ÉTUDE HYDRAULIQUE

Force de Poussée sur un Barrage-Poids

Calcul de la Poussée Hydrostatique sur un Barrage

Détermination de la Force de Poussée sur un Barrage-Poids

Comprendre le Calcul de la Poussée Hydrostatique

La force de poussée hydrostatique est la force résultante exercée par un fluide au repos sur une surface immergée. Pour un barrage, cette force représente la poussée de l'eau sur la paroi amont. Sa détermination est cruciale pour le dimensionnement de l'ouvrage, afin de garantir sa stabilité face au risque de glissement ou de renversement. La pression de l'eau n'étant pas uniforme (elle augmente avec la profondeur), la force résultante s'applique en un point spécifique appelé "centre de poussée".

Données de l'étude

On étudie un barrage-poids de profil rectangulaire, qui retient une masse d'eau sur sa face amont verticale.

Caractéristiques géométriques et physiques :

  • Hauteur de la retenue d'eau (\(H\)) : \(24 \, \text{m}\)
  • Largeur du barrage (\(L\)) : \(80 \, \text{m}\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Poussée hydrostatique sur un barrage-poids
Surface libre H = 24 m Pmax = ρ·g·H F Centre de poussée yp

La pression de l'eau augmente linéairement avec la profondeur, créant un diagramme de charge triangulaire sur la paroi du barrage.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression maximale (\(P_{\text{max}}\)) à la base du barrage.
  2. Déterminer l'intensité de la force de poussée hydrostatique (\(F\)) sur la paroi du barrage.
  3. Calculer la position du centre de poussée (\(y_p\)), mesurée depuis la base du barrage.
  4. Déterminer le moment de renversement (\(M\)) créé par cette force par rapport à la base du barrage.

Correction : Détermination de la Force de Poussée sur un Barrage-Poids

Question 1 : Pression Maximale à la Base (\(P_{\text{max}}\))

Principe :

La pression hydrostatique augmente linéairement avec la profondeur. La pression est nulle à la surface libre et maximale à la base de la retenue d'eau. Cette pression maximale se calcule avec la loi fondamentale de l'hydrostatique, où la hauteur \(h\) est la hauteur totale de l'eau \(H\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{max}} = \rho \cdot g \cdot H\]
Données spécifiques :
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(H = 24 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{max}} &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 24 \, \text{m} \\ &= 235440 \, \text{Pa} \\ &= 235.44 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pression maximale à la base du barrage est de \(235.44 \, \text{kPa}\).

Question 2 : Intensité de la Force de Poussée (\(F\))

Principe :

La force de poussée hydrostatique est la résultante de toutes les forces de pression agissant sur la surface immergée. Pour une surface rectangulaire verticale, cette force est égale à l'aire du diagramme de pression (un triangle) multipliée par la largeur du barrage. L'aire du triangle de pression est \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} P_{\text{max}} H\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F = \left( \frac{1}{2} P_{\text{max}} H \right) \cdot L = \frac{1}{2} \rho g H^2 L\]
Données spécifiques :
  • \(P_{\text{max}} = 235440 \, \text{Pa}\)
  • \(H = 24 \, \text{m}\)
  • \(L = 80 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F &= \frac{1}{2} \times 235440 \, \text{N/m}^2 \times 24 \, \text{m} \times 80 \, \text{m} \\ &= 226022400 \, \text{N} \\ &\approx 226.02 \, \text{MN} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La force de poussée totale sur le barrage est d'environ \(226.02 \, \text{MN}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur d'eau (\(H\)) double, la force de poussée (\(F\)) est :

Question 3 : Position du Centre de Poussée (\(y_p\))

Principe :

Le centre de poussée est le point d'application de la force résultante \(F\). Pour un diagramme de pression triangulaire sur une surface rectangulaire verticale, ce point correspond au centre de gravité du triangle. Le centre de gravité d'un triangle est situé à un tiers de sa base. Ici, la "base" du triangle est au sommet du barrage et son sommet est à la base du barrage, donc le centre de poussée est à un tiers de la hauteur totale d'eau, mesuré depuis le fond.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_p = \frac{H}{3}\]
Données spécifiques :
  • \(H = 24 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_p &= \frac{24 \, \text{m}}{3} \\ &= 8 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le centre de poussée est situé à \(8 \, \text{m}\) au-dessus de la base du barrage.

Question 4 : Moment de Renversement (\(M\))

Principe :

Le moment de renversement est la tendance de la force de poussée à faire "basculer" le barrage autour de son pied aval (le point le plus bas côté sec). Il se calcule en multipliant l'intensité de la force (\(F\)) par son bras de levier, qui est la distance verticale entre le point d'application de la force (le centre de poussée, \(y_p\)) et le point de pivot (la base du barrage).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M = F \cdot y_p\]
Données spécifiques :
  • \(F \approx 226022400 \, \text{N}\)
  • \(y_p = 8 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M &= 226022400 \, \text{N} \times 8 \, \text{m} \\ &= 1808179200 \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &\approx 1808.18 \, \text{MN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le moment de renversement par rapport à la base est d'environ \(1808.18 \, \text{MN}\cdot\text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le moment de renversement est utilisé pour vérifier la stabilité du barrage face au :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. Le diagramme de pression hydrostatique sur une paroi verticale est de forme :

6. Le centre de poussée sur une surface rectangulaire verticale immergée depuis la surface se trouve à :

7. Pour résister au renversement, le barrage doit générer un moment stabilisant (principalement dû à son propre poids) qui est :

Glossaire

Poussée Hydrostatique (\(F\))
Force résultante exercée par un fluide sur une surface. Pour une paroi verticale, son intensité dépend du carré de la hauteur du fluide (\(H^2\)).
Barrage-Poids
Type de barrage qui résiste à la poussée de l'eau principalement grâce à sa propre masse et au poids des matériaux qui le constituent.
Centre de Poussée (\(y_p\))
Point d'application de la force de poussée hydrostatique résultante. Il ne coïncide pas avec le centre géométrique de la surface immergée car la pression n'est pas uniforme.
Moment de Renversement (\(M\))
Effet de rotation qu'une force (ici, la poussée de l'eau) exerce sur un objet autour d'un point de pivot (ici, le pied du barrage). Il est le produit de la force par le bras de levier.
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