Force Hydrostatique sur une Vanne

Force Hydrostatique sur une Vanne Parabolique

Force Hydrostatique sur une Vanne de Fond Parabolique

Comprendre la Force Hydrostatique sur les Surfaces Courbes

Calculer la force exercée par un fluide sur une surface plane est relativement simple. Cependant, pour les surfaces courbes comme les vannes de fond de barrage, les coques de navire ou les parois de réservoirs, le calcul direct devient complexe car la direction de la force de pression change à chaque point. La méthode standard consiste à décomposer la force totale en deux composantes plus faciles à calculer : une composante horizontale et une composante verticale. La force horizontale est égale à la force sur la projection verticale de la surface, tandis que la force verticale est égale au poids du volume de fluide situé directement au-dessus de la surface courbe.

Remarque Pédagogique : Cette méthode de décomposition est un outil d'ingénierie très puissant. Elle transforme un problème d'intégration complexe sur une surface courbe en deux problèmes plus simples : un calcul de force sur une surface plane (la projection) et un calcul de volume. La force résultante et son point d'application peuvent ensuite être trouvés par simple composition vectorielle.

Données de l'étude

On étudie une vanne de fond de barrage de forme parabolique, qui retient de l'eau. La vanne a une largeur constante. On souhaite déterminer la force hydrostatique résultante exercée par l'eau sur cette vanne.

Caractéristiques de la vanne et du fluide :

Fluide : Eau (\(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\))
Hauteur d'eau au-dessus du point le plus bas de la vanne (\(H\)) : \(9 \, \text{m}\)
Largeur de la vanne (\(L\)) : \(12 \, \text{m}\)
Profil de la vanne : \(y = kx^2\). La vanne s'étend de \(x=0\) à \(x=6 \, \text{m}\)

Constantes :

Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Schéma de la Vanne Parabolique

Questions à traiter

Calculer la composante horizontale de la force hydrostatique (\(F_h\)).
Déterminer l'équation du profil de la vanne, puis calculer la composante verticale de la force hydrostatique (\(F_v\)).
Calculer la magnitude de la force résultante (\(F_R\)).
Calculer l'angle (\(\theta\)) de la force résultante par rapport à l'horizontale.

Correction : Force Hydrostatique sur une Vanne Parabolique

Question 1 : Composante Horizontale (\(F_h\))

Principe :

La force horizontale sur une surface courbe est égale à la force qui s'exercerait sur la projection verticaleL'ombre que ferait la surface courbe sur un mur vertical si elle était éclairée par une lumière horizontale. de cette surface. Cette force est égale à la pression au centroïdeLe centre géométrique d'une surface. Pour un rectangle de hauteur H, il se situe à H/2 de la base. de la surface projetée, multipliée par l'aire de cette surface projetée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est une simplification très puissante. Peu importe la complexité de la courbe, le calcul de la force horizontale se ramène toujours au cas simple d'une paroi verticale plane de même hauteur et largeur.

Formule(s) utilisée(s) :

F_h = P_c \cdot A_{\text{proj}} = (\rho g h_c) \cdot (H \cdot L)

Données(s) :

Hauteur (\(H\)) : \(9 \, \text{m}\)
Largeur (\(L\)) : \(12 \, \text{m}\)
Masse volumique (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul(s) :

1. Calcul de la position du centroïde et de la pression au centroïde :

\begin{aligned} h_c &= \frac{H}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \, \text{m} \\ P_c &= \rho g h_c = 1000 \times 9.81 \times 4.5 = 44145 \, \text{Pa} \end{aligned}

2. Calcul de l'aire projetée et de la force horizontale :

\begin{aligned} A_{\text{proj}} &= H \times L = 9 \times 12 = 108 \, \text{m}^2 \\ F_h &= P_c \cdot A_{\text{proj}} = 44145 \times 108 \\ &= 4,767,660 \, \text{N} \approx 4.77 \, \text{MN} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La composante horizontale de la force est \(F_h \approx 4.77 \times 10^6 \, \text{N}\).

Question 2 : Composante Verticale (\(F_v\))

Principe :

La force verticale est égale au poids du volume de liquide imaginaire se trouvant directement au-dessus de la surface courbe. Pour cela, il nous faut d'abord trouver l'équation de la parabole, puis intégrer pour trouver l'aire sous la courbe, et enfin multiplier par la largeur pour obtenir le volume.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est une astuce élégante : au lieu de sommer une infinité de petites forces verticales de pression, on calcule simplement le poids d'un volume. Cela fonctionne car la pression hydrostatique à une profondeur \(h\) est précisément le poids d'une colonne de fluide de hauteur \(h\) et de section unitaire.

Formule(s) utilisée(s) :

F_v = \rho g V \quad \text{où} \quad V = L \int_0^W y \, dx

Calcul(s) :

1. Déterminer la constante \(k\) de la parabole \(y = kx^2\). On sait qu'au point (\(x=W=6, y=H=9\)), l'équation doit être vérifiée :

9 = k \cdot (6)^2 \Rightarrow k = \frac{9}{36} = 0.25

Donc, le profil est \(y = 0.25 x^2\).
2. Calculer le volume \(V\) par intégration :

\begin{aligned} V &= L \int_0^6 0.25x^2 \, dx \\ &= 12 \left[ 0.25 \frac{x^3}{3} \right]_0^6 \\ &= 12 \times \left( 0.25 \frac{6^3}{3} - 0 \right) \\ &= 12 \times (0.25 \times \frac{216}{3}) \\ &= 12 \times 18 = 216 \, \text{m}^3 \end{aligned}

3. Calculer la force verticale :

\begin{aligned} F_v &= \rho g V \\ &= 1000 \times 9.81 \times 216 \\ &= 2,118,960 \, \text{N} \approx 2.12 \, \text{MN} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La composante verticale de la force est \(F_v \approx 2.12 \times 10^6 \, \text{N}\).

Question 3 : Magnitude de la Force Résultante (\(F_R\))

Principe :

La force résultante est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par les composantes horizontale et verticale. Sa magnitude se calcule simplement à l'aide du théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :

F_R = \sqrt{F_h^2 + F_v^2}

Calcul(s) :

\begin{aligned} F_R &= \sqrt{(4,767,660)^2 + (2,118,960)^2} \\ &= \sqrt{2.273 \times 10^{13} + 4.490 \times 10^{12}} \\ &= \sqrt{2.722 \times 10^{13}} \\ &\approx 5,217,300 \, \text{N} \approx 5.22 \, \text{MN} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La magnitude de la force résultante est \(F_R \approx 5.22 \times 10^6 \, \text{N}\).

Question 4 : Angle de la Force Résultante (\(\theta\))

Principe :

L'angle de la force résultante par rapport à l'horizontale est trouvé en utilisant les relations trigonométriques dans le triangle des forces. La tangente de l'angle est le rapport de la composante verticale sur la composante horizontale.

Formule(s) utilisée(s) :

\tan(\theta) = \frac{F_v}{F_h} \Rightarrow \theta = \arctan\left(\frac{F_v}{F_h}\right)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \theta &= \arctan\left(\frac{2,118,960}{4,767,660}\right) \\ &= \arctan(0.4444) \\ &\approx 23.96^\circ \end{aligned}

Résultat Question 4 : L'angle de la force résultante par rapport à l'horizontale est \(\theta \approx 24.0^\circ\).

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée	Unité
Force Horizontale (\(F_h\))	Cliquez pour révéler	MN
Force Verticale (\(F_v\))	Cliquez pour révéler	MN
Force Résultante (\(F_R\))	Cliquez pour révéler	MN
Angle (\(\theta\))	Cliquez pour révéler	Degrés

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : La hauteur d'eau monte à \(H = 10 \, \text{m}\). La forme de la vanne reste la même (\(y = 0.25x^2\), de x=0 à x=6). Quelle est la nouvelle magnitude de la force verticale \(F_v\) (en MN) ?

\(F_v\) (en MN) =

Pièges à Éviter

Projection Verticale : La force horizontale dépend de la hauteur totale de l'eau sur la projection, pas de la "hauteur" de la courbe elle-même.

Volume pour la Force Verticale : La force verticale est le poids du volume d'eau **au-dessus** de la surface, pas le volume déplacé par la surface elle-même.

Intégration : Soyez prudent avec les bornes et les constantes lors de l'intégration pour calculer le volume. Une petite erreur ici peut avoir un grand impact sur le résultat.

Simulation Interactive de la Force Hydrostatique

Variez la hauteur de l'eau pour observer l'évolution des composantes de la force et de la force résultante.

Paramètres de Simulation

Hauteur d'eau (\(H\)): 9.0 m

Conditions fixes :
- Largeur : 12 m
- Profil : y = 0.25x² (pour x de 0 à 6m)

Forces (en MN)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Centre de Poussée : Nous avons calculé la magnitude des forces, mais pas leur point d'application. Le point où s'applique la force résultante, appelé centre de poussée, est crucial pour concevoir les pivots et les supports de la vanne. Il ne coïncide généralement pas avec le centroïde de la surface.

2. Surface de l'Autre Côté : Que se passe-t-il si la vanne sépare deux réservoirs avec des niveaux d'eau différents ? Il faudrait calculer les forces des deux côtés et faire la somme vectorielle pour trouver la force nette sur la vanne.

3. Vannes Cylindriques : Pour une vanne en forme de quart de cylindre, le calcul est similaire. La projection verticale est un rectangle, et le volume au-dessus est un quart de cylindre, ce qui simplifie le calcul du volume (pas besoin d'intégration).

Le Saviez-Vous ?

Les barrages-voûtes, comme le barrage Hoover, utilisent la géométrie pour être incroyablement résistants. Leur forme courbe permet de transférer la force hydrostatique de l'eau (qui est immense) sur les parois rocheuses de la vallée. La roche encaisse alors la compression, ce qui permet au barrage d'être plus mince et d'utiliser moins de béton qu'un barrage-poids rectiligne.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la composante horizontale ne dépend-elle pas de la forme de la vanne ?

Parce que pour chaque élément de surface de la vanne, la force de pression a une composante horizontale. Quand on somme (intègre) toutes ces petites forces horizontales, l'effet de la courbure "s'annule" mathématiquement, et le résultat final est identique à la force qui serait appliquée sur une paroi plane ayant la même silhouette verticale.

Et si la vanne était du côté "sec" du barrage ?

Si la vanne était une "bosse" du côté aval (sec) du barrage, la composante verticale de la force serait dirigée vers le haut. On la calculerait de la même manière (poids du volume d'eau imaginaire) mais son effet serait de soulever la vanne au lieu de l'écraser.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La composante verticale de la force hydrostatique sur une surface courbe est égale :

Au poids du volume de fluide au-dessus de la surface.
À la pression au fond multipliée par l'aire de la surface.
À la composante horizontale.

2. Si la hauteur d'eau \(H\) double, la composante horizontale de la force \(F_h\) sera...

...doublée.
...triplée.
...quadruplée.

Glossaire

Force Hydrostatique: Force exercée par un fluide au repos sur une surface (plane ou courbe) en contact avec lui. Elle est toujours perpendiculaire à la surface.
Projection Verticale: L'ombre que ferait la surface courbe sur un mur vertical si elle était éclairée par une lumière horizontale.
Centroïde: Le centre géométrique d'une surface. Pour un rectangle de hauteur H, il se situe à H/2 de la base.

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Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Données(s) :

Calcul(s) :

Question 2 : Composante Verticale (\(F_v\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 3 : Magnitude de la Force Résultante (\(F_R\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 4 : Angle de la Force Résultante (\(\theta\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Tableau Récapitulatif Interactif

À vous de jouer ! (Défi)

Pièges à Éviter

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Paramètres de Simulation

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