Équilibrage d'un Réseau Maillé par la Méthode de Hardy-Cross
Comprendre la Méthode de Hardy-Cross
Les réseaux de distribution d'eau sont souvent maillés (bouclés) pour assurer la sécurité de l'approvisionnement et maintenir des pressions adéquates. Contrairement aux réseaux en série ou en parallèle, la répartition des débits dans un réseau maillé ne peut pas être déterminée directement. La méthode de Hardy-Cross est une technique itérative classique qui permet de résoudre ce problème. Elle consiste à supposer une répartition initiale des débits (en respectant la loi des nœuds) et à calculer un débit correctif pour chaque boucle du réseau. Ce débit correctif est appliqué à toutes les conduites de la boucle, et le processus est répété jusqu'à ce que les corrections deviennent négligeables, indiquant que le réseau est équilibré.
Données de l'étude
Pour simplifier, on utilisera la formule de Hazen-Williams pour les pertes de charge, sous la forme \(\Delta H = r Q^{1.85}\), avec les coefficients de résistance \(r\) suivants pour chaque conduite :
- Conduite AB : \(r_{AB} = 2.0\)
- Conduite BC : \(r_{BC} = 3.0\)
- Conduite CD : \(r_{CD} = 2.0\)
- Conduite DA : \(r_{DA} = 2.5\)
Schéma : Réseau Maillé à une Boucle
Répartition initiale des débits (L/s) et sens de la boucle (horaire positif).
Questions à traiter
- Vérifier que la répartition initiale des débits respecte la loi des nœuds.
- Calculer le débit de correction \(\Delta Q\) pour la boucle après la première itération.
- Appliquer la correction et calculer les débits corrigés dans chaque conduite.
- Effectuer une seconde itération pour affiner le résultat.
Correction : Équilibrage d'un Réseau Maillé par la Méthode de Hardy-Cross
Question 1 : Vérification de la Loi des Nœuds
Principe :
Pour que la répartition initiale soit valide, la somme algébrique des débits à chaque nœud doit être nulle. On considère les débits entrants comme positifs et les sortants comme négatifs.
Vérification :
- Nœud A : \(+100 - Q_{AB} - Q_{DA} = 100 - 60 - 40 = 0\) (OK)
- Nœud B : \(+Q_{AB} - Q_{BC} = 60 - 30 - 30 = 0 \). Erreur dans l'énoncé, il faut un départ de 30 à ce nœud. Corrigons: \(+Q_{AB} - Q_{BC} = 60 - 60 = 0\). Ajustons \(Q_{BC}\) à 60.
- Nœud C : \(+Q_{BC} + Q_{DC} - 100\). Si \(Q_{BC}=60\), \(Q_{DC}=40\). Donc \(60+40-100 = 0\). Corrigons \(Q_{CD}\) à -40.
- Nœud D : \(+Q_{DA} - Q_{DC} = 40 - 40 = 0\) (OK)
Hypothèse corrigée : \(Q_{AB}=60\), \(Q_{DA}=40\), \(Q_{BC}=60\), \(Q_{CD}=-40\) (ou \(Q_{DC}=40\)). Cette répartition respecte la loi des nœuds.
Question 2, 3 et 4 : Calculs Itératifs
Formule de Correction :
La méthode de Hardy-Cross utilise un débit correctif \(\Delta Q\) pour chaque boucle, calculé comme suit (avec \(n=1.85\) pour Hazen-Williams) :
On adopte une convention de signe : positif pour les débits dans le sens horaire, négatif sinon.
Itération 1 (avec les débits corrigés)
Débits initiaux : \(Q_{AB}=+60\), \(Q_{BC}=+60\), \(Q_{CD}=-40\), \(Q_{DA}=+40\) (en L/s).
| Conduite | r | Q (L/s) | \(\Delta H = rQ^{1.85}\) | \(n \Delta H / Q\) |
|---|---|---|---|---|
| AB | 2.0 | +60 | +4553 | 140.5 |
| BC | 3.0 | +60 | +6830 | 210.7 |
| CD | 2.0 | -40 | -2287 | 105.8 |
| DA | 2.5 | +40 | +2858 | 132.2 |
| Total | Σ = +11954 | Σ = 589.2 |
Débits Corrigés (Fin Itération 1) :
- \(Q_{AB}' = 60 - 20.3 = 39.7\)
- \(Q_{BC}' = 60 - 20.3 = 39.7\)
- \(Q_{CD}' = -40 - 20.3 = -60.3\)
- \(Q_{DA}' = 40 - 20.3 = 19.7\)
Itération 2
On recommence le calcul avec les débits corrigés.
| Conduite | r | Q (L/s) | \(\Delta H = rQ^{1.85}\) | \(n \Delta H / Q\) |
|---|---|---|---|---|
| AB | 2.0 | +39.7 | +2010 | 94.0 |
| BC | 3.0 | +39.7 | +3015 | 141.0 |
| CD | 2.0 | -60.3 | -4592 | 141.2 |
| DA | 2.5 | +19.7 | +522 | 49.2 |
| Total | Σ = -45 | Σ = 425.4 |
La correction est devenue très faible, on peut arrêter le processus.
- Débit dans AB : \(Q_{AB} \approx 39.8 \, \text{L/s}\)
- Débit dans BC : \(Q_{BC} \approx 39.8 \, \text{L/s}\)
- Débit dans CD : \(Q_{CD} \approx -60.2 \, \text{L/s}\) (sens anti-horaire)
- Débit dans DA : \(Q_{DA} \approx 19.8 \, \text{L/s}\)
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La méthode de Hardy-Cross est basée sur :
2. Que doit-on toujours respecter à chaque étape de la méthode Hardy-Cross ?
3. Si le débit correctif \(\Delta Q\) pour une boucle est négatif, cela signifie que :
Glossaire
- Réseau Maillé
- Réseau de conduites qui contient au moins une boucle fermée. Le débit peut atteindre un nœud par plusieurs chemins.
- Méthode de Hardy-Cross
- Procédure itérative pour déterminer la répartition des débits dans un réseau maillé en appliquant successivement un débit de correction à chaque boucle jusqu'à ce que la loi des mailles (conservation de l'énergie) soit respectée.
- Loi des Nœuds
- La somme algébrique des débits entrant et sortant d'un nœud est nulle. Ce principe doit être respecté à tout moment.
- Loi des Mailles
- La somme algébrique des pertes de charge le long d'une boucle fermée est nulle. C'est cette condition que la méthode de Hardy-Cross cherche à satisfaire.
- Débit de Correction (\(\Delta Q\))
- Débit fictif calculé à chaque itération et ajouté (ou soustrait) à tous les débits de la boucle pour se rapprocher de l'équilibre des pertes de charge.
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