ÉTUDE HYDRAULIQUE

Estimation du Transport en Suspension

Hydraulique : Estimation du Transport en Suspension à partir d'un Profil de Concentration

Estimation du Transport en Suspension à partir d'un Profil de Concentration

Contexte : La Rivière Trouble

Contrairement au charriage qui concerne les sédiments lourds se déplaçant sur le fond, le transport en suspensionMode de transport sédimentaire où les particules fines (limons, argiles, sables fins) sont maintenues au sein de la colonne d'eau par la turbulence de l'écoulement. concerne les particules fines (limons, argiles, sables fins). Ces particules sont maintenues "en l'air" dans la colonne d'eau par l'agitation turbulente de l'écoulement, qui contrecarre leur tendance à tomber sous l'effet de la gravité. La concentration de ces sédiments n'est pas uniforme : elle est maximale près du lit et diminue avec l'altitude. Le profil de concentration de Rouse décrit cet équilibre entre la sédimentation et la diffusion turbulente. Cet exercice vise à utiliser ce profil pour estimer le débit total de sédiments transportés en suspension.

Remarque Pédagogique : Ce problème illustre un concept fondamental en mécanique des fluides environnementale : l'équilibre entre la gravité (qui fait tomber les particules) et la turbulence (qui les remet en suspension). Le nombre de RouseNombre adimensionnel qui compare la vitesse de chute d'une particule à l'intensité de la turbulence (représentée par la vitesse de cisaillement). Il gouverne la forme du profil de concentration., qui est au cœur de ce calcul, quantifie précisément cet équilibre.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse de cisaillement à partir des caractéristiques de l'écoulement.
  • Comprendre et calculer le nombre de Rouse.
  • Utiliser le profil de concentration de Rouse pour estimer la concentration à différentes profondeurs.
  • Comprendre comment le transport en suspension est calculé par intégration du produit de la vitesse et de la concentration.
  • Estimer le débit solide en suspension à partir d'une mesure de concentration de référence.

Données de l'étude

On étudie un large fleuve avec un écoulement uniforme de profondeur \(h = 3.0 \, \text{m}\) et une pente \(S = 0.0002\). Le lit est composé de sables fins dont la vitesse de chute, \(w_s\), est de \(0.015 \, \text{m/s}\). Une mesure de concentration en sédiments est effectuée à une hauteur de référence \(a = 5 \, \text{cm}\) au-dessus du lit, donnant une concentration \(C_a = 10 \, \text{g/L}\).

Schéma des Profils de Vitesse et de Concentration
u(z) C(z) h Ca à z=a

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de cisaillement \(u_*\) et le nombre de Rouse \(Z\).
  2. En utilisant le profil de Rouse, estimer la concentration en sédiments \(C(z)\) à mi-profondeur (\(z=h/2\)).
  3. En supposant une vitesse moyenne de l'écoulement \(U = 1.5 \, \text{m/s}\) et une concentration moyenne \(\bar{C}\) approximée par la concentration à mi-profondeur, estimer le débit solide en suspension par unité de largeur \(q_{ss}\).

Correction : Estimation du Transport en Suspension

Question 1 : Calcul de la Vitesse de Cisaillement et du Nombre de Rouse

Principe :
u* ws Z = ws / (κ*u*)

La vitesse de cisaillement \(u_*\) est une mesure de l'intensité de la turbulence près du lit. Elle se calcule à partir de la contrainte de cisaillement. Le nombre de Rouse \(Z\) est un paramètre adimensionnel qui compare la vitesse de chute des sédiments \(w_s\) (tendance à tomber) à la capacité de la turbulence à les maintenir en suspension (liée à \(u_*\) et à la constante de von Kármán \(\kappa\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le nombre de Rouse est le paramètre qui gouverne la forme du profil de concentration. Un \(Z\) faible (< 1) signifie que la turbulence domine : les sédiments sont bien mélangés et la concentration est presque uniforme sur la verticale. Un \(Z\) élevé (> 2.5) signifie que la gravité domine : les sédiments restent concentrés très près du lit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_* = \sqrt{g R_h S} \approx \sqrt{g h S} \]
\[ Z = \frac{w_s}{\kappa u_*} \quad (\text{avec } \kappa \approx 0.4) \]
Donnée(s) :
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\), \(h = 3.0 \, \text{m}\), \(S = 0.0002\)
  • \(w_s = 0.015 \, \text{m/s}\)
  • Constante de von Kármán : \(\kappa = 0.4\)
Calcul(s) :

1. Vitesse de cisaillement :

\[ \begin{aligned} u_* &= \sqrt{9.81 \times 3.0 \times 0.0002} \\ &= \sqrt{0.005886} \\ &\approx 0.0767 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

2. Nombre de Rouse :

\[ \begin{aligned} Z &= \frac{0.015}{0.4 \times 0.0767} \\ &\approx \frac{0.015}{0.03068} \\ &\approx 0.489 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Approximation du canal large : L'utilisation de \(R_h \approx h\) est une approximation. Pour un canal de largeur finie, le rayon hydraulique serait légèrement inférieur, ce qui réduirait légèrement la vitesse de cisaillement calculée.

Le saviez-vous ?

La constante \(\kappa \approx 0.4\) de von Kármán est l'une des constantes les plus fondamentales et mystérieuses de la mécanique des fluides. Elle apparaît dans toutes les théories de la turbulence près d'une paroi, mais sa valeur exacte et son universalité sont encore des sujets de recherche active.

FAQ en rapport avec la question :
Que signifie un nombre de Rouse de 0.489 ?

Un \(Z < 1\) indique que la turbulence est relativement forte par rapport à la vitesse de chute. On s'attend donc à ce que les sédiments soient bien répartis sur la verticale, avec une concentration qui diminue lentement en s'éloignant du fond. C'est typique des sables fins dans un grand fleuve.

Résultat : La vitesse de cisaillement est \(u_* \approx 0.077 \, \text{m/s}\) et le nombre de Rouse est \(Z \approx 0.49\).

Question 2 : Concentration à Mi-Profondeur

Principe :
Ca C(h) C(h/2)

Le profil de concentration de Rouse permet de calculer la concentration \(C(z)\) à n'importe quelle hauteur \(z\) au-dessus du lit, à condition de connaître la concentration \(C_a\) à une hauteur de référence \(a\), ainsi que le nombre de Rouse \(Z\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La formule de Rouse est très sensible à la hauteur de référence \(a\). Physiquement, on ne peut pas l'appliquer pour \(z=0\) (elle divergerait). La concentration de référence \(C_a\) est donc une mesure cruciale, souvent difficile à obtenir, qui "ancre" tout le profil de concentration.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C(z) = C_a \left[ \left(\frac{h-z}{z}\right) \left(\frac{a}{h-a}\right) \right]^Z \]
Donnée(s) :
  • \(C_a = 10 \, \text{g/L}\) à \(a = 0.05 \, \text{m}\)
  • \(h = 3.0 \, \text{m}\)
  • \(Z \approx 0.489\)
  • On cherche C(z) pour \(z = h/2 = 1.5 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} C(1.5) &= 10 \times \left[ \left(\frac{3.0-1.5}{1.5}\right) \left(\frac{0.05}{3.0-0.05}\right) \right]^{0.489} \\ &= 10 \times \left[ (1) \times \left(\frac{0.05}{2.95}\right) \right]^{0.489} \\ &= 10 \times (0.01695)^{0.489} \\ &\approx 10 \times 0.138 \\ &\approx 1.38 \, \text{g/L} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calcul de la puissance : Le calcul de l'exposant fractionnaire est une source d'erreur potentielle. Il faut s'assurer d'utiliser correctement la fonction puissance (\(x^y\)) de sa calculatrice. Le résultat doit être logique : comme la concentration diminue avec la hauteur, \(C(1.5)\) doit être inférieur à \(C_a\).

Le saviez-vous ?

Le profil de Rouse est une simplification. Des modèles plus avancés tiennent compte des variations de la turbulence sur la verticale ou de la présence de plusieurs classes de taille de sédiments, mais le profil de Rouse reste un outil de base extraordinairement utile pour une première estimation.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la concentration est-elle maximale près du fond ?

Le fond est la source des sédiments (par érosion du lit) et c'est là que la gravité a le plus d'effet. La turbulence doit "arracher" les particules au lit et les soulever contre la gravité. Plus on s'éloigne du lit, plus la probabilité qu'une particule retombe est grande, et moins la turbulence est efficace pour la remonter. La concentration diminue donc naturellement avec l'altitude.

Résultat : La concentration à mi-profondeur est d'environ 1.38 g/L.

Question 3 : Estimation du Débit Solide en Suspension

Principe :
u(z) C(z) × = q_ss

Le débit solide en suspension par unité de largeur, \(q_{ss}\), est obtenu en intégrant le produit de la vitesse de l'eau \(u(z)\) et de la concentration en sédiments \(C(z)\) sur toute la profondeur de l'écoulement. Pour une estimation simplifiée, on peut approximer ce débit en multipliant la vitesse moyenne de l'écoulement \(U\) par la profondeur \(h\) et par une concentration moyenne \(\bar{C}\), que l'on prend ici égale à la concentration à mi-profondeur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'approximation \(\bar{C} \approx C(h/2)\) est une simplification grossière. Comme le profil de concentration est généralement concave (plus de sédiments en bas), la concentration moyenne réelle est souvent supérieure à la concentration à mi-profondeur. Ce calcul donne donc un ordre de grandeur, souvent une sous-estimation du transport réel.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q_{ss} = \int_0^h u(z) C(z) dz \approx U \cdot h \cdot \bar{C} \]
Donnée(s) :
  • Vitesse moyenne : \(U = 1.5 \, \text{m/s}\)
  • Profondeur : \(h = 3.0 \, \text{m}\)
  • Concentration moyenne (estimée) : \(\bar{C} \approx C(h/2) \approx 1.38 \, \text{g/L} = 1.38 \, \text{kg/m}^3\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} q_{ss} &\approx 1.5 \, [\text{m/s}] \times 3.0 \, [\text{m}] \times 1.38 \, [\text{kg/m}^3] \\ &\approx 6.21 \, \text{kg/s/m} \end{aligned} \]

Ce résultat est un débit massique par unité de largeur. Pour le convertir en débit volumique, on le divise par la masse volumique des sédiments \(\rho_s\).

\[ \begin{aligned} q_{ss, vol} &= \frac{6.21}{2650} \\ &\approx 2.34 \times 10^{-3} \, \text{m}^2/\text{s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités de Concentration et de Débit : La concentration est souvent donnée en g/L ou mg/L. Pour obtenir un débit massique en kg/s/m, il faut la convertir en kg/m³ (1 g/L = 1 kg/m³). Le résultat final \(q_{ss}\) peut être un débit massique (kg/s/m) ou volumique (m²/s), il faut bien préciser lequel est calculé.

Le saviez-vous ?

Le Fleuve Jaune (Huang He) en Chine est le fleuve le plus chargé en sédiments du monde. Il transporte en moyenne plus de 1.5 milliard de tonnes de sédiments par an vers la mer, soit assez pour remplir un train de marchandises faisant 12 fois le tour de la Terre !

FAQ en rapport avec la question :
Comment calculer le transport total (charriage + suspension) ?

Le transport sédimentaire total est la somme du transport de charriage (calculé avec une formule comme Meyer-Peter & Müller) et du transport en suspension (calculé par intégration du profil de concentration). Pour de nombreuses rivières, le transport en suspension représente plus de 90% du transport total.

Résultat : Le débit solide en suspension estimé est d'environ 6.2 kg/s par mètre de largeur.

Simulation du Profil de Concentration

Explorez comment la vitesse de chute des sédiments et la vitesse de cisaillement de l'écoulement modifient la forme du profil de concentration.

Paramètres du Système
Nombre de Rouse (Z)
Concentration à mi-hauteur
Concentration en surface
Profil de Concentration Relatif (C/Ca)

Le Saviez-Vous ?

L'envasement des réservoirs de barrage est un problème majeur causé par le transport en suspension. Les fleuves transportent d'énormes quantités de sédiments qui, en arrivant dans l'eau quasi-stagnante du réservoir, décantent et remplissent progressivement le barrage, réduisant sa capacité de stockage d'eau et sa durée de vie.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment détermine-t-on la vitesse de chute \(w_s\) ?

La vitesse de chute d'une particule dépend de sa taille, de sa forme et de sa densité, ainsi que de la viscosité du fluide. Pour une particule sphérique en régime de Stokes, elle peut être calculée analytiquement. Pour des sédiments naturels, elle est généralement mesurée en laboratoire en chronométrant la chute de particules dans une colonne d'eau.

Qu'est-ce que la concentration de référence \(C_a\) ?

C'est la concentration en sédiments à une petite hauteur \(a\) au-dessus du lit. Elle représente la quantité de sédiments qui sont "disponibles" pour être mis en suspension. Elle est très difficile à prédire et est souvent liée au transport de charriage : c'est le charriage qui "prépare" les sédiments à être soulevés par la turbulence.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un nombre de Rouse très élevé (Z > 2.5) signifie que :

2. Pour un même écoulement, des sédiments plus fins (vitesse de chute \(w_s\) plus faible) auront :

Vérifier mes réponses

Glossaire

Transport en Suspension
Mode de transport où les particules sédimentaires fines sont maintenues dans la colonne d'eau par la turbulence de l'écoulement.
Vitesse de Cisaillement (\(u_*\))
Vitesse caractéristique de la turbulence près du lit d'un cours d'eau. Elle est directement liée à la contrainte de cisaillement.
Nombre de Rouse (Z)
Paramètre adimensionnel qui compare la vitesse de chute des particules à la turbulence de l'écoulement (\(Z = w_s / (\kappa u_*)\)) et qui détermine la forme du profil de concentration.
Profil de Concentration de Rouse
Modèle théorique décrivant la distribution verticale de la concentration en sédiments en suspension dans un écoulement turbulent.
Hydraulique : Estimation du Transport en Suspension à partir d'un Profil de Concentration

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