ÉTUDE HYDRAULIQUE

Influence du Vieillissement des Conduites

Influence du Vieillissement des Conduites sur le Débit d'un Réseau

Influence du Vieillissement des Conduites sur le Débit d'un Réseau

Comprendre l'Influence du Vieillissement des Conduites sur le Débit d'un Réseau

La performance d'un réseau hydraulique n'est pas statique. Avec le temps, les phénomènes de corrosion et de tuberculation (dépôts de calcaire, oxydes, etc.) augmentent la rugosité interne des conduites. Dans un système alimenté par gravité, où la différence de charge motrice entre le point de départ et le point d'arrivée est fixe, cette augmentation de la rugosité a une conséquence directe : pour la même énergie disponible, les pertes par frottement deviennent plus importantes. L'énergie cinétique du fluide doit donc diminuer pour respecter le bilan énergétique (équation de Bernoulli). Cette diminution de l'énergie cinétique se traduit par une réduction de la vitesse d'écoulement, et par conséquent, une baisse du débit que le réseau est capable de transporter. Cet exercice vise à quantifier cette réduction de performance.

Données de l'étude

Un réservoir A, avec une surface libre à une cote de 80 m, alimente par gravité un réservoir B dont la surface libre est à une cote de 60 m. La conduite est en fonte.

Caractéristiques du système :

  • Fluide : Eau à 20°C (\(\nu = 1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\text{/s}\))
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Longueur de la conduite (\(L\)) : \(2000 \, \text{m}\)
  • Diamètre intérieur (\(D\)) : \(400 \, \text{mm}\)

Cas à comparer :

  • Cas A (Conduite neuve) : Rugosité absolue \(\epsilon_A = 0.1 \, \text{mm}\)
  • Cas B (Conduite ancienne) : Rugosité absolue \(\epsilon_B = 2.0 \, \text{mm}\)

Hypothèse : On néglige les pertes de charge singulières à l'entrée et à la sortie pour se concentrer sur l'effet des pertes régulières.

Schéma de l'écoulement par gravité et de la rugosité
Réservoir A Z_A = 80m Réservoir B Z_B = 60m Perte de Charge Totale h_f Q = ?

Questions à traiter

  1. Écrire l'équation de Bernoulli entre les surfaces libres des deux réservoirs pour trouver la perte de charge totale \(h_f\) disponible.
  2. Exprimer le débit \(Q\) en fonction du coefficient de frottement \(f\).
  3. Pour le **Cas A (Neuve)**, calculer le débit \(Q_A\). Le calcul étant itératif, on admettra une valeur finale de \(f_A \approx 0.015\).
  4. Pour le **Cas B (Ancienne)**, calculer le débit \(Q_B\). On admettra une valeur finale de \(f_B \approx 0.03\).
  5. Calculer la réduction du débit en pourcentage due au vieillissement de la conduite.

Correction : Influence du Vieillissement des Conduites sur le Débit d'un Réseau

Question 1 : Perte de Charge Disponible (\(h_f\))

Principe :

On applique l'équation de Bernoulli entre la surface libre du réservoir A et celle du réservoir B. La pression à la surface des deux est la pression atmosphérique (donc s'annule) et les vitesses sont considérées comme nulles. L'énergie disponible pour vaincre les frottements est donc simplement la différence de cote.

Équation :
\[ \begin{aligned} Z_A + \frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} &= Z_B + \frac{P_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + h_f \\ Z_A + 0 + 0 &= Z_B + 0 + 0 + h_f \\ h_f &= Z_A - Z_B = 80 \, \text{m} - 60 \, \text{m} = 20 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'énergie disponible pour vaincre les pertes de charge est constante et vaut \(h_f = 20 \, \text{m}\).

Question 2 : Expression du Débit (\(Q\))

Principe :

On part de la formule de Darcy-Weisbach et on isole le débit Q.

Calcul :
\[ \begin{aligned} h_f &= f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} = f \frac{L}{D} \frac{Q^2}{2gA^2} \\ Q^2 &= \frac{h_f \cdot 2g D A^2}{f L} = \frac{h_f \cdot 2g D (\pi D^2/4)^2}{f L} = \frac{h_f \cdot g \pi^2 D^5}{8 f L} \\ Q &= \sqrt{\frac{h_f \cdot g \pi^2 D^5}{8 f L}} \end{aligned} \]

En remplaçant les valeurs constantes :

\[ \begin{aligned} Q &= \sqrt{\frac{20 \cdot 9.81 \cdot \pi^2 \cdot (0.4)^5}{8 \cdot f \cdot 2000}} = \sqrt{\frac{19.86}{16000 \cdot f}} \\ Q &\approx \sqrt{\frac{0.00124}{f}} \approx \frac{0.0352}{\sqrt{f}} \end{aligned} \]

Question 3 : Débit pour la Conduite Neuve (\(Q_A\))

Principe :

On utilise la formule précédente avec le coefficient de frottement pour la conduite neuve, \(f_A \approx 0.015\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_A &\approx \frac{0.0352}{\sqrt{0.015}} \\ &\approx \frac{0.0352}{0.1225} \\ &\approx 0.287 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le débit dans la conduite neuve est \(Q_A \approx 287 \, \text{L/s}\).

Question 4 : Débit pour la Conduite Ancienne (\(Q_B\))

Principe :

On refait le calcul avec le coefficient de frottement pour la conduite ancienne, \(f_B \approx 0.03\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_B &\approx \frac{0.0352}{\sqrt{0.03}} \\ &\approx \frac{0.0352}{0.1732} \\ &\approx 0.203 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le débit dans la conduite ancienne est \(Q_B \approx 203 \, \text{L/s}\).

Question 5 : Réduction du Débit

Principe :

On calcule la différence de débit et on l'exprime en pourcentage par rapport au débit initial de la conduite neuve.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Réduction} &= \frac{Q_A - Q_B}{Q_A} \times 100\% \\ &= \frac{287 - 203}{287} \times 100\% \\ &= \frac{84}{287} \times 100\% \\ &\approx 29.3\% \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le vieillissement de la conduite a provoqué une chute de débit d'environ 29.3%.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

9. La principale conséquence du vieillissement d'une conduite dans un réseau gravitaire est :

10. Le calcul du débit dans un système gravitaire où \(f\) est inconnu est dit "itératif" parce que :

11. Qu'est-ce que la tuberculation ?

Glossaire

Vieillissement des Conduites
Ensemble des processus (corrosion, entartrage, tuberculation) qui dégradent l'état de surface interne d'une conduite, conduisant à une augmentation de sa rugosité absolue (\(\epsilon\)).
Tuberculation
Forme de corrosion localisée dans les conduites en métaux ferreux, qui se manifeste par la formation de nodules ou "tubercules" d'oxydes de fer sur la paroi interne.
Régime Turbulent Rugueux
Régime d'écoulement (visible sur la partie droite du diagramme de Moody) où les pertes de charge sont tellement dominées par la rugosité de la paroi que le coefficient de frottement \(f\) ne dépend quasiment plus du nombre de Reynolds.
Influence du Vieillissement des Conduites - Exercice d'Application

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