Force d'un Jet sur une Aube de Turbine Pelton

Contexte : Comment une turbine hydraulique produit-elle de l'énergie ?

Une turbine PeltonType de turbine hydraulique à action, utilisée pour les hautes chutes d'eau. Elle fonctionne en projetant un jet d'eau à grande vitesse sur une série d'aubes en forme de cuillère. est un chef-d'œuvre d'ingénierie qui convertit l'énergie potentielle de l'eau (stockée en altitude) en énergie mécanique. L'eau est accélérée à travers un injecteur pour former un jet à très haute vitesse qui frappe des aubes en forme de cuillère. Le calcul de la force exercée sur ces aubes est la première étape pour dimensionner la turbine et estimer sa puissance.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application du théorème de la quantité de mouvement pour calculer la force exercée par un fluide sur un solide mobile. Nous utiliserons le concept crucial de vitesse relativeVitesse d'un objet par rapport à un autre. Ici, c'est la vitesse de l'eau vue par un observateur se déplaçant avec l'aube. pour analyser le problème du point de vue de l'aube.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le débit massique d'un jet d'eau sur un obstacle mobile.
Déterminer les vitesses relatives de l'eau à l'entrée et à la sortie de l'aube.
Appliquer le théorème de la quantité de mouvement (Euler).
Calculer la puissance mécanique transmise.

Données de l'étude

Un jet d'eau horizontal frappe une aube mobile d'une turbine Pelton se déplaçant dans la même direction.

Fiche Technique / Données

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique (Eau)	\(\rho\)	1000	\(\text{kg/m}^3\)
Vitesse du jet	\(V\)	80	\(\text{m/s}\)
Diamètre du jet	\(D\)	100	\(\text{mm}\)
Vitesse de l'aube	\(u\)	35	\(\text{m/s}\)
Angle de déviation	\(\beta\)	165	\(^\circ\)

Schéma du Système

Questions à traiter

Calculer le débit massique \(\dot{m}\) qui frappe l'aube.
Déterminer la vitesse relative du jet à l'entrée (\(w_1\)) et à la sortie (\(w_2\)) de l'aube.
Appliquer le théorème d'Euler pour calculer la force \(F_x\) exercée par le jet sur l'aube.
Calculer la puissance \(P\) transmise par le jet à l'aube.

Bases Théoriques Indispensables

1. Relation de composition des vitesses

Pour analyser l'interaction entre le fluide et l'aube mobile, il est crucial de distinguer trois vitesses :

Vitesse Absolue (\(V\)) : Vitesse du fluide par rapport au sol (fixe).
Vitesse d'Entraînement (\(u\)) : Vitesse de l'aube (mobile).
Vitesse Relative (\(w\)) : Vitesse du fluide vue depuis l'aube.

Equation Vectorielle

\vec{V} = \vec{u} + \vec{w} \quad \iff \quad \vec{w} = \vec{V} - \vec{u}

2. Théorème de Bernoulli (Repère Relatif)

Dans le référentiel de l'aube, si l'on néglige les frottements et les variations d'altitude (écoulement parfait), l'énergie du fluide se conserve. Comme la pression est atmosphérique partout (jet libre), cela implique que le module de la vitesse relative reste constant.

|w_{\text{sortie}}| = |w_{\text{entree}}|

3. Théorème d'Euler (Quantité de Mouvement)

La force exercée par un fluide sur un obstacle est égale au débit de quantité de mouvement entrant moins le débit sortant.

\vec{F}_{\text{fluide} \to \text{aube}} = \dot{m} (\vec{w}_{\text{entree}} - \vec{w}_{\text{sortie}})

Correction : Calcul de la Force d'un Jet sur une Aube Mobile (Turbine Pelton)

Question 1 : Calcul du débit massique \(\dot{m}\)

Principe

Le débit massique est la quantité de masse de fluide qui frappe l'aube par unité de temps. Puisque l'aube se déplace, la vitesse à laquelle l'eau "rattrape" l'aube n'est pas la vitesse absolue du jet \(V\), mais la vitesse relative \(w_1 = V - u\).

Mini-Cours

Le débit massique intercepté par un obstacle mobile est \(\dot{m} = \rho \cdot S \cdot (V_{\text{jet}} - V_{\text{obstacle}})\), où \(S\) est la section du jet.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Visualisez la situation : si vous courez sous la pluie, vous êtes plus mouillé que si vous marchez. C'est parce que le "débit" de gouttes de pluie que vous interceptez dépend de votre vitesse relative par rapport à la pluie.

Normes

Les tests de réception des turbines hydrauliques (calculs de rendements et débits) sont régis par la norme IEC 60193.

Formule(s)

Section du jet

S = \frac{\pi D^2}{4}

Débit massique

\dot{m} = \rho \cdot S \cdot (V - u)

Hypothèses

Nous posons les hypothèses suivantes :

Fluide incompressible (\(\rho\) constant).
Vitesse uniforme sur la section du jet.
Jet parfaitement aligné avec la vitesse \(u\).

Donnée(s)

Var	Val	Unité
\(D\)	0.1	m
\(V\)	80	m/s
\(u\)	35	m/s

Astuces

Pensez toujours à convertir le diamètre en mètres avant de calculer la surface pour obtenir un résultat en m².

Schéma (Situation Initiale)

Approche du Jet vers l'Aube

Calcul(s)

Conversion des unités

Pour respecter le système international (SI), il est impératif de convertir le diamètre donné en millimètres vers des mètres.

\begin{aligned} D &= 100 \text{ mm} \\ &= 0.1 \text{ m} \end{aligned}

Nous utiliserons donc \(D = 0.1\) m pour la suite des calculs.

Calcul intermédiaire : Surface du jet (S)

La section du jet est l'aire d'un disque de diamètre \(D\).

\begin{aligned} S &= \frac{\pi \times D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.1)^2}{4} \\ &= \frac{3.14159 \times 0.01}{4} \\ &\approx 0.007854 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Cette surface, bien que petite (moins de \(0.01 m^2\)), laissera passer une grande quantité d'eau vue la vitesse élevée.

Calcul Principal : Débit massique (\(\dot{m}\))

Calculons d'abord la vitesse à laquelle le jet rattrape l'aube (vitesse relative d'impact).

\begin{aligned} V_{\text{rel}} &= V - u \\ &= 80 - 35 \\ &= 45 \, \text{m/s} \end{aligned}

C'est la vitesse effective d'impact. Le débit massique est le produit de la masse volumique, de la section et de cette vitesse relative.

\begin{aligned} \dot{m} &= \rho \times S \times V_{\text{rel}} \\ &= 1000 \times 0.007854 \times 45 \\ &= 7.854 \times 45 \\ &= 353.43 \, \text{kg/s} \end{aligned}

On obtient un débit considérable de plus de 350 kg par seconde, soit environ 2 baignoires remplies chaque seconde !

Schéma (Résultat)

Points de vigilance

Erreur fréquente : Utiliser la vitesse absolue \(V\) au lieu de la vitesse relative \(V-u\). Cela conduirait à surestimer le débit intercepté.

Points à Retenir

Débit intercepté = \(\rho \cdot S \cdot (V_{\text{jet}} - V_{\text{obstacle}})\).
La surface doit être en \(\text{m}^2\).

Le saviez-vous ?

Le concept de débit massique relatif est aussi utilisé pour dimensionner les moteurs de fusée (poussée = débit x vitesse d'éjection).

FAQ

Le débit est-il constant sur toute la roue ?

Oui, en régime permanent, chaque aube passant devant l'injecteur reçoit le même débit.

Résultat : \(\dot{m} = 353.4 \, \text{kg/s}\)

A vous de jouer
Quel serait le débit massique (en kg/s) si la vitesse de l'aube était de 40 m/s ?

📝 Mémo
\(\dot{m} = \rho S (V-u)\) : C'est la "matière disponible" pour créer la force.

Question 2 : Vitesses relatives \(w_1\) et \(w_2\)

Principe

La vitesse relative est la vitesse du fluide vue depuis l'aube. On se place donc dans le référentiel mobile de l'aube pour l'analyser.

Mini-Cours

La relation vectorielle fondamentale est : \(\vec{V}_{\text{absolue}} = \vec{V}_{\text{entrainement}} + \vec{V}_{\text{relative}}\). Ici, à l'entrée, tous les vecteurs sont alignés.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous êtes assis sur l'aube. Vous verriez le jet arriver vers vous à la vitesse \(w_1\), moins vite que si vous étiez au sol.

Normes

L'analyse par triangles de vitesses est standardisée dans la norme ISO 5322 relative aux turbomachines.

Formule(s)

Vitesse relative entrée

\[ w_1 = V - u \]

Vitesse relative sortie (sans frottement)

\[ w_2 = w_1 \]

Hypothèses

Écoulement parfait (pas de viscosité).
Pas de perte d'énergie par frottement sur l'aube (conservation du module).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse Jet	\(V\)	80	m/s
Vitesse Aube	\(u\)	35	m/s

Astuces

Si on vous donnait un coefficient de perte \(k\) (ex: 0.9), alors \(w_2 = k \cdot w_1\). Ici, \(k=1\).

Schéma (Avant - Entrée)

Composition des Vitesses à l'Entrée

Calcul(s)

Calcul de w1 (entrée)

On soustrait la vitesse de l'aube à la vitesse du jet :

\begin{aligned} w_1 &= 80 - 35 \\ &= 45 \, \text{m/s} \end{aligned}

Déduction de w2 (sortie)

Par conservation de l'énergie dans le repère relatif (hypothèse sans frottement), la vitesse ne change pas en grandeur :

\begin{aligned} w_2 &= w_1 \\ &= 45 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après - Sortie)

Réflexions

Du point de vue de l'aube, le fluide arrive à 45 m/s. C'est cette vitesse qui est pertinente pour l'interaction fluide-structure.

Points de vigilance

Ne confondez jamais vitesse absolue et relative. La force dépend du changement de la vitesse relative.

Points à Retenir

Entrée : vecteurs colinéaires donc simple soustraction.
Sortie : conservation du module si pas de frottement.

Le saviez-vous ?

Dans la réalité, \(w_2\) vaut environ 0.85 à 0.95 fois \(w_1\) à cause de la friction visqueuse sur la surface de l'auget.

FAQ

Et si l'aube est arrêtée ?

Alors \(u=0\) et \(w_1 = V\). L'impact est maximal (force maximale) mais la puissance est nulle car il n'y a pas de mouvement.

Résultat : \(w_1 = w_2 = 45 \, \text{m/s}\)

A vous de jouer
Si V=100 et u=50, que vaut w ?

📝 Mémo
\(w = V - u\). C'est la vitesse "ressentie" par l'aube.

Question 3 : Force \(F_x\) exercée par le jet

Principe

La force naît du changement de direction du jet. Le fluide arrive horizontalement et repart en arrière avec un angle \(\beta\). On applique le théorème d'Euler projeté sur l'axe du mouvement (X).

Mini-Cours

Théorème d'Euler : \(\vec{F}_{\text{fluide} \to \text{aube}} = \dot{m} (\vec{w}_{\text{entrée}} - \vec{w}_{\text{sortie}})\). La force est proportionnelle à la "violence" du changement de direction imposé au fluide.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Le signe "moins" dans la formule vectorielle devient un signe "plus" pour les modules car le cosinus d'un angle obtus (165°) est négatif. Le jet "recule", donc il pousse fort.

Normes

Application directe des lois de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) aux systèmes ouverts.

Formule(s)

Théorème d'Euler (projeté sur x)

F_x = \dot{m} (w_{1x} - w_{2x})

Avec les projections : \(w_{1x} = w_1\) et \(w_{2x} = w_2 \cos\beta\).

F_x = \dot{m} \cdot w_1 (1 - \cos\beta)

Hypothèses

Écoulement stationnaire dans le repère relatif.
Pression atmosphérique constante (jet libre).
Système isolé aube+fluide.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit massique	\(\dot{m}\)	353.43	kg/s
Vitesse relative	\(w_1\)	45	m/s
Angle	\(\beta\)	165	°

Astuces

Rappel trigo : Un cosinus d'angle obtus (ex: 165°) est négatif. Donc \(1 - \cos(165)\) devient \(1 + |\text{valeur}|\), ce qui donne un facteur > 1 (amplification).

Schéma (Avant - Déviation)

Déviation du Jet

Calcul(s) Détaillés

1. Projection de la vitesse de sortie

Le jet sort avec un angle \(\beta = 165^\circ\). Calculons le cosinus de cet angle.

\cos(165^\circ) \approx -0.9659

Le signe négatif confirme que le jet repart "en arrière" (vers les x négatifs).

2. Calcul du facteur d'efficacité géométrique

Calculons le terme \((1 - \cos\beta)\). C'est ce facteur qui multiplie l'impact initial.

\begin{aligned} K_{\text{geo}} &= 1 - \cos(165^\circ) \\ &= 1 - (-0.9659) \\ &= 1 + 0.9659 \\ &= 1.9659 \end{aligned}

Un facteur proche de 2 indique que l'aube exploite presque toute la variation de quantité de mouvement possible (le maximum théorique est 2 pour 180°).

3. Calcul final de la Force

Nous avons maintenant toutes les composantes : le débit massique, la vitesse relative et le facteur géométrique.

\begin{aligned} F_x &= \dot{m} \times w_1 \times K_{\text{geo}} \\ &= 353.43 \times 45 \times 1.9659 \\ &= 15904.35 \times 1.9659 \\ &\approx 31266 \, \text{N} \end{aligned}

La force résultante est d'environ 31.3 kN.

Schéma (Après - Force Résultante)

Réflexions

31 kN correspond au poids d'une masse de plus de 3 tonnes. C'est une force énorme sur une seule aube !

Points de vigilance

Erreur fréquente : Oublier le débit dans la formule ! La vitesse seule ne fait pas la force, il faut de la masse pour transférer la quantité de mouvement.

Points à Retenir

La force maximale est obtenue pour \(\beta = 180^\circ\) (demi-tour).
La force dépend du carré de la vitesse relative (car \(\dot{m}\) dépend aussi de \(w\)).

Le saviez-vous ?

On évite 180° exacts pour ne pas que l'eau, en repartant en arrière, tape le dos de l'aube suivante et la freine.

FAQ

Pourquoi Fx et pas Fy ?

Seule la composante dans la direction du mouvement (x) travaille et produit de la puissance. Les forces latérales (Fy) s'annulent généralement grâce à la symétrie de l'auget (forme en double cuillère).

Résultat : \(F_x = 31.3 \, \text{kN}\)

A vous de jouer
Quelle serait la force \(F_x\) (en N) si l'angle \(\beta\) était de 180° (cas idéal) ?

📝 Mémo
\(F_x = \dot{m} w (1 - \cos\beta)\). Le terme \((1-\cos\beta)\) représente l'efficacité géométrique.

Question 4 : Puissance \(P\) transmise

Principe

La puissance mécanique est le produit de la force motrice par la vitesse de déplacement du point d'application (ici, la vitesse de l'aube \(u\)).

Mini-Cours

Puissance mécanique de translation : \(P = \vec{F} \cdot \vec{u}\). Ici les vecteurs sont colinéaires, donc \(P = F \times u\).

Remarque Pédagogique

Attention ! On utilise \(u\) (vitesse de l'aube), pas \(V\) (vitesse du jet). La puissance est reçue par la roue, donc c'est sa vitesse à elle qui compte.

Normes

Unité SI de puissance : Watt (W). 1 MW = \(10^6\) W.

Formule(s)

P = F_x \cdot u

Hypothèses

Régime permanent.
Force constante moyenne.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Force	\(F_x\)	31266	N
Vitesse Aube	\(u\)	35	m/s

Astuces

Le résultat sera souvent très grand. Pensez à le convertir immédiatement en kW (diviser par 1000) ou MW (diviser par 1 000 000) pour qu'il soit lisible.

Schéma (Avant - Flux d'énergie)

Calcul(s) Détaillés

1. Calcul direct en Watts

On multiplie la force par la vitesse de l'aube :

\begin{aligned} P &= F_x \times u \\ &= 31266 \times 35 \\ &= 1,094,310 \, \text{W} \end{aligned}

2. Conversion en Mégawatts

Pour plus de lisibilité, on divise par 1 000 000 :

\begin{aligned} P &= \frac{1,094,310}{10^6} \\ &\approx 1.09 \, \text{MW} \end{aligned}

Schéma (Après - Résultat)

Réflexions

C'est une puissance conséquente. Pour comparaison, une éolienne terrestre moyenne fait entre 2 et 3 MW.

Points de vigilance

Ne pas confondre Puissance hydraulique (du jet) et Puissance mécanique (récupérée par la roue).

Points à Retenir

La puissance est maximale quand la vitesse de l'aube est la moitié de celle du jet (\(u = V/2\)).

Le saviez-vous ?

Le rendement de ce type de roue dépasse souvent les 90%, ce qui en fait l'une des machines thermiques/hydrauliques les plus efficaces au monde.

FAQ

Où part l'énergie perdue ?

L'énergie non convertie reste principalement sous forme d'énergie cinétique résiduelle dans l'eau qui quitte la roue (elle a encore une petite vitesse absolue), et une petite partie est perdue en frottements.

Résultat : \(P \approx 1.09 \, \text{MW}\)

A vous de jouer
Quelle serait la puissance (en kW) si la vitesse de l'aube était de 40 m/s ?

📝 Mémo
\(P = F \times u\). Simple et efficace.

🎛️ Simulateur interactif

Modifiez les paramètres pour voir l'impact sur la force et la puissance de la turbine.

Paramètres

Vitesse du jet (V) : 80 m/s

Vitesse de l'aube (u) : 35 m/s

Angle (\(\beta\)) : 165 °

Force (Fx) : -

Puissance (P) : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Si la vitesse de l'aube (u) est égale à la vitesse du jet (V), la force exercée sur l'aube sera :

Maximale.
Négative (freinage).
Nulle.

2. Pour maximiser la force, l'angle de déviation \(\beta\) devrait idéalement être :

90° (perpendiculaire)
180° (demi-tour complet)
0° (pas de déviation)

📚 Glossaire

Aube (ou Auget): Partie de la turbine en forme de cuillère qui reçoit le jet d'eau et subit la force motrice.
Vitesse Relative (w): Vitesse d'un objet mesurée par rapport à un autre objet en mouvement. C'est la vitesse du jet "vue" par l'aube.
Théorème d'Euler: Principe fondamental qui relie les forces agissant sur un volume de fluide à la variation de la quantité de mouvement.
Puissance (P): Quantité d'énergie transférée par unité de temps. En mécanique, c'est le produit d'une force par une vitesse (Watt).

Chargement...

BOÎTE À OUTILS

Titre Outil

À DÉCOUVRIR

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma du Système

Questions à traiter

Bases Théoriques Indispensables

Correction : Calcul de la Force d'un Jet sur une Aube Mobile (Turbine Pelton)

Question 1 : Calcul du débit massique \(\dot{m}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Situation Initiale)

Approche du Jet vers l'Aube

Calcul(s)

Conversion des unités

Calcul intermédiaire : Surface du jet (S)

Calcul Principal : Débit massique (\(\dot{m}\))

Schéma (Résultat)

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Vitesses relatives \(w_1\) et \(w_2\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant - Entrée)

Composition des Vitesses à l'Entrée

Calcul(s)

Schéma (Après - Sortie)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Force \(F_x\) exercée par le jet

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant - Déviation)

Déviation du Jet

Calcul(s) Détaillés

1. Projection de la vitesse de sortie

2. Calcul du facteur d'efficacité géométrique

3. Calcul final de la Force

Schéma (Après - Force Résultante)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Puissance \(P\) transmise

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant - Flux d'énergie)