Calcul des Pertes de Charge avec Hazen-Williams
Contexte : Le dimensionnement d'une conduite d'adduction d'eau.
L'un des défis majeurs en ingénierie hydraulique est de transporter l'eau sur de longues distances de manière efficace. Pour ce faire, il est crucial de calculer l'énergie perdue par le frottement de l'eau contre les parois de la conduite. Cette perte d'énergie, appelée perte de chargeLa diminution de pression ou d'énergie d'un fluide due aux frottements dans une conduite. Elle se mesure en mètres de colonne de fluide (mCE) ou en unité de pression (bar, Pascal)., doit être compensée par une pompe. La formule de Hazen-Williams est un outil empirique très utilisé par les ingénieurs pour estimer ces pertes dans les réseaux d'eau sous pression.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer une formule d'ingénierie concrète à un problème de dimensionnement réaliste. La maîtrise des unités et de l'interprétation des résultats est aussi importante que le calcul lui-même.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et définir la notion de perte de charge linéaire.
- Appliquer correctement la formule de Hazen-Williams pour un cas pratique.
- Maîtriser la conversion des unités usuelles en hydraulique (débit, diamètre).
- Interpréter un résultat de calcul pour valider un choix technique.
Données de l'étude
Schéma de l'installation
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Débit requis pour la commune | \(Q\) | 150 \(\text{m}^3/\text{h}\) |
| Longueur de la conduite | \(L\) | 2,5 \(\text{km}\) |
| Diamètre intérieur de la conduite | \(D\) | 200 \(\text{mm}\) |
| Matériau de la conduite | - | PVC (Polychlorure de vinyle) |
| Coefficient de rugosité (Hazen-Williams) | \(C\) | 150 (pour du PVC neuf) |
Questions à traiter
- Afin d'utiliser la formule dans le Système International, convertissez le débit \(Q\) en \(\text{m}^3/\text{s}\) et le diamètre \(D\) en \(\text{m}\).
- Calculez la vitesse de l'eau \(V\) dans la conduite en \(\text{m}/\text{s}\).
- Calculez la perte de charge linéaire \(h_f\) en mètres de colonne d'eau (mCE) en utilisant la formule de Hazen-Williams.
- Exprimez cette perte de charge en bars (on prendra l'approximation \(1 \text{ bar} \approx 10.2 \text{ mCE}\)).
- L'étude de pompage préconise une pompe capable de fournir une pression de 1,5 bar pour vaincre les frottements. Ce choix est-il validé par votre calcul ? (On négligera les autres pertes).
Les bases sur la Formule de Hazen-Williams
La formule de Hazen-Williams est une relation empirique qui relie le débit de l'eau dans une conduite à ses propriétés physiques et géométriques. Elle est particulièrement adaptée aux calculs de pertes de charge pour l'eau en charge dans des conduites de diamètre supérieur à 50 mm et pour des vitesses courantes.
Formule de Hazen-Williams (unités SI)
La formule permettant de calculer la perte de charge (\(h_f\)) en mètres est la suivante :
Correction : Calcul des Pertes de Charge avec Hazen-Williams
Question 1 : Conversion des unités
Principe
La première étape de tout calcul de physique ou d'ingénierie est de s'assurer que toutes les données sont exprimées dans un système d'unités cohérent. La formule de Hazen-Williams que nous utilisons est calibrée pour le Système International (mètres, secondes, etc.).
Mini-Cours
Le Système International d'unités (SI) est le système métrique le plus utilisé au monde. Pour l'hydraulique, les unités de base sont le mètre (m) pour la longueur, le kilogramme (kg) pour la masse, et la seconde (s) pour le temps. Toutes les autres unités (débit, pression, etc.) en découlent.
Remarque Pédagogique
Prenez toujours l'habitude de lister vos données et de les convertir AVANT de commencer le moindre calcul. Cela évite 90% des erreurs d'inattention et structure votre raisonnement.
Normes
Bien qu'il n'y ait pas de "norme" pour une conversion d'unité, l'utilisation du Système International est une convention universelle en sciences et en ingénierie pour garantir l'interopérabilité des calculs et des résultats.
Formule(s)
Facteur de conversion Horaire
Facteur de conversion Métrique
Hypothèses
Aucune hypothèse n'est nécessaire pour une simple conversion d'unités.
Donnée(s)
Les données d'entrée pour cette question sont tirées de l'énoncé général :
| Paramètre | Valeur Initiale | Unité Initiale |
|---|---|---|
| Débit | 150 | \(\text{m}^3/\text{h}\) |
| Diamètre | 200 | \(\text{mm}\) |
Astuces
Pour convertir des \(\text{m}^3/\text{h}\) en \(\text{m}^3/\text{s}\), divisez simplement par 3600. Pour convertir des \(\text{mm}\) en \(\text{m}\), divisez par 1000. C'est un réflexe à acquérir !
Schéma (Avant les calculs)
Conversion des unités
Calcul(s)
Conversion du débit (\(Q\))
Conversion du diamètre (\(D\))
Schéma (Après les calculs)
Unités converties
Réflexions
Les valeurs obtenues, \(Q \approx 0.04167 \text{ m}^3/\text{s}\) et \(D = 0.2 \text{ m}\), sont maintenant prêtes à être injectées dans les formules physiques qui suivent. Elles peuvent paraître petites, mais ce sont les ordres de grandeur corrects pour les calculs en SI.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser les opérations : pour passer d'une grande unité (heure) à une plus petite (seconde), on divise le débit. Pour passer d'une petite unité (mm) à une grande (m), on divise également la longueur.
Points à retenir
- La cohérence des unités est la base de tout calcul fiable.
- Toujours utiliser le Système International (m, s, kg) sauf indication contraire.
Le saviez-vous ?
Le Système International a été officiellement adopté en 1960 lors de la 11ème Conférence Générale des Poids et Mesures. Il a standardisé la science et le commerce à l'échelle mondiale.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le débit était de 300 \(\text{L}/\text{s}\), quelle serait sa valeur en \(\text{m}^3/\text{s}\) ? (Rappel: \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}\))
Question 2 : Calcul de la vitesse de l'eau
Principe
La vitesse moyenne d'un fluide dans une conduite est le rapport entre le débit volumique et l'aire de la section transversale de la conduite. C'est une donnée importante pour vérifier que l'écoulement n'est ni trop lent (risque de sédimentation) ni trop rapide (risque d'érosion).
Mini-Cours
La conservation de la masse pour un fluide incompressible impose que le débit (\(Q\)) soit constant. Comme \(Q = V \times A\), si la section \(A\) diminue, la vitesse \(V\) doit augmenter, et vice-versa. C'est ce qu'on appelle l'équation de continuité.
Remarque Pédagogique
Le calcul de la vitesse est un excellent moyen de vérifier la cohérence de vos conversions d'unités. Une vitesse de plusieurs dizaines de m/s dans une conduite d'eau est généralement un signe d'erreur ! Les vitesses usuelles se situent entre 0.5 et 2.5 m/s.
Normes
Les réglementations et guides de bonnes pratiques en adduction d'eau potable recommandent des plages de vitesses pour limiter les risques d'érosion (vitesses trop élevées) et de dépôts (vitesses trop faibles).
Formule(s)
Relation Vitesse-Débit
Aire d'une section circulaire
Hypothèses
On suppose que la conduite est pleine et que la vitesse est uniforme sur toute la section (vitesse moyenne).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Débit | \(Q\) | 0.04167 | \(\text{m}^3/\text{s}\) |
| Diamètre | \(D\) | 0.2 | \(\text{m}\) |
Astuces
Pour calculer rapidement l'aire, retenez que \( \pi/4 \approx 0.785 \). Donc, \( A \approx 0.785 \cdot D^2 \).
Schéma (Avant les calculs)
Section transversale de la conduite
Calcul(s)
Calcul de l'aire (\(A\))
Calcul de la vitesse (\(V\))
Schéma (Après les calculs)
Profil de vitesse moyen
Réflexions
Une vitesse de 1.33 m/s est tout à fait standard pour ce type d'installation. Elle est suffisamment élevée pour éviter les dépôts de sédiments mais pas assez pour causer une usure prématurée de la conduite en PVC. Le résultat est donc cohérent.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier de mettre le diamètre au carré dans la formule de l'aire (\(D^2\)). Vérifiez toujours que l'unité de votre aire est bien en \(\text{m}^2\).
Points à retenir
- La vitesse est inversement proportionnelle au carré du diamètre (\(V \propto 1/D^2\)). Un petit changement de diamètre a donc un impact énorme sur la vitesse.
Le saviez-vous ?
Dans les conduites d'assainissement, une vitesse minimale "d'autocurage" (environ 0.7 m/s) est requise pour que l'écoulement puisse entraîner les matières en suspension et éviter que les canalisations ne se bouchent.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le diamètre était de 400 mm et le débit de 0.1 \(\text{m}^3/\text{s}\), quelle serait la vitesse approximative en \(\text{m}/\text{s}\) ?
Question 3 : Calcul de la perte de charge (\(h_f\))
Principe
Nous appliquons directement la formule de Hazen-Williams avec les données de l'énoncé, préalablement converties dans les bonnes unités. Le calcul fait intervenir des puissances non entières, ce qui nécessite l'utilisation d'une calculatrice.
Mini-Cours
La perte de charge linéaire \(h_f\) représente l'énergie dissipée par frottement par unité de poids du fluide sur une longueur donnée. Elle est directement proportionnelle à la longueur de la conduite et augmente très rapidement avec le débit (puissance 1.852), mais diminue encore plus vite lorsque le diamètre augmente (puissance 4.87).
Remarque Pédagogique
Décomposez le calcul : calculez d'abord le numérateur, puis le dénominateur, et ne faites la division qu'à la fin. Cela permet de limiter les erreurs de saisie sur la calculatrice et de vérifier plus facilement les ordres de grandeur intermédiaires.
Normes
La formule de Hazen-Williams est une méthode empirique reconnue et largement utilisée dans les normes et guides de conception des réseaux d'eau potable, notamment en Amérique du Nord.
Formule(s)
Formule de Hazen-Williams
Hypothèses
La formule est appliquée en supposant un régime d'écoulement turbulent et une température de l'eau autour de 20°C, conditions pour lesquelles elle est la plus précise.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur | \(L\) | 2500 | \(\text{m}\) |
| Débit | \(Q\) | 0.04167 | \(\text{m}^3/\text{s}\) |
| Coefficient | \(C\) | 150 | - |
| Diamètre | \(D\) | 0.2 | \(\text{m}\) |
Astuces
Si vous n'avez pas de calculatrice scientifique, il est très difficile de calculer les puissances non entières. Dans un examen, ces valeurs intermédiaires (\(Q^{1.852}\), etc.) sont souvent données.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de l'installation
Calcul(s)
Calcul du terme de débit
Calcul du terme de rugosité
Calcul du terme de diamètre
Calcul final de la perte de charge
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Ligne de Charge
Réflexions
Une perte de 12.93 mètres signifie que si la conduite était un canal ouvert, le niveau de l'eau baisserait de près de 13 mètres sur les 2.5 km. C'est une perte d'énergie considérable qui doit impérativement être compensée par une pompe ou une différence d'altitude suffisante.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente dans ce calcul est d'oublier de mettre les termes C et D à la puissance requise. Assurez-vous d'utiliser correctement la fonction puissance (\(x^y\)) de votre calculatrice pour chaque terme.
Points à retenir
La perte de charge est l'un des paramètres les plus importants dans le dimensionnement d'un réseau hydraulique. Elle conditionne la hauteur manométrique de la pompe et donc sa consommation énergétique.
Le saviez-vous ?
D'autres formules existent pour calculer les pertes de charge, comme celle de Darcy-Weisbach, plus générale et physiquement fondée, mais qui nécessite de calculer un coefficient de frottement (le \(\lambda\)) de manière itérative, la rendant plus complexe à utiliser sans logiciel.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour un débit \(Q=0.05 \text{ m}^3/\text{s}\), un diamètre \(D=0.25\text{m}\), une longueur \(L=1000\text{m}\) et un \(C=140\), quelle est la perte de charge \(h_f\) en \(\text{mCE}\) ?
Question 4 : Conversion de la perte de charge en bars
Principe
Les mètres de colonne d'eau (mCE) et les bars sont deux unités de pression. La conversion entre les deux est une constante approximative qui dépend de l'accélération de la pesanteur et de la masse volumique de l'eau.
Mini-Cours
La pression exercée par une colonne d'eau est donnée par la formule hydrostatique \(P = \rho \cdot g \cdot h\). Pour \(h=10.2 \text{ m}\), avec \(\rho \approx 1000 \text{ kg/m³}\) et \(g \approx 9.81 \text{ m/s²}\), on obtient une pression d'environ 100 000 Pa, soit 1 bar. C'est l'origine de ce facteur de conversion.
Remarque Pédagogique
Les hydrauliciens parlent souvent en "mètres", car cela permet de comparer directement les pertes de charge aux différences d'altitude sur un profil en long. Les exploitants de réseau préfèrent souvent les "bars", car c'est l'unité affichée sur les manomètres.
Normes
Les normes de plomberie et d'adduction d'eau spécifient des pressions minimales de service au robinet, souvent exprimées en bars (par exemple, 3 bars).
Formule(s)
Formule de conversion Pression
Hypothèses
On utilise une valeur conventionnelle de 10.2 mCE pour 1 bar, ce qui est une approximation suffisante pour la plupart des calculs d'ingénierie courants.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Perte de charge | \(h_f\) | 12.93 | \(\text{mCE}\) |
Astuces
Pour une estimation rapide, on peut souvent diviser par 10. C'est moins précis, mais donne un bon ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Equivalence Pression
Calcul(s)
Calcul de la pression équivalente
Schéma (Après les calculs)
Equivalence Pression - Résultat
Réflexions
Une perte de 1.27 bar est significative. Si la pression au départ du réservoir est de 3 bars, il ne restera plus que \(3 - 1.27 = 1.73 \text{ bar}\) à l'arrivée à la commune (sans compter la différence d'altitude).
Points de vigilance
Ne pas confondre pression absolue et pression relative. Les bars indiqués par les manomètres sont des pressions relatives (par rapport à la pression atmosphérique). Les calculs de perte de charge portent sur ces pressions relatives.
Points à retenir
Le facteur de conversion \(1 \text{ bar} \approx 10.2 \text{ mCE}\) est une valeur fondamentale à mémoriser pour tout technicien ou ingénieur travaillant dans le domaine de l'eau.
Le saviez-vous ?
L'unité "bar" vient du mot grec "baros" qui signifie "poids". Elle est très proche d'une autre unité, l'atmosphère standard (atm), qui vaut 1.01325 bar.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la perte de charge est de 5.1 \(\text{mCE}\), combien cela fait-il en bars ?
Question 5 : Validation du choix de la pompe
Principe
Pour que l'installation fonctionne, la pompe doit fournir une pression au moins égale à la somme de toutes les pertes de charge et de la différence d'altitude. Ici, nous comparons simplement la pression fournie par la pompe à la perte de charge calculée.
Mini-Cours
Une pompe ne "crée" pas de pression, elle fournit de l'énergie au fluide, ce qui se traduit par une augmentation de sa pression. Cette augmentation de pression doit être suffisante pour (1) vaincre les frottements (pertes de charge) et (2) élever l'eau à l'altitude souhaitée (hauteur géométrique).
Remarque Pédagogique
En ingénierie, on prend toujours une marge de sécurité. Même si le calcul montre que 1.27 bar est suffisant, choisir une pompe de 1.5 bar est une bonne pratique. Cela permet d'anticiper le vieillissement des conduites (qui augmentera les pertes) ou une future augmentation des besoins en eau.
Normes
Les normes de conception de stations de pompage imposent des facteurs de sécurité sur les calculs pour garantir la fiabilité et la pérennité des installations.
Formule(s)
Critère de validation
Hypothèses
On néglige toutes les autres pertes (coudes, vannes, etc.) et on ne tient pas compte de la différence d'altitude entre le départ et l'arrivée, comme demandé dans l'énoncé.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression calculée à compenser | \(P_{\text{perte}}\) | 1.27 | \(\text{bar}\) |
| Pression disponible (pompe) | \(P_{\text{pompe}}\) | 1.5 | \(\text{bar}\) |
Astuces
Pas d'astuce particulière pour cette comparaison.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison : Pompe vs Pertes
Calcul(s)
Comparaison des pressions
Schéma (Après les calculs)
Validation
Réflexions
La condition est satisfaite. La pompe dispose d'une marge de pression de \(1.5 - 1.27 = 0.23 \text{ bar}\), soit environ 2.35 mètres de colonne d'eau. Cette marge est confortable et assure le bon fonctionnement du système même avec de légères variations.
Points de vigilance
Ne jamais sous-dimensionner une pompe. Une pompe trop faible n'atteindra pas le débit requis, ou fonctionnera en dehors de sa plage de rendement optimal, ce qui entraînera une surconsommation électrique et une usure prématurée.
Points à retenir
Le calcul des pertes de charge est l'étape clé qui permet de dimensionner correctement une pompe pour un réseau de distribution d'eau.
Le saviez-vous ?
Dans un projet réel, il faudrait aussi ajouter les "pertes de charge singulières" (dues aux coudes, vannes, etc.) et la différence de hauteur géométrique entre la pompe et le point de livraison. La pompe doit vaincre la somme de tous ces éléments ! La marge de 0,23 bar (1,5 - 1,27) pourrait servir à compenser ces autres pertes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la perte de charge est de 1.8 bar et que la pompe fournit 2.2 bars, quelle est la marge de pression restante en bar ?
Outil Interactif : Simulateur de Pertes de Charge
Utilisez les curseurs pour voir comment le débit et le diamètre de la conduite influencent la perte de charge et la vitesse de l'eau. Les calculs sont faits pour une conduite en PVC (C=150) de 1000m de long.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour L=1000m, C=150)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente le coefficient C dans la formule de Hazen-Williams ?
2. Si le diamètre d'une conduite est doublé (en gardant le même débit), comment la perte de charge évolue-t-elle approximativement ?
3. Pour quel type de fluide la formule de Hazen-Williams est-elle la plus précise ?
4. Parmi ces matériaux, lequel a généralement le coefficient C de Hazen-Williams le plus élevé (et donc le moins de pertes de charge) ?
5. Une perte de charge de 20.4 mètres de colonne d'eau (mCE) équivaut approximativement à :
- Perte de Charge
- Diminution de l'énergie totale d'un fluide (généralement exprimée en hauteur de colonne de fluide ou en pression) lorsqu'il s'écoule dans une conduite, principalement due aux frottements.
- Coefficient de Rugosité (C)
- Valeur empirique sans dimension qui caractérise l'état de surface de l'intérieur d'une conduite. Une valeur C élevée correspond à une paroi lisse (faibles pertes), une valeur faible à une paroi rugueuse (fortes pertes).
- Régime d'écoulement turbulent
- Type d'écoulement d'un fluide caractérisé par des trajectoires de particules chaotiques et des tourbillons. C'est le régime le plus courant dans les applications hydrauliques, pour lequel la formule de Hazen-Williams est conçue.
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