Force de Pression sur une Surface Courbe

Comprendre les Forces sur les Surfaces Courbes

Le calcul de la force de pression hydrostatique sur une surface courbe est plus complexe que pour une surface plane, car la direction de la force de pression change en chaque point. Pour résoudre ce problème, on décompose la force résultante en deux composantes : une composante horizontale ( $F_{H}$ ) et une composante verticale ( $F_{V}$ ). La composante horizontale est égale à la force de pression qui s'exercerait sur la projection verticale de la surface. La composante verticale est égale au poids du volume de fluide (réel ou imaginaire) situé directement au-dessus de la surface courbe. La combinaison de ces deux composantes donne la force résultante et sa direction.

Données de l'étude

Une vanne en forme de quart de cylindre est utilisée pour retenir de l'eau. Elle est articulée au point A.

Caractéristiques géométriques et physiques :

Rayon du quart de cylindre : $R = 2 m$
Longueur de la vanne (largeur dans la page) : $L = 10 m$
Le sommet de la vanne affleure la surface libre de l'eau.
Masse volumique de l'eau : $ρ_{eau} = 1000 {kg/m}^{3}$
Accélération de la pesanteur : $g = 9.81 {m/s}^{2}$

Schéma : Vanne quart-de-cercle

La force résultante $F_{R}$ est la somme vectorielle de ses composantes horizontale ( $F_{H}$ ) et verticale ( $F_{V}$ ).

Questions à traiter

Calculer la force hydrostatique horizontale ( $F_{H}$ ) s'exerçant sur la vanne.
Déterminer le point d'application de cette force horizontale ( $y_{p}$ ) par rapport à la surface libre.
Calculer la force hydrostatique verticale ( $F_{V}$ ) s'exerçant sur la vanne.
Calculer la force résultante ( $F_{R}$ ) et son angle ( $α$ ) par rapport à l'horizontale.

Correction : Force de Pression sur une Surface Courbe

Question 1 : Force hydrostatique horizontale ( $F_{H}$ )

Principe :

La composante horizontale de la force de pression sur une surface courbe est égale à la force de pression qui s'exercerait sur la projection verticale de cette surface. Ici, la projection verticale est un rectangle de hauteur $R$ et de largeur $L$ .

Formule(s) utilisée(s) :

F_{H} = P_{c} \cdot A_{proj} = (ρ g y_{c}) \cdot (R \cdot L)

Où $y_{c}$ est la profondeur du centroïde de la surface projetée, soit $R / 2$ car la surface commence à la surface libre.

Données spécifiques :

$ρ_{eau} = 1000 {kg/m}^{3}$
$g = 9.81 {m/s}^{2}$
$R = 2 m$ , donc $y_{c} = 1 m$
$L = 10 m$

Calcul :

\begin{aligned} F_{H} & = (1000 \times 9.81 \times 1) \times (2 \times 10) \\ = 9810 {N/m}^{2} \times 20 m^{2} \\ = 196200 N = 196.2 kN \end{aligned}

Résultat Question 1 : La force horizontale est

F_{H} = 196.2 kN

Question 2 : Point d'application de la force horizontale ( $y_{p}$ )

Principe :

Le point d'application de la force horizontale se trouve au centre de poussée de la surface projetée verticale. Pour un rectangle vertical partant de la surface libre, ce point est situé aux deux tiers de la hauteur depuis la surface.

Formule(s) utilisée(s) :

y_{p} = \frac{2}{3} H = \frac{2}{3} R

Données spécifiques :

$R = 2 m$

Calcul :

\begin{aligned} y_{p} & = \frac{2}{3} \times 2 m \\ \approx 1.33 m \end{aligned}

Résultat Question 2 : Le point d'application de

F_{H}

est à

1.33 m

sous la surface libre.

Question 3 : Force hydrostatique verticale ( $F_{V}$ )

Principe :

La composante verticale de la force de pression est égale au poids du volume de fluide (ici, le quart de cylindre d'eau) situé directement au-dessus de la surface courbe.

Formule(s) utilisée(s) :

F_{V} = P o i d s_{volume d'eau} = ρ_{eau} \cdot g \cdot V_{eau}

Données spécifiques :

$ρ_{eau} = 1000 {kg/m}^{3}$ , $g = 9.81 {m/s}^{2}$
$R = 2 m$ , $L = 10 m$

Calcul :

\begin{aligned} V_{eau} & = \frac{1}{4} π (2 m)^{2} \times 10 m = 10 π m^{3} \approx 31.416 m^{3} \\ F_{V} & = 1000 \times 9.81 \times 31.416 \\ \approx 308191 N = 308.2 kN \end{aligned}

Résultat Question 3 : La force verticale est

F_{V} \approx 308.2 kN

Quiz Intermédiaire : La force verticale s'appliquerait où ?

Au centre de gravité du volume d'eau déplacé.
Au centre géométrique de la vanne.
Au point le plus bas de la vanne.

Question 4 : Force résultante ( $F_{R}$ ) et son angle ( $α$ )

Principe :

La force résultante est la somme vectorielle des composantes horizontale et verticale. Son intensité est calculée à l'aide du théorème de Pythagore, et son angle par rapport à l'horizontale est déterminé à l'aide de la fonction arc tangente.

Formule(s) utilisée(s) :

F_{R} = \sqrt{F_{H}^{2} + F_{V}^{2}}

Données spécifiques :

$F_{H} = 196200 N$
$F_{V} \approx 308191 N$

Calcul :

\begin{aligned} F_{R} & = \sqrt{(196200)^{2} + (308191)^{2}} \\ = \sqrt{3.849 \times 10^{10} + 9.498 \times 10^{10}} \\ = \sqrt{13.347 \times 10^{10}} \\ \approx 365335 N = 365.3 kN \\ α & = \arctan (\frac{308191}{196200}) \\ = \arctan (1.5708) \\ \approx {57.52}^{\circ} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La force résultante est d'environ

365.3 kN

et elle agit avec un angle de

{57.5}^{\circ}

par rapport à l'horizontale.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La composante verticale de la force hydrostatique sur une surface courbe est égale au...

Poids de la structure.
Poids du volume de fluide au-dessus de la surface.
Volume de la surface projetée.

2. La force résultante sur une surface courbe passe toujours par...

Le centre de gravité de la surface.
La surface libre du fluide.
Le centre de courbure (pour une surface cylindrique ou sphérique).

Glossaire

Force Horizontale ( $F_{H}$ ): Composante horizontale de la force de pression résultante. Elle est égale à la force qui s'appliquerait sur la projection verticale de la surface courbe.
Force Verticale ( $F_{V}$ ): Composante verticale de la force de pression résultante. Elle est égale au poids du volume de fluide (réel ou imaginaire) situé au-dessus de la surface courbe jusqu'à la surface libre.
Projection Verticale: L'ombre" que la surface courbe créerait sur un plan vertical si elle était éclairée par une lumière horizontale.

Force de Pression sur une Surface Courbe

Données de l'étude

Schéma : Vanne quart-de-cercle

Questions à traiter

Correction : Force de Pression sur une Surface Courbe

Question 1 : Force hydrostatique horizontale (FH)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 2 : Point d'application de la force horizontale (yp)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 3 : Force hydrostatique verticale (FV)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 4 : Force résultante (FR) et son angle (α)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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Utilisation de Nos Ressources – L’Essentiel à Retenir :

Question 1 : Force hydrostatique horizontale ( $F_{H}$ )

Question 2 : Point d'application de la force horizontale ( $y_{p}$ )

Question 3 : Force hydrostatique verticale ( $F_{V}$ )

Question 4 : Force résultante ( $F_{R}$ ) et son angle ( $α$ )