ÉTUDE HYDRAULIQUE

Forces dans un Réservoir en Rotation

Fondamentaux de l'Hydraulique : Calcul des forces sur les parois d'un réservoir cylindrique en rotation

Calcul des Forces sur les Parois d'un Réservoir Cylindrique en Rotation

Contexte : Le Vortex Forcé et ses Effets

Lorsqu'un réservoir cylindrique ouvert contenant un fluide est mis en rotation à une vitesse angulaire constante \(\omega\) autour de son axe vertical, le fluide est entraîné par les parois. Après un certain temps, le fluide atteint un état de rotation en corps solide. La surface libre, initialement plane, se creuse pour former une surface paraboloïdale. Ce phénomène, appelé vortex forcéÉcoulement rotationnel où un fluide tourne comme un corps solide, avec une vitesse angulaire constante. La surface libre prend une forme de paraboloïde de révolution., est le résultat de l'équilibre entre la force gravitationnelle, la force centrifuge et le gradient de pression. La pression n'est plus simplement hydrostatique ; elle augmente avec la profondeur et avec la distance par rapport à l'axe de rotation. Cet exercice vise à analyser cette nouvelle distribution de pression et les forces qui en résultent sur les parois du réservoir.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe du deuxième principe de Newton à la mécanique des fluides dans un référentiel tournant. Il démontre comment une force d'inertie (la force centrifuge) modifie fondamentalement la distribution de pression par rapport au cas statique. La forme parabolique de la surface est une conséquence directe de cet équilibre des forces.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer l'équation de la surface libre (paraboloïde) d'un fluide en rotation.
  • Appliquer le principe de conservation du volume pour trouver les nouvelles hauteurs du fluide.
  • Calculer la distribution de pression sur le fond et les parois latérales du réservoir.
  • Intégrer la pression sur une surface pour calculer la force résultante totale.
  • Analyser l'influence de la vitesse de rotation sur les forces exercées.

Données de l'étude

Un réservoir cylindrique ouvert, de rayon \(R = 0.5 \, \text{m}\), est rempli d'huile jusqu'à une hauteur \(h_0 = 1 \, \text{m}\). Le réservoir est mis en rotation autour de son axe vertical à une vitesse angulaire constante \(\omega = 8 \, \text{rad/s}\).

Réservoir Cylindrique en Rotation
ω

Données et hypothèses :

  • Masse volumique de l'huile : \(\rho = 900 \, \text{kg/m}^3\)
  • Intensité de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • La pression à la surface libre du fluide est la pression atmosphérique (pression relative nulle).

Questions à traiter

  1. Déterminer l'équation de la surface libre \(z(r)\) du paraboloïde.
  2. Calculer la hauteur minimale du fluide au centre (\(h_{\text{min}}\)) et la hauteur maximale sur la paroi (\(h_{\text{max}}\)).
  3. Calculer la force totale \(F_{\text{fond}}\) exercée par le fluide sur le fond du réservoir.

Correction : Forces dans un Réservoir en Rotation

Question 1 : Équation de la Surface Libre

Principe :
Poids (mg) Fc (mω²r) Surface libre θ

Pour une particule de fluide à la surface libre, la somme des forces (poids, force de pression) doit fournir l'accélération centripète nécessaire pour la rotation. Une autre façon de voir est que la surface libre est une surface isobare (pression constante), et elle doit être perpendiculaire à la somme vectorielle de la gravité et de la force centrifuge. Cela conduit à une forme parabolique, où la hauteur \(z\) en un rayon \(r\) est liée à la hauteur au centre \(z_c\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La forme de la surface ne dépend pas de la nature du fluide (sa masse volumique \(\rho\)), mais uniquement de la vitesse de rotation \(\omega\) et de la gravité \(g\). C'est une relation purement cinématique et géométrique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ z(r) = z_c + \frac{\omega^2 r^2}{2g} \]
Donnée(s) :
  • \(\omega = 8 \, \text{rad/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} z(r) &= z_c + \frac{(8)^2 r^2}{2 \times 9.81} \\ &= z_c + \frac{64 r^2}{19.62} \\ &\approx z_c + 3.26 r^2 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités de Vitesse Angulaire : La vitesse de rotation \(\omega\) doit impérativement être en radians par seconde (rad/s) pour que la formule soit homogène. Si la vitesse est donnée en tours par minute (tr/min), il faut la convertir avec la formule \(\omega \, [\text{rad/s}] = N \, [\text{tr/min}] \times 2\pi / 60\).

Le saviez-vous ?

Le même principe explique pourquoi la Terre n'est pas une sphère parfaite mais un "sphéroïde aplati". La rotation de la Terre sur elle-même crée une force centrifuge qui est maximale à l'équateur, provoquant un renflement. Le rayon de la Terre à l'équateur est environ 21 km plus grand que son rayon aux pôles.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si le réservoir est fermé ?

Si le réservoir est fermé et complètement rempli, la surface ne peut pas se déformer. Cependant, la pression à l'intérieur suivra la même loi : la pression sera plus faible au centre et plus élevée sur les parois. La pression sur la paroi supérieure du réservoir ne sera plus uniforme.

Résultat : L'équation de la surface libre est \(z(r) \approx z_c + 3.26 r^2\), où \(z_c\) est la hauteur au centre, encore inconnue.

Question 2 : Hauteurs Minimale et Maximale

Principe :
Volume Initial Volume Final Volume Initial = Volume Final

Le volume de fluide dans le réservoir est conservé. Le volume initial est celui d'un cylindre de hauteur \(h_0\). Le volume final est celui d'un paraboloïde de révolution. En égalant ces deux volumes, on peut trouver la seule inconnue restante, la hauteur au centre \(z_c = h_{\text{min}}\). La hauteur maximale \(h_{\text{max}}\) se trouve alors en appliquant l'équation de la parabole au rayon \(R\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le volume d'un paraboloïde de révolution est exactement la moitié du volume du cylindre qui le contient. C'est une propriété géométrique très utile qui simplifie grandement les calculs et évite de devoir poser une intégrale de volume.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_{\text{initial}} = \pi R^2 h_0 \]
\[ V_{\text{final}} = \pi R^2 h_{\text{min}} + \frac{1}{2}\pi R^2 (h_{\text{max}} - h_{\text{min}}) \]
\[ h_{\text{max}} - h_{\text{min}} = \frac{\omega^2 R^2}{2g} \]
Donnée(s) :
  • \(R = 0.5 \, \text{m}\)
  • \(h_0 = 1 \, \text{m}\)
  • \(\omega = 8 \, \text{rad/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :

1. Calculer la différence de hauteur entre le bord et le centre :

\[ \begin{aligned} \Delta h &= h_{\text{max}} - h_{\text{min}} = \frac{8^2 \times 0.5^2}{2 \times 9.81} \\ &= \frac{16}{19.62} \approx 0.815 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Égaler les volumes initial et final :

\[ \pi R^2 h_0 = \pi R^2 h_{\text{min}} + \frac{1}{2}\pi R^2 (\Delta h) \]

3. Simplifier et résoudre pour \(h_{\text{min}}\) :

\[ \begin{aligned} h_0 &= h_{\text{min}} + \frac{\Delta h}{2} \\ h_{\text{min}} &= h_0 - \frac{\Delta h}{2} \\ &= 1 - \frac{0.815}{2} \\ &= 0.5925 \, \text{m} \end{aligned} \]

4. Calculer \(h_{\text{max}}\) :

\[ \begin{aligned} h_{\text{max}} &= h_{\text{min}} + \Delta h \\ &= 0.5925 + 0.815 \\ &= 1.4075 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Conservation du Volume : Cette méthode simple n'est valable que parce que le volume est conservé. Si du fluide était ajouté ou retiré pendant la rotation, le calcul serait plus complexe.

Le saviez-vous ?

Les centrifugeuses utilisées dans les laboratoires pour séparer les composants du sang ou d'autres solutions fonctionnent sur ce principe. La force centrifuge, des milliers de fois supérieure à la gravité, plaque les éléments les plus denses au fond des tubes à essai.

FAQ en rapport avec la question :
Le point à mi-hauteur (\(h_0\)) reste-t-il à la même position radiale ?

Oui. Le point de la parabole qui est à la hauteur initiale \(h_0\) se trouve à un rayon \(r = R/\sqrt{2}\). C'est le rayon où le volume gagné à l'extérieur est égal au volume perdu à l'intérieur.

Résultat : La hauteur au centre est \(h_{\text{min}} \approx 0.59 \, \text{m}\) et la hauteur sur la paroi est \(h_{\text{max}} \approx 1.41 \, \text{m}\).

Question 3 : Force sur le Fond du Réservoir

Principe :
P(r) = ρgz(r) F = ∫ P(r) dA

La force totale sur le fond est la somme de toutes les petites forces de pression agissant sur chaque élément de surface du fond. Comme la pression n'est pas uniforme mais augmente avec le rayon (car la hauteur de fluide \(z(r)\) augmente), il faut calculer cette force par une intégrale. On intègre la pression \(P(r) = \rho g z(r)\) sur toute la surface du disque de fond.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La force sur le fond n'est PAS simplement la pression au centre multipliée par la surface. C'est plus que cela, car la pression augmente vers les bords. Intuitivement, la force sur le fond est égale au poids total du fluide, car le fond est la seule surface verticale qui supporte le fluide. Nous allons vérifier cela.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{fond}} = \int_{A} P(r) \, dA = \int_0^R \rho g z(r) (2\pi r \, dr) \]
Donnée(s) :
  • \(\rho = 900 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(z(r) = 0.5925 + 3.26 r^2\)
  • \(R = 0.5 \, \text{m}\)
Calcul(s) :

1. Mettre en place l'intégrale :

\[ \begin{aligned} F_{\text{fond}} &= \int_0^{0.5} \rho g (0.5925 + 3.26 r^2) (2\pi r) \, dr \\ &= 2\pi \rho g \int_0^{0.5} (0.5925r + 3.26 r^3) \, dr \end{aligned} \]

2. Résoudre l'intégrale :

\[ \begin{aligned} F_{\text{fond}} &= 2\pi \rho g \left[ 0.5925 \frac{r^2}{2} + 3.26 \frac{r^4}{4} \right]_0^{0.5} \\ &= 2\pi \rho g \left( 0.5925 \frac{0.5^2}{2} + 3.26 \frac{0.5^4}{4} \right) \\ &= 2\pi (900)(9.81) (0.07406 + 0.05094) \\ &= 55454 \times (0.125) \\ &\approx 6932 \, \text{N} \end{aligned} \]

3. Vérification par le poids du fluide :

\[ \begin{aligned} \text{Poids} &= M_{\text{fluide}} \times g = (\rho \times V_{\text{initial}}) \times g \\ &= (\rho \times \pi R^2 h_0) \times g \\ &= (900 \times \pi \times 0.5^2 \times 1) \times 9.81 \\ &= 706.86 \times 9.81 \approx 6934 \, \text{N} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Élément de Surface : Lors de l'intégration sur un disque, l'élément de surface n'est pas simplement \(dr\), mais une couronne d'aire \(dA = 2\pi r \, dr\). Oublier le facteur \(2\pi r\) est une erreur d'intégration courante.

Le saviez-vous ?

La force sur le fond reste égale au poids du fluide, mais la force sur la paroi latérale, elle, augmente considérablement avec la vitesse de rotation. C'est cette force qui doit être prise en compte pour le dimensionnement de l'épaisseur du réservoir pour qu'il ne se déforme pas ou n'éclate pas.

FAQ en rapport avec la question :
Comment calculer la force sur la paroi latérale ?

Il faudrait intégrer la pression sur la hauteur de la paroi pour chaque rayon. La pression à un rayon R et une hauteur z est \(P(R,z) = \rho g (h(R) - z)\). La force serait alors \(F_{\text{paroi}} = \int_0^{h_{\text{max}}} P(R,z) \times (2\pi R) \, dz\). C'est un calcul plus complexe mais qui suit le même principe.

Résultat : La force sur le fond est d'environ 6930 N, ce qui correspond bien au poids total du fluide.

Simulation de la Rotation

Faites varier la vitesse de rotation et observez comment la forme de la surface du fluide et la force sur le fond évoluent.

Paramètres de Rotation
Hauteur Max (paroi)
Hauteur Min (centre)
Force sur le Fond
Profil de la Surface Libre

Pour Aller Plus Loin : Force sur la Paroi Latérale

Poussée sur les côtés : La rotation crée également une force sur la paroi latérale du cylindre. La pression sur cette paroi n'est pas uniforme : elle augmente avec la profondeur et est plus forte en bas qu'en haut. Pour calculer la force totale sur la paroi latérale, il faudrait intégrer la pression \(P(r=R, z) = \rho g (z(R) - z)\) sur toute la surface de la paroi cylindrique. Cette force est responsable de la contrainte de "hoop stress" qui tend à faire éclater le réservoir.

Le Saviez-Vous ?

Ce principe est utilisé pour fabriquer des miroirs de télescopes géants. On fait tourner du mercure liquide à une vitesse très précise. La surface prend une forme parabolique parfaite, idéale pour focaliser la lumière. On laisse ensuite le mercure se solidifier (ou on le recouvre d'une fine couche de résine) pour créer un miroir beaucoup moins cher qu'un miroir en verre poli traditionnellement.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la vitesse de rotation est très élevée ?

Si la vitesse de rotation est suffisamment élevée, la hauteur au centre \(h_{\text{min}}\) peut devenir nulle. Le fond du réservoir au centre n'est alors plus en contact avec le fluide. Toute augmentation supplémentaire de la vitesse fera monter le fluide encore plus haut sur les parois, et il pourrait déborder si le réservoir n'est pas assez haut.

La force sur le fond change-t-elle avec la rotation ?

Non. Comme nous l'avons vérifié par le calcul, la force totale sur le fond est toujours égale au poids total du fluide contenu dans le réservoir, que celui-ci soit au repos ou en rotation. La rotation ne fait que redistribuer la pression (et donc la force) sur la surface du fond : moins de pression au centre, plus de pression sur les bords.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la vitesse de rotation \(\omega\), la différence de hauteur entre le bord et le centre (\(h_{\text{max}} - h_{\text{min}}\)) est :

2. Dans un réservoir en rotation, la pression en un point dépend de :

Glossaire

Vortex Forcé
Écoulement rotationnel où un fluide tourne comme un corps solide, avec une vitesse angulaire constante. La surface libre prend une forme de paraboloïde de révolution.
Force Centrifuge
Force d'inertie apparente qui semble pousser un objet en rotation vers l'extérieur de la trajectoire circulaire. Elle est proportionnelle au carré de la vitesse de rotation.
Paraboloïde de Révolution
Surface tridimensionnelle générée par la rotation d'une parabole autour de son axe de symétrie.
Rotation en Corps Solide
Mouvement d'un fluide où toutes les particules se déplacent ensemble comme si elles faisaient partie d'un objet solide en rotation, sans glissement relatif entre elles.
Fondamentaux de l'Hydraulique : Calcul des Forces sur les Parois d'un Réservoir Cylindrique en Rotation

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