ÉTUDE HYDRAULIQUE

Force d’un Jet sur une Aube de Turbine Pelton

Calcul de la Force d'un Jet sur une Aube Mobile (Turbine Pelton)

Calcul de la Force d'un Jet sur une Aube Mobile (Turbine Pelton)

Contexte : Comment une turbine hydraulique produit-elle de l'énergie ?

Une turbine PeltonType de turbine hydraulique à action, utilisée pour les hautes chutes d'eau. Elle fonctionne en projetant un jet d'eau à grande vitesse sur une série d'aubes en forme de cuillère. est un chef-d'œuvre d'ingénierie qui convertit l'énergie potentielle de l'eau (stockée en altitude) en énergie mécanique. L'eau est accélérée à travers un injecteur pour former un jet à très haute vitesse. Ce jet frappe une série d'aubes (ou "augets") en forme de double cuillère montées sur une roue. En déviant le jet, l'aube subit une force qui met la roue en rotation. Cette rotation entraîne un alternateur qui produit de l'électricité. Le calcul de cette force est la première étape pour dimensionner la turbine et estimer sa puissance.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application du théorème de la quantité de mouvement pour calculer la force exercée par un fluide sur un solide mobile. Nous utiliserons le concept crucial de vitesse relativeVitesse d'un objet par rapport à un autre. Ici, c'est la vitesse de l'eau vue par un observateur se déplaçant avec l'aube. pour analyser le problème du point de vue de l'aube.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le débit massique d'un jet d'eau.
  • Déterminer les vitesses relatives de l'eau à l'entrée et à la sortie de l'aube.
  • Appliquer le théorème de la quantité de mouvement à un volume de contrôle mobile.
  • Calculer la force exercée par le jet sur l'aube.
  • Calculer la puissance transmise à la roue de la turbine.

Données de l'étude

Un jet d'eau frappe une aube mobile d'une turbine Pelton. L'aube se déplace dans la même direction que le jet.

Schéma du jet et de l'aube mobile
V (jet) u (aube) w₂ w₂ β

Caractéristiques du jet, de l'aube et du fluide :

  • Fluide : Eau (\(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\))
  • Vitesse absolue du jet : \(V = 80 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre du jet : \(D = 100 \, \text{mm}\)
  • Vitesse de déplacement de l'aube : \(u = 35 \, \text{m/s}\)
  • Angle de déviation du jet par l'aube : \(\beta = 165^\circ\)

Questions à traiter

  1. Calculer le débit massique \(\dot{m}\) qui frappe l'aube.
  2. Déterminer la vitesse relative du jet à l'entrée (\(w_1\)) et à la sortie (\(w_2\)) de l'aube.
  3. Appliquer le théorème d'Euler pour calculer la force \(F_x\) exercée par le jet sur l'aube.
  4. Calculer la puissance \(P\) transmise par le jet à l'aube.

Correction : Force d'un Jet sur une Aube de Turbine Pelton

Question 1 : Calculer le débit massique \(\dot{m}\)

Principe avec image animée (le concept physique)
Jet (V) Aube (u) Le débit dépend de la vitesse relative V - u

Le débit massique est la quantité de masse de fluide qui frappe l'aube par unité de temps. Puisque l'aube se déplace, la vitesse à laquelle l'eau "rattrape" l'aube n'est pas la vitesse absolue du jet \(V\), mais la vitesse relative \(w_1 = V - u\). C'est cette vitesse relative qui détermine le volume d'eau intercepté chaque seconde.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le débit, qu'il soit volumique (\(Q_v\), en \(\text{m}^3\text{/s}\)) ou massique (\(\dot{m}\), en \(\text{kg/s}\)), est une mesure du flux de matière. Il est fondamental en mécanique des fluides. Le débit massique est lié au débit volumique par la masse volumique du fluide : \(\dot{m} = \rho \cdot Q_v\). Le débit volumique lui-même est le produit de la section d'écoulement \(S\) et de la vitesse moyenne du fluide à travers cette section : \(Q_v = S \cdot v\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Visualisez la situation : si vous courez sous la pluie, vous êtes plus mouillé que si vous marchez. C'est parce que le "débit" de gouttes de pluie que vous interceptez dépend de votre vitesse relative par rapport à la pluie. C'est exactement le même principe ici.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul découle directement des définitions de base du débit et du principe de la relativité galiléenne pour le changement de repère (passage du repère fixe au repère mobile de l'aube).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la vitesse du jet est uniforme sur toute sa section et que le jet est parfaitement horizontal et aligné avec le mouvement de l'aube.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Section du jet :

\[ S = \frac{\pi D^2}{4} \]

Débit massique intercepté par l'aube mobile :

\[ \dot{m} = \rho \cdot S \cdot (V - u) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(D = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
  • \(V = 80 \, \text{m/s}\)
  • \(u = 35 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la section du jet :

\[ \begin{aligned} S &= \frac{\pi \times (0.1 \, \text{m})^2}{4} \\ &= 0.007854 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul du débit massique :

\[ \begin{aligned} \dot{m} &= 1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 0.007854 \, \text{m}^2 \times (80 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} - 35 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}) \\ &= 1000 \times 0.007854 \times 45 \\ &= 353.43 \, \frac{\text{kg}}{\text{s}} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque seconde, plus de 350 kg d'eau frappent l'aube. C'est cette masse considérable, se déplaçant à grande vitesse, qui est la source de l'énergie transférée à la turbine.

Point à retenir : Pour un mobile interceptant un jet, le débit massique dépend de la vitesse relative entre le jet et le mobile.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul du débit massique est la première étape indispensable. La force et la puissance dépendent directement de la quantité de matière (\(\dot{m}\)) dont la vitesse est modifiée par l'aube.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la vitesse absolue V : L'erreur la plus commune est d'utiliser la vitesse absolue du jet \(V\) au lieu de la vitesse relative \(V-u\) pour calculer le débit. Cela conduirait à surestimer la masse d'eau interceptée et donc la force et la puissance.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de débit massique est aussi utilisé pour dimensionner les moteurs de fusée. La poussée d'une fusée est égale au débit massique des gaz éjectés multiplié par leur vitesse d'éjection !

FAQ (pour lever les doutes)
Le débit massique est-il constant sur toute la roue ?

Oui, si la vitesse de la roue \(u\) et la vitesse du jet \(V\) sont constantes, alors chaque aube qui passe devant l'injecteur intercepte le même débit massique.

Résultat Final : Le débit massique frappant l'aube est \(\dot{m} = 353.4 \, \text{kg/s}\).

À vous de jouer : Quel serait le débit massique (en kg/s) si la vitesse de l'aube était de 40 m/s ?

Question 2 : Déterminer les vitesses relatives \(w_1\) et \(w_2\)

Principe avec image animée (le concept physique)
V (jet) u (aube) w₁ = V - u

La vitesse relative est la vitesse du fluide vue depuis l'aube en mouvement. À l'entrée, l'eau et l'aube vont dans le même sens, donc la vitesse relative \(w_1\) est la différence entre la vitesse absolue du jet \(V\) et la vitesse de l'aube \(u\). On suppose que le fluide glisse sans frottement sur l'aube, donc la magnitude de la vitesse relative ne change pas : \(w_2 = w_1\). Seule sa direction est modifiée par l'angle \(\beta\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La composition des vitesses est un concept clé en cinématique. La vitesse absolue (\(\vec{V}\)) est la somme de la vitesse d'entraînement (\(\vec{u}\), la vitesse du repère mobile) et de la vitesse relative (\(\vec{w}\)). On a donc \(\vec{V} = \vec{u} + \vec{w}\). Dans notre cas, les vecteurs sont colinéaires à l'entrée, ce qui simplifie la relation en \(V = u + w_1\), d'où \(w_1 = V - u\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Se placer dans le repère de l'aube transforme un problème dynamique complexe en un problème plus simple d'écoulement stationnaire autour d'un obstacle fixe. C'est une technique très puissante en mécanique.

Normes (la référence réglementaire)

L'hypothèse de conservation de la magnitude de la vitesse relative (\(w_1=w_2\)) est une application du théorème de Bernoulli le long d'une ligne de courant dans le repère mobile, en supposant un écoulement parfait (sans frottement).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige les frottements du fluide sur la surface de l'aube. Cette hypothèse simplificatrice implique que la vitesse relative du fluide conserve son module tout au long de son parcours sur l'aube (\(w_1 = w_2\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vitesse relative à l'entrée :

\[ w_1 = V - u \]

Vitesse relative à la sortie (par hypothèse sans frottement) :

\[ w_2 = w_1 \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(V = 80 \, \text{m/s}\)
  • \(u = 35 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la vitesse relative à l'entrée :

\[ \begin{aligned} w_1 &= 80 \, \text{m/s} - 35 \, \text{m/s} \\ &= 45 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Vitesse relative à la sortie (en magnitude) :

\[ w_2 = w_1 = 45 \, \text{m/s} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Du point de vue de l'aube, tout se passe comme si elle était immobile et frappée par un jet de "seulement" 45 m/s. C'est cette vitesse qui est pertinente pour l'interaction entre l'eau et la surface de l'aube.

Point à retenir : L'analyse dans le repère mobile de l'aube, en utilisant les vitesses relatives, simplifie grandement le problème.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La détermination des vitesses relatives est cruciale car la force exercée sur l'aube dépend directement du *changement de direction* du vecteur vitesse relative, et non du vecteur vitesse absolue.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Confondre vitesses relatives et absolues : Il est fondamental de ne pas mélanger les grandeurs. Le débit dépend de \(w_1\), la force dépend de la variation de \(\vec{w}\), et la puissance dépend de la force et de la vitesse absolue de l'aube \(u\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans la réalité, il y a toujours un peu de frottement, donc \(w_2\) est légèrement inférieur à \(w_1\) (typiquement \(w_2 \approx 0.98 \cdot w_1\)). Cela réduit légèrement la force et la puissance obtenues.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le jet ne frappe pas l'aube tangentiellement ?

Si le jet arrive avec un angle, il faut décomposer les vecteurs vitesse \(\vec{V}\) et \(\vec{u}\) pour calculer le vecteur vitesse relative \(\vec{w_1}\) par soustraction vectorielle. Le calcul devient un peu plus complexe mais le principe reste le même.

Résultat Final : La vitesse relative à l'entrée et à la sortie est \(w_1 = w_2 = 45 \, \text{m/s}\).

À vous de jouer : Quelle serait la vitesse relative \(w_1\) (en m/s) si le jet allait à 100 m/s et l'aube à 50 m/s ?

Question 3 : Calculer la force \(F_x\) exercée par le jet

Principe avec image animée (le concept physique)
w₁ w₂ La force naît du changement de direction de w

La force exercée par le fluide sur l'aube est due au changement de la quantité de mouvement du fluide. Le théorème d'Euler stipule que la force est égale au débit massique multiplié par la variation de vitesse du fluide. Il est crucial d'utiliser les composantes de la vitesse relative dans la direction du mouvement, car c'est cette variation qui se produit "sur" l'aube.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le théorème de la quantité de mouvement est l'équivalent pour les fluides de la deuxième loi de Newton (\(F=ma\)). Pour un volume de contrôle, la somme des forces extérieures est égale à la variation du flux de quantité de mouvement. La force exercée par le fluide sur l'aube est l'opposée de la force exercée par l'aube sur le fluide : \( \vec{F}_{\text{fluide} \to \text{aube}} = \dot{m} (\vec{w}_{\text{entrée}} - \vec{w}_{\text{sortie}}) \).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Faites très attention aux signes et aux angles. La force est une grandeur vectorielle. Une bonne pratique est de toujours définir un axe (ici, l'axe horizontal x) et de projeter toutes les vitesses sur cet axe. La vitesse de sortie \(w_{2x}\) est projetée avec un cosinus et elle est dirigée vers les x négatifs.

Normes (la référence réglementaire)

L'application du théorème de la quantité de mouvement à un volume de contrôle est un des piliers de la mécanique des fluides, formalisé dans l'équation intégrale de la quantité de mouvement, aussi connue sous le nom de théorème d'Euler pour les turbomachines.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'écoulement est permanent dans le repère de l'aube et que la pression est atmosphérique à l'entrée et à la sortie du volume de contrôle (jet libre).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Force exercée sur l'aube dans la direction x :

\[ F_x = \dot{m} \cdot (w_{1x} - w_{2x}) \]

Composantes des vitesses relatives :

\[ w_{1x} = w_1 \quad \text{et} \quad w_{2x} = w_2 \cos(180^\circ - \beta) = -w_2 \cos(\beta) \]

Formule finale (puisque \(w_1=w_2\)):

\[ F_x = \dot{m} \cdot w_1 \cdot (1 + \cos(\beta)) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\dot{m} = 353.43 \, \text{kg/s}\)
  • \(w_1 = 45 \, \text{m/s}\)
  • \(\beta = 165^\circ\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la force sur l'axe x :

\[ \begin{aligned} F_x &= 353.43 \, \frac{\text{kg}}{\text{s}} \times 45 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \times (1 + \cos(165^\circ)) \\ &= 15904.35 \times (1 + (-0.9659)) \\ &= 15904.35 \times 0.0341 \\ &= 542.2 \, \text{N} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une force de 542 N (environ le poids d'une personne de 55 kg) est appliquée en continu sur l'aube. Multipliée par le nombre d'aubes sur la roue, cela génère un couple moteur très important qui fait tourner la turbine.

Point à retenir : La force d'un jet sur un obstacle est égale au produit du débit massique par la variation de vitesse du fluide.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de la force est l'objectif central de l'étude. C'est cette force qui est à l'origine du couple moteur et donc de la production d'énergie. Sans cette étape, il est impossible de dimensionner la turbine.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur de signe sur la vitesse de sortie : La composante \(w_{2x}\) est négative. Oublier ce signe dans la soustraction \( (w_{1x} - w_{2x}) \) est une erreur très fréquente qui conduit à un résultat beaucoup plus faible.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les augets des turbines Pelton ont une arête centrale (le "diviseur") qui sépare le jet en deux. Cela permet de dévier le fluide symétriquement et d'annuler les forces axiales sur l'arbre de la turbine, qui pourraient endommager les roulements.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la force n'est-elle pas simplement \(\dot{m} \cdot V\) ?

Cette formule ne serait valable que si le jet était complètement stoppé par un mur fixe (\(v_{\text{sortie}}=0\)). Ici, le fluide n'est pas stoppé mais dévié, et l'aube est mobile. Il faut donc prendre en compte la vitesse de sortie et utiliser les vitesses relatives pour analyser l'interaction.

Résultat Final : La force exercée par le jet sur l'aube est \(F_x = 542.2 \, \text{N}\).

À vous de jouer : Quelle serait la force \(F_x\) (en N) si l'angle \(\beta\) était de 180° (cas idéal) ?

Question 4 : Calculer la puissance \(P\) transmise à l'aube

Principe avec image animée (le concept physique)
Fₓ u P = Fₓ * u

La puissance est l'énergie transférée par unité de temps. En mécanique, la puissance développée par une force est le produit de cette force par la vitesse de son point d'application. Ici, la force \(F_x\) s'applique à l'aube qui se déplace à la vitesse \(u\). La puissance transmise à la roue est donc simplement \(P = F_x \cdot u\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La puissance (\(P\)) est une grandeur scalaire qui représente un débit d'énergie. Son unité dans le système international est le Watt (W), qui correspond à un Joule par seconde (J/s). La formule \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\) (produit scalaire) est la définition générale de la puissance mécanique instantanée. Dans notre cas, force et vitesse sont colinéaires, donc le produit scalaire se simplifie en un produit des normes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Notez bien qu'on utilise la force \(F_x\) et la vitesse de l'aube \(u\) pour la puissance. On n'utilise ni la vitesse du jet \(V\), ni la vitesse relative \(w\). Chaque grandeur a son rôle : \(w\) pour la force, \(u\) pour la puissance.

Normes (la référence réglementaire)

La définition de la puissance mécanique (\(P = F \cdot u\)) est un des principes de base de la dynamique (Théorème de l'énergie cinétique), enseigné dans tous les cursus de physique et de mécanique.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la force \(F_x\) est constante pendant que l'aube est frappée par le jet et que la vitesse de l'aube \(u\) est également constante (régime de rotation établi).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Puissance mécanique :

\[ P = F_x \cdot u \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(F_x = 542.2 \, \text{N}\)
  • \(u = 35 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la puissance transmise :

\[ \begin{aligned} P &= 542.2 \, \text{N} \times 35 \, \text{m/s} \\ &= 18977 \, \text{W} \\ &= 18.98 \, \text{kW} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une seule aube génère près de 19 kW, soit la puissance d'une petite voiture ! Une roue de turbine Pelton comportant des dizaines d'aubes frappées en continu par un ou plusieurs jets peut ainsi générer plusieurs Mégawatts de puissance.

Point à retenir : La puissance est le produit de la force motrice par la vitesse de l'objet mobile.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de la puissance est l'aboutissement de l'exercice. C'est la grandeur finale qui intéresse l'ingénieur, car elle quantifie la capacité de la machine à produire de l'énergie utile.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la mauvaise vitesse : Une erreur serait d'utiliser la vitesse du jet \(V\) ou la vitesse relative \(w_1\) dans le calcul de la puissance. La puissance est l'énergie transmise au mobile, elle dépend donc de la vitesse de ce mobile, \(u\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le rendement d'une turbine Pelton peut dépasser 90%. Cela signifie que plus de 90% de l'énergie cinétique du jet d'eau est convertie en énergie mécanique sur l'arbre de la turbine. C'est l'une des machines de conversion d'énergie les plus efficaces jamais inventées.

FAQ (pour lever les doutes)
D'où vient l'énergie cinétique du jet ?

Elle provient de la conversion de l'énergie potentielle de l'eau stockée dans un barrage en altitude. Grâce à une longue conduite forcée, la hauteur de chute \(H\) est convertie en vitesse \(V\) selon la formule de Torricelli : \(V = \sqrt{2gH}\), où \(g\) est l'accélération de la pesanteur.

Résultat Final : La puissance transmise à l'aube est \(P = 19.0 \, \text{kW}\).

À vous de jouer : Quelle serait la puissance (en kW) si la vitesse de l'aube était de 40 m/s (vitesse optimale) ?

Mini Fiche Mémo : Force d'un Jet sur Aube Mobile

Étape Formule Clé & Objectif
1. Débit Massique \( \dot{m} = \rho \cdot S \cdot (V - u) \)
Calculer la masse d'eau qui frappe l'aube chaque seconde.
2. Vitesse Relative \( w_1 = V - u \)
Déterminer la vitesse du jet du point de vue de l'aube.
3. Force du Jet \( F_x = \dot{m} \cdot w_1 \cdot (1 + \cos\beta) \)
Calculer la force due au changement de quantité de mouvement.
4. Puissance \( P = F_x \cdot u \)
Calculer la puissance transmise à la roue de la turbine.

Outil Interactif : Calculateur de Puissance de Turbine

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la force et la puissance.

Paramètres
80 m/s
35 m/s
165 °
Résultats
Force sur l'aube (Fx) -
Puissance (P) -

Le Saviez-Vous ?

La plus grande centrale hydroélectrique au monde, le barrage des Trois-Gorges en Chine, n'utilise pas de turbines Pelton mais des turbines Francis. Les turbines Pelton sont optimales pour de très hautes chutes d'eau (plus de 300m) et des débits plus faibles, comme on en trouve dans les Alpes. La centrale de la Grande Dixence en Suisse, par exemple, utilise des turbines Pelton avec une chute d'eau de plus de 1800 mètres !

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi l'angle de déviation n'est-il jamais de 180° ?

Un angle de 180° serait théoriquement optimal car il inverserait complètement la direction du jet, maximisant le changement de quantité de mouvement. Cependant, en pratique, si le jet était renvoyé à 180°, il frapperait l'arrière de l'aube suivante, ce qui la freinerait. On utilise donc un angle légèrement inférieur (typiquement 165° à 170°) pour que le fluide éjecté puisse s'échapper sans interférer avec le reste de la roue.

Quelle est la vitesse optimale pour l'aube ?

La puissance maximale est atteinte lorsque la vitesse de l'aube \(u\) est égale à la moitié de la vitesse du jet (\(u = V/2\)). Vous pouvez le vérifier avec le simulateur ! Si l'aube va trop lentement, peu de débit la traverse. Si elle va trop vite, la vitesse relative (et donc le changement de direction) est faible. L'optimum se trouve entre les deux.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la vitesse de l'aube (u) est égale à la vitesse du jet (V), la force exercée sur l'aube sera :

2. Pour maximiser la force, l'angle de déviation \(\beta\) devrait être :

Aube (ou Auget)
Partie de la turbine en forme de cuillère qui reçoit le jet d'eau et subit la force motrice.
Vitesse Relative (w)
Vitesse d'un objet mesurée par rapport à un autre objet en mouvement. C'est la vitesse du jet "vue" par l'aube.
Théorème d'Euler (Quantité de Mouvement)
Principe fondamental qui relie les forces agissant sur un volume de fluide à la variation de la quantité de mouvement du fluide traversant ce volume.
Puissance (P)
Quantité d'énergie transférée ou convertie par unité de temps. En mécanique, c'est le produit d'une force par une vitesse. Son unité est le Watt (W).
Fondamentaux de l'Hydraulique : Force d'un Jet sur une Aube Mobile

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