Écoulement Critique à une Rupture de Pente

Contexte : L'Écoulement à Surface LibreÉcoulement d'un fluide (généralement de l'eau) avec une surface en contact avec l'atmosphère, comme dans une rivière ou un canal..

Cet exercice porte sur un cas classique d'hydraulique à surface libre : le passage d'un écoulement dans un canal rectangulaire qui subit une rupture de pente. Nous étudions le cas d'un canal passant d'une pente faible (régime fluvial) à une pente forte (régime torrentiel). Cette transition force l'écoulement à accélérer et à passer par un état d'écoulement particulier, dit "critique", précisément à la rupture de pente. Cet exercice vise à calculer les hauteurs d'eau clés et à comprendre la dynamique de cet écoulement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre comment les écoulements s'adaptent aux changements de géométrie du lit. La maîtrise du concept de hauteur critique est essentielle pour le dimensionnement des canaux, la conception des déversoirs et la prévision des lignes d'eau.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le débit linéique et la hauteur critiqueProfondeur d'eau pour laquelle l'énergie spécifique est minimale pour un débit donné. Le nombre de Froude est égal à 1. pour un canal rectangulaire.
Déterminer la pente critiquePente du fond du canal pour laquelle la hauteur normale est exactement égale à la hauteur critique. et classifier les régimes d'écoulement.
Comprendre pourquoi la hauteur critique s'établit à une rupture de pente de type fluvial-torrentiel.
Calculer la hauteur normaleProfondeur d'eau constante qui s'établit dans un canal long lorsque les forces de frottement équilibrent la composante de la gravité. en régime fluvial en utilisant la formule de Manning-Strickler.

Données de l'étude

Un long canal rectangulaire transporte un débit d'eau constant. Le canal est composé de deux sections de pentes différentes. La section amont a une pente faible \(S_{0,1}\) et la section aval a une pente forte \(S_{0,2}\). On suppose le régime permanent établi.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Forme du canal	Rectangulaire
Régime d'écoulement	Permanent
Fluide	Eau (supposée incompressible)

Schéma de la Rupture de Pente

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	Q	20	m3/s
Largeur du canal	b	4	m
Pente amont	S0,1	0.001	- (m/m)
Pente aval	S0,2	0.02	- (m/m)
Coefficient de Manning	n	0.014	s/m1/3
Accélération de la gravité	g	9.81	m/s2

Questions à traiter

Calculer le débit linéique (q).
Calculer la hauteur critique (yc).
Calculer la pente critique (Sc).
Classifier les pentes S0,1 et S0,2 (faible, critique, forte) et justifier la position de la hauteur critique.
Calculer la hauteur normale (yn1) sur la pente amont.

Les bases sur l'Écoulement Critique

En hydraulique à surface libre, l'état d'un écoulement est caractérisé par le Nombre de Froude (\(Fr\))Un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il détermine le régime d'écoulement.. Il compare la vitesse de l'écoulement \(V\) à la vitesse (célérité) \(c\) d'une petite onde de surface, \(c = \sqrt{g \cdot y_m}\) (où \(y_m\) est la profondeur hydraulique).

1. Nombre de Froude (\(Fr\)) pour un canal rectangulaire
Pour un canal rectangulaire, la profondeur hydraulique \(y_m\) est simplement la profondeur d'eau \(y\). La vitesse \(V = q / y\). \[ Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot y}} = \frac{q/y}{\sqrt{g \cdot y}} = \frac{q}{\sqrt{g \cdot y^3}} \]

Si \(Fr < 1\) : Régime Fluvial (subcritique). L'écoulement est lent, les ondes remontent le courant.
Si \(Fr = 1\) : Régime Critique. C'est un point de transition.
Si \(Fr > 1\) : Régime Torrentiel (supercritique). L'écoulement est rapide, les ondes sont emportées vers l'aval.

2. Hauteur Critique (\(y_c\))
La hauteur critique \(y_c\) est la profondeur pour laquelle \(Fr = 1\). C'est un état unique pour un débit donné. \[ 1 = \frac{q}{\sqrt{g \cdot y_c^3}} \Rightarrow 1 = \frac{q^2}{g \cdot y_c^3} \Rightarrow g \cdot y_c^3 = q^2 \] On en déduit la formule la plus importante pour un canal rectangulaire : \[ y_c = \left( \frac{q^2}{g} \right)^{1/3} \]

Correction : Écoulement Critique à une Rupture de Pente (Fluvial vers Torrentiel)

Question 1 : Calculer le débit linéique (\(q\))

Principe

Le débit linéique (ou débit par unité de largeur) est une simplification très utilisée pour les canaux rectangulaires. Il représente le débit total \(Q\) qui s'écoule à travers une "tranche" de 1 mètre de largeur du canal. Il permet de simplifier les équations de Froude et de hauteur critique.

Mini-Cours

Pour un canal rectangulaire de largeur \(b\) et de débit total \(Q\), le débit linéique \(q\) est constant sur toute la largeur. Son unité est le m³/s par mètre, soit des m²/s. C'est la base de tous les calculs qui suivent.

Remarque Pédagogique

Ne confondez jamais \(Q\) (débit total, en m³/s) et \(q\) (débit linéique, en m²/s). Les formules pour la hauteur critique sont souvent exprimées avec \(q\) pour plus de simplicité.

Normes

Ce calcul est une définition de base en hydraulique et n'est pas lié à une norme spécifique, mais il est universellement appliqué.

Formule(s)

La formule de définition du débit linéique pour un canal rectangulaire est :

q = \frac{Q}{b}

Hypothèses

On suppose que le débit est uniformément réparti sur la largeur \(b\), ce qui est une hypothèse standard pour un canal rectangulaire prismatique (de section constante).

Donnée(s)

Nous extrayons les données pertinentes de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	Q	20	m3/s
Largeur du canal	b	4	m

Astuces

Vérifiez toujours les unités. Ici, `m³/s` divisé par `m` donne bien `m²/s`. C'est une vérification simple pour éviter les erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser le canal en coupe transversale. Le débit \(Q\) s'écoule à travers la section rectangulaire \(A = b \times y\).

Coupe Transversale du Canal

Calcul(s)

On applique directement la formule \(q = Q/b\) en substituant les valeurs de l'énoncé :

\begin{aligned} q &= \frac{Q}{b} \\ q &= \frac{20 \text{ m³/s}}{4 \text{ m}} \\ \Rightarrow q &= 5 \text{ m²/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(q\) n'est pas un schéma, mais une valeur. Il représente le débit passant par chaque mètre de largeur.

Réflexions

Un débit linéique de 5 m²/s est une valeur significative. C'est cette valeur que nous utiliserons pour tous les calculs critiques, car la hauteur critique ne dépend que de \(q\) (et de \(g\)).

Points de vigilance

Cette formule \(q = Q/b\) n'est valable que pour un canal rectangulaire. Pour un canal trapézoïdal ou circulaire, le concept de débit linéique n'est pas utilisé de cette manière.

Points à retenir

Formule Clé : \(q = Q/b\). C'est la première étape de presque tous les problèmes de canaux rectangulaires.

Le saviez-vous ?

Pour les canaux rectangulaires très larges (où \(b > 10y\)), on utilise souvent l'approximation \(R_h \approx y\). Dans ce cas, les calculs sont encore plus simples et ne dépendent que de \(q\). Notre canal (\(b=4\)) n'est pas encore "très large".

FAQ

...

Résultat Final

Le débit linéique est \(q = 5 \text{ m²/s}\).

A vous de jouer

Si le débit total \(Q\) était de 30 m³/s et la largeur \(b\) de 5 m, que vaudrait le débit linéique \(q\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept : Débit linéique (par unité de largeur).
Formule : \(q = Q / b\).
Résultat : \(q = 5 \text{ m²/s}\).

Question 2 : Calculer la hauteur critique (\(y_c\))

Principe

La hauteur critique, \(y_c\), est une propriété fondamentale de l'écoulement. C'est la profondeur pour laquelle le nombre de Froude est exactement égal à 1 (\(Fr = 1\)). À cette profondeur, l'énergie spécifique de l'écoulement est minimale pour le débit \(q\) donné. C'est un point de contrôle hydraulique.

Mini-Cours

Pour un canal rectangulaire, la condition \(Fr = 1\) mène à une relation directe entre \(q\) et \(y_c\). C'est la profondeur où la vitesse de l'écoulement \(V\) est exactement égale à la vitesse de propagation des ondes \(c = \sqrt{g \cdot y_c}\). L'écoulement ne "sait" pas ce qui se passe en aval, car les informations (ondes) ne peuvent pas remonter le courant.

Remarque Pédagogique

La hauteur critique \(y_c\) ne dépend que du débit linéique \(q\). Elle ne dépend ni de la pente du canal, ni de sa rugosité. C'est une caractéristique intrinsèque de l'écoulement pour un \(q\) donné.

Normes

La formule de la hauteur critique est une dérivation des principes de base de la mécanique des fluides (conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement).

Formule(s)

De la condition \(Fr=1\), on dérive (voir "Les bases") :

y_c = \left( \frac{q^2}{g} \right)^{1/3}

Hypothèses

La formule est valable pour :

Un canal rectangulaire.
Une accélération de la gravité \(g\) constante.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et la constante \(g\) :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit linéique	q	5	m2/s
Gravité	g	9.81	m/s2

Astuces

Assurez-vous que \(q\) est bien en m²/s et \(g\) en m/s². Le résultat sera ainsi en mètres. Une erreur fréquente est d'oublier la racine cubique (\(^{1/3}\)).

Schéma (Avant les calculs)

On cherche la hauteur \(y_c\) pour laquelle l'énergie est minimale. Le schéma de l'énergie spécifique \(E_s\) en fonction de \(y\) montre ce minimum à \(y_c\).

Courbe d'Énergie Spécifique Es(y)

Calcul(s)

On applique la formule \(y_c = (q^2/g)^{1/3}\) en substituant les valeurs connues \(q = 5\) m²/s (de la Q1) et \(g = 9.81\) m/s².

Étape 1 : Calcul du terme \(q^2/g\)

\frac{q^2}{g} = \frac{(5 \text{ m²/s})^2}{9.81 \text{ m/s²}} = \frac{25 \text{ m⁴/s²}}{9.81 \text{ m/s²}} \approx 2.5484... \text{ m³}

Étape 2 : Calcul de la racine cubique

\begin{aligned} y_c &= (2.5484... \text{ m³})^{1/3} \\ \Rightarrow y_c &\approx 1.3658 \text{ m} \end{aligned}

Réflexions

La hauteur critique est d'environ 1.37 m. C'est la hauteur "pivot" de notre système. Tout écoulement dans ce canal avec ce débit sera "fluvial" si \(y > 1.37 \text{ m}\) et "torrentiel" si \(y < 1.37 \text{ m}\).

Points de vigilance

Attention à la puissance 1/3 (racine cubique). Sur une calculatrice, c'est souvent \(x^{(1/3)}\) ou \(\sqrt[3]{x}\). Une erreur fréquente est de diviser par 3.

Points à retenir

Formule Clé : \(y_c = (q^2/g)^{1/3}\) pour un canal rectangulaire.
La hauteur critique \(y_c\) ne dépend que de \(q\).

Le saviez-vous ?

Au passage de la hauteur critique, la vitesse de l'onde (célérité) est égale à la vitesse du courant. C'est analogue au passage du "mur du son" (Nombre de Mach = 1) en aérodynamique. Le nombre de Froude est l'équivalent hydraulique du nombre de Mach.

FAQ

...

Résultat Final

La hauteur critique est \(y_c \approx 1.37 \text{ m}\).

A vous de jouer

Avec le \(q = 6 \text{ m²/s}\) de la question précédente, quelle serait la nouvelle hauteur critique \(y_c\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept : Hauteur critique (où \(Fr = 1\)).
Formule (Rect.) : \(y_c = (q^2/g)^{1/3}\).
Résultat : \(y_c \approx 1.37 \text{ m}\).

Question 3 : Calculer la pente critique (\(S_c\))

Principe

La pente critique, \(S_c\), est la pente du fond du canal pour laquelle la hauteur normaleHauteur d'équilibre atteinte en écoulement uniforme, où les frottements compensent la gravité. \(y_n\) est exactement égale à la hauteur critique \(y_c\) que nous venons de calculer. C'est la pente qui "soutient" un écoulement critique uniforme.

Mini-Cours

Pour trouver cette pente, on utilise la formule de l'écoulement uniforme de Manning-Strickler. On y impose la condition \(y = y_c\). La pente \(S_0\) devient alors \(S_c\).

Remarque Pédagogique

La pente critique \(S_c\) dépend de \(q\) (via \(y_c\)) mais aussi de la géométrie (via le rayon hydraulique \(R_h\)) et de la rugosité (via le coefficient \(n\)). Deux canaux avec le même \(y_c\) mais des rugosités différentes auront des pentes critiques différentes.

Normes

La formule de Manning (ou Manning-Strickler) est une formule empirique (basée sur l'expérience) mais c'est la norme de facto dans l'ingénierie des canaux.

Formule(s)

Formule de Manning (avec \(K = 1/n\)) :

Q = K \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot S_0^{1/2} \quad \text{où} \quad K = 1/n

En isolant la pente et en posant \(y = y_c\), on obtient \(S_c\) :

S_c = \left( \frac{n \cdot Q}{A_c \cdot R_{hc}^{2/3}} \right)^2

Avec \(A_c = b \cdot y_c\) et \(R_{hc} = \frac{A_c}{P_c} = \frac{b \cdot y_c}{b + 2 \cdot y_c}\).

Hypothèses

On suppose que la formule de Manning est applicable. L'écoulement est uniforme (par définition du calcul de \(S_c\)).

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé et les résultats précédents :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coeff. Manning	n	0.014	s/m1/3
Débit total	Q	20	m3/s
Largeur	b	4	m
Hauteur critique	yc	1.37	m

Astuces

Le calcul du rayon hydraulique \(R_h\) est une source d'erreur. \(R_h = \text{Surface} / \text{Périmètre}\). Pour un rectangle, \(A = b \cdot y\) et \(P = b + 2y\) (le fond + les deux parois). Ne pas inclure la surface de l'eau dans le périmètre !

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur la géométrie de la section critique (\(y = y_c\)).

Section Critique (Ac, Pc)

Calcul(s)

Nous allons calculer les composants géométriques un par un, en utilisant \(b=4\) m et \(y_c \approx 1.37\) m (valeur arrondie de la Q2), avant de les insérer dans la formule de Manning.

Étape 1 : Surface mouillée critique (\(A_c\))

On utilise \(A_c = b \cdot y_c\).

A_c = 4 \text{ m} \times 1.37 \text{ m} = 5.48 \text{ m²}

Étape 2 : Périmètre mouillé critique (\(P_c\))

On utilise \(P_c = b + 2 \cdot y_c\).

P_c = 4 \text{ m} + 2 \times 1.37 \text{ m} \] \[ = 4 + 2.74 \] \[ = 6.74 \text{ m}

Étape 3 : Rayon hydraulique critique (\(R_{hc}\))

On utilise \(R_{hc} = A_c / P_c\).

R_{hc} = \frac{5.48 \text{ m²}}{6.74 \text{ m}} \approx 0.813 \text{ m}

Étape 4 : Calcul du terme de frottement (\(R_{hc}^{2/3}\))

R_{hc}^{2/3} = (0.813)^{2/3} \approx 0.871 \text{ m}^{2/3}

Étape 5 : Calcul de la pente critique (\(S_c\))

On insère toutes les valeurs (\(n=0.014\), \(Q=20\), \(A_c=5.48\), \(R_{hc}^{2/3}=0.871\)) dans la formule de Manning réarrangée.

\begin{aligned} S_c &= \left( \frac{n \cdot Q}{A_c \cdot R_{hc}^{2/3}} \right)^2 \\ &= \left( \frac{0.014 \times 20}{5.48 \times 0.871} \right)^2 \\ &= \left( \frac{0.28 \text{ (terme numérateur)}}{4.773 \text{ (terme dénominateur)}} \right)^2 \\ &= (0.05866...)^2 \\ \Rightarrow S_c &\approx 0.00344 \end{aligned}

Réflexions

La pente critique est \(S_c \approx 0.0034\) (ou 0.34%). C'est la pente "frontière". Toute pente de fond supérieure à celle-ci sera "forte" (torrentielle) pour ce débit, et toute pente inférieure sera "faible" (fluviale).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le terme final au carré ! La formule de Manning donne \(S^{1/2}\), donc il faut élever au carré pour trouver \(S\). De plus, attention à l'exposant 2/3 sur le rayon hydraulique.

Points à retenir

La pente critique \(S_c\) est la pente qui soutient un écoulement critique uniforme (\(y_n = y_c\)).
On la trouve en résolvant l'équation de Manning pour \(S_0\) avec \(y = y_c\).

Résultat Final

La pente critique est \(S_c \approx 0.00344 \text{ (m/m)}\).

A vous de jouer

Si un autre canal a \(y_c = 1 \text{ m}\) et \(b = 3 \text{ m}\), (\(n=0.014\), \(q \approx 3.13\), \(Q \approx 9.39\)). Que vaut \(S_c\) ? (Indice: \(A_c=3\), \(P_c=5\), \(R_c=0.6\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept : Pente critique \(S_c\) (où \(y_n = y_c\)).
Formule : Manning \(S_c = (nQ / (A_c R_{hc}^{2/3}))^2\).
Résultat : \(S_c \approx 0.00344\).

Question 4 : Classifier les pentes \(S_{0,1}\) et \(S_{0,2}\) et justifier la position de la hauteur critique

Principe

Maintenant que nous avons la pente critique \(S_c\), nous pouvons l'utiliser comme référence pour classifier les pentes réelles du canal, \(S_{0,1}\) (amont) et \(S_{0,2}\) (aval). Cette classification détermine le type de régime (fluvial ou torrentiel) qui s'établirait naturellement dans chaque section si elle était très longue.

Mini-Cours

Classification des Pentes :

Si \(S_0 < S_c\) : Pente Faible (Mild). La hauteur normale est \(y_n > y_c\). Le régime naturel est fluvial (\(Fr < 1\)).
Si \(S_0 > S_c\) : Pente Forte (Steep). La hauteur normale est \(y_n < y_c\). Le régime naturel est torrentiel (\(Fr > 1\)).
Si \(S_0 = S_c\) : Pente Critique (Critical). La hauteur normale est \(y_n = y_c\).

Formule(s)

Ce sont des comparaisons, pas des calculs.

\text{Comparer } S_{0,1} \text{ avec } S_c \\ \text{Comparer } S_{0,2} \text{ avec } S_c

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Q3 :

Paramètre	Symbole	Valeur
Pente amont	S0,1	0.001
Pente aval	S0,2	0.02
Pente critique	Sc	≈ 0.00344

Astuces

Attention aux zéros ! \(0.001\) est plus petit que \(0.00344\). Une erreur d'inattention peut inverser toute l'analyse.

Calcul(s)

Étape 1 : Classification Pente Amont (\(S_{0,1}\))

On compare la pente amont \(S_{0,1}\) à notre pente critique \(S_c\) calculée à la Q3.

S_{0,1} (0.001) < S_c (0.00344) \Rightarrow \text{Pente Faible (Régime Fluvial)}

Étape 2 : Classification Pente Aval (\(S_{0,2}\))

On fait de même pour la pente aval \(S_{0,2}\).

S_{0,2} (0.02) > S_c (0.00344) \Rightarrow \text{Pente Forte (Régime Torrentiel)}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma de l'énoncé illustre parfaitement cette conclusion. L'écoulement passe d'un régime fluvial (\(y_{n1} > y_c\)) à un régime torrentiel (\(y_{n2} < y_c\)).

Profil de l'écoulement (M2)

Réflexions

Justification de la position de \(y_c\) : L'écoulement amont est fluvial (\(Fr < 1\)), il est "contrôlé par l'aval". L'écoulement aval est torrentiel (\(Fr > 1\)), il est "contrôlé par l'amont". La rupture de pente est le seul endroit qui satisfait les deux conditions. L'écoulement fluvial "voit" la pente forte arriver et doit accélérer pour s'y adapter. Pour passer de fluvial (\(Fr < 1\)) à torrentiel (\(Fr > 1\)), il doit obligatoirement passer par \(Fr = 1\), c'est-à-dire par la hauteur critique \(y_c\). La rupture de pente agit donc comme un "point de contrôle" qui fixe la hauteur d'eau à \(y_c\).

Points à retenir

La classification des pentes se fait en comparant \(S_0\) à \(S_c\).
Une rupture de pente Faible vers Forte (fluvial vers torrentiel) crée un point de contrôle où \(y = y_c\).

Résultat Final

Pente amont \(S_{0,1}\) est Faible (fluviale). Pente aval \(S_{0,2}\) est Forte (torrentielle). L'écoulement passe par la hauteur critique (\(y_c\)) à la rupture de pente.

A vous de jouer

Si \(S_c\) était de 0.015, comment classifieriez-vous les deux pentes \(S_{0,1}=0.001\) et \(S_{0,2}=0.02\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept : Classification des pentes.
Comparaison 1 : \(S_{0,1} (0.001) < S_c (0.00344) \Rightarrow\) Pente Faible.
Comparaison 2 : \(S_{0,2} (0.02) > S_c (0.00344) \Rightarrow\) Pente Forte.
Conclusion : La hauteur critique \(y_c\) s'établit à la rupture.

Question 5 : Calculer la hauteur normale (\(y_{n1}\)) sur la pente amont

Principe

La hauteur normale, \(y_n\), est la hauteur d'eau constante qui s'établit dans un canal très long à pente et section constantes. À cette hauteur, les forces motrices (gravité, via la pente \(S_0\)) sont parfaitement équilibrées par les forces de frottement (via la rugosité \(n\)). On la calcule avec la formule de Manning-Strickler.

Mini-Cours

Nous cherchons \(y_{n1}\), la hauteur normale sur la section amont (pente \(S_{0,1}\)). Puisque cette pente est faible (fluviale, d'après Q4), nous savons d'avance que nous devons trouver une hauteur \(y_{n1} > y_c\).

Remarque Pédagogique

L'équation de Manning ne peut pas être résolue directement pour \(y\) (sauf pour des cas très simples). La hauteur \(y\) apparaît à la fois dans la surface \(A\) et dans le rayon hydraulique \(R_h\). On doit donc utiliser une méthode numérique ou, plus simplement, la méthode "d'essai-erreur".

Formule(s)

On repart de la formule de Manning, mais cette fois, on cherche \(y_n\) (que l'on note \(y\)) :

Q = \frac{1}{n} \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot S_{0,1}^{1/2}

On réarrange pour isoler le "terme géométrique" \(A \cdot R_h^{2/3}\) :

A \cdot R_h^{2/3} = \frac{Q \cdot n}{S_{0,1}^{1/2}}

Où \(A = 4y\) et \(R_h = \frac{4y}{4 + 2y}\).

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit total	Q	20	m3/s
Coeff. Manning	n	0.014	s/m1/3
Pente amont	S0,1	0.001	-

Astuces

Calculons d'abord le membre de droite (la "demande"). Ensuite, on teste des valeurs de \(y\) (l'"offre") jusqu'à ce que les deux côtés soient égaux. On sait que \(y_{n1} > y_c \text{ (1.37 m)}\), donc on peut commencer à tester des valeurs comme \(y=1.5 \text{ m}\) ou \(y=2 \text{ m}\).

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur la géométrie de la section normale (\(y = y_{n1} \approx 2.16 \text{ m}\)).

Section Normale Amont (An1, Pn1)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du membre de droite (Demande)

On substitue \(Q=20\), \(n=0.014\) et \(S_{0,1}=0.001\).

\frac{Q \cdot n}{S_{0,1}^{1/2}} = \frac{20 \times 0.014}{\sqrt{0.001}} = \frac{0.28}{0.03162...} \approx 8.854

Étape 2 : Itération (Essai-Erreur) pour trouver \(y\) tel que \(A \cdot R_h^{2/3} = 8.854\)

Nous devons trouver la hauteur \(y\) pour laquelle le "terme géométrique" (l'offre) \(A \cdot R_h^{2/3}\) est égal à notre "demande" de 8.854. Nous savons de la Q4 que le régime est fluvial, donc \(y\) doit être supérieur à \(y_c \text{ (1.37 m)}\). Commençons par essayer une valeur ronde, par exemple \(y = 2.0 \text{ m}\).

Test 1 : \(y = 2.0 \text{ m}\)

\begin{aligned} A &= 4 \times 2.0 = 8.0 \text{ m²} \end{aligned}

\begin{aligned} P &= 4 + 2 \times 2.0 = 8.0 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} R_h &= 8.0 / 8.0 = 1.0 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} A \cdot R_h^{2/3} &= 8.0 \times (1.0)^{2/3} \\ &= \mathbf{8.00} \end{aligned}

Notre résultat (8.00) est inférieur à notre cible (8.854). Cela signifie que notre section n'est pas "assez grande". Pour augmenter la valeur de \(A \cdot R_h^{2/3}\), nous devons augmenter la hauteur \(y\). Essayons \(y = 2.1 \text{ m}\).

Test 2 : \(y = 2.1 \text{ m}\)

\begin{aligned} A &= 4 \times 2.1 = 8.4 \text{ m²} \end{aligned}

\begin{aligned} P &= 4 + 2 \times 2.1 = 8.2 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} R_h &= 8.4 / 8.2 \approx 1.024 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} A \cdot R_h^{2/3} &= 8.4 \times (1.024)^{2/3} \\ &\approx 8.4 \times 1.016 \\ &\approx \mathbf{8.53} \end{aligned}

Notre résultat (8.53) est encore inférieur à 8.854, mais nous nous en rapprochons. Augmentons encore \(y\). Essayons \(y = 2.15 \text{ m}\).

Test 3 : \(y = 2.15 \text{ m}\)

\begin{aligned} A &= 4 \times 2.15 = 8.6 \text{ m²} \end{aligned}

\begin{aligned} P &= 4 + 2 \times 2.15 = 8.3 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} R_h &= 8.6 / 8.3 \approx 1.036 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} A \cdot R_h^{2/3} &= 8.6 \times (1.036)^{2/3} \\ &\approx 8.6 \times 1.024 \\ &\approx \mathbf{8.80} \end{aligned}

Nous sommes très proches ! Le résultat (8.80) est juste en dessous de 8.854. Il faut augmenter \(y\) d'un tout petit peu. Essayons \(y = 2.16 \text{ m}\).

Test 4 : \(y = 2.16 \text{ m}\)

\begin{aligned} A &= 4 \times 2.16 = 8.64 \text{ m²} \end{aligned}

\begin{aligned}P &= 4 + 2 \times 2.16 = 8.32 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned}R_h &= 8.64 / 8.32 \approx 1.038 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned}A \cdot R_h^{2/3} &= 8.64 \times (1.038)^{2/3} \\ &\approx 8.64 \times 1.025 \\ &\approx \mathbf{8.856} \end{aligned}

Ce résultat (8.856) est quasiment égal à notre cible (8.854). La petite différence est due aux arrondis. Nous pouvons conclure que la hauteur normale est \(y_{n1} \approx 2.16 \text{ m}\).

Réflexions

La hauteur normale en amont est \(y_{n1} \approx 2.16 \text{ m}\). Comme on l'avait prédit, \(y_{n1} \text{ (2.16 m)} > y_c \text{ (1.37 m)}\), ce qui confirme que la pente amont est bien "faible" et que le régime est fluvial.

Points de vigilance

L'itération manuelle peut être fastidieuse. L'important est d'être méthodique et de bien vérifier ses calculs de \(A\), \(P\), et \(R_h\) à chaque étape.

Points à retenir

Points clés de la Question 5 :

La hauteur normale \(y_n\) est la hauteur d'équilibre du régime uniforme (frottements = gravité).
On la trouve en résolvant l'équation de Manning, souvent par itération.

Le saviez-vous ?

Des logiciels (comme HEC-RAS) ou même des solveurs sur calculatrice ("chercher y tel que ... = 0") peuvent trouver \(y_n\) directement sans itération manuelle, ce qui évite les erreurs de calcul.

FAQ

Voici les questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La hauteur normale sur la pente amont est \(y_{n1} \approx 2.16 \text{ m}\).

A vous de jouer

Si la pente \(S_{0,1}\) était de 0.003 (presque critique), la hauteur \(y_{n1}\) serait-elle plus grande ou plus petite que 2.16m ? (Indice : plus la pente augmente, plus \(y_n\) se rapproche de \(y_c\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept : Hauteur normale \(y_n\) (équilibre frottement/gravité).
Formule : Manning, résolue par itération pour \(y\).
Objectif : Trouver \(y\) tel que \(A \cdot R_h^{2/3} = Qn / S_0^{1/2}\).
Résultat : \(y_{n1} \approx 2.16 \text{ m}\).

Outil Interactif : Simulateur de Hauteur Critique

Utilisez les curseurs pour voir comment la hauteur critique (\(y_c\)) et le débit linéique (\(q\)) sont affectés par le débit total (\(Q\)) et la largeur (\(b\)).

Paramètres d'Entrée

Débit total (Q) (m³/s) 20 m³/s

Largeur (b) (m) 4 m

Résultats Clés

Débit linéique (q) - m²/s

Hauteur critique (y_c) - m

Glossaire

Débit Linéique (q): Débit par unité de largeur, utilisé pour les canaux rectangulaires. q = Q / b. Unité : m2/s.
Hauteur Critique (yc): Profondeur d'eau unique pour un q donné où l'énergie spécifique est minimale et le nombre de Froude Fr = 1.
Hauteur Normale (yn): Profondeur d'eau constante en régime uniforme, où les forces de frottement (liées à n) équilibrent la gravité (liées à S0).
Pente Critique (Sc): Pente du fond du canal pour laquelle la hauteur normale est égale à la hauteur critique (yn = yc).
Régime Fluvial (Subcritique): Écoulement lent et profond, où Fr < 1 et y > yc. Les ondes peuvent remonter le courant (contrôle par l'aval).
Régime Torrentiel (Supercritique): Écoulement rapide et peu profond, où Fr > 1 et y < yc. Les ondes sont emportées par le courant (contrôle par l'amont).