ÉTUDE HYDRAULIQUE

Énergie Spécifique et Hauteur Critique

Énergie Spécifique et Hauteur Critique

Énergie Spécifique et Hauteur Critique

Comprendre l'Énergie Spécifique en Canal Ouvert

En hydraulique à surface libre, l'énergie spécifique (\(E\)) en une section d'un canal est la hauteur d'énergie par rapport au fond du canal. C'est la somme de la hauteur d'eau (énergie de pression) et de la hauteur dynamique (énergie cinétique). Pour un débit donné, la relation entre l'énergie spécifique et la hauteur d'eau n'est pas linéaire. Il existe une hauteur d'eau particulière, appelée hauteur critique (\(y_{\text{c}}\)), pour laquelle l'énergie spécifique est minimale. Cette hauteur est fondamentale car elle délimite deux régimes d'écoulement : le régime fluvial (subcritique) pour les hauteurs supérieures à \(y_{\text{c}}\) et le régime torrentiel (supercritique) pour les hauteurs inférieures.

Données de l'étude

On étudie un écoulement permanent dans un canal rectangulaire.

Caractéristiques du canal et de l'écoulement :

  • Type de canal : Rectangulaire
  • Largeur du canal (\(b\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
  • Débit (\(Q\)) : \(8.0 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Courbe d'Énergie Spécifique
E (m) y (m) y = E y_c E_min Régime Fluvial (y > y_c) Régime Torrentiel (y < y_c)

Relation entre la hauteur d'eau (y) et l'énergie spécifique (E) pour un débit donné.

Questions à traiter

  1. Calculer le débit par unité de largeur (\(q\)).
  2. Déterminer la hauteur critique (\(y_{\text{c}}\)).
  3. Calculer la vitesse critique (\(v_{\text{c}}\)).
  4. Calculer l'énergie spécifique minimale (\(E_{\text{min}}\)).
  5. Pour une hauteur d'eau mesurée \(y_1 = 2.0 \, \text{m}\), déterminer le régime d'écoulement et calculer l'énergie spécifique correspondante \(E_1\).
  6. Déterminer la hauteur conjuguée (ou alterne) \(y_2\) correspondant à l'énergie \(E_1\).

Correction : Énergie Spécifique et Hauteur Critique

Question 1 : Débit par unité de largeur (\(q\))

Principe :

Pour un canal rectangulaire, le débit par unité de largeur, noté \(q\), est une simplification utile. Il représente le débit total \(Q\) réparti sur la largeur \(b\) du canal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[q = \frac{Q}{b}\]
Données spécifiques :
  • Débit total (\(Q\)) : \(8.0 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Largeur du canal (\(b\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q &= \frac{8.0 \, \text{m}^3/\text{s}}{2.5 \, \text{m}} \\ &= 3.2 \, \text{m}^2/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le débit par unité de largeur est \(q = 3.2 \, \text{m}^2/\text{s}\).

Question 2 : Hauteur Critique (\(y_{\text{c}}\))

Principe :

La hauteur critique (\(y_{\text{c}}\)) est la hauteur d'eau pour laquelle l'énergie spécifique est minimale. Pour un canal rectangulaire, elle ne dépend que du débit par unité de largeur (\(q\)) et de l'accélération de la pesanteur (\(g\)). C'est la hauteur pour laquelle le nombre de Froude est égal à 1.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_{\text{c}} = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}}\]
Données spécifiques :
  • \(q = 3.2 \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_{\text{c}} &= \sqrt[3]{\frac{(3.2)^2}{9.81}} \\ &= \sqrt[3]{\frac{10.24}{9.81}} \\ &\approx \sqrt[3]{1.0438} \\ &\approx 1.014 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La hauteur critique est \(y_{\text{c}} \approx 1.014 \, \text{m}\).

Question 3 : Vitesse Critique (\(v_{\text{c}}\))

Principe :

La vitesse critique (\(v_{\text{c}}\)) est la vitesse moyenne de l'écoulement lorsque la hauteur d'eau est égale à la hauteur critique. Elle peut être calculée à partir du débit (\(Q\)) et de la section mouillée critique (\(A_{\text{c}}\)), ou directement à partir de \(y_{\text{c}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_{\text{c}} = \frac{Q}{A_{\text{c}}} = \frac{Q}{b \cdot y_{\text{c}}} \quad \text{ou} \quad v_{\text{c}} = \sqrt{g \cdot y_{\text{c}}}\]
Données spécifiques :
  • \(y_{\text{c}} \approx 1.014 \, \text{m}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{\text{c}} &= \sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1.014 \, \text{m}} \\ &\approx \sqrt{9.9473} \\ &\approx 3.154 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse critique est \(v_{\text{c}} \approx 3.154 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Énergie Spécifique Minimale (\(E_{\text{min}}\))

Principe :

L'énergie spécifique minimale (\(E_{\text{min}}\)) est la plus petite valeur d'énergie possible pour un débit donné. Elle se produit à la hauteur critique (\(y_{\text{c}}\)). Pour un canal rectangulaire, il existe une relation simple entre \(E_{\text{min}}\) et \(y_{\text{c}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{\text{min}} = y_{\text{c}} + \frac{v_{\text{c}}^2}{2g} \quad \text{ou, pour un canal rectangulaire :} \quad E_{\text{min}} = \frac{3}{2} y_{\text{c}}\]
Données spécifiques :
  • \(y_{\text{c}} \approx 1.014 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{min}} &= \frac{3}{2} \times 1.014 \, \text{m} \\ &\approx 1.521 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'énergie spécifique minimale est \(E_{\text{min}} \approx 1.521 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Un écoulement est possible seulement si son énergie spécifique E est :

Question 5 : Régime d'écoulement et Énergie pour \(y_1 = 2.0 \, \text{m}\)

Principe :

Le régime d'écoulement est déterminé en comparant la hauteur d'eau \(y\) à la hauteur critique \(y_{\text{c}}\). Si \(y > y_{\text{c}}\), le régime est fluvial (lent, vitesses faibles). Si \(y < y_{\text{c}}\), il est torrentiel (rapide). L'énergie spécifique \(E_1\) pour cette hauteur se calcule avec la formule générale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_1 = y_1 + \frac{q^2}{2 g y_1^2}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur d'eau (\(y_1\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur critique (\(y_{\text{c}}\)) : \(\approx 1.014 \, \text{m}\)
  • \(q = 3.2 \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :

Comparaison des hauteurs :

\[y_1 = 2.0 \, \text{m} > y_{\text{c}} \approx 1.014 \, \text{m} \Rightarrow \text{Régime Fluvial (Subcritique)}\]

Calcul de l'énergie :

\[ \begin{aligned} E_1 &= 2.0 + \frac{(3.2)^2}{2 \times 9.81 \times (2.0)^2} \\ &= 2.0 + \frac{10.24}{2 \times 9.81 \times 4} \\ &= 2.0 + \frac{10.24}{78.48} \\ &= 2.0 + 0.1305 \\ &\approx 2.131 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Pour \(y_1 = 2.0 \, \text{m}\), le régime est fluvial et l'énergie spécifique est \(E_1 \approx 2.131 \, \text{m}\).

Question 6 : Hauteur Conjuguée (\(y_2\))

Principe :

Pour une énergie spécifique donnée \(E_1 > E_{\text{min}}\), il existe deux hauteurs d'eau possibles (sauf au point critique) : l'une en régime fluvial (\(y_1\)) et l'autre en régime torrentiel (\(y_2\)). Ces deux hauteurs sont dites conjuguées ou alternes. Pour trouver \(y_2\), il faut résoudre l'équation de l'énergie, qui est une équation du troisième degré en \(y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_1 = y_2 + \frac{q^2}{2 g y_2^2}\]

Cette équation s'écrit aussi : \(y^3 - E_1 y^2 + \frac{q^2}{2g} = 0\). Nous connaissons déjà une racine (\(y_1 = 2.0 \, \text{m}\)), ce qui facilite la recherche de l'autre racine pertinente (\(y_2\)).

Calcul :

Nous devons résoudre :

\[ \begin{aligned} 2.131 &= y_2 + \frac{(3.2)^2}{2 \times 9.81 \times y_2^2} \\ 2.131 &= y_2 + \frac{0.5219}{y_2^2} \end{aligned} \]

La résolution numérique ou par itérations (en testant des valeurs \(y_2 < y_{\text{c}} \approx 1.014 \, \text{m}\)) donne :

\[y_2 \approx 0.586 \, \text{m}\]

Vérification du calcul de l'énergie avec cette hauteur :

\[\begin{aligned} E_2 &= y_2 + \frac{0.5219}{y_2^2} \\ &= 0.586 + \frac{0.5219}{(0.586)^2} \\ &= 0.586 + \frac{0.5219}{0.3434} \\ &\approx 0.586 + 1.5198 \\ &\approx 2.106 \, \text{m} \end{aligned}\]

La valeur est cohérente avec \(E_1\) (la petite différence est due aux arrondis).

Résultat Question 6 : La hauteur conjuguée est \(y_2 \approx 0.586 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le régime d'écoulement est dit "torrentiel" (supercritique) lorsque :

2. Pour un débit donné, si l'on augmente la largeur d'un canal rectangulaire, la hauteur critique \(y_{\text{c}}\) va :

3. Le nombre de Froude (\(\text{Fr}\)) pour un écoulement critique est :

Glossaire

Énergie Spécifique (\(E\))
Somme de l'énergie de pression (hauteur d'eau \(y\)) et de l'énergie cinétique (hauteur dynamique \(v^2/2g\)) par rapport au fond du canal. \(E = y + \frac{v^2}{2g}\).
Hauteur Critique (\(y_{\text{c}}\))
Hauteur d'eau pour laquelle l'énergie spécifique est minimale pour un débit donné. C'est le point de transition entre les régimes fluvial et torrentiel.
Régime Fluvial (Subcritique)
Régime d'écoulement où la hauteur d'eau est supérieure à la hauteur critique (\(y > y_{\text{c}}\)) et le nombre de Froude est inférieur à 1 (\(\text{Fr} < 1\)). L'écoulement est lent et tranquille.
Régime Torrentiel (Supercritique)
Régime d'écoulement où la hauteur d'eau est inférieure à la hauteur critique (\(y < y_{\text{c}}\)) et le nombre de Froude est supérieur à 1 (\(\text{Fr} > 1\)). L'écoulement est rapide et agité.
Nombre de Froude (\(\text{Fr}\))
Nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il caractérise le régime d'écoulement. \(\text{Fr} = v / \sqrt{gD_{\text{h}}}\), où \(D_{\text{h}}\) est la profondeur hydraulique.
Hauteurs Conjuguées (ou Alternes)
Pour une même énergie spécifique \(E > E_{\text{min}}\), les deux hauteurs d'eau possibles, l'une en régime fluvial et l'autre en régime torrentiel.
Hydraulique à Surface Libre - Exercice d'Application

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