ÉTUDE HYDRAULIQUE

Dimensionnement d’une Conduite d’Adduction d’Eau

Exercice : Dimensionnement d'une Conduite d'Adduction d'Eau

Dimensionnement d’une Conduite d’Adduction d’Eau Potable

Contexte : L'hydraulique en chargeÉtude des écoulements de liquides dans des conduites fermées, entièrement remplies, où le fluide est sous pression..

Un bureau d'études est mandaté pour concevoir une conduite d'adduction d'eau potable par gravité. L'objectif est d'acheminer l'eau depuis un réservoir de stockage vers un château d'eau desservant une nouvelle zone résidentielle. Votre mission est de déterminer un diamètre de conduite adéquat pour transporter le débit requis, tout en s'assurant que l'écoulement se fait correctement et en respectant les contraintes techniques. Ce type de calcul est fondamental en génie civil et en hydraulique urbaine.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une démarche d'ingénierie courante, appliquant les principes fondamentaux de la mécanique des fluides (équation de continuité, pertes de charge) à un cas pratique et concret. La maîtrise de ce processus est essentielle pour la conception de réseaux d'eau potable fiables et économiques.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer l'équation de continuité pour calculer la vitesse de l'eau.
  • Déterminer la nature de l'écoulement (laminaire, turbulent) via le nombre de Reynolds.
  • Calculer le coefficient de perte de charge linéaire avec la formule de Colebrook-White.
  • Valider le dimensionnement d'une conduite en comparant les pertes de charge à la charge motrice disponible.

Données de l'étude

On souhaite alimenter un château d'eau depuis une réserve située en amont. La liaison se fait par une unique conduite en fonte. L'installation est entièrement gravitaire (pas de pompe).

Schéma de l'installation d'adduction
Réservoir Château d'eau Z amont = 150 m Z aval = 125 m L = 2500 m → Q
Paramètre Description Valeur Unité
Q Débit d'exploitation requis 80 L/s
L Longueur de la conduite 2500 m
Zamont Altitude du plan d'eau dans le réservoir 150 m
Zaval Altitude du plan d'eau dans le château d'eau 125 m
k Rugosité de la conduite (fonte neuve) 0.1 mm
ν Viscosité cinématique de l'eau (à 10°C) 1.31 x 10⁻⁶ m²/s
g Accélération de la pesanteur 9.81 m/s²

Questions à traiter

  1. En partant sur un diamètre commercial pré-sélectionné de DN 400 (diamètre intérieur D = 400 mm), calculer la vitesse d'écoulement de l'eau dans la conduite.
  2. Calculer le nombre de Reynolds (Re) et en déduire la nature du régime d'écoulement.
  3. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire (λ) en utilisant la formule de Colebrook-White.
  4. Calculer la perte de charge linéaire totale (J) sur toute la longueur de la conduite.
  5. Comparer la perte de charge calculée à la charge motrice disponible et conclure sur la validité du diamètre de 400 mm.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, trois concepts clés de la mécanique des fluides sont nécessaires.

1. Équation de continuité
Pour un fluide incompressible, le débit volumique (Q) est constant. Il est le produit de la vitesse moyenne d'écoulement (V) par la section transversale de la conduite (S). \[ Q = V \cdot S \quad \text{avec} \quad S = \frac{\pi D^2}{4} \]

2. Pertes de charge linéaires
L'écoulement d'un fluide réel dans une conduite engendre une dissipation d'énergie due aux frottements. Cette perte d'énergie, appelée perte de charge (J), est calculée avec la formule de Darcy-Weisbach. \[ J = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \] Où λ est le coefficient de perte de charge, qui dépend du régime d'écoulement et de la rugosité de la conduite.

3. Formule de Colebrook-White
Pour les régimes turbulents (les plus courants en pratique), le coefficient λ est déterminé par la formule implicite de Colebrook-White, qui lie λ à la rugosité relative (k/D) et au nombre de Reynolds (Re). \[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{k}{3.7D} + \frac{2.51}{\text{Re}\sqrt{\lambda}} \right) \]

Correction : Dimensionnement d’une Conduite d’Adduction d’Eau Potable

Question 1 : Calcul de la vitesse d'écoulement

Principe (le concept physique)

On utilise l'équation de continuité, un principe fondamental de la conservation de la masse. Pour un fluide incompressible comme l'eau, le débit qui entre dans une section de tuyau doit être le même que celui qui en sort. Ce débit (volume par unité de temps) est directement lié à la vitesse du fluide et à la taille de la section du tuyau. Une vitesse "classique" pour ce type d'ouvrage se situe entre 0.5 et 2.0 m/s.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de continuité (\( Q = V \cdot S \)) stipule que pour un débit donné (Q), la vitesse (V) est inversement proportionnelle à la section (S). Si vous réduisez la section du tuyau (un diamètre plus petit), la vitesse doit augmenter pour que le même volume d'eau passe en une seconde, et vice-versa. C'est le même principe qui explique pourquoi l'eau sort plus vite d'un tuyau d'arrosage quand on en pince l'extrémité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape de tout calcul en hydraulique est presque toujours de s'assurer de la cohérence des unités. Le Système International (mètres, secondes, kilogrammes) est votre meilleur ami. Prenez l'habitude de convertir systématiquement toutes les données (Litres/seconde en m³/s, millimètres en mètres) avant de commencer le moindre calcul. C'est la source d'erreur la plus fréquente.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'existe pas de norme stricte imposant une vitesse unique. Cependant, les guides de conception et les règles de l'art recommandent généralement des vitesses d'écoulement dans les réseaux d'eau potable entre 0,5 m/s (pour éviter la sédimentation des particules) et 2,5 m/s (pour limiter l'érosion des parois et les pertes de charge excessives).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Section de la conduite

\[ S = \frac{\pi D^2}{4} \]

Vitesse d'écoulement

\[ V = \frac{Q}{S} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La conduite est supposée fonctionner en pleine section sur toute sa longueur.
  • La vitesse calculée est une vitesse moyenne ; le profil de vitesse réel n'est pas uniforme sur la section.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
DébitQ80L/s
Diamètre intérieurD400mm
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un calcul mental rapide, rappelez-vous que 100 L/s dans une conduite de 400 mm de diamètre donne une vitesse d'environ 0.8 m/s. Cela vous permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Section d'écoulement
VDQ entrantS
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du débit

\[ \begin{aligned} Q &= 80 \, \text{L/s} \\ &= 0.080 \, \text{m}^3\text{/s} \end{aligned} \]

Conversion du diamètre

\[ \begin{aligned} D &= 400 \, \text{mm} \\ &= 0.4 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul de la section (S)

\[ \begin{aligned} S &= \frac{\pi D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.4 \, \text{m})^2}{4} \\ &\approx 0.1257 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse (V)

\[ \begin{aligned} V &= \frac{Q}{S} \\ &= \frac{0.080 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.1257 \, \text{m}^2} \\ &\approx 0.636 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vitesse d'écoulement calculée
V ≈ 0.64 m/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vitesse obtenue (0.636 m/s) est dans la plage usuelle recommandée pour les conduites d'adduction, ce qui limite les risques d'érosion (vitesses trop élevées) et de sédimentation (vitesses trop faibles). Le diamètre pré-sélectionné semble donc pertinent à ce stade.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le diamètre au carré dans la formule de la section (\( S = \pi D^2 / 4 \)). Une autre erreur classique est de mal convertir les unités, notamment de diviser par 100 au lieu de 1000 pour passer des mm aux m.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Retenez que la vitesse est une conséquence directe du débit imposé et du diamètre choisi. C'est un paramètre de conception fondamental qui influence directement les pertes de charge et la durabilité de l'installation.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'ingénieur irlandais Robert Manning a développé à la fin du 19ème siècle une formule empirique (la formule de Manning-Strickler) qui est encore massivement utilisée aujourd'hui, mais principalement pour les écoulements à surface libre (canaux, rivières) plutôt que pour les conduites en charge.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la vitesse ne doit-elle pas être trop faible ?

Si la vitesse est trop basse (typiquement < 0.5 m/s), les particules en suspension dans l'eau (sable, etc.) peuvent se déposer au fond de la conduite, réduisant sa section utile et pouvant causer des problèmes de qualité d'eau.

Et si elle est trop élevée ?

Une vitesse excessive (> 3 m/s) peut provoquer une abrasion des parois internes de la conduite, des vibrations, des coups de bélier dangereux lors des manœuvres de vannes, et des pertes de charge très importantes, gaspillant de l'énergie.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse d'écoulement dans une conduite de 400 mm de diamètre est d'environ 0.64 m/s.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour le même projet, quel serait le diamètre intérieur (en mm) nécessaire pour obtenir une vitesse de précisément 1.0 m/s avec le même débit de 80 L/s ?

Question 2 : Nombre de Reynolds et régime d'écoulement

Principe (le concept physique)

Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension qui permet de prédire le comportement d'un écoulement. Il compare les forces d'inertie (qui tendent à créer un mouvement chaotique) aux forces visqueuses (qui tendent à amortir le mouvement et à le maintenir ordonné). Sa valeur nous indique si l'écoulement sera laminaire (lisse, en couches parallèles) ou turbulent (agité, avec des tourbillons).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un régime laminaire (\(Re < 2000\)) est un écoulement ordonné où les particules de fluide se déplacent en trajectoires lisses et parallèles. Un régime turbulent (\(Re > 4000\)) est chaotique, avec des fluctuations de vitesse et des tourbillons qui mélangent intensément le fluide. La zone entre 2000 et 4000 est dite "transitoire" ou "critique". En hydraulique appliquée, les écoulements sont presque toujours turbulents.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne vous laissez pas impressionner par le nom. Le calcul du nombre de Reynolds est direct. L'important est de comprendre sa signification : il est le "juge" qui décide du type d'écoulement, et donc des formules de pertes de charge que vous aurez le droit d'utiliser par la suite. C'est une étape de diagnostic indispensable.

Normes (la référence réglementaire)

Les seuils de 2000 et 4000 pour délimiter les régimes d'écoulement sont des valeurs conventionnelles universellement acceptées dans la littérature scientifique et les manuels d'ingénierie. Ils ne proviennent pas d'une norme au sens juridique, mais d'observations expérimentales historiques.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \text{Re} = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le fluide est Newtonien (sa viscosité ne dépend pas des contraintes). C'est le cas de l'eau.
  • La conduite est supposée de section circulaire et pleine.
  • La température de l'eau est constante, donc la viscosité cinématique (ν) est constante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
VitesseV0.636m/s
DiamètreD0.4m
Viscosité cinématiqueν1.31 x 10⁻⁶m²/s
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour l'eau à température ambiante dans des conduites de taille courante (D > 50 mm, V > 0.1 m/s), le nombre de Reynolds sera quasiment toujours supérieur à 4000. Vous pouvez presque parier que l'écoulement sera turbulent sans même faire le calcul, mais un ingénieur doit toujours vérifier !

Schéma (Avant les calculs)
Régimes d'écoulement
Régime Laminaire (Re < 2000)Régime Turbulent (Re > 4000)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du nombre de Reynolds (Re)

\[ \begin{aligned} \text{Re} &= \frac{V \cdot D}{\nu} \\ &= \frac{0.636 \, \text{m/s} \times 0.4 \, \text{m}}{1.31 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\text{/s}} \\ &\approx 194\,275 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Positionnement sur l'échelle de Reynolds
2000Laminaire4000TransitoireTurbulentRe ≈ 194 300
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le nombre de Reynolds est très supérieur à 4000, ce qui confirme que l'écoulement est en régime turbulent. Cela signifie que les forces d'inertie sont prédominantes et que les pertes de charge seront significatives, dépendant à la fois de la vitesse et de la rugosité de la conduite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la valeur de la viscosité cinématique. Elle dépend fortement de la température de l'eau. Utiliser une valeur pour de l'eau à 20°C alors qu'elle est à 5°C peut introduire une erreur non négligeable. Vérifiez toujours cette hypothèse dans un cas réel.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le nombre de Reynolds est le critère pour choisir la bonne formule de perte de charge.
  • \(\text{Re} = VD/\nu\)
  • Laminaire < 2000 < Transitoire < 4000 < Turbulent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'expérience originale d'Osborne Reynolds en 1883 pour visualiser la transition laminaire-turbulent était d'une simplicité géniale : il a injecté un mince filet d'encre dans un tube en verre où de l'eau s'écoulait. Il pouvait ainsi voir directement si le filet restait droit (laminaire) ou se mélangeait (turbulent).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la viscosité cinématique (ν) est-elle en m²/s ?

La viscosité cinématique est le rapport de la viscosité dynamique (qui mesure la résistance interne d'un fluide, en Pa.s) sur la masse volumique (en kg/m³). L'analyse dimensionnelle de ce rapport donne bien des m²/s. C'est une mesure de la rapidité avec laquelle le fluide diffuse la quantité de mouvement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le nombre de Reynolds est d'environ 194 300. L'écoulement est turbulent.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Supposons que l'on transporte du fioul, beaucoup plus visqueux (ν ≈ 20 x 10⁻⁶ m²/s). Dans les mêmes conditions (V=0.636 m/s, D=0.4 m), quel serait le nouveau nombre de Reynolds ?

Question 3 : Coefficient de perte de charge linéaire (λ)

Principe (le concept physique)

Le coefficient de perte de charge, noté λ (lambda), est un nombre sans dimension qui quantifie l'intensité des frottements du fluide sur la paroi de la conduite. Une valeur élevée de λ signifie de forts frottements et donc une grande perte d'énergie. En régime turbulent, ce coefficient dépend à la fois du nombre de Reynolds (l'agitation du fluide) et de la rugosité relative de la paroi (k/D).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme de Moody est une représentation graphique de la formule de Colebrook-White. Il permet de trouver λ en connaissant Re et la rugosité relative k/D. Il met en évidence plusieurs zones : le régime laminaire (où λ ne dépend que de Re), le régime turbulent lisse (où λ dépend aussi de Re) et le régime turbulent rugueux (où λ ne dépend plus que de k/D car les tourbillons sont si intenses que la sous-couche laminaire est "cassée" par les aspérités de la paroi).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La formule de Colebrook est "implicite" car λ apparaît des deux côtés. On ne peut pas l'isoler pour avoir "λ = ...". Ne perdez pas de temps à essayer ! En examen, on vous donnera souvent une formule approchée (comme Swamee-Jain) ou un abaque de Moody. Dans la pratique, les logiciels et tableurs le calculent par itérations successives.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de Colebrook-White est la référence dans de nombreuses normes et documents techniques internationaux pour le calcul des pertes de charge dans les conduites en charge, notamment dans la norme européenne EN 12845 pour les installations de sprinklers ou les fascicules techniques pour les réseaux d'eau potable.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{k}{3.7D} + \frac{2.51}{\text{Re}\sqrt{\lambda}} \right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La valeur de la rugosité (k) est supposée connue et uniforme sur toute la longueur. C'est une simplification importante, car k peut varier avec le temps (corrosion, dépôts).
  • L'écoulement est en régime turbulent, ce qui a été vérifié à la question précédente.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Rugositék0.1mm
DiamètreD400mm
Nombre de ReynoldsRe194 275-
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une estimation rapide sans itération, on peut utiliser des formules explicites approchées comme celle de Swamee-Jain, très précise : \[ \lambda = \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{k}{3.7D} + \frac{5.74}{\text{Re}^{0.9}} \right) \right]^2} \]

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Moody (simplifié)
Nombre de Reynolds, Re (échelle log)Coefficient de perte de charge, λλ=64/ReLaminaireTurbulent Lissek/D croissantTurbulent Rugueux
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion de la rugosité

\[ \begin{aligned} k &= 0.1 \, \text{mm} \\ &= 0.0001 \, \text{m} \end{aligned} \]

Application numérique de la formule de Colebrook

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{0.0001}{3.7 \times 0.4} + \frac{2.51}{194\,275 \sqrt{\lambda}} \right) \]

Résolution par itérations successives

On part d'une estimation initiale, par exemple \( \lambda_0 = 0.02 \). On injecte cette valeur à droite pour calculer une nouvelle valeur \( \lambda_1 \), et on répète le processus jusqu'à ce que la valeur se stabilise.

Itération 1

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0001}{1.48} + \frac{2.51}{194275\sqrt{0.02}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 6.75 \times 10^{-5} + 9.13 \times 10^{-5} \right) \\ &= 7.598 \\ \Rightarrow \lambda_1 &= \left(\frac{1}{7.598}\right)^2 \approx 0.0173 \end{aligned} \]

Itération 2

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( 6.75 \times 10^{-5} + \frac{2.51}{194275\sqrt{0.0173}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 6.75 \times 10^{-5} + 9.81 \times 10^{-5} \right) \\ &= 7.561 \\ \Rightarrow \lambda_2 &= \left(\frac{1}{7.561}\right)^2 \approx 0.0175 \end{aligned} \]

Itération 3

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &= -2 \log_{10} \left( 6.75 \times 10^{-5} + \frac{2.51}{194275\sqrt{0.0175}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 6.75 \times 10^{-5} + 9.76 \times 10^{-5} \right) \\ &= 7.564 \\ \Rightarrow \lambda_3 &= \left(\frac{1}{7.564}\right)^2 \approx 0.0175 \end{aligned} \]

La valeur a convergé. On adopte \( \lambda \approx 0.0175 \).

Schéma (Après les calculs)
Lecture sur le Diagramme de Moody
Nombre de Reynolds, ReCoefficient, λCourbe k/DRe ≈ 1.9e5λ ≈ 0.0175
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une valeur de λ de 0.0175 est typique pour une conduite en fonte de cette taille avec ce type d'écoulement. Si la conduite vieillit et s'entartre, k augmentera, ce qui fera augmenter λ et donc les pertes de charge pour un même débit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que la rugosité k et le diamètre D sont dans la même unité (mètres) avant de calculer le rapport k/D. De plus, vérifiez si votre calculatrice ou logiciel utilise le logarithme décimal (log₁₀) ou népérien (ln), car la formule change en conséquence.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

En régime turbulent, λ est la clé du calcul des pertes de charge. Sa détermination dépend du nombre de Reynolds (l'agitation) et de la rugosité relative (les obstacles de la paroi). La formule de Colebrook-White est la référence pour le trouver.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La formule de Colebrook est le résultat de l'ajustement d'une courbe sur des données expérimentales. Elle n'a pas de dérivation purement théorique. C'est un exemple parfait de formule "empirique" qui est devenue un standard de l'ingénierie grâce à sa précision et sa robustesse.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas toujours utiliser une formule approchée comme Swamee-Jain ?

Les formules approchées sont excellentes pour des calculs rapides ou pour initialiser un solveur. Cependant, la formule de Colebrook-White reste la référence sur laquelle ces approximations sont basées. Les logiciels de calcul hydraulique professionnels utilisent des solveurs numériques très rapides pour trouver la valeur exacte de λ selon Colebrook.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de perte de charge linéaire λ est d'environ 0.0175.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Utilisez la formule de Swamee-Jain donnée dans la section "Astuces" pour calculer une valeur approchée de λ. Comparez-la au résultat obtenu par itération.

Question 4 : Calcul de la perte de charge totale (J)

Principe (le concept physique)

La perte de charge linéaire (J) représente l'énergie "perdue" par le fluide à cause des frottements contre les parois de la conduite. Cette énergie n'est pas réellement perdue mais transformée en chaleur. On l'exprime en mètres de colonne de fluide (ici, en mètres de colonne d'eau), ce qui permet de la comparer directement à des hauteurs géométriques.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de Darcy-Weisbach montre que la perte de charge est proportionnelle à la longueur de la conduite (L), au coefficient de frottement (λ) et au carré de la vitesse (V²), mais inversement proportionnelle au diamètre (D). Doubler la vitesse quadruple donc les pertes de charge, ce qui montre l'importance de ce paramètre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez la perte de charge comme une "pente" de la ligne d'énergie. Si vous aviez des tubes piézométriques (mesurant la pression) tout le long de la conduite, vous verriez le niveau de l'eau baisser progressivement. La différence de hauteur totale entre le début et la fin serait égale à J.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de Darcy-Weisbach est universelle et n'est pas issue d'une norme spécifique, mais elle est la base de tous les calculs de pertes de charge linéaires recommandés par les normes techniques internationales en hydraulique.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ J = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • On ne considère que les pertes de charge linéaires. Les pertes singulières (entrée, sortie, coudes, vannes...) sont négligées dans cette question.
  • Le coefficient λ est constant sur toute la longueur, ce qui suppose une rugosité et un diamètre constants.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de perte de chargeλ0.0175-
LongueurL2500m
DiamètreD0.4m
VitesseV0.636m/s
Gravitég9.81m/s²
Astuces (Pour aller plus vite)

Le terme \(V^2/(2g)\) est appelé "hauteur dynamique". Il représente l'énergie cinétique du fluide. Calculez-le une seule fois, puis multipliez-le par le facteur \((\lambda L / D)\). Cela simplifie l'organisation du calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Perte de Charge
AmontAvalZ amontZ avalLigne de Charge (EGL)Ligne Piézométrique (HGL)V²/2gPressionJ
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la perte de charge (J)

\[ \begin{aligned} J &= \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \\ &= 0.0175 \times \frac{2500 \, \text{m}}{0.4 \, \text{m}} \times \frac{(0.636 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 109.375 \times \frac{0.4045}{19.62} \\ &\approx 2.25 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Chute de la Ligne d'Énergie
Niveau d'énergie Amont Niveau d'énergie Aval J = 2.25 m Perte d'énergie le long du tuyau
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une perte de 2.25 mètres sur 2.5 km est relativement faible. Cela indique que le diamètre choisi est confortable pour le débit demandé. Cette valeur est l' "énergie" qu'il faut "payer" pour transporter l'eau sur cette distance. Elle devra être inférieure à l'énergie potentielle fournie par la différence d'altitude.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas le carré sur la vitesse ! C'est une erreur fréquente. Comme la perte de charge dépend de V², une petite erreur sur la vitesse peut entraîner une grande erreur sur le résultat final. Vérifiez également que tous les termes de la formule sont bien en unités SI.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La formule de Darcy-Weisbach est l'outil central pour calculer l'énergie dissipée par frottement dans une conduite. Maîtrisez ses quatre composantes : le coefficient de frottement (λ), le rapport longueur/diamètre (L/D), la hauteur dynamique (\(V^2/2g\)) et la gravité (g).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Henry Darcy, un ingénieur français du 19ème siècle, a mené des expériences pionnières sur l'écoulement de l'eau à travers des filtres à sable pour l'alimentation en eau potable de la ville de Dijon. La formule qui porte aujourd'hui son nom (avec Weisbach) est une généralisation de ses travaux sur la résistance à l'écoulement.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce qu'une "perte de charge singulière" ?

C'est une perte d'énergie localisée, causée par une perturbation de l'écoulement : un coude, un élargissement, une vanne, une bifurcation... Elles s'ajoutent aux pertes linéaires pour donner la perte de charge totale d'un réseau.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La perte de charge linéaire totale sur la longueur de la conduite est de 2.25 mètres.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la conduite faisait 5 km au lieu de 2.5 km, quelle serait la nouvelle perte de charge J (en considérant tous les autres paramètres identiques) ?

Question 5 : Validation du diamètre

Principe (le concept physique)

Pour qu'un écoulement gravitaire fonctionne, il faut un "moteur". Ce moteur est l'énergie potentielle fournie par la différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée. Cette énergie disponible, appelée "charge motrice" ou "charge hydrostatique", doit être suffisamment grande pour vaincre toutes les résistances à l'écoulement, c'est-à-dire les pertes de charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de Bernoulli généralisée exprime ce bilan énergétique. Entre un point A (surface du réservoir amont) et un point B (surface du château d'eau aval), elle s'écrit : \(Z_{\text{A}} + \frac{P_{\text{A}}}{\rho g} + \frac{V_{\text{A}}^2}{2g} = Z_{\text{B}} + \frac{P_{\text{B}}}{\rho g} + \frac{V_{\text{B}}^2}{2g} + J_{\text{total}}\). Comme les surfaces sont à l'air libre (\(P_{\text{A}}=P_{\text{B}}=P_{\text{atm}}\)) et que les vitesses y sont quasi-nulles (\(V_{\text{A}} \approx V_{\text{B}} \approx 0\)), l'équation se simplifie en \(Z_{\text{A}} = Z_{\text{B}} + J_{\text{total}}\), ou encore \(J_{\text{total}} = Z_{\text{A}} - Z_{\text{B}} = \Delta Z\). La condition de fonctionnement est donc \(J_{\text{calculé}} \le \Delta Z\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le moment de vérité pour un ingénieur hydraulicien. Toutes les étapes précédentes convergent vers cette simple comparaison. C'est elle qui valide ou invalide un choix de conception. Si la condition n'est pas remplie, il faut revoir sa copie : augmenter le diamètre, réduire la longueur, ou envisager une pompe.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de conception de réseaux d'eau potable exigent non seulement que l'écoulement soit possible, mais aussi qu'une pression minimale de service soit garantie en tout point du réseau (par exemple, 1 bar au point le plus défavorisé). La validation finale devrait donc vérifier que la pression à l'arrivée, donnée par \((Z_{\text{amont}} - Z_{\text{aval}}) - J\), est supérieure à cette pression minimale requise.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge motrice disponible

\[ \Delta Z = Z_{\text{amont}} - Z_{\text{aval}} \]

Condition de validation

\[ J_{\text{calculée}} \le \Delta Z \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les altitudes des plans d'eau sont considérées comme constantes pour le débit de pointe.
  • Les pertes de charge singulières sont négligées. Si elles étaient incluses, \(J_{\text{total}} = J_{\text{linéaire}} + J_{\text{singulière}}\) devrait être comparé à \(\Delta Z\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Perte de charge calculéeJ2.25m
Altitude amont\(Z_{\text{amont}}\)150m
Altitude aval\(Z_{\text{aval}}\)125m
Astuces (Pour aller plus vite)

Dans une démarche d'optimisation, on chercherait le diamètre le plus petit (donc le moins cher) qui satisfait tout juste la condition \(J \approx \Delta Z\). Cependant, surdimensionner légèrement la conduite (avoir \(J < \Delta Z\)) offre une marge de sécurité pour l'avenir (augmentation de la population, vieillissement de la conduite).

Schéma (Avant les calculs)
Bilan Énergétique Conceptuel
Z amontZ avalRésistance (J)Moteur (ΔZ)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la charge motrice disponible (ΔZ)

\[ \begin{aligned} \Delta Z &= Z_{\text{amont}} - Z_{\text{aval}} \\ &= 150 \, \text{m} - 125 \, \text{m} \\ &= 25 \, \text{m} \end{aligned} \]

Vérification de la condition d'écoulement

\[ 2.25 \, \text{m} \le 25 \, \text{m} \quad (\text{Vérifié !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Énergie Disponible vs Consommée
Énergie DisponibleΔZ = 25 mÉnergie ConsomméeJ = 2.25 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La perte de charge (2.25 m) est très inférieure à la charge disponible (25 m). Cela signifie que non seulement l'écoulement est possible, mais qu'il arrivera au château d'eau avec une pression résiduelle importante (\(25 - 2.25 = 22.75\) m, soit environ 2.3 bars). Le diamètre de 400 mm est donc non seulement valide, mais il offre aussi une grande marge de sécurité pour pallier le vieillissement de la conduite ou une future augmentation du débit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Dans un cas réel, il faudrait aussi ajouter les pertes de charge singulières. Ici, étant donné la grande marge disponible (25 m >> 2.25 m), elles seraient probablement négligeables. Mais si la marge était faible (par ex. \(\Delta Z = 3\) m), oublier les pertes singulières pourrait conduire à un sous-dimensionnement et à une défaillance du système.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La validation d'un système gravitaire se résume à une simple comparaison : l'énergie disponible (charge motrice \(\Delta Z\)) doit être supérieure ou égale à l'énergie consommée (pertes de charge totales \(J_{\text{total}}\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les aqueducs romains, comme le Pont du Gard, sont des exemples magistraux d'ingénierie gravitaire. Les ingénieurs romains devaient calculer avec une précision remarquable la pente sur des dizaines de kilomètres (parfois seulement quelques centimètres par kilomètre) pour s'assurer que l'eau arrive à destination avec un débit suffisant, sans utiliser de pompes.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si \(J > \Delta Z\) ?

Si les pertes de charge calculées pour le débit souhaité sont supérieures à la charge motrice, alors ce débit ne pourra tout simplement pas être atteint. Le système s'auto-régulera à un débit d'équilibre plus faible, pour lequel la perte de charge sera exactement égale à \(\Delta Z\). L'objectif de conception ne sera donc pas rempli.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La condition \(J (2.25 \, \text{m}) < \Delta Z (25 \, \text{m})\) est largement vérifiée. Le diamètre DN 400 est donc validé pour cette adduction.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Supposons qu'un diamètre de 250 mm soit envisagé. La perte de charge pour ce diamètre est calculée à J = 31.5 m. Ce diamètre serait-il valide pour ce projet ?

Outil Interactif : Simulateur de Pertes de Charge

Utilisez cet outil pour voir comment le débit et le diamètre de la conduite influencent la vitesse de l'eau et les pertes de charge. Les autres paramètres (longueur, rugosité, etc.) sont ceux de l'exercice.

Paramètres d'Entrée
80 L/s
400 mm
Résultats Clés
Vitesse d'écoulement (m/s) -
Perte de charge linéaire (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle équation fondamentale lie le débit (Q), la vitesse (V) et la section (S) d'une conduite ?

2. Un nombre de Reynolds très élevé (supérieur à 100 000) indique un régime d'écoulement :

3. Si l'on augmente le diamètre d'une conduite tout en gardant le même débit, la perte de charge linéaire va :

4. La rugosité (k) d'une conduite a un impact direct sur :

5. Pour qu'un écoulement gravitaire soit possible, il faut impérativement que :

Perte de Charge (J)
Perte d'énergie (exprimée en mètres de colonne de fluide) subie par un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) et aux obstacles comme les coudes ou vannes (pertes singulières).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension utilisé en mécanique des fluides pour caractériser un régime d'écoulement. Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses.
Rugosité (k)
Paramètre qui caractérise les aspérités de la surface intérieure d'une conduite. Une rugosité élevée augmente les frottements et donc les pertes de charge.
Régime Turbulent
Type d'écoulement chaotique et désordonné, caractérisé par des tourbillons et un mélange intense du fluide. Il apparaît à des nombres de Reynolds élevés.
Exercice d'Hydraulique en Charge

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