ÉTUDE HYDRAULIQUE

Dimensionnement d’un Vérin

Exercice : Dimensionnement d'un Vérin Hydraulique

Dimensionnement d’un Vérin

Contexte : Le vérin hydrauliqueUn actionneur qui convertit l'énergie hydraulique (pression, débit) en énergie mécanique (force, vitesse)..

L'hydraulique de puissance, ou oléohydraulique, utilise l'huile sous pression pour transmettre de l'énergie et générer des forces ou des mouvements. Le vérin est l'actionneur le plus courant. Cet exercice consiste à dimensionner un vérin hydraulique (calculer son diamètre) capable de lever une charge de 15 tonnes, puis de déterminer le débit de la pompe nécessaire pour atteindre une vitesse de levage spécifique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à jongler avec les unités fondamentales de l'hydraulique (Pascals, bars, m², mm², L/min, m³/s) et à appliquer les lois de base pour déterminer la surface, le diamètre, la force et le débit.

Objectifs Pédagogiques

  • Convertir une masse (kg) en une force (N).
  • Calculer la surface d'un piston en fonction de la pression et de la force.
  • Convertir des unités de pression (bar en Pascal).
  • Déterminer un alésage (diamètre) à partir d'une surface.
  • Calculer un débit en fonction d'une vitesse et d'une surface.
  • Comprendre la différence de calcul entre la poussée et la traction.

Données de l'étude

On souhaite lever une charge à l'aide d'un vérin hydraulique "double effet". Le système est défini par les caractéristiques suivantes.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type d'actionneur Vérin hydraulique double effet
Fluide Huile hydraulique (incompressible)
Objectif Levage vertical d'une charge
Schéma de principe du vérin
D d P1 (Poussée) P2 (Traction) F (Force)
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Masse à lever \(m\) 15 000 kg
Pression de service \(P\) 200 bar
Vitesse de sortie (levage) \(v_{\text{sortie}}\) 0.1 m/s
Diamètre de la tige \(d\) 50 mm
Accélération de la pesanteur (simplifiée) \(g\) 10 m/s²

Questions à traiter

  1. Calculer la force de poussée \(F\) (en Newtons) nécessaire pour lever la charge (en ignorant les frottements).
  2. Déterminer la surface minimale \(S_{\text{piston}}\) (en m²) du piston requise pour développer cette force.
  3. Calculer l'alésage (diamètre \(D\) du piston) minimal (en mm) et l'arrondir au millimètre supérieur.
  4. Calculer le débit \(Q\) (en L/min) que la pompe doit fournir pour atteindre la vitesse de sortie de 0.1 m/s.
  5. Pour le vérin dimensionné (avec \(D\) = 98 mm), calculer la force de traction \(F_{\text{traction}}\) (en N) et la vitesse de rentrée \(v_{\text{rentrée}}\) (en m/s) en supposant le même débit \(Q\) et la même pression \(P\).

Les bases de l'Hydraulique de Puissance

Pour résoudre cet exercice, deux principes fondamentaux de l'oléohydraulique sont nécessaires.

1. Relation Force, Pression et Surface (Principe de Pascal)
La force (F) générée par un fluide sous pression (P) agissant sur une surface (S) est donnée par : \[ F = P \times S \] Avec les unités du Système International (SI) :

  • \(F\) : Force en Newtons (N)
  • \(P\) : Pression en Pascals (Pa), où \(1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2\)
  • \(S\) : Surface en mètres carrés (m²)

2. Relation Débit, Vitesse et Surface
Le débit volumique (Q) d'un fluide déplaçant un piston à une certaine vitesse (v) sur une surface (S) est : \[ Q = v \times S \] Avec les unités du Système International (SI) :

  • \(Q\) : Débit en mètres cubes par seconde (m³/s)
  • \(v\) : Vitesse en mètres par seconde (m/s)
  • \(S\) : Surface en mètres carrés (m²)

Correction : Dimensionnement d'un Vérin

Question 1 : Calculer la force de poussée \(F\) (en N)

Principe

La première étape est de convertir la masse à lever (en kg) en une force (en N). La force est le produit de la masse par l'accélération de la pesanteur (\(g\)). C'est cette force que le vérin devra vaincre pour lever la charge.

Mini-Cours

La relation fondamentale est le Principe Fondamental de la Dynamique (simplifié au poids) : \(Poids = Masse \times Accélération\). Ici, le Poids est la Force \(F\) que le vérin doit exercer.

Remarque Pédagogique

C'est une étape préliminaire indispensable. On ne peut pas calculer des pressions ou des surfaces directement avec des kilogrammes. L'ingénierie des fluides et des structures travaille avec des forces (Newtons).

Normes

Les calculs de charges pour les appareils de levage sont encadrés par des directives et normes strictes, telles que la Directive Machines 2006/42/CE en Europe, et des normes harmonisées comme l'EN 13155 (Appareils de levage à charge suspendue). Ces textes imposent l'application de coefficients de sécurité dynamiques et statiques pour tenir compte des effets d'accélération, des chocs et des incertitudes. Pour cet exercice, nous effectuons un calcul statique pur en ignorant ces coefficients majorateurs à des fins pédagogiques.

Formule(s)

Formule du Poids (Force)

\[ F = m \times g \]
Hypothèses

Pour ce calcul simple :

  • L'accélération de la pesanteur \(g\) est constante et vaut 10 m/s².
  • On néglige les frottements et toute résistance dynamique.
  • Le levage se fait à vitesse constante (pas d'accélération).
Donnée(s)

Les données pertinentes de l'énoncé pour cette question.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse\(m\)15 000kg
Pesanteur (simplifiée)\(g\)10m/s²
Astuces

Pour un calcul rapide, souvenez-vous que \(1 \text{ kg} \approx 10 \text{ N}\) (ou plus précisément 9.81 N). Donc 15 tonnes (15 000 kg) donneront environ 150 000 N.

Schéma (Avant les calculs)

Un simple diagramme de corps libre montre la charge \(m\) et la force \(F\) opposée requise par le vérin.

Diagramme de corps libre
Masse (m)Poids (m*g)Force (F)
Calcul(s)

C'est le cœur de la résolution. Nous allons maintenant appliquer les formules vues précédemment avec les données du problème. Chaque étape est détaillée pour que vous puissiez suivre le raisonnement pas à pas.

Étape 1 : Calcul de la force (F)

On part de la formule de base du poids :

\[ F = m \times g \]

On remplace les variables par les valeurs de l'énoncé :

\[ \begin{aligned} F &= 15000 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 \\ F &= 150000 \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une force unique, visualisée sur le diagramme de corps libre.

Résultat de la Force
Charge F = 150 000 N
Réflexions

Le vérin doit donc être capable de produire une force de poussée minimale de 150 000 Newtons (ou 150 kilonewtons, kN) pour commencer à lever la charge.

Points de vigilance

Ne pas confondre la masse (une quantité de matière, en kg) et la force ou le poids (une action mécanique, en N). On ne peut pas utiliser 15 000 kg directement dans les calculs de pression.

Points à retenir
  • La conversion Masse (kg) -> Force (N) est cruciale.
  • Formule : \(F = m \times g\).
Le saviez-vous ?

Prendre \(g = 10 \text{ m/s}^2\) est une simplification courante pour les calculs rapides. La valeur standard est plus proche de \(9.81 \text{ m/s}^2\), ce qui donnerait 147 150 N. Pour du dimensionnement, on majore souvent, donc 10 est une approximation acceptable.

FAQ

...

Pourquoi ne pas utiliser 9.81 m/s² ?

Nous utilisons 10 m/s² pour simplifier les calculs pédagogiques. En ingénierie réelle, on utilise la valeur précise, mais on ajoute aussi des coefficients de sécurité qui ont un impact bien plus grand que cette approximation.

Résultat Final
La force de poussée nécessaire est de 150 000 N.
A vous de jouer

Quelle serait la force nécessaire (en N) si la masse à lever était de 20 tonnes (20 000 kg) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

  • Concept Clé : Masse vs Force.
  • Formule : \(F = m \times g\).
  • Résultat : \(15000 \text{ kg} \rightarrow 150000 \text{ N}\).

Question 2 : Déterminer la surface minimale \(S_{\text{piston}}\) (en m²)

Principe

Maintenant que nous connaissons la force \(F\) requise et la pression \(P\) disponible dans le système, nous pouvons utiliser le principe de Pascal pour isoler et calculer la surface \(S\) du piston sur laquelle la pression doit s'appliquer.

Mini-Cours

Le principe de Pascal stipule que \(F = P \times S\). Pour trouver la surface nécessaire pour une force donnée à une pression donnée, on réarrange la formule en \(S = F / P\). C'est la relation la plus fondamentale de l'hydraulique statique.

Remarque Pédagogique

Cette étape détermine la taille fondamentale de notre vérin. Une pression plus élevée permettrait une surface plus petite (un vérin plus fin) pour la même force, et vice-versa.

Normes

Le dimensionnement des vérins hydrauliques est standardisé pour garantir l'interchangeabilité et la sécurité. Les normes ISO 6020 et ISO 6022, par exemple, définissent les dimensions de montage et les pressions nominales (typiquement 160 bar, 250 bar). La pression de service de 200 bar choisie ici est une valeur courante pour les applications mobiles, relevant de la norme ISO 3322 (Classes de pression). Le calcul de la surface doit se baser sur la Pression Nominale (PN) maximale admissible par le composant.

Formule(s)

Formule de la Surface (issue de Pascal)

\[ S_{\text{piston}} = \frac{F}{P} \]
Hypothèses

...

  • La pression de 200 bar est constante et appliquée sur toute la surface du piston.
  • On néglige la contre-pression dans la chambre opposée.
Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et les données de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Force (de Q1)\(F\)150 000N
Pression\(P\)200bar
Astuces

Pour éviter les erreurs, convertissez *toujours* toutes les unités en unités SI (N, Pa, m²) *avant* de faire le calcul final. \(1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}\) est la conversion à retenir.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre la pression \(P\) agissant sur la surface \(S_{\text{piston}}\) pour générer la force \(F\).

Pression sur Piston
SFP
Calcul(s)

C'est le cœur de la résolution. Nous allons maintenant appliquer les formules vues précédemment avec les données du problème. Chaque étape est détaillée pour que vous puissiez suivre le raisonnement pas à pas.

Étape 1 : Conversion de la Pression (P)

La pression doit être en Pascals (Pa) pour être cohérente avec les Newtons (N) et les mètres (m). On sait que \(1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}\).

\[ \begin{aligned} P &= 200 \text{ bar} \\ P &= 200 \times 10^5 \text{ Pa} \\ P &= 20 000 000 \text{ Pa (ou N/m}^2\text{)} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la Surface (\(S_{\text{piston}}\))

On part de la formule de Pascal \(F = P \times S\), que l'on réarrange pour isoler S :

\[ S_{\text{piston}} = \frac{F}{P} \]

On remplace F (de la Q1) et P (convertie ci-dessus) :

\[ \begin{aligned} S_{\text{piston}} &= \frac{150000 \text{ N}}{20 000 000 \text{ N/m}^2} \\ S_{\text{piston}} &= 0.0075 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La surface calculée est une aire géométrique.

Surface Piston Requise
S = 0.0075 m² (7500 mm²)
Réflexions

La surface requise est de 0.0075 m². C'est une petite surface (environ 8cm x 9cm) qui peut lever 15 tonnes, ce qui illustre bien la "puissance" de l'hydraulique (démultiplication d'effort grâce à la haute pression).

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente ! On ne peut pas diviser des Newtons (N) par des barsUnité de pression courante. 1 bar = 100 000 Pascals (Pa) ou 10^5 Pa.. Il est impératif de convertir la pression en Pascals (Pa)Unité SI de la pression. 1 Pa = 1 N/m²., qui est l'unité SI (N/m²).

Points à retenir
  • La conversion \(1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}\) est fondamentale.
  • La formule \(S = F / P\) est la clé du dimensionnement.
Le saviez-vous ?

200 bar est une pression de service très courante dans l'hydraulique mobile (engins de chantier). Les systèmes industriels stationnaires fonctionnent souvent à des pressions plus élevées (300-400 bar), et les systèmes ultra-haute pression (découpe jet d'eau) peuvent dépasser 4000 bar !

FAQ

...

Et si j'avais utilisé des mm² ?

Vous le pouvez, mais c'est plus complexe. Il faudrait convertir \(P\) en N/mm² (\(1 \text{ bar} = 0.1 \text{ MPa} = 0.1 \text{ N/mm}^2\)). Donc \(P = 200 \text{ bar} = 20 \text{ N/mm}^2\). \(S = 150000 \text{ N} / (20 \text{ N/mm}^2) = 7500 \text{ mm}^2\). On retrouve bien \(0.0075 \text{ m}^2\), car \(1 \text{ m}^2 = 1 000 000 \text{ mm}^2\).

Résultat Final
La surface minimale requise pour le piston est de 0.0075 m².
A vous de jouer

Quelle serait la surface (en m²) si la pression était de 250 bar (avec F = 150 000 N) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

  • Concept Clé : Pression en Pascals.
  • Formule : \(S = F / P\).
  • Vigilance : \(1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}\).

Question 3 : Calculer l'alésage \(D\) (en mm)

Principe

L'alésage (D)Le diamètre intérieur du cylindre, qui correspond au diamètre du piston. est le diamètre intérieur du cylindre, qui correspond au diamètre du piston. Puisque le piston est circulaire, sa surface \(S_{\text{piston}}\) est liée à son diamètre \(D\) par la formule de l'aire d'un disque. Nous allons isoler \(D\) de cette formule.

Mini-Cours

La surface \(S\) d'un disque de diamètre \(D\) est \(S = \pi \times R^2\), où \(R\) est le rayon (\(R = D/2\)). En remplaçant \(R\), on obtient \(S = \pi \times (D/2)^2 = (\pi \times D^2) / 4\). Pour trouver \(D\), on inverse la formule : \(4 \times S = \pi \times D^2 \Rightarrow D^2 = (4 \times S) / \pi \Rightarrow D = \sqrt{(4 \times S) / \pi}\).

Remarque Pédagogique

C'est une simple application géométrique. Le passage de la surface (concept hydraulique) au diamètre (dimension mécanique réelle) est indispensable pour commander le bon composant.

Normes

Les diamètres d'alésage des vérins sont normalisés pour des raisons de production et de maintenance. La norme ISO 3320 spécifie les séries de diamètres d'alésage et de tiges recommandés. Après avoir calculé un alésage théorique (ex: 97.72 mm), la procédure d'ingénierie standard consiste à sélectionner le diamètre normalisé immédiatement supérieur (ex: 100 mm) pour garantir que la force requise sera atteinte, en respectant la pression maximale de service (PMS) du composant.

Formule(s)

Formule de l'aire d'un disque

\[ S_{\text{piston}} = \frac{\pi \times D^2}{4} \]

Formule du diamètre (isolé)

\[ D = \sqrt{\frac{4 \times S_{\text{piston}}}{\pi}} \]
Hypothèses

...

  • Le piston est parfaitement circulaire.
Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q2.

ParamètreSymboleValeurUnité
Surface Piston (de Q2)\(S_{\text{piston}}\)0.0075m²
Astuces

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode Radian pour \(\pi\). Si \(S\) est en m², \(D\) sortira en m. Multipliez par 1000 pour obtenir des mm.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre la relation entre le diamètre D et la surface S.

Surface du Piston
D (Alésage)S = (\(\pi\)*D²)/4
Calcul(s)

C'est le cœur de la résolution. Nous allons maintenant appliquer les formules vues précédemment avec les données du problème. Chaque étape est détaillée pour que vous puissiez suivre le raisonnement pas à pas.

Étape 1 : Calcul du diamètre \(D\) en mètres

On part de la formule de l'aire du disque : \(S_{\text{piston}} = \frac{\pi \times D^2}{4}\). On doit isoler D.

1. Multiplier par 4 :

\[4 \times S_{\text{piston}} = \pi \times D^2\]

2. Diviser par \(\pi\) :

\[\frac{4 \times S_{\text{piston}}}{\pi} = D^2\]

3. Prendre la racine carrée :

\[D = \sqrt{\frac{4 \times S_{\text{piston}}}{\pi}}\]

On remplace S (de la Q2) :

\[ \begin{aligned} D &= \sqrt{\frac{4 \times 0.0075 \text{ m}^2}{\pi}} \\ &= \sqrt{\frac{0.03}{\pi}} \\ &\approx \sqrt{0.009549} \\ D &\approx 0.09772 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Conversion en millimètres (mm)

On sait que \(1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}\).

\[ D = 0.09772 \text{ m} \times 1000 = 97.72 \text{ mm} \]

Étape 3 : Arrondi au mm supérieur

On doit choisir un diamètre *au moins* égal à 97.72 mm.

\[ D_{\text{choisi}} = 98 \text{ mm} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une dimension physique : le diamètre du piston.

Dimension de l'Alésage
D \(\approx\) 98 mm
Réflexions

Nous avons besoin d'un vérin avec un alésage (diamètre interne) d'au moins 97.72 mm. Les vérins standards sont normalisés (ex: 80, 100, 125 mm). On choisirait donc un vérin standard de 100 mm. Pour l'exercice, nous gardons 98 mm pour la suite des calculs (Q5).

Points de vigilance

Ne pas oublier la racine carrée ! Une erreur fréquente est de s'arrêter à \(D^2\). Vérifiez aussi que vous divisez bien par \(\pi\) et non l'inverse.

Points à retenir
  • La formule de l'aire du disque est \(S = (\pi \times D^2) / 4\).
  • La formule inverse est \(D = \sqrt{(4 \times S) / \pi}\).
Le saviez-vous ?

Le terme "Alésage" (Bore en anglais) vient de l'opération d'usinage (alésage) qui consiste à agrandir et calibrer parfaitement l'intérieur d'un cylindre. C'est une des surfaces les plus critiques d'un moteur ou d'un vérin.

FAQ

...

Pourquoi arrondir au supérieur ?

Si nous arrondissions à 97 mm, la surface serait \((\pi \times 97^2)/4 \approx 7389 \text{ mm}^2\), ce qui est inférieur aux 7500 mm² requis. Le vérin ne pourrait pas lever la charge. On prend toujours la taille supérieure pour garantir la performance.

Résultat Final
L'alésage minimal requis est de 97.72 mm, arrondi à 98 mm.
A vous de jouer

Quel serait l'alésage (en mm, arrondi au supérieur) si la surface requise était de 0.01 m² ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

  • Concept Clé : Aire du disque.
  • Formule : \(D = \sqrt{(4 \times S) / \pi}\).
  • Conversion : \(1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}\).

Question 4 : Calculer le débit \(Q\) (en L/min)

Principe

Le débit (Q)Le volume de fluide (ex: huile) qui traverse une section par unité de temps. Mesuré en m³/s ou L/min. est le "carburant" du vérin. C'est le volume d'huile que la pompe doit envoyer chaque seconde pour que le piston se déplace à la vitesse souhaitée. Nous utilisons la surface de piston calculée (0.0075 m²) et la vitesse donnée.

Mini-Cours

La relation \(Q = v \times S\) est fondamentale. Imaginez la surface \(S\) qui se déplace d'une distance \(L\). Le volume balayé est \(V = S \times L\). Le débit \(Q\) est le volume par unité de temps : \(Q = V / t = (S \times L) / t\). Puisque la vitesse \(v = L / t\), on retrouve bien \(Q = S \times v\).

Remarque Pédagogique

Cette étape lie la "statique" (Force, Pression) à la "cinématique" (Vitesse, Débit). Le débit de la pompe détermine la vitesse du vérin. La pression de la pompe détermine la force du vérin.

Normes

Le débit calculé (45 L/min) est un débit théorique. En pratique, le choix de la pompe (à engrenages, à palettes, à pistons) dépend de sa cylindrée (cm³/tr) et de la vitesse de rotation du moteur d'entraînement (ex: 1500 tr/min). Le débit réel fourni sera légèrement inférieur au débit théorique en raison du rendement volumétrique (\(\eta_v\)) de la pompe, une caractéristique normalisée et testée (par ex. selon ISO 4409).

Formule(s)

Formule du Débit

\[ Q = v_{\text{sortie}} \times S_{\text{piston}} \]
Hypothèses

...

  • La vitesse de sortie est constante.
  • L'huile est incompressible.
  • Il n'y a pas de fuites internes dans le vérin.
Donnée(s)

Données de l'énoncé et résultat de Q2.

ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse de sortie\(v_{\text{sortie}}\)0.1m/s
Surface Piston (de Q2)\(S_{\text{piston}}\)0.0075m²
Astuces

La conversion m³/s vers L/min est la 2ème source d'erreur majeure. Retenez : \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}\) et \(1 \text{ min} = 60 \text{ s}\). Donc \(1 \text{ m}^3/\text{s} = 1000 \times 60 \text{ L/min} = 60 000 \text{ L/min}\). Il suffit de multiplier le résultat en m³/s par 60 000.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre le volume d'huile (en bleu) poussé par la pompe (Q) pour déplacer le piston (S) à une vitesse (v).

Débit et Vitesse
Sv (vitesse)Débit QVolume
Calcul(s)

C'est le cœur de la résolution. Nous allons maintenant appliquer les formules vues précédemment avec les données du problème. Chaque étape est détaillée pour que vous puissiez suivre le raisonnement pas à pas.

Étape 1 : Calcul du débit \(Q\) en m³/s (Unités SI)

On part de la formule de base du débit :

\[ Q = v_{\text{sortie}} \times S_{\text{piston}} \]

On remplace S (de la Q2) et v (de l'énoncé) :

\[ \begin{aligned} Q &= 0.1 \text{ m/s} \times 0.0075 \text{ m}^2 \\ Q &= 0.00075 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Étape 2 : Conversion en Litres par minute (L/min)

L'industrie utilise le L/min. On sait que \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}\) et \(1 \text{ min} = 60 \text{ s}\).

\[Q \left[ \frac{\text{L}}{\text{min}} \right] = Q \left[ \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \right] \times \frac{1000 \text{ L}}{1 \text{ m}^3} \times \frac{60 \text{ s}}{1 \text{ min}}\]

Le facteur de conversion est donc \(1000 \times 60 = 60000\).

\[ \begin{aligned} Q_{\text{L/min}} &= Q_{\text{m}^3/\text{s}} \times 60000 \\ &= 0.00075 \times 60000 \\ Q_{\text{L/min}} &= 45 \text{ L/min} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est un débit, un volume de fluide en mouvement.

Débit Pompe Requis
P Q = 45 L/min
Réflexions

Une pompe capable de fournir 45 L/min est nécessaire. Si on choisissait une pompe plus petite (ex: 30 L/min), le vérin lèverait la charge, mais plus lentement. Si on prenait une pompe plus grosse (ex: 60 L/min), il irait plus vite.

Points de vigilance

Le calcul \(v \times S\) donne un débit en m³/s. L'industrie hydraulique utilise presque exclusivement le Litre par minute (L/min). La conversion est essentielle !
Rappel : \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ Litres}\) et \(1 \text{ minute} = 60 \text{ secondes}\).
Pour convertir des m³/s en L/min, on multiplie par \(1000 \times 60 = 60000\).

Points à retenir
  • La formule \(Q = v \times S\) lie débit et vitesse.
  • Le facteur de conversion \(60 000\) est crucial entre m³/s et L/min.
Le saviez-vous ?

La puissance hydraulique (en Watts) fournie par la pompe est calculée par \(Puissance = Pression \times Débit\). Ici, \(P = 20 \times 10^6 \text{ Pa}\) et \(Q = 0.00075 \text{ m}^3/\text{s}\). La puissance est donc \(P \times Q = 15 000 \text{ Watts}\), soit 15 kW (environ 20 chevaux). C'est la puissance que le moteur (électrique ou diesel) doit fournir à la pompe.

FAQ

...

Que se passe-t-il si le débit est plus grand ?

Si la pompe fournit plus de débit (ex: 50 L/min), la vitesse augmentera proportionnellement : \(v = Q / S = (50 / 60000) / 0.0075 \approx 0.111 \text{ m/s}\).

Résultat Final
La pompe doit fournir un débit de 45 L/min.
A vous de jouer

Quel serait le débit (en L/min) si la vitesse désirée était de 0.15 m/s (avec S = 0.0075 m²) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

  • Concept Clé : Débit et Vitesse.
  • Formule : \(Q = v \times S\).
  • Conversion : \(\times 60000\) pour passer de m³/s à L/min.

Question 5 : Calculer la force \(F_{\text{traction}}\) et la vitesse \(v_{\text{rentrée}}\)

Principe

En "traction" (rentrée de tige), la pression \(P\) ne s'applique plus sur toute la surface du piston, mais sur la surface annulaireLa surface en forme d'anneau entre le piston (Alésage D) et la tige (d). C'est la surface S_piston moins S_tige.. Cette surface est plus petite car la tige "bloque" le centre. Une surface plus petite implique une force plus faible, mais (pour un même débit) une vitesse plus élevée.

Mini-Cours

Pour un vérin double effet :
1. Poussée (Sortie) : La pression agit sur \(S_{\text{piston}} = (\pi \times D^2) / 4\).
2. Traction (Rentrée) : La pression agit sur \(S_{\text{annulaire}} = S_{\text{piston}} - S_{\text{tige}}\).
La surface de la tige est \(S_{\text{tige}} = (\pi \times d^2) / 4\).
Donc, \(S_{\text{annulaire}} = (\pi \times D^2) / 4 - (\pi \times d^2) / 4 = (\pi \times (D^2 - d^2)) / 4\).

Remarque Pédagogique

C'est un point clé des vérins double effet. La présence de la tige crée une asymétrie. Le vérin est moins fort en traction, mais plus rapide (pour un même débit pompe).

Normes

La conception asymétrique des vérins double effet est une caractéristique fondamentale. Le rapport de section (\(\Phi\)), défini comme le rapport \(S_{\text{piston}} / S_{\text{annulaire}}\), est un paramètre de conception clé. Un rapport de 2:1 (\(\Phi=2\)) est courant pour un compromis équilibré. Les normes, comme l'ISO 3320, fournissent des combinaisons préférentielles de diamètres d'alésage (D) et de tige (d) qui guident l'ingénieur dans ce choix de conception.

Formule(s)

Surface annulaire

\[ S_{\text{annulaire}} = \frac{\pi \times (D^2 - d^2)}{4} \]

Force de traction

\[ F_{\text{traction}} = P \times S_{\text{annulaire}} \]

Vitesse de rentrée

\[ v_{\text{rentrée}} = \frac{Q}{S_{\text{annulaire}}} \]
Hypothèses

...

  • La pression \(P\) est la même en traction qu'en poussée (200 bar).
  • Le débit \(Q\) de la pompe est constant (45 L/min).
  • On utilise \(D = 98 \text{ mm}\) (arrondi de Q3) et \(d = 50 \text{ mm}\).
Donnée(s)

Données de l'énoncé et résultats précédents.

ParamètreSymboleValeurUnité
Alésage (Q3)\(D\)98 mm(0.098 m)
Tige\(d\)50 mm(0.050 m)
Pression\(P\)200 bar(\(20 \times 10^6\) Pa)
Débit (Q4)\(Q\)45 L/min(0.00075 m³/s)
Astuces

Convertissez \(D\) et \(d\) en mètres *avant* de calculer les surfaces. Cela évite les erreurs de conversion mm² -> m².

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre la pression \(P\) agissant sur la surface annulaire (en vert).

Surface Annulaire (Traction)
Tige (d)S Annulaire
Calcul(s)

C'est le cœur de la résolution. Nous allons maintenant appliquer les formules vues précédemment avec les données du problème. Chaque étape est détaillée pour que vous puissiez suivre le raisonnement pas à pas.

Étape 1 : Calcul de la surface annulaire (\(S_{\text{annulaire}}\))

On part de la formule : \(S_{\text{annulaire}} = S_{\text{piston}} - S_{\text{tige}}\), ce qui équivaut à :

\[ S_{\text{annulaire}} = \frac{\pi \times D^2}{4} - \frac{\pi \times d^2}{4} = \frac{\pi \times (D^2 - d^2)}{4} \]

On convertit d'abord les diamètres en mètres :
\(D = 98 \text{ mm} = 0.098 \text{ m}\)
\(d = 50 \text{ mm} = 0.050 \text{ m}\)

On remplace les valeurs dans la formule :

\[ \begin{aligned} S_{\text{annulaire}} &= \frac{\pi \times ( (0.098 \text{ m})^2 - (0.050 \text{ m})^2 )}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.009604 - 0.0025)}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.007104}{4} \\ S_{\text{annulaire}} &\approx 0.00558 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la force de traction (\(F_{\text{traction}}\))

On utilise la formule de Pascal avec la nouvelle surface :

\[ F_{\text{traction}} = P \times S_{\text{annulaire}} \]

On remplace P (convertie en Q2) et S_annulaire :

\[ \begin{aligned} F_{\text{traction}} &= (20 000 000 \text{ N/m}^2) \times 0.00558 \text{ m}^2 \\ F_{\text{traction}} &= 111600 \text{ N} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de la vitesse de rentrée (\(v_{\text{rentrée}}\))

On part de la formule du débit \(Q = v \times S\), que l'on réarrange pour isoler v :

\[ v_{\text{rentrée}} = \frac{Q}{S_{\text{annulaire}}} \]

On remplace Q (en m³/s de Q4) et S_annulaire :

\[ \begin{aligned} v_{\text{rentrée}} &= \frac{0.00075 \text{ m}^3/\text{s}}{0.00558 \text{ m}^2} \\ v_{\text{rentrée}} &\approx 0.134 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce schéma résume l'asymétrie du vérin double effet.

Bilan Poussée vs Traction
POUSSÉE (Sortie) Force : 150 000 N Vitesse : 0.100 m/s TRACTION (Rentrée) Force : 111 600 N Vitesse : 0.134 m/s
Réflexions

Comme attendu :
1. La force de traction (111 600 N) est inférieure à la force de poussée (150 000 N).
2. La vitesse de rentrée (0.134 m/s) est supérieure à la vitesse de sortie (0.1 m/s).

Points de vigilance

Attention à bien utiliser le débit \(Q\) en m³/s (0.00075) pour le calcul de la vitesse, et non 45 L/min. Cohérence des unités !

Points à retenir
  • La force de traction utilise la surface annulaire.
  • La vitesse de rentrée utilise aussi la surface annulaire.
Le saviez-vous ?

Certains systèmes (comme les pelles hydrauliques) utilisent la "régénération" : l'huile chassée de la chambre piston est redirigée vers la chambre annulaire. Cela augmente énormément la vitesse de rentrée, mais réduit la force. C'est utile pour les mouvements rapides à vide.

FAQ

...

Pourquoi la vitesse est-elle plus rapide ?

Imaginez remplir deux bouteilles avec le même jet d'eau (débit Q). Une bouteille est large (S_piston) et l'autre est fine (S_annulaire). Le niveau d'eau (vitesse) montera beaucoup plus vite dans la bouteille fine.

Résultat Final
Force de traction \(\approx\) 111 600 N.
Vitesse de rentrée \(\approx\) 0.134 m/s.
A vous de jouer

Juste pour vérifier : quelle est la valeur de la surface annulaire \(S_{\text{annulaire}}\) (en m²) que nous venons de calculer ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

  • Concept Clé : La tige réduit la surface en traction.
  • Formule : \(S_{\text{annulaire}} = \pi/4 \times (D^2 - d^2)\).
  • Conséquence : \(F_{\text{traction}} < F_{\text{poussée}}\) et \(v_{\text{rentrée}} > v_{\text{sortie}}\).

Outil Interactif : Simulateur de Vérin

Utilisez les curseurs pour voir comment la pression et l'alésage influencent la force de poussée et le débit requis (pour une vitesse fixe de 0.1 m/s).

Paramètres d'Entrée
200 bar
98 mm
Résultats Clés
Force de Poussée (kN) -
Débit pour 0.1 m/s (L/min) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La formule \(F = P \times S\) est dérivée de :

2. Qu'est-ce que "l'alésage" d'un vérin ?

3. Si la pression \(P\) double (et que la surface \(S\) reste identique), la force \(F\) :

4. Pour un vérin double effet, la vitesse de rentrée (traction) est généralement :

5. L'unité SI (Système International) de la pression est :

Glossaire

Alésage (D)
Le diamètre intérieur du cylindre, qui correspond au diamètre du piston. C'est la surface principale pour la poussée.
Bar
Unité de pression couramment utilisée en hydraulique. \(1 \text{ bar} = 100 000 \text{ Pa} = 10^5 \text{ Pa}\).
Débit (Q)
Le volume de fluide (huile) qui traverse une section par unité de temps. Typiquement mesuré en m³/s ou, plus couramment, en Litres par minute (L/min).
Pascal (Pa)
L'unité de pression du Système International (SI). \(1 \text{ Pascal} = 1 \text{ Newton par mètre carré (N/m}^2\text{)}\).
Surface Annulaire
La surface du piston côté tige. C'est la surface totale du piston moins la surface de la tige. \(S_{\text{annulaire}} = S_{\text{piston}} - S_{\text{tige}}\).
Vérin hydraulique
Un actionneur mécanique qui convertit l'énergie d'un fluide sous pression (énergie hydraulique) en une force et un déplacement linéaire (énergie mécanique).
Exercice : Dimensionnement d'un Vérin Hydraulique

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