ÉTUDE HYDRAULIQUE

Ligne de Charge et Ligne Piézométrique

Exercice : Ligne de Charge et Ligne Piézométrique

Calcul des Lignes de Charge et Piézométrique

Contexte : L'étude des écoulements en chargeÉcoulement d'un fluide qui remplit entièrement une conduite fermée. La pression peut y être supérieure ou inférieure à la pression atmosphérique..

La compréhension de la distribution de l'énergie dans un réseau hydraulique est fondamentale pour tout ingénieur. Cet exercice se concentre sur la détermination et la visualisation de cette énergie à travers deux concepts clés : la ligne de charge et la ligne piézométrique. Nous analyserons un cas pratique d'écoulement d'eau entre deux réservoirs à travers une conduite de diamètre variable pour comprendre comment la géométrie et les frottements influencent la pression et l'énergie totale du fluide.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le théorème de Bernoulli dans un cas réel incluant des pertes de charge, à mener un calcul itératif pour trouver un débit, et à interpréter le comportement énergétique d'un écoulement.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le théorème de Bernoulli généralisé à un système de conduites.
  • Calculer les pertes de charge linéaires (par frottement) et singulières.
  • Déterminer le débit dans une conduite par une méthode itérative.
  • Tracer et interpréter les lignes de charge et piézométriques d'un écoulement.

Données de l'étude

Une conduite en acier relie deux grands réservoirs A et B. L'eau s'écoule de A vers B par gravité. La conduite est composée de deux tronçons rectilignes de diamètres différents. On négligera les pertes de charge au niveau du coude de raccordement des deux tronçons.

Schéma de l'installation hydraulique
zA = 100 m Réservoir A Tronçon 1 (L1, D1) Tronçon 2 (L2, D2) zB = 90 m Réservoir B
Paramètre Symbole Valeur Unité
Altitude surface libre Réservoir A \( z_A \) 100 \(\text{m}\)
Altitude surface libre Réservoir B \( z_B \) 90 \(\text{m}\)
Longueur / Diamètre Tronçon 1 \( L_1 \ / \ D_1 \) 500 / 200 \(\text{m / mm}\)
Longueur / Diamètre Tronçon 2 \( L_2 \ / \ D_2 \) 300 / 150 \(\text{m / mm}\)
Rugosité de la conduite (acier) \( \epsilon \) 0.1 \(\text{mm}\)
Viscosité cinématique de l'eau \( \nu \) \(1.0 \times 10^{-6}\) \(\text{m}^2/\text{s}\)

Questions à traiter

  1. Écrire l'équation de Bernoulli généralisée entre les surfaces libres des réservoirs A et B.
  2. Exprimer la perte de charge totale \( J_{\text{total}} \) en fonction des vitesses \( V_1 \) et \( V_2 \) dans les deux tronçons. On tiendra compte des pertes de charge singulières : entrée (\(K_e=0.5\)), rétrécissement brusque (\(K_c=0.2\)), et sortie (\(K_s=1.0\)).
  3. À l'aide de l'équation de continuité, exprimer \( V_2 \) en fonction de \( V_1 \).
  4. En utilisant une méthode itérative (2 itérations suffiront), déterminer les vitesses \( V_1 \), \( V_2 \) et le débit volumique \( Q_v \).
  5. Calculer les charges totales et piézométriques aux points clés (entrée, jonction, sortie) et tracer l'allure des lignes de charge et piézométrique.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, deux principes fondamentaux de la mécanique des fluides sont nécessaires : la conservation de l'énergie et l'évaluation des pertes d'énergie par frottement.

1. Théorème de Bernoulli Généralisé
Ce théorème est une expression de la conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement. Il stipule qu'entre deux points d'une ligne de courant, la charge totale (énergie par unité de poids) au point amont est égale à la charge totale au point aval, plus les pertes de charge entre les deux points. \[ z_1 + \frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} = z_2 + \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + J_{1 \to 2} \] Où \( z \) est l'altitude, \( P \) la pression, \( V \) la vitesse, et \( J \) la perte de charge totale.

2. Pertes de Charge Linéaires (Darcy-Weisbach)
L'énergie est dissipée par frottement le long d'une conduite. Cette perte, dite linéaire, est calculée par la formule de Darcy-Weisbach : \[ J_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \] Le coefficient de perte de charge \( \lambda \) dépend du nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent). \( Re = \frac{VD}{\nu} \) et de la rugosité relative \( \epsilon/D \). Il est souvent déterminé à l'aide de l'équation de Colebrook-White (implicite) ou du diagramme de Moody.

Correction : Calcul des Lignes de Charge et Piézométrique

Question 1 : Équation de Bernoulli

Principe

On applique le principe de conservation de l'énergie entre les deux points où l'énergie est la plus facile à définir : les surfaces libres des réservoirs. En ces points, la pression est atmosphérique et la vitesse est considérée comme nulle, ce qui simplifie le bilan énergétique.

Mini-Cours

Le théorème de Bernoulli est l'une des pierres angulaires de la mécanique des fluides. Il décrit le comportement d'un fluide le long d'une ligne de courant. La version "généralisée" est essentielle en ingénierie car elle prend en compte les pertes d'énergie (pertes de charge) qui se produisent inévitablement dans les systèmes réels.

Remarque Pédagogique

L'astuce ici est de toujours choisir des points de départ et d'arrivée pour lesquels on a le maximum d'informations. Les surfaces libres des grands réservoirs sont idéales car la pression est connue (atmosphérique) et la vitesse y est nulle, ce qui simplifie grandement l'équation.

Normes

Bien que cet exercice soit académique, le principe de Bernoulli est un fondement de la mécanique des fluides enseigné dans toutes les normes et cursus d'ingénierie. Les calculs de réseaux hydrauliques s'appuient systématiquement sur ce théorème.

Formule(s)

Équation de Bernoulli généralisée

\[ z_A + \frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} = z_B + \frac{P_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + J_{A \to B} \]
Hypothèses

On simplifie l'équation en considérant les hypothèses suivantes pour de grands réservoirs ouverts à l'air libre :

  • La pression aux surfaces libres est la pression atmosphérique : \( P_A = P_B = P_{\text{atm}} \). En pressions relatives, on pose \( P_A = P_B = 0 \).
  • Les vitesses aux surfaces libres sont négligeables : \( V_A \approx 0 \) et \( V_B \approx 0 \).
Donnée(s)

Les seules données nécessaires pour cette première question sont les altitudes des surfaces libres.

ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude Réservoir A\(z_A\)100\(\text{m}\)
Altitude Réservoir B\(z_B\)90\(\text{m}\)
Astuces

Pour éviter les erreurs, pensez toujours en termes de "bilan énergétique". L'énergie disponible au départ (charge en A) doit être égale à l'énergie restante à l'arrivée (charge en B) plus toute l'énergie "perdue" en chemin (pertes de charge).

Schéma (Avant les calculs)
Schéma de l'installation hydraulique
zA = 100 mRéservoir ATronçon 1 (L1, D1)Tronçon 2 (L2, D2)zB = 90 mRéservoir B
Calcul(s)

Simplification de l'équation de Bernoulli

\[ \begin{aligned} z_A + 0 + 0 &= z_B + 0 + 0 + J_{A \to B} \end{aligned} \]

Calcul de la perte de charge totale

\[ \begin{aligned} J_{A \to B} &= z_A - z_B \\ &= 100 - 90 \\ &= 10 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Perte de Charge Totale
zA = 100mzB = 90mJ = zA - zB = 10m
Réflexions

Ce résultat est fondamental : il signifie que la seule "force motrice" de l'écoulement est la différence de hauteur de 10 mètres entre les deux réservoirs. Toute cette énergie potentielle gravitationnelle sera dissipée par les frottements et les singularités dans la conduite.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre la charge (une altitude, en mètres) et la pression. Ne pas oublier que pour les surfaces libres, la pression relative est nulle, mais la pression absolue est la pression atmosphérique.

Points à retenir
  • Le moteur d'un écoulement gravitaire est la différence de charge totale entre le point de départ et le point d'arrivée.
  • Pour les réservoirs, cette charge totale est simplement leur altitude.
Le saviez-vous ?

Daniel Bernoulli, un mathématicien et physicien suisse du 18ème siècle, a formulé ce principe fondamental sans pouvoir prendre en compte les pertes de charge. Ce n'est qu'au 19ème siècle que des ingénieurs comme Darcy et Weisbach ont complété son travail pour l'appliquer à des cas réels.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi la vitesse est-elle considérée comme nulle à la surface d'un grand réservoir ?

Parce que la surface du réservoir est très grande par rapport à la section de la conduite. Pour assurer la conservation du débit, le niveau de l'eau descend très lentement, à une vitesse considérée comme négligeable par rapport à la vitesse dans la conduite.

Résultat Final
La perte de charge totale entre les deux réservoirs doit être égale à la dénivelée : \( J_{A \to B} = 10 \text{ m} \).
A vous de jouer

Si le réservoir B était à une altitude de 85 m, quelle serait la perte de charge totale à dissiper ?

Question 2 : Expression de la Perte de Charge Totale

Principe

La perte de charge totale est la somme de toutes les pertes d'énergie subies par le fluide le long de son parcours. On distingue les pertes linéaires (dues au frottement sur la longueur) et les pertes singulières (dues aux accidents de parcours comme une entrée, un rétrécissement, une sortie).

Mini-Cours

Les pertes de charge singulières sont causées par la turbulence générée lorsque le fluide traverse un obstacle (coude, vanne, etc.). Elles sont généralement proportionnelles à l'énergie cinétique du fluide (\(V^2/2g\)). Le coefficient de proportionnalité K est appelé coefficient de perte de charge singulière et dépend de la géométrie de l'obstacle.

Remarque Pédagogique

Une erreur fréquente est d'oublier une des pertes de charge singulières. Il faut "suivre" mentalement une particule de fluide depuis le départ jusqu'à l'arrivée et lister tous les obstacles qu'elle rencontre : l'entrée dans la conduite, les changements de section, les vannes, les coudes, et la sortie.

Normes

Les valeurs des coefficients de pertes de charge singulières (K) sont tabulées dans de nombreux manuels de référence en hydraulique, comme les ouvrages d'Idelcik ou de Miller. Ces valeurs sont issues de campagnes d'essais en laboratoire.

Formule(s)

Décomposition de la perte de charge totale

\[ J_{\text{total}} = J_{\text{lin},1} + J_{\text{lin},2} + J_{\text{sing}} \]

Décomposition des pertes de charge singulières

\[ J_{\text{sing}} = J_{\text{entrée}} + J_{\text{rétrécissement}} + J_{\text{sortie}} \]

Formules de calcul des pertes de charge

\[ J_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \quad ; \quad J_{\text{sing}} = K \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses

On suppose que les coefficients K fournis dans l'énoncé sont constants et ne dépendent pas du nombre de Reynolds, ce qui est une hypothèse courante pour les écoulements turbulents.

Donnée(s)

On reprend les données géométriques de la conduite et les coefficients de perte de charge singulière.

ParamètreSymboleValeurUnité
Données Tronçon 1\(L_1, D_1\)500, 200\(\text{m, mm}\)
Données Tronçon 2\(L_2, D_2\)300, 150\(\text{m, mm}\)
Coefficient d'entrée\(K_e\)0.5-
Coefficient de rétrécissement\(K_c\)0.2-
Coefficient de sortie\(K_s\)1.0-
Astuces

Pour les pertes singulières, il faut bien faire attention à la vitesse de référence. Par convention, pour un rétrécissement ou un élargissement, on utilise la vitesse dans le tronçon aval (le plus rapide).

Schéma (Avant les calculs)
Identification des points de pertes de charge
Réservoir AJ lin, 1J lin, 2Réservoir BEntréeRétréc.Sortie
Calcul(s)

Assemblage de toutes les composantes

\[ J_{A \to B} = \underbrace{\lambda_1 \frac{L_1}{D_1} \frac{V_1^2}{2g}}_{J_{\text{lin},1}} + \underbrace{\lambda_2 \frac{L_2}{D_2} \frac{V_2^2}{2g}}_{J_{\text{lin},2}} + \underbrace{K_e \frac{V_1^2}{2g}}_{J_{\text{entrée}}} + \underbrace{K_c \frac{V_2^2}{2g}}_{J_{\text{rétréc.}}} + \underbrace{K_s \frac{V_2^2}{2g}}_{J_{\text{sortie}}} \]
Schéma (Après les calculs)
Décomposition conceptuelle de la Perte de Charge Totale
J total = 10mJ entréeJ lin, 1J rétréc.J lin, 2J sortie
Réflexions

Cette équation montre comment chaque composant du système (longueur, diamètre, singularités) contribue à la dissipation d'énergie totale. On voit que les pertes sont proportionnelles au carré des vitesses, ce qui signifie qu'elles augmentent très rapidement avec le débit.

Points de vigilance

Veillez à bien associer chaque perte de charge à la bonne vitesse : les pertes dans le tronçon 1 dépendent de \(V_1\), celles dans le tronçon 2 dépendent de \(V_2\). La perte à l'entrée dépend de \(V_1\), tandis que celles au rétrécissement et à la sortie dépendent de \(V_2\).

Points à retenir
  • La perte de charge totale est la somme des pertes linéaires et singulières.
  • Chaque type de perte s'exprime en fonction de la hauteur dynamique \(V^2/2g\).
Le saviez-vous ?

Dans les longs pipelines, les pertes de charge linéaires représentent souvent plus de 95% des pertes totales, et les pertes singulières peuvent parfois être négligées. En revanche, dans les réseaux compacts (comme la plomberie d'un bâtiment), les pertes singulières dues aux coudes et tés peuvent être prédominantes.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

D'où viennent les valeurs des coefficients K ?

Elles sont déterminées expérimentalement en laboratoire. Des ingénieurs ont testé des centaines de configurations de coudes, vannes, etc., pour mesurer la perte de pression qu'ils engendraient et en ont déduit ces coefficients adimensionnels.

Résultat Final
L'expression finale, en regroupant les termes par vitesse, est :
\[ J_{A \to B} = \frac{V_1^2}{2g} \left( \lambda_1 \frac{L_1}{D_1} + K_e \right) + \frac{V_2^2}{2g} \left( \lambda_2 \frac{L_2}{D_2} + K_c + K_s \right) \]
A vous de jouer

Si on ajoutait une vanne semi-ouverte (\(K_v=2.5\)) sur le tronçon 1, comment l'équation du résultat final changerait-elle ?

Le terme en \(V_1^2/2g\) deviendrait \((\lambda_1 \frac{L_1}{D_1} + K_e + 2.5)\).

Question 3 : Relation entre les vitesses

Principe

L'équation de continuité exprime la conservation de la masse pour un fluide incompressible. Pour un débit constant, le produit de la vitesse par la section de passage est constant. Si la section diminue, la vitesse augmente, et vice-versa.

Mini-Cours

Pour un fluide incompressible (masse volumique constante), la conservation de la masse implique la conservation du débit volumique \(Q_v\). Le débit est le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps, et il est égal au produit de l'aire de la section \(A\) par la vitesse moyenne du fluide \(V\) à travers cette section : \(Q_v = A \cdot V\).

Remarque Pédagogique

C'est une étape de simplification cruciale. En reliant \(V_2\) à \(V_1\), nous pourrons exprimer la perte de charge totale en fonction d'une seule vitesse inconnue, \(V_1\), ce qui rendra l'équation de Bernoulli résolvable.

Normes

Le principe de conservation de la masse est, avec la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, l'un des trois piliers fondamentaux sur lesquels repose toute la mécanique des fluides.

Formule(s)

Équation de continuité

\[ Q_v = A_1 V_1 = A_2 V_2 \]

où \( A = \frac{\pi D^2}{4} \) est l'aire de la section circulaire.

Hypothèses

On suppose que le fluide (l'eau) est incompressible, ce qui est une excellente approximation pour les liquides dans la plupart des applications courantes.

Donnée(s)

Les seules données nécessaires sont les diamètres des deux tronçons.

ParamètreSymboleValeurUnité
Diamètre Tronçon 1\(D_1\)200\(\text{mm}\)
Diamètre Tronçon 2\(D_2\)150\(\text{mm}\)
Astuces

Lors du calcul du rapport des vitesses, il n'est pas nécessaire de convertir les diamètres en mètres, car le rapport \(D_1/D_2\) est adimensionnel. Assurez-vous simplement qu'ils sont dans la même unité (ici, des mm).

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la conservation du débit
Tronçon 1Tronçon 2V1, A1V2, A2Qv = A1 * V1 = A2 * V2
Calcul(s)

Calcul du rapport des vitesses

\[ \begin{aligned} V_2 &= V_1 \frac{A_1}{A_2} \\ &= V_1 \frac{\pi D_1^2 / 4}{\pi D_2^2 / 4} \\ &= V_1 \left( \frac{D_1}{D_2} \right)^2 \\ &= V_1 \left( \frac{200 \text{ mm}}{150 \text{ mm}} \right)^2 \\ &= V_1 \times (1.333)^2 \\ \Rightarrow V_2 &= 1.778 \cdot V_1 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des hauteurs dynamiques
V12/2gV22/2g
Réflexions

La vitesse dans le second tronçon est 78% plus élevée que dans le premier. Comme les pertes de charge dépendent du carré de la vitesse, on peut s'attendre à ce que la dissipation d'énergie par unité de longueur soit beaucoup plus importante dans le tronçon 2.

Points de vigilance

Ne pas oublier l'exposant 2 sur le rapport des diamètres ! Une erreur commune est de faire \(V_2 = V_1 (D_1/D_2)\), ce qui est incorrect. La vitesse est inversement proportionnelle à l'aire, donc au carré du diamètre.

Points à retenir
  • Conservation du débit : \(Q_v = A_1 V_1 = A_2 V_2\).
  • Relation des vitesses : \(V_2 = V_1 (D_1/D_2)^2\).
Le saviez-vous ?

Ce même principe est utilisé dans les trompes à eau (ou injecteurs Venturi) : en faisant passer un fluide dans une section rétrécie, on augmente sa vitesse et, d'après Bernoulli, on diminue sa pression. Cette dépression peut être utilisée pour aspirer un autre fluide.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Cette équation est-elle toujours valable ?

Oui, pour un écoulement permanent d'un fluide incompressible dans une conduite pleine, quel que soit le régime (laminaire ou turbulent).

Résultat Final
\[ V_2 = 1.778 \cdot V_1 \]
A vous de jouer

Si le diamètre \(D_2\) était de 100 mm, quel serait le rapport \(V_2/V_1\) ?

Question 4 : Calcul du débit par itérations

Principe

Le calcul est complexe car les coefficients de frottement \( \lambda \) dépendent des vitesses, qui sont elles-mêmes les inconnues du problème. Nous devons donc utiliser une méthode itérative : on suppose des valeurs pour \( \lambda \), on calcule les vitesses, puis on recalcule les \( \lambda \) avec ces nouvelles vitesses, et on recommence jusqu'à ce que les valeurs convergent.

Mini-Cours

Pour trouver le coefficient de frottement \( \lambda \) en régime turbulent, on utilise l'équation de Colebrook-White, qui est implicite. Pour la résoudre, on peut utiliser une méthode numérique ou des approximations explicites comme celle de Haaland, très pratique pour les calculs manuels ou sur tableur. Ces formules lient \( \lambda \) au nombre de Reynolds \(Re\) et à la rugosité relative \(\epsilon/D\).

Remarque Pédagogique

Le choix de la valeur de départ pour \( \lambda \) n'est pas critique, mais un bon choix accélère la convergence. Pour les conduites en acier en régime turbulent, une valeur de \( \lambda=0.02 \) est une excellente première estimation.

Normes

L'équation de Colebrook-White est la référence internationale pour le calcul du coefficient de perte de charge linéaire en régime turbulent dans les conduites industrielles.

Formule(s)

Équation de Bernoulli finale

\[ z_A - z_B = \frac{V_1^2}{2g} \left[ \left( \lambda_1 \frac{L_1}{D_1} + K_e \right) + \left( \frac{D_1}{D_2} \right)^4 \left( \lambda_2 \frac{L_2}{D_2} + K_c + K_s \right) \right] \]

Nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{VD}{\nu} \]
Hypothèses

On suppose que le régime est pleinement turbulent, ce qui justifie l'utilisation de l'équation de Colebrook-White. Cette hypothèse devra être vérifiée à la fin du calcul en vérifiant que \(Re > 4000\).

Donnée(s)

Toutes les données de l'énoncé sont utilisées pour cette étape.

ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelée\(z_A-z_B\)10\(\text{m}\)
Données Tronçon 1\(L_1, D_1\)500, 0.2\(\text{m}\)
Données Tronçon 2\(L_2, D_2\)300, 0.15\(\text{m}\)
Coefficients singuliers\(K_e, K_c, K_s\)0.5, 0.2, 1.0-
Rugosité\(\epsilon\)0.0001\(\text{m}\)
Viscosité\(\nu\)\(10^{-6}\)\(\text{m}^2/\text{s}\)
Astuces

Après la première itération, si la nouvelle valeur de \( \lambda \) est très proche de l'ancienne, il n'est souvent pas nécessaire de faire une troisième itération. En général, la convergence est très rapide.

Schéma (Avant les calculs)
Logigramme du calcul itératif
1. Supposer λ1, λ2 (ex: 0.02)2. Calculer V1 et V23. Calculer Re1 et Re24. Recalculer λ1, λ2 (avec Colebrook)Répéter
Calcul(s)

Itération 1 : Calcul de V1 avec \(\lambda_1 = \lambda_2 = 0.02\)

\[ \begin{aligned} 10 &= \frac{V_1^2}{19.62} \left[ \left( 0.02 \times \frac{500}{0.2} + 0.5 \right) + (1.778)^2 \left( 0.02 \times \frac{300}{0.15} + 0.2 + 1.0 \right) \right] \\ &= \frac{V_1^2}{19.62} \left[ (50 + 0.5) + 3.16 \times (40 + 1.2) \right] \\ &= \frac{V_1^2}{19.62} \left[ 50.5 + 3.16 \times 41.2 \right] \\ &= \frac{V_1^2}{19.62} [180.7] \\ V_1^2 &= \frac{10 \times 19.62}{180.7} = 1.086 \\ \Rightarrow V_1 &= \sqrt{1.086} = 1.04 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Itération 2 : Mise à jour des vitesses et Reynolds

Avec la nouvelle vitesse \(V_1\), on met à jour \(V_2\) et on calcule les nombres de Reynolds correspondants.

\[ V_2 = 1.778 \times 1.04 = 1.85 \text{ m/s} \]
\[ Re_1 = \frac{1.04 \times 0.2}{10^{-6}} = 208000 \]
\[ Re_2 = \frac{1.85 \times 0.15}{10^{-6}} = 277500 \]

Itération 2 : Mise à jour des coefficients de frottement

Avec la rugosité relative \( \epsilon/D_1 = 0.0005 \) et \( \epsilon/D_2 = 0.00067 \), on trouve via le diagramme de Moody ou Colebrook : \( \lambda_1 \approx 0.0188 \) et \( \lambda_2 \approx 0.0190 \).

Diagramme de Moody (simplifié)
Nombre de Reynolds, Re (log) Coefficient de frottement, λ (log) Laminaire 64/Re ε/D = 0.0001 ε/D = 0.0005 ε/D = 0.001 Re1=2.1e5 λ1=0.0188 Re2=2.8e5 λ2=0.0190

Itération 2 : Recalcul de V1

\[ \begin{aligned} 10 &= \frac{V_1^2}{19.62} \left[ \left( 0.0188 \times 2500 + 0.5 \right) + 3.16 \left( 0.0190 \times 2000 + 1.2 \right) \right] \\ &= \frac{V_1^2}{19.62} \left[ (47 + 0.5) + 3.16 \times (38 + 1.2) \right] \\ &= \frac{V_1^2}{19.62} \left[ 47.5 + 3.16 \times 39.2 \right] \\ &= \frac{V_1^2}{19.62} [171.35] \\ V_1^2 &= \frac{10 \times 19.62}{171.35} = 1.145 \\ \Rightarrow V_1 &= \sqrt{1.145} = 1.07 \text{ m/s} \end{aligned} \]

La valeur de \(V_1\) a peu changé (environ 3% d'écart), la convergence est donc jugée satisfaisante.

Schéma (Après les calculs)
Convergence de la vitesse V1
ItérationV1 (m/s)121.041.07
Réflexions

Le processus itératif montre bien l'interdépendance des grandeurs en hydraulique. La vitesse dépend des pertes, qui dépendent elles-mêmes de la vitesse. Cette méthode permet de trouver la solution unique qui satisfait toutes les équations simultanément.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur d'unité. Assurez-vous que toutes les longueurs et diamètres sont en mètres, et que la viscosité est en m²/s. Une autre erreur est de mal lire le diagramme de Moody ou de se tromper dans le calcul de la rugosité relative.

Points à retenir
  • Le calcul du débit dans un réseau gravitaire est un problème implicite qui nécessite des itérations.
  • La méthode consiste à supposer λ -> calculer V -> calculer Re -> calculer un nouveau λ -> recommencer.
Le saviez-vous ?

Aujourd'hui, des logiciels de simulation hydraulique comme EPANET peuvent résoudre des réseaux de milliers de conduites en quelques secondes en utilisant des méthodes numériques plus avancées (comme la méthode de Newton-Raphson) pour résoudre simultanément toutes les équations.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Est-ce qu'on converge toujours vers la bonne solution ?

Oui, pour ce type de problème, la solution est unique et la méthode itérative simple converge toujours de manière stable vers cette solution, quelle que soit la valeur de départ choisie pour \( \lambda \) (tant qu'elle reste physiquement plausible).

Résultat Final
Les vitesses stabilisées sont \( V_1 = 1.07 \text{ m/s} \) et \( V_2 = 1.90 \text{ m/s} \).
Le débit volumique est donc : \( Q_v = A_1 V_1 = \frac{\pi (0.2)^2}{4} \times 1.07 = 0.0336 \text{ m³/s} = 33.6 \text{ L/s} \).
A vous de jouer

Si la conduite était parfaitement lisse (\( \epsilon = 0 \)), le débit serait-il significativement plus élevé ? (Indice : recalculez \( \lambda \) avec \( \epsilon = 0 \) et \(Re\) de l'itération 2, puis estimez le nouveau \(V_1\)).

Question 5 : Lignes de Charge et Piézométrique

Principe

On calcule la charge totale \( H_t = z + P/\rho g + V^2/2g \) et la charge piézométrique \( H_p = z + P/\rho g \) en plusieurs points clés du système. La ligne de charge, qui représente l'énergie totale, ne peut que descendre dans le sens de l'écoulement. La ligne piézométrique, qui représente le niveau d'eau dans un tube imaginaire, suit la ligne de charge.

Mini-Cours

La ligne de charge subit des chutes abruptes au niveau des pertes singulières et une pente continue due aux pertes linéaires. La ligne piézométrique est toujours située en dessous de la ligne de charge, à une distance verticale égale à la hauteur dynamique \( V^2/2g \). Quand la vitesse augmente (rétrécissement), l'écart entre les deux lignes augmente.

Remarque Pédagogique

Le traçage de ces lignes est l'aboutissement de l'exercice. Il permet de visualiser l'énergie et la pression tout au long de la conduite. Une ligne piézométrique qui passerait en dessous du profil de la conduite indiquerait une pression négative (dépression), un phénomène à éviter car il peut causer une cavitation.

Normes

Le traçage des lignes de charge et piézométrique est une pratique standard en ingénierie hydraulique pour la conception et la vérification des réseaux d'adduction d'eau ou des systèmes hydroélectriques.

Formule(s)

Charge Totale

\[ H_t = z + \frac{P}{\rho g} + \frac{V^2}{2g} \]

Charge Piézométrique

\[ H_p = z + \frac{P}{\rho g} \]
Hypothèses

On suppose que le profil de la conduite est horizontal pour simplifier les calculs d'altitude, même si le schéma montre une légère pente. Le \(z\) dans les formules représente la cote de l'axe de la conduite, mais comme nous n'avons pas le profil, nous nous concentrons sur la valeur de la charge elle-même.

Donnée(s)

On utilise les vitesses et coefficients \( \lambda \) finaux de la question 4 pour calculer chaque perte de charge individuelle.

ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse Tronçon 1\(V_1\)1.07\(\text{m/s}\)
Vitesse Tronçon 2\(V_2\)1.90\(\text{m/s}\)
Frottement Tronçon 1\(\lambda_1\)0.0188-
Frottement Tronçon 2\(\lambda_2\)0.0190-
Astuces

Commencez par la ligne de charge. Partez de \(H_t=z_A\) et soustrayez chaque perte de charge successivement. Ensuite, tracez la ligne piézométrique en soustrayant la hauteur dynamique \(V^2/2g\) correspondante à chaque tronçon.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma de l'installation hydraulique
zA = 100 mRéservoir ATronçon 1 (L1, D1)Tronçon 2 (L2, D2)zB = 90 mRéservoir B
Calcul(s)

Calcul des pertes de charge singulières

\[ J_{\text{entrée}} = 0.5 \frac{1.07^2}{2 \times 9.81} = 0.03 \text{ m} \]
\[ J_{\text{rétréc.}} = 0.2 \frac{1.90^2}{2 \times 9.81} = 0.04 \text{ m} \]
\[ J_{\text{sortie}} = 1.0 \frac{1.90^2}{2 \times 9.81} = 0.19 \text{ m} \]

Calcul des pertes de charge linéaires

\[ J_{\text{lin},1} = 0.0188 \times \frac{500}{0.2} \times \frac{1.07^2}{2 \times 9.81} = 2.75 \text{ m} \]
\[ J_{\text{lin},2} = 0.019 \times \frac{300}{0.15} \times \frac{1.90^2}{2 \times 9.81} = 6.99 \text{ m} \]

Calcul des hauteurs dynamiques

\[ \frac{V_1^2}{2g} = \frac{1.07^2}{2 \times 9.81} = 0.06 \text{ m} \]
\[ \frac{V_2^2}{2g} = \frac{1.90^2}{2 \times 9.81} = 0.18 \text{ m} \]

Tableau récapitulatif des charges

PointDescriptionCharge Totale \(H_t\) (m)Charge Piézométrique \(H_p\) (m)
ASurface réservoir A100.00100.00
1Juste après l'entrée100.00 - 0.03 = 99.9799.97 - 0.06 = 99.91
2Avant rétrécissement99.97 - 2.75 = 97.2297.22 - 0.06 = 97.16
3Juste après rétrécissement97.22 - 0.04 = 97.1897.18 - 0.18 = 97.00
4Juste avant la sortie97.18 - 6.99 = 90.1990.19 - 0.18 = 90.01
BSurface réservoir B90.19 - 0.19 = 90.0090.00
Schéma (Après les calculs)
Tracé des Lignes de Charge et Piézométrique
Distance Altitude (m) 100m 90m Ligne de Charge (LC) Ligne Piézométrique (LP) V12/2g V22/2g
Réflexions

Le graphique montre clairement la dissipation d'énergie : la ligne de charge descend continuellement. On voit aussi l'effet du rétrécissement : la vitesse augmente, donc l'énergie cinétique \(V^2/2g\) augmente, et par conservation de l'énergie (locale), la pression diminue, ce qui fait chuter la ligne piézométrique.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre ligne de charge se termine exactement à l'altitude \(z_B=90\) m. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur dans le calcul des pertes de charge. De même, la ligne piézométrique doit rejoindre la ligne de charge aux surfaces des réservoirs où la vitesse est nulle.

Points à retenir
  • La ligne de charge ne peut que descendre (ou rester horizontale pour un fluide parfait).
  • La ligne piézométrique peut monter ou descendre en fonction des variations de vitesse.
  • L'écart entre les deux lignes est l'énergie cinétique du fluide.
Le saviez-vous ?

Le concept de "coup de bélier" dans les conduites est directement lié à ces notions. Un arrêt brutal de l'écoulement (fermeture d'une vanne) transforme instantanément l'énergie cinétique (\(V^2/2g\)) en une surpression massive, ce qui peut faire éclater les tuyaux. La ligne piézométrique "explose" littéralement vers le haut.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

La ligne piézométrique peut-elle passer sous la conduite ?

Oui. Si cela se produit, cela signifie que la pression dans la conduite est inférieure à la pression atmosphérique (dépression). C'est un phénomène possible mais souvent indésirable car il peut entraîner l'aspiration d'air ou la cavitation si la dépression est trop forte.

Résultat Final
Le tableau et le graphique présentent les valeurs des charges et l'allure des lignes de charge et piézométrique pour le système étudié.
A vous de jouer

Calculez la pression relative (en bars) au point 2, juste avant le rétrécissement, en sachant que l'axe de la conduite est à une altitude de 88m. (Indice : \(P = (H_p - z) \rho g\), avec 1 bar \(\approx\) 10 m de colonne d'eau).

Outil Interactif : Influence du Diamètre

Utilisez le simulateur pour observer comment le diamètre du second tronçon (\(D_2\)) et la dénivelée totale (\(\Delta z = z_A - z_B\)) influencent le débit et la perte de charge totale. Un diamètre plus petit ou une dénivelée plus faible augmentent la résistance et réduisent le débit.

Paramètres d'Entrée
10 m
150 mm
Résultats Clés
Débit Calculé \(Q_v\) (L/s) -
Vitesse \(V_1\) (m/s) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente la ligne de charge ?

2. Si le diamètre d'une conduite diminue brusquement, que fait la ligne piézométrique juste après ce rétrécissement ?

3. La principale cause des pertes de charge linéaires est :

4. La distance verticale entre la ligne de charge et la ligne piézométrique représente :

Ligne de Charge (LC)
Ligne représentant la charge totale (ou énergie totale par unité de poids) du fluide en chaque point de l'écoulement. Son altitude est donnée par \( H_t = z + P/(\rho g) + V^2/(2g) \).
Ligne Piézométrique (LP)
Ligne représentant la charge piézométrique (somme de l'altitude et de la hauteur de pression) en chaque point. Son altitude est donnée par \( H_p = z + P/(\rho g) \). Elle correspond au niveau que l'eau atteindrait dans un tube vertical (piézomètre) branché sur la conduite.
Perte de Charge
Perte d'énergie irréversible (transformée en chaleur) subie par le fluide, due principalement aux frottements (pertes linéaires) et aux singularités de la conduite (pertes singulières).
Exercice : Ligne de Charge et Ligne Piézométrique

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