Force Hydrostatique sur une Paroi Conique

Comprendre la Poussée sur une Surface Courbe

Calculer la force exercée par un fluide sur une surface plane est relativement simple. Cependant, pour les surfaces courbes comme les vannes de fond de barrage, les coques de navire ou les parois de réservoirs, le calcul direct devient complexe car la direction de la force de pression change à chaque point. La méthode standard consiste à décomposer la force totale en deux composantes plus faciles à calculer : une composante horizontale et une composante verticale. La force horizontale est égale à la force sur la projection verticale de la surface, tandis que la force verticale est égale au poids du volume de fluide situé directement au-dessus de la surface courbe.

Remarque Pédagogique : Cette méthode de décomposition est un outil d'ingénierie très puissant. Elle transforme un problème d'intégration complexe sur une surface courbe en deux problèmes plus simples : un calcul de force sur une surface plane (la projection) et un calcul de volume. La force résultante et son point d'application peuvent ensuite être trouvés par simple composition vectorielle.

Données de l'étude

Un réservoir conique est rempli d'eau jusqu'à une certaine hauteur. On cherche à déterminer la force hydrostatique totale exercée par l'eau sur la paroi latérale du cône.

Caractéristiques du réservoir et du fluide :

Fluide : Eau (\(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\))
Hauteur de l'eau (\(H\)) : \(3 \, \text{m}\)
Rayon du cône à la surface de l'eau (\(R\)) : \(1.5 \, \text{m}\)

Constantes :

Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Schéma du Réservoir Conique

Questions à traiter

Calculer la composante verticale (\(F_v\)) de la force hydrostatique.
Calculer la composante horizontale (\(F_h\)) de la force hydrostatique.
Calculer la magnitude de la force résultante (\(F_R\)).
Calculer l'angle (\(\theta\)) de la force résultante par rapport à la verticale.

Correction : Force Hydrostatique sur une Paroi Conique

Question 1 : Composante Verticale (\(F_v\))

Principe :

La force hydrostatique verticale sur la paroi inclinée du cône est égale au poids du volume total de liquide contenu dans le cône. On calcule donc le volume du cône et on le multiplie par le poids volumique de l'eau (\(\gamma = \rho g\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est une astuce puissante. La somme de toutes les petites composantes verticales des forces de pression sur la paroi est exactement égale au poids total du fluide. Cela simplifie grandement le calcul en évitant une intégration complexe sur une surface inclinée.

Formule(s) utilisée(s) :

V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H

F_v = \rho \cdot g \cdot V

Calcul(s) :

1. Calcul du volume d'eau :

\begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \pi (1.5 \, \text{m})^2 (3 \, \text{m}) \\ &= \pi \times (1.5)^2 \\ &\approx 7.0686 \, \text{m}^3 \end{aligned}

2. Calcul de la force verticale :

\begin{aligned} F_v &= 1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 7.0686 \, \text{m}^3 \\ &= 69,343 \, \text{N} \approx 69.3 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La composante verticale de la force est \(F_v \approx 69.3 \, \text{kN}\).

Question 2 : Composante Horizontale (\(F_h\))

Principe :

La force horizontale résultante sur la surface courbe du cône est égale à la force qui s'exercerait sur sa projection sur un plan vertical. Cette projection est un triangle de hauteur \(H\) et de base \(2R\). La force s'applique au centre de pousséePoint d'application de la résultante des forces de pression sur une surface. Pour une surface triangulaire immergée depuis sa base, il se situe à H/2 de la base. de cette surface projetée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Pour une surface triangulaire dont le sommet est à la surface libre, le centre de poussée se situe aux 2/3 de la hauteur depuis le sommet. Pour un triangle inversé (base à la surface), il se situe à H/2. Ici, la projection est un triangle dont le sommet est en bas. La pression est maximale à la base (surface libre), donc le centroïde est plus haut que pour un triangle normal.

Formule(s) utilisée(s) :

F_h = P_c \cdot A_{\text{proj}} = (\rho g h_c) \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H)

Pour un triangle avec la base en haut, le centroïde est à \(h_c = H/3\) de la surface.

Calcul(s) :

\begin{aligned} A_{\text{proj}} &= R \cdot H = 1.5 \, \text{m} \times 3 \, \text{m} = 4.5 \, \text{m}^2 \\ h_c &= \frac{H}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \text{m} \\ F_h &= (\rho g h_c) \cdot A_{\text{proj}} \\ &= (1000 \times 9.81 \times 1) \times 4.5 \\ &= 44,145 \, \text{N} \approx 44.1 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La composante horizontale de la force est \(F_h \approx 44.1 \, \text{kN}\).

Question 3 : Magnitude de la Force Résultante (\(F_R\))

Principe :

La force résultante est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par les composantes horizontale et verticale. Sa magnitude se calcule simplement à l'aide du théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :

F_R = \sqrt{F_h^2 + F_v^2}

Calcul(s) :

\begin{aligned} F_R &= \sqrt{(44,145)^2 + (69,343)^2} \\ &= \sqrt{1.948 \times 10^9 + 4.808 \times 10^9} \\ &= \sqrt{6.756 \times 10^9} \\ &\approx 82,195 \, \text{N} \approx 82.2 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La magnitude de la force résultante est \(F_R \approx 82.2 \, \text{kN}\).

Question 4 : Angle de la Force Résultante (\(\theta\))

Principe :

L'angle de la force résultante par rapport à la verticale est trouvé en utilisant les relations trigonométriques dans le triangle des forces. La tangente de l'angle est le rapport de la composante horizontale sur la composante verticale.

Formule(s) utilisée(s) :

\tan(\theta) = \frac{F_h}{F_v} \Rightarrow \theta = \arctan\left(\frac{F_h}{F_v}\right)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \theta &= \arctan\left(\frac{44,145}{69,343}\right) \\ &= \arctan(0.6366) \\ &\approx 32.48^\circ \end{aligned}

Résultat Question 4 : L'angle de la force résultante par rapport à la verticale est \(\theta \approx 32.5^\circ\).

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée	Unité
Force Verticale (\(F_v\))	Cliquez pour révéler	kN
Force Horizontale (\(F_h\))	Cliquez pour révéler	kN
Force Résultante (\(F_R\))	Cliquez pour révéler	kN
Angle (\(\theta\))	Cliquez pour révéler	Degrés

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : On remplace l'eau par de l'huile (\(\rho_{\text{huile}} = 850 \, \text{kg/m}^3\)), mais on garde les mêmes dimensions (\(H=3\)m, \(R=1.5\)m). Quelle est la nouvelle magnitude de la force résultante \(F_R\) (en kN) ?

\(F_R\) (en kN) =

Pièges à Éviter

Géométrie de la Projection : La projection verticale d'un cône est un triangle. Ne la confondez pas avec un rectangle, ce qui modifierait le calcul de l'aire et la position du centre de poussée.

Formule du Volume : Ne pas oublier le facteur 1/3 dans la formule du volume du cône. C'est une erreur fréquente qui mène à une force verticale trois fois trop grande.

Simulation Interactive de la Force

Variez la hauteur d'eau pour observer l'évolution des composantes de la force.

Paramètres de Simulation

Hauteur d'eau (\(H\)): 3.0 m

Conditions fixes :
- Rayon à la base du cône : 1.5 m

Forces (en kN)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Cône Tronqué : Si le réservoir était un cône tronqué (avec un fond plat de rayon \(r\)), la force verticale serait le poids du volume d'un cône tronqué. La force horizontale, elle, dépendrait de la hauteur d'eau et de la différence entre les rayons supérieur et inférieur de la partie mouillée.

2. Réservoir sous Pression : Si le réservoir était fermé et pressurisé (par exemple, à une pression relative \(P_0\)), cette pression s'ajouterait à la pression hydrostatique. La force horizontale comporterait un terme rectangulaire (\(P_0 \cdot A_{proj}\)) en plus du terme triangulaire hydrostatique. La force verticale augmenterait également.

Le Saviez-Vous ?

La forme des châteaux d'eau n'est pas choisie au hasard. Les formes sphériques ou coniques (tronquées) sont structurellement très efficaces pour contenir la pression de l'eau. Pour une même quantité de matériau, elles résistent mieux aux forces hydrostatiques qu'une forme cubique, car la pression est répartie plus uniformément sur la surface courbe.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la force verticale est-elle vers le bas ?

La pression du fluide s'exerce toujours perpendiculairement à la paroi. Pour une paroi conique inclinée vers l'intérieur, la normale à la surface a une composante dirigée vers le bas. La somme de toutes ces petites forces de pression sur toute la surface donne une résultante verticale globale dirigée vers le bas, qui correspond exactement au poids du fluide contenu.

Et si le cône était inversé (pointe vers le haut) ?

Le principe reste le même, mais le calcul change. La force horizontale serait identique (la projection verticale est la même). La force verticale, cependant, serait dirigée vers le haut (poussée d'Archimède) et serait égale au poids d'un volume de fluide *imaginaire* ayant la forme du cône.

Comment la viscosité affecte-t-elle ces forces ?

En hydrostatique (fluide au repos), la viscosité n'a aucun effet. Les forces de pression ne dépendent que de la masse volumique et de la profondeur. La viscosité devient un facteur important uniquement lorsque le fluide est en mouvement, où elle génère des forces de frottement.

Où se situe le centre de poussée de la force résultante ?

Son calcul est complexe. Il faut trouver le point d'application de \(F_h\) (à H/3 de la base pour la projection triangulaire) et celui de \(F_v\) (au centre de gravité horizontal du volume, soit à R/4 du centre pour un cône). Le point d'application de la force résultante est le point où la somme des moments de \(F_h\) et \(F_v\) est nulle.

Cette méthode fonctionne-t-elle pour une demi-sphère ?

Oui, parfaitement. La composante horizontale serait la force sur la projection (un cercle de diamètre 2R). La composante verticale serait le poids du volume d'eau contenu dans la demi-sphère.

La pression atmosphérique a-t-elle un rôle ?

Pas pour le calcul de la force nette sur une surface entièrement immergée, car la pression atmosphérique s'applique sur la surface libre de l'eau et est transmise dans tout le fluide. Si on calculait la force sur une paroi extérieure exposée à l'air, il faudrait en tenir compte. Pour les forces internes à la structure (comme ici), seule la pression relative (hydrostatique) compte.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La composante horizontale de la force sur une surface courbe dépend de :

La surface réelle de la courbe.
La surface projetée sur un plan vertical.
Le volume de fluide.

2. Si on double la hauteur H et le rayon R d'un cône, sa force verticale \(F_v\) sera multipliée par :

Glossaire

Force Hydrostatique: Force exercée par un fluide au repos sur une surface (plane ou courbe) en contact avec lui. Elle est toujours perpendiculaire à la surface.
Centre de Poussée: Point d'application de la résultante des forces de pression sur une surface.
Centroïde: Le centre géométrique d'une surface. Pour un triangle de hauteur H, il se situe à H/3 de la base.

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Question 1 : Composante Verticale (\(F_v\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 2 : Composante Horizontale (\(F_h\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 3 : Magnitude de la Force Résultante (\(F_R\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 4 : Angle de la Force Résultante (\(\theta\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Tableau Récapitulatif Interactif

À vous de jouer ! (Défi)

Pièges à Éviter

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