ÉTUDE HYDRAULIQUE

Équilibrage d’un Réseau Maillé

Exercice : Équilibrage de Réseau Maillé Hydraulique

Équilibrage d’un Réseau Maillé par la Méthode de Hardy-Cross

Contexte : L'alimentation en eau potable d'un nouveau quartier.

L'ingénieur hydraulicien est chargé de concevoir un réseau de distribution d'eau. Contrairement à un réseau ramifié, un réseau mailléRéseau de conduites interconnectées formant des boucles fermées (mailles). Offre une meilleure sécurité d'alimentation et une meilleure répartition des pressions. offre plusieurs chemins pour que l'eau atteigne un point donné, ce qui augmente la sécurité d'approvisionnement mais complexifie les calculs. Le défi est de déterminer la répartition des débits dans chaque conduite (tronçon) pour que le réseau soit "équilibré", c'est-à-dire que les lois de la physique hydraulique y soient respectées.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes de la méthode itérative de Hardy-Cross, un outil fondamental pour les ingénieurs en hydraulique. Vous apprendrez à appliquer une méthode de calcul rigoureuse pour résoudre un problème qui n'a pas de solution analytique directe.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer la loi des nœuds (conservation de la masse) et la loi des mailles (conservation de l'énergie).
  • Maîtriser le calcul des pertes de charge dans les conduites.
  • Appliquer la méthode itérative de Hardy-Cross pour équilibrer un réseau à deux mailles.
  • Calculer la correction de débit et ajuster la répartition des flux dans le réseau.

Données de l'étude

On étudie le réseau maillé simple à deux mailles représenté ci-dessous. Un débit total de 100 L/s entre au nœud A et se répartit pour sortir aux nœuds D (40 L/s) et F (60 L/s). Une première répartition des débits, respectant la loi des nœuds, a été estimée. Votre mission est de réaliser la première itération de calcul pour équilibrer ce réseau.

Schéma du Réseau Hydraulique et Répartition Initiale des Débits
ABCDEFT1 (AB)T2 (BC)T3 (BD)T4 (CE)T5 (DF)T6 (CD)Maille IMaille IIQin = 100 L/sQout = 40 L/sQout = 60 L/s1006040406020
Caractéristiques des Conduites
TronçonNomCoefficient de Perte de Charge K (s²/m⁵)
T1AB120
T2BC150
T3BD100
T4CE130
T5DF110
T6CD (tronçon commun)180

Questions à traiter

  1. Vérifier que la répartition initiale des débits respecte la loi des nœuds en B, C et D.
  2. Pour la Maille I (B-C-D-B), calculer les pertes de charge \( \Delta H \) dans chaque tronçon et la somme \( \sum \Delta H \).
  3. Toujours pour la Maille I, calculer le terme \( \sum 2K|Q_0| \) et en déduire la correction de débit \( \Delta Q_I \).
  4. Répéter les étapes 2 et 3 pour la Maille II (C-E-F-D-C) et calculer la correction de débit \( \Delta Q_{II} \).
  5. Calculer les débits corrigés \( Q_1 \) dans chaque tronçon du réseau après cette première itération.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre ce problème, deux principes fondamentaux doivent être respectés :

1. Loi des Nœuds (Principe de Conservation de la Masse)
Pour tout nœud (point de jonction de plusieurs conduites) du réseau, la somme des débits entrants est égale à la somme des débits sortants. Mathématiquement, cela s'écrit : \[ \sum Q_{\text{entrant}} = \sum Q_{\text{sortant}} \quad \text{ou} \quad \sum Q = 0 \]

2. Loi des Mailles (Principe de Conservation de l'Énergie)
Sur n'importe quel circuit fermé (maille), la somme algébrique des pertes de charge est nulle. Cela signifie que la pression en un point est unique, quel que soit le chemin parcouru pour y arriver. \[ \sum \Delta H = 0 \] La perte de charge \( \Delta H \) dans un tronçon peut être exprimée par la formule \( \Delta H = K \cdot Q^n \). Pour les écoulements turbulents, n est proche de 2. Nous utiliserons \( \Delta H = K \cdot Q^2 \).

Correction : Équilibrage d’un Réseau Maillé par la Méthode de Hardy-Cross

Question 1 : Vérification de la Loi des Nœuds

Principe

Le concept physique est la conservation de la masse. Dans un réseau hydraulique avec un fluide incompressible comme l'eau, la matière ne peut être ni créée ni détruite. Par conséquent, la quantité totale de fluide qui entre dans un point de jonction (un nœud) doit être égale à la quantité qui en sort.

Mini-Cours

Cette loi est l'équivalent hydraulique de la loi des nœuds de Kirchhoff pour les circuits électriques. Elle stipule que la somme algébrique des débits à un nœud est nulle. On affecte un signe positif aux débits entrants et un signe négatif aux débits sortants.

Remarque Pédagogique

Avant de se lancer dans des calculs complexes d'équilibrage, il est impératif de vérifier que la répartition initiale des débits, même si elle est une estimation, est au moins cohérente du point de vue de la masse. C'est la première étape de validation de vos hypothèses de départ.

Normes

Ce n'est pas une norme réglementaire mais une loi physique fondamentale de la mécanique des fluides, universellement appliquée en ingénierie hydraulique.

Formule(s)

Loi des Nœuds

\[ \sum_{i=1}^{n} Q_i = 0 \]
Hypothèses

La seule hypothèse majeure est que le fluide est incompressible (sa masse volumique est constante), ce qui est une excellente approximation pour l'eau dans les conditions habituelles des réseaux de distribution.

Donnée(s)
DébitValeur (L/s)
\(Q_{AB}\)100
\(Q_{BC}\)60
\(Q_{BD}\)40
\(Q_{CD}\)20
\(Q_{CE}\)40
\(Q_{DF}\)60
Astuces

Pour chaque nœud, faites mentalement la somme des flèches qui "arrivent" et soustrayez la somme des flèches qui "partent". Le résultat doit être zéro.

Schéma (Avant les calculs)
Flux au Nœud B
BQ_AB=100Q_BC=60Q_BD=40
Calcul(s)

Bilan des débits au Nœud B

\[ \begin{aligned} \sum Q_B &= Q_{AB} - Q_{BC} - Q_{BD} \\ &= 100 - 60 - 40 \\ &= 0 \text{ L/s} \quad (\text{OK}) \end{aligned} \]

Bilan des débits au Nœud C

\[ \begin{aligned} \sum Q_C &= Q_{BC} - Q_{CD} - Q_{CE} \\ &= 60 - 20 - 40 \\ &= 0 \text{ L/s} \quad (\text{OK}) \end{aligned} \]

Bilan des débits au Nœud D

\[ \begin{aligned} \sum Q_D &= Q_{BD} + Q_{CD} - Q_{DF} \\ &= 40 + 20 - 60 \\ &= 0 \text{ L/s} \quad (\text{OK}) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
État des flux confirmé
B100 (in)60 (out)40 (out)Bilan = 0
Réflexions

La répartition initiale des débits respecte bien la loi des nœuds. C'est une condition nécessaire mais non suffisante pour l'équilibre du réseau. La conservation de l'énergie (loi des mailles) doit aussi être vérifiée.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur de signe. Définissez clairement ce qui est "entrant" (+) et ce qui est "sortant" (-) pour chaque nœud et soyez constant.

Points à retenir

La loi des nœuds est la première étape fondamentale de tout calcul de réseau hydraulique. Une distribution de débits qui ne la respecte pas est physiquement impossible.

Le saviez-vous ?

La loi des nœuds a été formulée par Gustav Kirchhoff en 1845. Bien qu'il l'ait développée pour les circuits électriques, les principes de conservation sur lesquels elle repose s'appliquent à de nombreux domaines de la physique, y compris la mécanique des fluides.

FAQ

Que se passe-t-il si la loi des nœuds n'est pas vérifiée au départ ?

Si votre estimation initiale ne respecte pas la loi des nœuds, vous devez la corriger manuellement avant de commencer la méthode de Hardy-Cross. L'algorithme de Hardy-Cross ne corrige que le déséquilibre énergétique (loi des mailles), pas le déséquilibre de masse.

Résultat Final
La répartition initiale des débits est cohérente avec le principe de conservation de la masse.
A vous de jouer

Au nœud C, si le débit \(Q_{CE}\) était de 35 L/s, quel devrait être le débit \(Q_{CD}\) pour que le nœud reste équilibré, en supposant que \(Q_{BC}\) ne change pas ?

Question 2 : Calcul des Pertes de Charge (Maille I)

Principe

Le concept physique est la conservation de l'énergie. L'eau perd de l'énergie (sous forme de pression) en s'écoulant à cause des frottements. Dans une boucle fermée, si on revient au point de départ, on doit retrouver la même énergie. La somme des pertes d'énergie (pertes de charge) et des gains (par une pompe, par exemple) doit donc être nulle.

Mini-Cours

La perte de charge \( \Delta H \) due aux frottements dans une conduite est souvent modélisée par des formules empiriques comme celle de Hazen-Williams ou de Darcy-Weisbach. Pour simplifier, ces formules sont souvent regroupées sous la forme \( \Delta H = K \cdot Q^n \), où K est un coefficient qui dépend des caractéristiques de la conduite (longueur, diamètre, rugosité). Dans cet exercice, nous utilisons n=2, ce qui est courant pour les écoulements turbulents.

Remarque Pédagogique

La clé ici est la convention de signe. En choisissant un sens de parcours pour la maille (par exemple, horaire), les débits qui vont dans ce sens créent une perte de charge "positive", et ceux qui vont en sens inverse créent une perte de charge "négative". Si la somme n'est pas zéro, c'est que notre répartition de débits est incorrecte.

Normes

Les coefficients K ne sont pas arbitraires. Ils sont calculés à partir de formules standardisées (comme la formule de Colebrook-White pour le coefficient de Darcy) que l'on trouve dans les manuels et normes d'hydraulique.

Formule(s)

Formule de Perte de Charge

\[ \Delta H = K \cdot Q \cdot |Q| \]

Loi des Mailles

\[\sum_{\text{maille}} \Delta H = 0 \]

Utiliser \(Q \cdot |Q|\) au lieu de \(Q^2\) permet de conserver automatiquement le signe correct de la perte de charge.

Hypothèses

On suppose que l'exposant du débit est exactement n=2 et que les pertes de charge singulières (coudes, vannes) sont incluses dans le coefficient K.

Donnée(s)
Tronçon (Maille I)K (s²/m⁵)\(Q_0\) (m³/s)Sens de parcours
BC (T2)1500.060Positif (+)
CD (T6)1800.020Positif (+)
DB (T3)1000.040Négatif (-)
Astuces

Utilisez un tableau pour organiser vos calculs. Convertissez systématiquement tous les débits en m³/s avant d'appliquer les formules pour être cohérent avec l'unité de K (s²/m⁵).

Schéma (Avant les calculs)
Parcours de la Maille I
BCD+ Q_BC+ Q_CD- Q_BD
Calcul(s)

Perte de charge dans le tronçon BC

\[ \Delta H_{\text{BC}} = 150 \times (0.060)^2 = +0.540 \text{ m} \]

Perte de charge dans le tronçon CD

\[ \Delta H_{\text{CD}} = 180 \times (0.020)^2 = +0.072 \text{ m} \]

Perte de charge dans le tronçon DB

\[ \Delta H_{\text{DB}} = -100 \times (0.040)^2 = -0.160 \text{ m} \]

Somme des pertes de charge dans la Maille I

\[ \begin{aligned} \sum \Delta H_I &= 0.540 + 0.072 - 0.160 \\ &= +0.452 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Déséquilibre Énergétique de la Maille I
BCDΣΔH = +0.452 m
Réflexions

La somme des pertes de charge est de +0.452 m. Comme ce n'est pas zéro, notre estimation initiale des débits est incorrecte. Le signe positif indique que les pertes de charge dans le sens horaire sont plus importantes que dans le sens anti-horaire, ce qui signifie que trop de débit a été initialement assigné au sens horaire.

Points de vigilance

Ne pas se tromper dans les signes est l'étape la plus critique ici. Une seule erreur de signe sur un tronçon faussera toute la somme et donc la correction de débit.

Points à retenir

Un réseau maillé n'est équilibré que si la somme des pertes de charge dans chaque maille est nulle. Le calcul de \( \sum \Delta H \) est le test qui quantifie le déséquilibre.

Le saviez-vous ?

L'analogie avec un circuit électrique est très forte. La perte de charge \( \Delta H \) est l'équivalent de la chute de tension (V=RI), le débit Q est l'analogue de l'intensité (I) et le terme K|Q| est l'analogue de la résistance (R), qui ici n'est pas constante mais dépend du débit.

FAQ

Pourquoi utilise-t-on Q|Q| et pas Q² ?

Mathématiquement, Q² est toujours positif. En utilisant Q|Q|, le résultat a le même signe que le débit Q. Cela permet de calculer la somme algébrique des pertes de charge en respectant la convention de signe (horaire/anti-horaire) de manière automatique.

Résultat Final
La somme des pertes de charge pour la Maille I est de \( \sum \Delta H = +0.452 \text{ m} \).
A vous de jouer

Si le coefficient K du tronçon BC (T2) était de 200 au lieu de 150, quelle serait la nouvelle valeur de la perte de charge \( \Delta H_{\text{BC}} \) ?

Question 3 : Calcul de la Correction de Débit (Maille I)

Principe

Puisque le réseau n'est pas équilibré ( \( \sum \Delta H \neq 0 \) ), nous devons ajuster les débits. La méthode de Hardy-Cross propose de calculer une correction de débit \( \Delta Q \) qui sera ajoutée (ou soustraite) à tous les tronçons de la maille pour se rapprocher de l'équilibre.

Mini-Cours

La formule de correction de Hardy-Cross est dérivée en linéarisant la fonction de perte de charge. Elle vise à trouver la correction \( \Delta Q \) qui annulerait la somme des pertes de charge. Le dénominateur \( \sum 2K|Q_0| \) représente la somme des dérivées partielles de la perte de charge par rapport au débit, agissant comme une "rigidité" de la maille au changement.

Remarque Pédagogique

Le signe de \( \Delta Q \) est crucial : il est opposé au signe de \( \sum \Delta H \). Si la somme des pertes de charge est positive (trop de débit dans le sens horaire), la correction sera négative pour réduire ce débit, et vice-versa. C'est un mécanisme auto-correcteur.

Normes

La méthode elle-même est une technique de calcul numérique standardisée, pas une norme réglementaire. Elle est cependant universellement acceptée pour la résolution de ce type de problème.

Formule(s)

Formule de Correction de Hardy-Cross

\[ \Delta Q_I = - \frac{\sum (K \cdot Q_0 \cdot |Q_0|)}{\sum (2 \cdot K \cdot |Q_0|)} = - \frac{\sum \Delta H}{\sum 2K|Q_0|} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 2. On suppose que la correction \( \Delta Q \) est suffisamment petite pour que la linéarisation soit une bonne approximation.

Donnée(s)

On utilise le résultat de la question 2 : \( \sum \Delta H_I = +0.452 \text{ m} \), ainsi que les données des tronçons de la Maille I pour calculer le dénominateur.

Tronçon (Maille I)K (s²/m⁵)\(|Q_0|\) (m³/s)
BC (T2)1500.060
CD (T6)1800.020
DB (T3)1000.040
Astuces

Notez que le terme \( 2K|Q_0| \) est toujours positif, car on prend la valeur absolue du débit. Il n'y a pas de risque d'erreur de signe pour le calcul du dénominateur.

Schéma (Avant les calculs)
Direction de la Correction de Débit \( \Delta Q_I \)
BCDΔQ_I
Calcul(s)

Calcul du terme \( 2K|Q_0| \) pour le tronçon BC

\[ 2 \cdot K_{\text{BC}} \cdot |Q_0| = 2 \times 150 \times 0.060 = 18.0 \text{ s/m²} \]

Calcul du terme \( 2K|Q_0| \) pour le tronçon CD

\[ 2 \cdot K_{\text{CD}} \cdot |Q_0| = 2 \times 180 \times 0.020 = 7.2 \text{ s/m²} \]

Calcul du terme \( 2K|Q_0| \) pour le tronçon DB

\[ 2 \cdot K_{\text{DB}} \cdot |Q_0| = 2 \times 100 \times 0.040 = 8.0 \text{ s/m²} \]

Somme des termes \( \sum 2K|Q_0| \) pour la Maille I

\[ \begin{aligned} \sum 2K|Q_0| &= 18.0 + 7.2 + 8.0 \\ &= 33.2 \text{ s/m²} \end{aligned} \]

Calcul de la correction de débit \( \Delta Q_I \)

\[ \begin{aligned} \Delta Q_I &= - \frac{+0.452}{33.2} \\ &= -0.0136 \text{ m³/s} \\ &\Rightarrow \Delta Q_I \approx -13.6 \text{ L/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur de la Correction de Débit \( \Delta Q_I \)
BCDΔQ_I = -13.6 L/s
Réflexions

Une correction de -13.6 L/s est significative par rapport aux débits initiaux (qui vont de 20 à 60 L/s). Cela confirme que la répartition initiale était assez éloignée de l'équilibre. Le débit dans les tronçons BC et CD va diminuer, tandis que le débit dans le tronçon BD (qui était dans le sens anti-horaire) va augmenter.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier le signe "moins" dans la formule de \( \Delta Q \). La correction doit toujours s'opposer au déséquilibre.

Points à retenir

La formule de Hardy-Cross \( \Delta Q = - \frac{\sum \Delta H}{\sum 2K|Q_0|} \) est le cœur de la méthode. Maîtriser son calcul est essentiel pour pouvoir équilibrer n'importe quelle maille.

Le saviez-vous ?

La méthode de Hardy-Cross est une application de la méthode de Newton-Raphson, un puissant algorithme de recherche de zéro pour les fonctions non-linéaires. C'est pourquoi elle converge généralement très rapidement vers la solution.

FAQ

Pourquoi divise-t-on par \( \sum 2K|Q_0| \) ?

Ce terme représente la sensibilité de la maille à un changement de débit. Une maille avec des coefficients K élevés (conduites longues et fines) aura un dénominateur élevé et donc une correction \( \Delta Q \) plus faible pour un même déséquilibre \( \sum \Delta H \). Elle est plus "rigide".

Résultat Final
La correction de débit à appliquer à la Maille I est de \( \Delta Q_I = -13.6 \text{ L/s} \).
A vous de jouer

Si la somme des pertes de charge \( \sum \Delta H \) avait été de -0.452 m, quelle aurait été la correction de débit \( \Delta Q_I \) ?

Question 4 : Première Itération sur la Maille II (C-E-F-D-C)

Principe

On applique exactement la même méthodologie que pour la Maille I à la Maille II. Chaque maille est traitée indépendamment lors du calcul de sa propre correction de débit.

Mini-Cours

La complexité des réseaux maillés réside dans l'interdépendance des mailles via les tronçons communs. La méthode de Hardy-Cross résout ce problème en calculant les corrections de chaque maille séparément dans un premier temps, puis en appliquant ces corrections simultanément à l'ensemble du réseau, en tenant compte des effets croisés sur les tronçons communs.

Remarque Pédagogique

Soyez très méticuleux avec le tronçon commun (CD). Pour la Maille II, son débit initial de 20 L/s va de C vers D. Or, le sens de parcours horaire de la Maille II va de D vers C sur ce tronçon. Le débit \(Q_0\) pour ce tronçon sera donc considéré comme négatif dans les calculs de la Maille II.

Normes

Aucune nouvelle norme n'est introduite. On continue d'appliquer les principes de la mécanique des fluides.

Formule(s)

Formule de Correction de Débit pour la Maille II

\[ \Delta Q_{II} = - \frac{\sum \Delta H_{II}}{\sum 2K|Q_0|_{II}} \]
Hypothèses

Les hypothèses restent inchangées.

Donnée(s)
Tronçon (Maille II)K (s²/m⁵)\(Q_0\) (m³/s)Sens de parcours
CE (T4)1300.040Positif (+)
FD (T5)1100.060Négatif (-)
DC (T6)1800.020Négatif (-)
Astuces

Le tronçon CE (T4) a un débit de 40 L/s (loi des nœuds en C). Le tronçon DF (T5) a un débit de 60 L/s (loi des nœuds en D). La rigueur dans la nomination et le suivi des tronçons est essentielle.

Schéma (Avant les calculs)
Parcours de la Maille II
CEFD+ Q_CE- Q_DF- Q_CD
Calcul(s)

Somme des pertes de charge dans la Maille II

\[ \begin{aligned} \sum \Delta H_{II} &= (130 \cdot 0.040^2) - (110 \cdot 0.060^2) - (180 \cdot 0.020^2) \\ &= 0.208 - 0.396 - 0.072 \\ &= -0.260 \text{ m} \end{aligned} \]

Somme des termes \( \sum 2K|Q_0| \) pour la Maille II

\[ \begin{aligned} \sum 2K|Q_0|_{II} &= (2 \cdot 130 \cdot 0.040) + (2 \cdot 110 \cdot 0.060) + (2 \cdot 180 \cdot 0.020) \\ &= 10.4 + 13.2 + 7.2 \\ &= 30.8 \text{ s/m²} \end{aligned} \]

Calcul de la correction de débit \( \Delta Q_{II} \)

\[ \begin{aligned} \Delta Q_{II} &= - \frac{-0.260}{30.8} \\ &= +0.0084 \text{ m³/s} \\ &\Rightarrow \Delta Q_{II} \approx +8.4 \text{ L/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Déséquilibre Énergétique de la Maille II
CEFDΣΔH = -0.260 m
Réflexions

La correction pour la Maille II est positive (+8.4 L/s), ce qui est logique puisque la somme des pertes de charge était négative (-0.260 m). Cela signifie que la répartition initiale attribuait trop de débit au sens anti-horaire (ou pas assez au sens horaire). La correction va donc augmenter le débit dans le sens horaire.

Points de vigilance

La principale difficulté est de bien gérer le signe du débit du tronçon commun (CD). Comme il est dans le sens anti-horaire par rapport au parcours de la Maille II, son débit \(Q_0\) et sa perte de charge \( \Delta H \) sont négatifs dans ce tableau.

Points à retenir

Chaque maille génère sa propre correction de débit. Le processus de calcul est répétitif, ce qui le rend idéal pour une implémentation sur un tableur ou un programme informatique.

Le saviez-vous ?

Hardy Cross, professeur de génie civil à l'Université de l'Illinois, a publié sa méthode en 1936. Avant l'avènement des ordinateurs, c'était une méthode révolutionnaire qui permettait de résoudre à la main des problèmes de réseaux auparavant quasi-insolubles.

FAQ

Pourquoi n'y a-t-il pas de tronçon EF ?

Le schéma montre que les nœuds E et F sont des points de sortie. Il n'y a pas de conduite directe les reliant dans le réseau maillé. Les débits qui sortent en E et F proviennent respectivement de C et D.

Résultat Final
La correction de débit à appliquer à la Maille II est de \( \Delta Q_{II} = +8.4 \text{ L/s} \).
A vous de jouer

Si le débit sortant en F était de 70 L/s et celui en E de 30 L/s (total toujours 100), quel serait le nouveau débit \(Q_0\) dans le tronçon DF ?

Question 5 : Calcul des Débits Corrigés (Q₁)

Principe

Le principe est la superposition des corrections. Après avoir calculé les corrections pour chaque maille de manière isolée, on les applique à la distribution de débits initiale pour obtenir une nouvelle distribution, plus proche de l'équilibre réel.

Mini-Cours

Pour un tronçon appartenant à une seule maille (ex: BC dans la Maille I), le nouveau débit est simplement \( Q_1 = Q_0 + \Delta Q_I \). Pour un tronçon commun à deux mailles (ex: CD), il subit l'influence des deux corrections. Si on prend la Maille I comme référence (sens B->C->D), le débit corrigé est \( Q_1 = Q_0 + \Delta Q_I - \Delta Q_{II} \). Le signe moins devant \( \Delta Q_{II} \) vient du fait que la Maille II parcourt ce tronçon en sens inverse.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape de synthèse. C'est ici que l'on voit l'effet concret des calculs itératifs. Il est intéressant d'observer non seulement la nouvelle valeur du débit, mais aussi si le sens de l'écoulement change pour certains tronçons.

Normes

Il n'y a pas de norme, c'est l'application de l'algorithme de Hardy-Cross.

Formule(s)

Correction pour un tronçon simple

\[ Q_1 = Q_0 + \Delta Q_{\text{maille}} \]

Correction pour un tronçon commun

\[ Q_1 = Q_0 + \Delta Q_{\text{maille 1}} - \Delta Q_{\text{maille 2}} \]
Hypothèses

On suppose que cette première itération nous rapproche suffisamment de la solution. Dans un cas réel, on vérifierait à nouveau les lois des mailles avec les débits Q₁ et on lancerait une deuxième itération si nécessaire.

Donnée(s)

Débits initiaux \(Q_0\) et les corrections calculées.

  • \( \Delta Q_I = -13.6 \text{ L/s} \)
  • \( \Delta Q_{II} = +8.4 \text{ L/s} \)
Astuces

Pour le tronçon commun, choisissez une maille de référence et tenez-vous-y. Si le débit initial et la correction de la maille de référence vont dans le même sens, ajoutez. Si la correction de la maille adjacente va dans le sens opposé, soustrayez.

Schéma (Avant les calculs)
Réseau Initial avant Correction
ABCDEF1006040406020
Calcul(s)

Débit corrigé dans le tronçon BC

\[ \begin{aligned} Q_{\text{BC},1} &= Q_{\text{BC},0} + \Delta Q_I \\ &= 60 + (-13.6) \\ &= 46.4 \text{ L/s} \end{aligned} \]

Débit corrigé dans le tronçon BD

\[ \begin{aligned} Q_{\text{BD},1} &= Q_{\text{BD},0} - \Delta Q_I \\ &= 40 - (-13.6) \\ &= 53.6 \text{ L/s} \end{aligned} \]

Débit corrigé dans le tronçon CE

\[ \begin{aligned} Q_{\text{CE},1} &= Q_{\text{CE},0} + \Delta Q_{II} \\ &= 40 + (+8.4) \\ &= 48.4 \text{ L/s} \end{aligned} \]

Débit corrigé dans le tronçon DF

\[ \begin{aligned} Q_{\text{DF},1} &= Q_{\text{DF},0} - \Delta Q_{II} \\ &= 60 - (+8.4) \\ &= 51.6 \text{ L/s} \end{aligned} \]

Débit corrigé dans le tronçon CD

\[ \begin{aligned} Q_{\text{CD},1} &= Q_{\text{CD},0} + \Delta Q_I - \Delta Q_{II} \\ &= 20 + (-13.6) - (+8.4) \\ &= 20 - 22.0 \\ &= -2.0 \text{ L/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Schéma du Réseau avec Débits Corrigés (\(Q_1\))
ABCDEF10046.453.648.451.62.0
Réflexions

Le résultat le plus marquant est l'inversion du débit dans le tronçon commun CD. Initialement estimé de C vers D, le calcul montre que l'équilibre hydraulique requiert un léger débit de D vers C. Cela illustre la nature non-intuitive des réseaux maillés et la puissance des méthodes de calcul systématiques.

Points de vigilance

La gestion des signes pour le tronçon commun est l'endroit où la plupart des erreurs se produisent. Assurez-vous de bien soustraire la correction de la maille adjacente si les sens de parcours sont opposés sur ce tronçon.

Points à retenir

Le calcul des débits corrigés est la dernière étape d'une itération. Le processus complet (calcul des \( \Delta H \), calcul des \( \Delta Q \), correction des Q) est ensuite répété jusqu'à obtenir la précision souhaitée.

Le saviez-vous ?

Les logiciels modernes de modélisation hydraulique (comme EPANET) n'utilisent plus directement la méthode de Hardy-Cross, mais des algorithmes matriciels plus sophistiqués (comme la méthode du gradient) qui résolvent simultanément toutes les équations du réseau. Cependant, la compréhension de Hardy-Cross reste un excellent fondament pour tout ingénieur hydraulicien.

FAQ

Combien d'itérations faut-il faire ?

En pratique, on continue les itérations jusqu'à ce que les corrections \( \Delta Q \) deviennent très petites par rapport aux débits circulants (par exemple, moins de 1% du débit total). Pour les exercices manuels, une ou deux itérations sont généralement suffisantes pour démontrer la compréhension de la méthode.

Résultat Final
Les débits après la première itération sont : \(Q_{\text{BC}}=46.4\), \(Q_{\text{BD}}=53.6\), \(Q_{\text{CE}}=48.4\), \(Q_{\text{DF}}=51.6\), et \(Q_{\text{DC}}=2.0 \text{ L/s}\) (sens inversé).
A vous de jouer

Avec les corrections calculées, vérifiez la loi des nœuds au nœud D avec les nouveaux débits \(Q_1\). Le bilan doit toujours être nul. \( Q_{\text{BD},1} + Q_{\text{DC},1} - Q_{\text{DF},1} = ? \) (Attention au sens de \(Q_{DC}\))

Outil Interactif : Simulateur Hardy-Cross

Utilisez les curseurs pour modifier le débit entrant total ou le coefficient de perte de charge du tronçon commun (T6) et observez en temps réel l'impact sur la correction de débit \( \Delta Q_I \) calculée pour la première maille.

Paramètres d'Entrée
100 L/s
180 s²/m⁵
Résultats Clés (Maille I)
Somme des pertes de charge \( \sum \Delta H \) (m) -
Correction de débit \( \Delta Q_I \) (L/s) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que garantit la "loi des nœuds" dans un réseau hydraulique ?

2. Dans la méthode de Hardy-Cross, quand considère-t-on que le réseau est équilibré ?

3. Un \( \Delta Q \) calculé négatif pour une maille parcourue dans le sens horaire signifie que...

4. Comment traite-t-on un tronçon commun à deux mailles lors du calcul des débits corrigés ?

5. La loi des mailles ( \( \sum \Delta H = 0 \) ) est une expression de...

Réseau Maillé
Réseau de conduites hydrauliques formant des boucles fermées (mailles), par opposition à un réseau ramifié qui a une structure arborescente.
Nœud
Point de jonction où trois conduites ou plus se rencontrent.
Perte de Charge (\(\Delta H\))
Perte d'énergie (exprimée en mètres de colonne d'eau) subie par le fluide lorsqu'il s'écoule dans une conduite, due aux frottements.
Méthode de Hardy-Cross
Procédure itérative permettant de déterminer la répartition des débits dans un réseau maillé en corrigeant progressivement une estimation initiale jusqu'à ce que la loi des mailles soit respectée.
Équilibrage d’un Réseau Maillé par la Méthode de Hardy-Cross

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