Installation de Deux Pompes Identiques en Série
Contexte : L'étude d'un réseau hydraulique en chargeUn système de tuyauteries où le fluide (généralement de l'eau) remplit entièrement la section et est sous pression..
Nous cherchons à transférer de l'eau d'un réservoir inférieur (bâche A) à un réservoir supérieur (château d'eau B) à l'aide d'une pompe centrifuge. Pour augmenter le débit de transfert, nous envisageons d'installer une deuxième pompe identique à la première, en série. Cet exercice vise à quantifier le gain de performance obtenu et à comprendre l'interaction entre les pompes et le réseau.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à déterminer le point de fonctionnement d'un système de pompage et à analyser l'impact de l'association de pompes en série, une compétence fondamentale pour le dimensionnement des installations hydrauliques.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et tracer la courbe caractéristique d'un réseau.
- Déterminer graphiquement et par le calcul le point de fonctionnementPoint d'intersection entre la courbe de la pompe et la courbe du réseau, définissant le débit et la hauteur manométrique réels du système..
- Établir la courbe caractéristique de deux pompes identiques montées en série.
- Analyser le nouveau point de fonctionnement et évaluer le gain en débit.
- Calculer la puissance hydraulique et absorbée par les pompes.
Données de l'étude
Caractéristiques du réseau et de la pompe
Schéma de l'installation de pompage
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Hauteur géométrique de refoulement | \(H_{\text{géo}} = Z_B - Z_A\) | 15 m |
| Courbe d'une pompe (H en m, Q en m³/s) | \(H_{\text{p}}(Q)\) | \(25 - 30000 \cdot Q^2\) |
| Coefficient de pertes de charge du réseau | \(J_{\text{réseau}}\) | 15000 s²/m⁵ |
| Rendement d'une pompe | \(\eta\) | 0.75 (constant) |
Questions à traiter
- Déterminer l'équation de la courbe caractéristique du réseau, \(H_{\text{réseau}} = f(Q)\).
- Calculer le point de fonctionnement (débit \(Q_1\) et hauteur \(H_1\)) avec une seule pompe en service.
- Établir la courbe caractéristique \(H_{2\text{p}}(Q)\) des deux pompes identiques montées en série.
- Calculer le nouveau point de fonctionnement (débit \(Q_2\) et hauteur \(H_2\)) avec les deux pompes.
- Comparer la puissance absorbée par l'installation dans les deux configurations.
Les bases de l'hydraulique des réseaux de pompage
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser trois concepts clés : la courbe du réseau, la courbe de la pompe et leur intersection qui définit le point de fonctionnement.
1. Courbe Caractéristique du Réseau
La hauteur manométrique totale (HMT) que la pompe doit fournir pour vaincre les résistances du circuit est la somme de la hauteur géométrique et des pertes de charge. Pour un réseau simple, elle a souvent la forme parabolique suivante :
\[ H_{\text{réseau}}(Q) = H_{\text{géo}} + J_{\text{réseau}} \cdot Q^2 \]
Où \(H_{\text{géo}}\) est la différence d'altitude statique et \(J_{\text{réseau}}\) est le coefficient global des pertes de charge (régulières et singulières).
2. Association de Pompes en Série
Lorsque deux pompes sont montées en série, le débit qui les traverse est identique. Leurs hauteurs manométriques s'additionnent. Pour deux pompes identiques :
\[ H_{2 \text{ pompes}}(Q) = H_{\text{pompe 1}}(Q) + H_{\text{pompe 2}}(Q) = 2 \cdot H_{\text{pompe}}(Q) \]
L'objectif est d'augmenter la pression dans le réseau pour un débit donné.
Correction : Installation de Deux Pompes Identiques en Série
Question 1 : Déterminer l'équation de la courbe caractéristique du réseau, \(H_{\text{réseau}} = f(Q)\)
Principe
La courbe caractéristique du réseau, aussi appelée courbe résistante, représente l'énergie (exprimée en hauteur manométrique) que le système de pompage doit fournir au fluide pour qu'il puisse s'écouler d'un point A à un point B à un débit Q donné. Cette énergie combat deux forces : la gravité (la différence d'altitude) et les frottements (pertes de charge).
Mini-Cours
L'équation de Bernoulli généralisée entre la surface libre des deux réservoirs (points A et B) s'écrit : \( \frac{P_A}{\rho g} + Z_A + \frac{V_A^2}{2g} + H_{\text{pompe}} = \frac{P_B}{\rho g} + Z_B + \frac{V_B^2}{2g} + \Delta H_{\text{pertes}} \). En considérant les pressions atmosphériques (\(P_A=P_B\)) et des vitesses nulles dans les grands réservoirs (\(V_A=V_B=0\)), l'équation se simplifie en \( H_{\text{pompe}} = (Z_B - Z_A) + \Delta H_{\text{pertes}} \). La hauteur requise par le réseau est donc \(H_{\text{réseau}} = H_{\text{géo}} + \Delta H_{\text{pertes}}\).
Remarque Pédagogique
Il est crucial de toujours bien distinguer la partie statique (\(H_{\text{géo}}\)), qui est indépendante du débit, de la partie dynamique (\(J \cdot Q^2\)), qui représente l'énergie "perdue" pour vaincre les frottements et qui augmente rapidement avec le débit.
Normes
Bien que l'exercice fournisse un coefficient global \(J\), dans un cas réel, ce coefficient serait calculé en utilisant des normes et des formules de la mécanique des fluides, comme la formule de Darcy-Weisbach pour les pertes de charge régulières et des coefficients K (selon les normes NF EN ou ISO) pour les pertes de charge singulières (coudes, vannes, etc.).
Formule(s)
Équation de la courbe du réseau
Hypothèses
Pour appliquer cette formule, nous posons les hypothèses suivantes :
- L'eau est un fluide incompressible (\(\rho\) = constante).
- Le régime d'écoulement est turbulent, ce qui justifie des pertes de charge proportionnelles au carré du débit.
- Le coefficient de pertes de charge \(J_{\text{réseau}}\) est considéré comme constant sur la plage de débits étudiée.
Donnée(s)
Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur géométrique | \(H_{\text{géo}}\) | 15 | m |
| Coefficient de pertes de charge | \(J_{\text{réseau}}\) | 15000 | s²/m⁵ |
Astuces
Une vérification simple est de calculer \(H_{\text{réseau}}\) pour un débit nul (\(Q=0\)). On doit retrouver la hauteur géométrique : \(H_{\text{réseau}}(0) = 15 + 15000 \cdot 0^2 = 15 \text{ m}\). C'est la hauteur que la pompe doit fournir juste pour "commencer" à faire monter l'eau, avant même qu'elle ne bouge.
Schéma (Avant les calculs)
Composantes de la Hauteur du Réseau
Calcul(s)
Substitution des valeurs
Schéma (Après les calculs)
Courbe Caractéristique du Réseau
Réflexions
L'équation obtenue modélise la "demande" du réseau. Elle nous dit : "Pour un débit Q que tu veux faire passer, tu dois me fournir une énergie H". Plus on veut un débit élevé, plus le réseau devient "exigeant" à cause des frottements.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est une mauvaise gestion des unités. Assurez-vous que le débit \(Q\) est bien en m³/s pour être cohérent avec les unités de \(J_{\text{réseau}}\) (s²/m⁵) et obtenir une hauteur en mètres.
Points à retenir
- La courbe d'un réseau est la somme de sa composante statique (hauteur géométrique) et de sa composante dynamique (pertes de charge).
- Les pertes de charge sont le plus souvent modélisées par une fonction quadratique du débit (\(J \cdot Q^2\)).
Le saviez-vous ?
La forme parabolique \(J \cdot Q^2\) est une simplification. En réalité, le coefficient \(J\) dépend lui-même légèrement du débit via le nombre de Reynolds et la rugosité relative de la conduite (voir diagramme de Moody). Pour la plupart des applications pratiques en régime turbulent, cette approximation est cependant excellente.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la conduite était deux fois plus longue (doublant ainsi les pertes de charge), quelle serait la nouvelle équation du réseau ? (Considérez que J est proportionnel à la longueur).
Question 2 : Calculer le point de fonctionnement (débit \(Q_1\) et hauteur \(H_1\)) avec une seule pompe
Principe
Une pompe ne peut pas fonctionner à n'importe quel débit. Le point de fonctionnement est le point d'équilibre naturel du système, où l'énergie fournie par la pompe (sa courbe caractéristique) est exactement égale à l'énergie requise par le réseau (sa courbe caractéristique). C'est le seul point où "l'offre" de la pompe rencontre la "demande" du réseau.
Mini-Cours
Le point de fonctionnement (\(Q_{\text{fonct}}, H_{\text{fonct}}\)) est la solution du système d'équations formé par la courbe de la pompe et la courbe du réseau. Graphiquement, il s'agit du point d'intersection des deux courbes. Mathématiquement, on résout l'équation : \(H_{\text{pompe}}(Q) = H_{\text{réseau}}(Q)\).
Remarque Pédagogique
Visualisez les deux courbes sur un même graphique H(Q). La courbe de pompe est décroissante (plus elle débite, moins elle monte haut) et la courbe du réseau est croissante. Elles ne peuvent se croiser qu'en un seul point, ce qui garantit l'unicité du point de fonctionnement pour un système simple.
Normes
Les normes (comme la norme ISO 9906 pour les essais de performance des pompes) définissent comment les courbes caractéristiques des pompes sont mesurées et présentées par les fabricants, garantissant ainsi la fiabilité des données d'entrée pour ce type de calcul.
Formule(s)
Égalité au point de fonctionnement
Donnée(s)
Les équations nécessaires pour ce calcul sont la courbe de la pompe et la courbe du réseau.
| Description | Équation |
|---|---|
| Courbe pompe (1) | \(H_{\text{p}}(Q) = 25 - 30000 \cdot Q^2\) |
| Courbe réseau | \(H_{\text{réseau}}(Q) = 15 + 15000 \cdot Q^2\) |
Astuces
Avant de résoudre, vérifiez si un fonctionnement est possible. La hauteur maximale de la pompe (à débit nul, soit 25 m) doit être supérieure à la hauteur géométrique du réseau (15 m). Si ce n'est pas le cas, la pompe ne pourra jamais vaincre la gravité et le débit sera nul.
Schéma (Avant les calculs)
Intersection des courbes Pompe / Réseau
Calcul(s)
Résolution pour le débit Q₁
Calcul de la hauteur H₁
Schéma (Après les calculs)
Point de Fonctionnement (1 Pompe)
Réflexions
Le débit de 14.9 L/s est le débit réel qui s'établira dans la conduite. La pompe ne fournit pas sa hauteur maximale (25 m) car elle doit fournir du débit. De même, le débit n'est pas le débit maximal possible car la pompe doit vaincre la hauteur du réseau (18.33 m).
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier de prendre la racine carrée pour trouver Q. Une autre erreur fréquente est de mal regrouper les termes de l'équation (erreurs de signe).
Points à retenir
- Le point de fonctionnement est la solution unique de l'équation \(H_{\text{pompe}}(Q) = H_{\text{réseau}}(Q)\).
- Ce point définit à la fois le débit et la hauteur manométrique réels du système.
Le saviez-vous ?
Les pompes centrifuges sont choisies pour que leur point de fonctionnement se situe près de leur point de meilleur rendement (PMR) afin de minimiser la consommation d'énergie et l'usure de la machine. Faire fonctionner une pompe très loin de son PMR peut provoquer des problèmes de cavitation ou de recirculation.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la pompe était moins puissante, avec une courbe \(H_{\text{p}}(Q) = 20 - 30000 Q^2\), quel serait le nouveau débit en L/s ?
Question 3 : Établir la courbe caractéristique \(H_{2\text{p}}(Q)\) des deux pompes identiques montées en série
Principe
Monter des pompes en série signifie que l'eau passe successivement dans la première puis dans la seconde pompe. Le débit qui traverse les deux pompes est donc le même, mais chaque pompe ajoute sa propre "poussée" (hauteur manométrique). L'effet combiné est une addition des hauteurs pour un débit donné.
Mini-Cours
Pour une association en série de N pompes identiques, la courbe de hauteur résultante est obtenue en multipliant par N la hauteur d'une seule pompe, pour un même débit Q. La courbe de débit, elle, reste inchangée. L'objectif principal de ce montage est d'augmenter la pression (hauteur) dans le circuit, par exemple pour atteindre des réservoirs plus élevés ou vaincre des pertes de charge plus importantes.
Remarque Pédagogique
Ne confondez pas montage en série et en parallèle. En parallèle, les débits s'ajoutent pour une même hauteur. On utilise le montage parallèle quand on a besoin de plus de débit sans nécessairement plus de pression.
Normes
La construction et l'assemblage de groupes de pompage en série doivent respecter des normes de sécurité et de tuyauterie (ex: codification des tuyauteries, supports, vannes d'isolement) pour permettre la maintenance et assurer la sécurité de l'installation.
Formule(s)
Équation de l'association en série
Hypothèses
Nous supposons que les deux pompes sont rigoureusement identiques et qu'il n'y a pas de pertes de charge supplémentaires significatives dans la tuyauterie de raccordement entre les deux pompes.
Donnée(s)
L'équation de la courbe caractéristique d'une seule pompe est utilisée comme base.
| Description | Équation |
|---|---|
| Courbe d'une pompe | \(H_{\text{p}}(Q) = 25 - 30000 \cdot Q^2\) |
Astuces
Pour tracer rapidement la courbe, prenez quelques points clés de la courbe d'une pompe (par exemple à Q=0 et au débit max) et doublez simplement leur ordonnée (la hauteur H) en gardant la même abscisse (le débit Q).
Schéma (Avant les calculs)
Principe de l'addition des hauteurs en série
Calcul(s)
Détermination de la nouvelle courbe
Schéma (Après les calculs)
Courbes 1 Pompe vs 2 Pompes en série
Réflexions
Cette nouvelle équation représente "l'offre" combinée des deux pompes. On voit bien que pour n'importe quel débit, la hauteur qu'elles peuvent fournir est bien plus importante qu'avec une seule pompe. La hauteur à débit nul (50 m) est maintenant très largement supérieure à la hauteur géométrique (15 m).
Points de vigilance
Veillez à bien multiplier tous les termes de l'équation de la pompe par 2, pas seulement le premier. Une erreur commune est d'écrire \(50 - 30000 Q^2\), ce qui est incorrect.
Points à retenir
- En série, les débits sont identiques et les hauteurs s'additionnent.
- La courbe résultante de N pompes identiques est \(H_{N\text{p}}(Q) = N \cdot H_{\text{p}}(Q)\).
Le saviez-vous ?
Les pompes multi-étages, très courantes pour les forages profonds, sont en fait une application de ce principe. Chaque "étage" (une roue et un diffuseur) agit comme une petite pompe en série avec les autres, augmentant progressivement la pression pour atteindre des hauteurs de refoulement très importantes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'équation pour 3 pompes identiques en série ?
Question 4 : Calculer le nouveau point de fonctionnement (\(Q_2\), \(H_2\)) avec les deux pompes
Principe
Le principe reste exactement le même que pour une seule pompe : le nouveau point de fonctionnement se situe à l'intersection de la nouvelle courbe "offre" (celle des deux pompes en série) et de la courbe "demande" du réseau (qui, elle, n'a pas changé car la tuyauterie est la même).
Mini-Cours
L'ajout d'une pompe a modifié l'offre énergétique du système. Puisque la nouvelle courbe de pompage est "au-dessus" de l'ancienne, son point d'intersection avec la courbe du réseau (qui est croissante) se trouvera forcément plus loin, c'est-à-dire à un débit et une hauteur plus élevés.
Remarque Pédagogique
Il est important de noter que le débit ne doublera pas. En augmentant le débit, les pertes de charge dans le réseau augmentent de manière quadratique. Le gain en débit est donc un compromis entre la plus grande puissance disponible et la résistance accrue du réseau.
Normes
Aucune norme spécifique n'est directement applicable au calcul lui-même, mais les résultats (débit, pression) seraient utilisés pour vérifier que les composants du réseau (tuyaux, raccords) respectent les normes de pression de service (par exemple, PN10, PN16).
Formule(s)
Égalité au nouveau point de fonctionnement
Donnée(s)
Les équations de la nouvelle courbe des pompes et de la courbe du réseau sont nécessaires.
| Description | Équation |
|---|---|
| Courbe 2 pompes | \(H_{2\text{p}}(Q) = 50 - 60000 \cdot Q^2\) |
| Courbe réseau | \(H_{\text{réseau}}(Q) = 15 + 15000 \cdot Q^2\) |
Astuces
Puisque la hauteur à débit nul (50 m) est bien plus grande que celle requise (15 m), on s'attend à un gain de débit substantiel. Le nouveau point de fonctionnement se trouvera à une hauteur bien supérieure à l'ancien point (18.33 m).
Schéma (Avant les calculs)
Intersection des 3 courbes
Calcul(s)
Résolution pour le débit Q₂
Calcul de la hauteur H₂
Schéma (Après les calculs)
Point de Fonctionnement (2 Pompes)
Réflexions
Le débit a augmenté de 14.9 L/s à 21.6 L/s, soit une augmentation de 45%. C'est significatif, mais loin d'un doublement. La hauteur au point de fonctionnement a également augmenté de 18.33 m à 22.0 m. Cela signifie que les pertes de charge ont augmenté de 3.33 m à 7.0 m, "consommant" une partie de l'énergie supplémentaire fournie.
Points de vigilance
Vérifiez toujours la cohérence du résultat. Le nouveau débit et la nouvelle hauteur doivent être supérieurs aux anciens. Si ce n'est pas le cas, il y a probablement une erreur de calcul dans la résolution de l'équation.
Points à retenir
- L'ajout d'une pompe en série déplace le point de fonctionnement vers un débit et une hauteur plus élevés.
- Le gain en débit n'est jamais proportionnel au nombre de pompes à cause de l'augmentation des pertes de charge.
Le saviez-vous ?
Dans les grands réseaux d'adduction d'eau, on utilise des stations de surpression intermédiaires qui sont essentiellement des groupes de pompes en série. Elles redonnent de l'énergie à l'eau pour compenser les pertes de charge sur de longues distances et maintenir une pression suffisante dans le réseau.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la hauteur géométrique était de 20 m au lieu de 15 m, quel serait le débit (en L/s) avec les deux pompes ?
Question 5 : Comparer la puissance absorbée par l'installation dans les deux configurations
Principe
La puissance absorbée est la puissance électrique consommée par le moteur de la pompe. Elle est toujours supérieure à la puissance hydraulique (celle réellement transférée à l'eau) car aucune machine n'est parfaite. La différence est due aux pertes mécaniques et hydrauliques, quantifiées par le rendement.
Mini-Cours
La puissance hydraulique, \(P_{\text{h}}\), est l'énergie transférée au fluide par unité de temps. Elle se calcule par \(P_{\text{h}} = \rho \cdot g \cdot Q \cdot H\). La puissance absorbée, \(P_{\text{abs}}\), est liée à la puissance hydraulique par le rendement \(\eta\) : \(P_{\text{abs}} = \frac{P_{\text{h}}}{\eta}\). Pour un groupe de N pompes identiques, la puissance totale absorbée est la somme des puissances absorbées par chaque pompe.
Remarque Pédagogique
C'est une étape cruciale pour l'ingénieur, car la puissance absorbée détermine le coût d'exploitation (facture d'électricité) de l'installation et le dimensionnement des composants électriques (moteur, câbles, disjoncteur).
Normes
Des normes internationales (comme la IEC 60034) définissent les classes de rendement pour les moteurs électriques (IE1, IE2, IE3, IE4). Le choix d'un moteur à haut rendement, bien que plus cher à l'achat, permet de réduire la puissance absorbée et les coûts sur la durée de vie de l'installation.
Formule(s)
Puissance absorbée
Hypothèses
Nous supposons un rendement global constant de 0.75 pour chaque pompe, ce qui est une simplification. En réalité, le rendement varie avec le débit.
Donnée(s)
Les points de fonctionnement et les constantes physiques sont requis pour le calcul de puissance.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Point de fonctionnement 1 | \(Q_1, H_1\) | 0.0149, 18.33 | m³/s, m |
| Point de fonctionnement 2 | \(Q_2, H_2\) | 0.0216, 22.0 | m³/s, m |
| Masse volumique de l'eau | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| Rendement | \(\eta\) | 0.75 | - |
Astuces
Pour un calcul rapide, retenez que pour l'eau, le produit \(\rho \cdot g\) vaut environ 9810 N/m³. La puissance hydraulique en Watts est donc grossièrement 10000 fois le produit du débit (en m³/s) par la hauteur (en m). Divisez ensuite par le rendement.
Schéma (Avant les calculs)
Relation Puissances et Rendement
Calcul(s)
Puissance absorbée pour 1 pompe
Puissance absorbée pour 2 pompes
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Puissances Absorbées
Réflexions
Pour obtenir une augmentation de débit de 45%, la puissance consommée a augmenté de 74% (\(6.22 / 3.57 \approx 1.74\)). Ce rendement énergétique décroissant est un facteur clé dans les décisions d'ingénierie. On doit toujours évaluer si le gain de performance justifie le surcoût d'investissement et d'exploitation.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier de diviser par le rendement, ou de le multiplier. La puissance absorbée doit toujours être supérieure à la puissance hydraulique. Assurez-vous également que toutes les unités sont dans le système international (Q en m³/s, H en m) pour obtenir des Watts.
Points à retenir
- La puissance absorbée est la puissance "facturée" et est cruciale pour l'analyse économique.
- Elle est inversement proportionnelle au rendement : un meilleur rendement réduit la consommation.
- Le coût énergétique pour augmenter le débit n'est pas linéaire.
Le saviez-vous ?
Dans l'industrie, le coût énergétique du pompage représente une part très importante des dépenses d'exploitation (parfois plus de 25% de la facture d'électricité d'une usine). L'optimisation des systèmes de pompage (pompes à vitesse variable, choix judicieux du point de fonctionnement) est donc un enjeu économique et environnemental majeur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la puissance absorbée (en kW) par une seule pompe si elle devait fonctionner au débit \(Q_2\) de 21.6 L/s ? (Calculez d'abord la hauteur H qu'elle fournirait à ce débit).
Outil Interactif : Simulateur de Pompage
Utilisez les curseurs pour modifier la hauteur géométrique et le coefficient de perte de charge du réseau. Observez en temps réel l'impact sur les points de fonctionnement et les courbes caractéristiques.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que se passe-t-il lorsque l'on ajoute une deuxième pompe identique en série ?
2. Si la hauteur géométrique du réseau augmente, le débit...
3. Le point de fonctionnement est trouvé à l'intersection de...
4. Pour augmenter significativement le débit dans un réseau avec de très faibles pertes de charge, il est plus judicieux d'installer des pompes...
5. La puissance absorbée par une pompe est toujours...
Glossaire
- Point de fonctionnement
- Le point d'équilibre unique (un débit Q et une hauteur H) où la courbe caractéristique de la pompe croise celle du réseau. C'est le point auquel le système fonctionnera en pratique.
- Courbe caractéristique d'une pompe
- Relation, généralement représentée par un graphique, entre le débit (Q) qu'une pompe peut fournir et la hauteur manométrique (H) qu'elle peut générer.
- Pompes en série
- Une configuration où le refoulement de la première pompe est connecté à l'aspiration de la seconde. Cette disposition est utilisée pour augmenter la hauteur de refoulement totale du système.
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