos est proportionnelle à la différence d'altitude \(z\) entre ces deux points.
\[ P_A - P_B = \rho \cdot g \cdot (z_B - z_A) \]
Où \(\rho\) est la masse volumique du fluide et \(g\) l'accélération de la pesanteur. Pour deux points à la même altitude (\(z_A = z_B\)), la pression est la même (\(P_A = P_B\)).
2. Pression Absolue et Relative
La pression absolue est la pression mesurée par rapport au vide absolu. La pression relative (ou manométrique) est la différence entre la pression absolue et la pression atmosphérique locale.
\[ P_{\text{absolue}} = P_{\text{relative}} + P_{\text{atm}} \]
Correction : Mesure de Pression avec un Manomètre à Tube en U
Question 1 : Calculer la pression relative du gaz en Pascals (Pa).
Principe
Le concept physique clé ici est l'équilibre hydrostatique. Dans un fluide au repos, tous les points situés à la même profondeur (ou altitude) ont la même pression. Nous allons utiliser ce principe en choisissant une ligne horizontale de référence qui passe par l'interface la plus basse entre deux fluides (ici, l'interface gaz-mercure dans la branche gauche).
Mini-Cours
La pression exercée par une colonne de fluide de hauteur \(h\) et de masse volumique \(\rho\) est donnée par \(P = \rho \cdot g \cdot h\). Cette pression s'ajoute à toute pression déjà présente à la surface du fluide. Dans notre cas, la pression atmosphérique s'exerce sur la surface libre du mercure dans la branche droite.
Remarque Pédagogique
L'astuce pour résoudre 99% des problèmes de manométrie est de "partir" d'un point de pression connue (ici, la surface ouverte à l'atmosphère) et de "descendre" ou "monter" dans les fluides. Quand on descend, on ajoute la pression \(\rho g h\); quand on monte, on la soustrait. On s'arrête au point où l'on cherche la pression.
Normes
Pour cet exercice fondamental, aucune norme d'ingénierie (type Eurocode ou ISO) n'est directement applicable. Cependant, les principes de la métrologie (la science de la mesure) et les normes sur les instruments de mesure de pression (comme la série NF EN 837) garantissent la fiabilité et la précision de tels dispositifs dans l'industrie.
Formule(s)
En appliquant le principe de l'hydrostatique au niveau du point A, nous avons \(P_A = P_B\). La pression en A est celle du gaz. La pression en B est celle de l'atmosphère plus celle de la colonne de mercure.
La pression relative est par définition \(P_{\text{relative}} = P_{\text{gaz}} - P_{\text{atm}}\).
Hypothèses
- Le gaz a une masse volumique négligeable par rapport à celle du mercure.
- Le mercure est considéré comme un fluide incompressible.
- Le système est à l'équilibre et à température constante.
- Les ménisques (la courbure de la surface du liquide) sont négligés.
Donnée(s)
- \(\rho_{\text{Hg}}\) = 13600 kg/m³
- \(g\) = 9.81 m/s²
- \(h\) = 80 mm = 0.080 m
Astuces
Pour vérifier rapidement l'ordre de grandeur, souvenez-vous que la pression atmosphérique (environ 100 000 Pa) correspond à environ 760 mm de mercure. Ici, 80 mm est presque 10 fois moins, donc on s'attend à une pression relative d'environ 10 000 Pa.
Schéma (Avant les calculs)
Identification des points d'égale pression
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Bilan des Pressions
Réflexions
Le résultat de 10674.48 Pa représente la surpression du gaz par rapport à l'atmosphère environnante. C'est cette pression "supplémentaire" qui est capable de soulever une colonne de 80 mm de mercure.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir la hauteur \(h\) de millimètres en mètres, l'unité du Système International. Un calcul avec \(h=80\) donnerait un résultat 1000 fois trop grand !
Points à retenir
- La pression relative est directement proportionnelle à la hauteur de la colonne de fluide et à sa masse volumique.
- La pression est la même en tout point d'un plan horizontal dans un fluide au repos.
Le saviez-vous ?
L'unité "millimètre de mercure" (mmHg), aussi appelée "Torr" en l'honneur d'Evangelista Torricelli, est encore très utilisée en médecine, notamment pour mesurer la pression artérielle.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la pression relative (en Pa) si la dénivellation était de 120 mm ?
Question 2 : Déterminer la pression absolue du gaz en Pascals (Pa).
Principe
La pression absolue est la pression "totale" mesurée par rapport au vide. Elle s'obtient simplement en ajoutant la pression de référence, qui est ici la pression atmosphérique, à la pression relative que nous venons de calculer.
Mini-Cours
Toute mesure de pression est une comparaison par rapport à une référence. La pression relative utilise l'atmosphère locale comme référence (zéro relatif). La pression absolue utilise le vide parfait (zéro absolu). La pression atmosphérique est donc le pont entre ces deux échelles de mesure.
Remarque Pédagogique
Visualisez la pression absolue comme l'empilement de deux "briques" de pression : la brique de la pression atmosphérique, sur laquelle on vient poser la brique de la pression relative (si elle est positive).
Normes
La pression atmosphérique standard au niveau de la mer est définie par l'Organisation de l'aviation civile internationale (OACI) et l'ISO comme étant de 101325 Pa. C'est une valeur de référence utilisée pour l'étalonnage des instruments et les calculs aéronautiques.
Formule(s)
Hypothèses
La seule hypothèse est que la valeur de la pression atmosphérique fournie dans l'énoncé est correcte et constante pendant la mesure.
Donnée(s)
- \(P_{\text{relative}}\) = 10674.48 Pa (résultat de Q1)
- \(P_{\text{atm}}\) = 101325 Pa
Astuces
La pression absolue (exprimée en Pascals) est quasiment toujours un nombre à 5 ou 6 chiffres dans les applications courantes. Si vous trouvez une valeur très différente, vérifiez que vous n'avez pas oublié d'ajouter la pression atmosphérique.
Schéma (Avant les calculs)
Composition de la Pression Absolue
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Aucun schéma supplémentaire n'est nécessaire.
Réflexions
Le gaz dans le réservoir a une pression totale de près de 112 kPa. Cela signifie que la force exercée par ce gaz sur chaque mètre carré de la paroi du réservoir est d'environ 112 000 Newtons, soit le poids d'une masse de plus de 11 tonnes !
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre pression relative et absolue. Dans de nombreux contextes techniques (pression des pneus, etc.), on parle implicitement de pression relative. En thermodynamique ou en mécanique des fluides, c'est souvent la pression absolue qui est nécessaire pour les calculs.
Points à retenir
La pression atmosphérique n'est pas nulle, elle constitue le "zéro" de référence pour les mesures de pression relative.
Le saviez-vous ?
La pression atmosphérique varie avec l'altitude. Au sommet du Mont Blanc (4809 m), elle n'est que d'environ 54000 Pa, soit presque la moitié de la pression au niveau de la mer. C'est pourquoi l'eau y bout à 85°C au lieu de 100°C.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la pression atmosphérique était de 1 bar (100 000 Pa), quelle serait la pression absolue (en Pa) ?
Question 3 : Exprimer la pression absolue du gaz en bars.
Principe
Il s'agit d'une conversion d'unités. Le bar est une unité très pratique car elle est très proche de la pression atmosphérique standard. La conversion depuis le Pascal, unité du Système International, est directe.
Mini-Cours
Les unités de pression sont nombreuses car elles proviennent de contextes historiques et techniques variés. Le Pascal (Pa) est l'unité SI (\(1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2\)). Le bar vaut \(10^5\) Pa. L'atmosphère technique (at) vaut 98066.5 Pa. Le Torr (ou mmHg) vaut environ 133.3 Pa. Savoir naviguer entre ces unités est une compétence essentielle.
Remarque Pédagogique
Pour ne pas vous tromper dans les conversions, retenez simplement que 1 bar est "un peu" moins qu'une atmosphère normale. Comme notre résultat en Pascals (111999.48 Pa) est "un peu" plus que la pression atmosphérique (101325 Pa), le résultat en bar doit être "un peu" plus que 1. Cela permet de valider le sens de la conversion.
Normes
Le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), qui régit le Système International (SI), reconnaît le bar comme une "unité hors-SI acceptée pour l'usage avec le SI" en raison de son utilisation répandue, notamment en météorologie et en industrie.
Formule(s)
Hypothèses
Aucune hypothèse physique n'est nécessaire pour une conversion d'unités.
Donnée(s)
- \(P_{\text{absolue}}\) = 111999.48 Pa (résultat de Q2)
Astuces
Pour convertir des Pa en bar, il suffit de décaler la virgule de 5 rangs vers la gauche. Pour passer des kPa en bar, on décale de 2 rangs. Par exemple, 112 kPa \(\approx\) 1.12 bar.
Schéma (Avant les calculs)
Une conversion d'unité ne nécessite pas de schéma.
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Aucun schéma supplémentaire n'est nécessaire.
Réflexions
Le résultat de 1.12 bar signifie que la pression dans le réservoir est 12% plus élevée que la pression atmosphérique standard (qui est d'environ 1 bar). L'utilisation du bar permet une appréciation plus intuitive de la surpression par rapport à l'ambiance.
Points de vigilance
Ne confondez pas le bar et l'atmosphère (atm). Bien que très proches (1 atm = 1.01325 bar), l'utilisation de l'un pour l'autre peut introduire une erreur de 1.3% dans les calculs, ce qui peut être significatif dans certaines applications.
Points à retenir
La conversion entre Pascals et bars est un facteur \(10^5\). C'est une conversion fondamentale à maîtriser.
Le saviez-vous ?
Le mot "bar" vient du grec ancien "βάρος" (baros), qui signifie "poids". C'est la même racine que pour "baromètre", l'instrument qui mesure le "poids de l'air".
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Convertissez la pression relative de la Q1 (10674.48 Pa) en millibars (mbar).
Question 4 : Quelle serait la dénivellation \(h\) (en mm) si la pression relative du gaz était de 20 kPa ?
Principe
C'est le problème inverse : on nous donne la pression et on cherche la hauteur de la colonne de fluide correspondante. Il suffit d'isoler la hauteur \(h\) dans l'équation fondamentale de l'hydrostatique.
Mini-Cours
La relation \(P = \rho g h\) est une équation linéaire. Cela signifie que la hauteur est directement proportionnelle à la pression. Si vous doublez la pression, vous doublez la hauteur de la colonne de fluide nécessaire pour l'équilibrer. Cette linéarité est ce qui rend les manomètres à liquide si simples et fiables.
Remarque Pédagogique
Avant de faire le calcul, essayez d'estimer le résultat. La pression demandée (20 kPa = 20000 Pa) est un peu moins du double de la pression initiale (\(\approx\) 10700 Pa). La hauteur finale devrait donc être un peu moins du double de la hauteur initiale (80 mm). On s'attend à un résultat proche de 150 mm.
Normes
Les normes de conception des réservoirs sous pression (comme la DESP 2014/68/UE en Europe) définissent les pressions maximales admissibles. Savoir calculer la hauteur manométrique correspondant à une pression de sécurité est une application directe de ce calcul.
Formule(s)
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1.
Donnée(s)
- \(P_{\text{relative}}\) = 20 kPa = 20000 Pa
- \(\rho_{\text{Hg}}\) = 13600 kg/m³
- \(g\) = 9.81 m/s²
Astuces
Le produit \(\rho_{\text{Hg}} \cdot g\) vaut environ 133416. Pour éviter de le retaper, vous pouvez le stocker dans la mémoire de votre calculatrice. Le calcul devient alors simplement \(20000 / 133416\).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation d'une pression plus élevée
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Aucun schéma supplémentaire n'est nécessaire.
Réflexions
Comme la pression (20 kPa) est presque le double de la pression initiale (\(\approx\) 10.7 kPa), on s'attend logiquement à une hauteur presque double (150 mm contre 80 mm), ce qui confirme notre calcul et la linéarité de la relation.
Points de vigilance
Assurez-vous que la pression que vous utilisez dans la formule est bien la pression relative. Si vous utilisiez la pression absolue, vous calculeriez la hauteur de mercure nécessaire pour équilibrer la pression totale du gaz, ce qui n'est pas ce que le manomètre mesure par rapport à l'atmosphère.
Points à retenir
L'équation \(P = \rho g h\) peut être utilisée dans les deux sens : pour trouver P à partir de h, ou pour trouver h à partir de P.
Le saviez-vous ?
Les manomètres à tube en U sont des "étalons primaires" de pression. Cela signifie que leur mesure ne dépend que de grandeurs fondamentales (longueur, masse, temps via g) et non d'un étalonnage préalable. Ils sont utilisés pour calibrer d'autres capteurs de pression plus complexes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle dénivellation (en mm) lirait-on pour une dépression (pression relative négative) de -5 kPa ?
Question 5 : Si l'on remplaçait le mercure par de l'eau, quelle serait la nouvelle dénivellation \(h'\) (en cm) pour la pression initiale du gaz ?
Principe
Cette question vise à comprendre l'influence de la densité du fluide manométrique. Pour une même pression, un fluide moins dense (comme l'eau) subira un déplacement vertical beaucoup plus important. C'est pourquoi on choisit le fluide en fonction de la gamme de pression à mesurer.
Mini-Cours
De la formule \(h = P/(\rho g)\), on voit que pour une pression P donnée, la hauteur h est inversement proportionnelle à la masse volumique \(\rho\). Si \(\rho\) diminue, h doit augmenter pour que le produit reste constant. Le rapport des hauteurs sera donc égal à l'inverse du rapport des masses volumiques : \(h_{\text{eau}}/h_{\text{Hg}} = \rho_{\text{Hg}}/\rho_{\text{eau}}\).
Remarque Pédagogique
C'est une excellente question pour développer son intuition physique. Le mercure est "lourd", donc il faut une grande pression pour le soulever un peu. L'eau est "légère", donc une petite pression suffit à la soulever beaucoup. Le choix du fluide est un compromis entre la sensibilité de la mesure et la taille de l'instrument.
Normes
Il n'y a pas de norme imposant un fluide particulier, mais des recommandations existent. Par exemple, pour des raisons de sécurité et d'environnement, l'utilisation du mercure (toxique) est de plus en plus restreinte (Convention de Minamata) et remplacée par d'autres liquides moins dangereux lorsque c'est possible.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que l'eau est également incompressible et que les autres conditions de l'expérience ne changent pas.
Donnée(s)
- \(P_{\text{relative}}\) = 10674.48 Pa (de Q1)
- \(\rho_{\text{eau}}\) = 1000 kg/m³
- \(g\) = 9.81 m/s²
Astuces
Puisque nous savons que la hauteur est inversement proportionnelle à la masse volumique, nous pouvons utiliser un simple produit en croix : \(h' = h \times (\rho_{\text{Hg}}/\rho_{\text{eau}}) = 80 \text{ mm} \times (13600/1000) = 80 \times 13.6 = 1088 \text{ mm}\). C'est souvent plus rapide et moins sujet aux erreurs de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des fluides manométriques
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Aucun schéma supplémentaire n'est nécessaire.
Réflexions
La dénivellation avec l'eau (108.8 cm) est 13.6 fois plus grande que celle avec le mercure (8 cm). Ce rapport est égal au rapport des masses volumiques (\(13600 / 1000 = 13.6\)). Pour mesurer de faibles pressions, l'eau est plus précise car la lecture de la hauteur est plus facile. Pour de fortes pressions, le mercure est indispensable pour conserver un instrument de taille raisonnable.
Points de vigilance
Ne mélangez pas les masses volumiques ! Utilisez bien celle du fluide présent dans le manomètre pour le calcul de la hauteur. Ici, c'est l'eau, et non plus le mercure.
Points à retenir
Le choix du fluide manométrique est crucial : un fluide dense pour les hautes pressions (petite dénivellation), un fluide peu dense pour les basses pressions (grande dénivellation, donc plus de précision).
Le saviez-vous ?
Les premiers baromètres, inventés par Torricelli, utilisaient de l'eau. Ils devaient mesurer plus de 10 mètres de haut pour équilibrer la pression atmosphérique ! L'utilisation du mercure, 13.6 fois plus dense, a permis de ramener l'instrument à une taille beaucoup plus pratique d'environ 76 cm.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on utilisait de l'huile (\(\rho_{\text{huile}}\) = 800 kg/m³), quelle serait la dénivellation (en cm) ?
Outil Interactif : Simulateur de Manomètre
Utilisez les curseurs pour faire varier la dénivellation du liquide manométrique et sa masse volumique, et observez l'impact sur la pression relative calculée.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la branche ouverte à l'atmosphère avait un niveau de mercure plus bas que la branche connectée au gaz, cela signifierait que :
2. La pression en un point d'un fluide au repos dépend de :
3. Qu'est-ce que la pression absolue ?
4. Si on remplace le mercure (\(\rho\) = 13600 kg/m³) par de l'eau (\(\rho\) = 1000 kg/m³), pour une même pression de gaz, la dénivellation \(h\) sera :
5. L'unité de pression dans le Système International est :
- Pression
- Force exercée par un fluide par unité de surface. Elle est mesurée en Pascals (Pa) dans le Système International.
- Hydrostatique
- Étude de l'équilibre des fluides au repos et des forces qu'ils exercent.
- Masse Volumique (\(\rho\))
- Masse d'un matériau par unité de volume. S'exprime en kg/m³.
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