ÉTUDE HYDRAULIQUE

Dimensionnement d’un réservoir anti-bélier

Exercice : Dimensionnement d’un Réservoir Anti-Bélier

Dimensionnement d’un Réservoir d'Équilibre Anti-Bélier

Contexte : Le phénomène de Coup de BélierOnde de surpression (ou dépression) apparaissant suite à une variation brusque de la vitesse d'un fluide dans une conduite..

Dans les installations hydrauliques en charge, comme les aménagements hydroélectriques, l'arrêt rapide d'une turbine ou la fermeture d'une vanne provoque une variation brutale du débit. Cette inertie de la masse d'eau en mouvement se transforme en une onde de surpression, le coup de bélier, qui se propage à grande vitesse dans la conduite et peut causer des dommages importants. Pour protéger l'installation, on utilise un organe de protection appelé réservoir d'équilibre ou cheminée d'équilibre. Cet exercice a pour but de dimensionner un tel réservoir pour une conduite forcée.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre et d'appliquer les principes fondamentaux de l'hydraulique en charge pour la protection des réseaux. Le dimensionnement correct d'un réservoir anti-bélier est une compétence cruciale pour tout ingénieur hydraulicien travaillant sur des projets de grande envergure.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre l'origine et les conséquences du phénomène de coup de bélier.
  • Calculer les paramètres hydrauliques clés d'une conduite en charge (vitesse, pertes de charge).
  • Appliquer la condition de stabilité de Thoma pour déterminer la section minimale du réservoir.
  • Calculer les oscillations extrêmes du niveau d'eau dans le réservoir (remous maximal et dénivellation maximale).
  • Proposer des dimensions finales pour l'ouvrage de protection.

Données de l'étude

L'étude porte sur le dimensionnement d'un réservoir d'équilibre simple, de section constante, destiné à protéger la conduite forcée d'une usine hydroélectrique de haute chute.

Schéma de l'installation
Profil du circuit hydraulique
Réservoir Amont Niveau statique Conduite Forcée (L) Cheminée d'Équilibre Usine / Turbine Hbrute
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur de la conduite L 2000 m
Diamètre de la conduite D 2,5 m
Débit maximal turbiné Q₀ 40 m³/s
Chute brute H_brute 150 m
Coefficient de perte de charge linéaire f 0,015 -
Célérité de l'onde de choc a 1000 m/s

Questions à traiter

  1. Calculer la section de la conduite, la vitesse de l'écoulement et les pertes de charge linéaires totales en régime permanent.
  2. Déterminer la section minimale théorique de la cheminée (condition de Thoma). On prendra un coefficient de sécurité de 1,5.
  3. Calculer le remous maximal (surélévation maximale) dans le réservoir suite à une fermeture totale et instantanée.
  4. Calculer la dénivellation maximale (abaissement maximal) dans le réservoir.
  5. Proposer les dimensions finales du réservoir (diamètre et hauteur totale), en considérant une revanche de 1,5 m.

Les bases sur les Coups de Bélier et Réservoirs d'Équilibre

Le dimensionnement d'un réservoir d'équilibre repose sur l'analyse des oscillations de masse d'eau entre le réservoir et la retenue, en négligeant l'élasticité de l'eau et de la conduite (calcul de la masse oscillante).

1. Condition de Stabilité de Thoma
Pour que les oscillations du niveau d'eau dans le réservoir soient amorties et que le système soit stable, sa section droite \(A_s\) doit être supérieure à une section critique, dite section de Thoma \(A_\text{th}\). Elle dépend des caractéristiques de la conduite et des conditions d'écoulement. \[ A_s \ge A_{\text{th}} = \frac{L \cdot A_p}{2 \cdot g \cdot \frac{\Delta H_0}{Q_0^2} \cdot H_0} \] Où \(H_0\) est la chute nette et \(\Delta H_0\) la perte de charge pour le débit \(Q_0\).

2. Calcul des Oscillations (Formules Approchées)
Pour une fermeture instantanée, la surélévation maximale (remous) \(Z_{\text{max}}\) et l'abaissement maximal (dénivellation) \(Z_{\text{min}}\) peuvent être estimés par des formules simplifiées basées sur un bilan d'énergie. \[ Z_{\text{max}} \approx \sqrt{\frac{L \cdot A_p \cdot V_0^2}{g \cdot A_s} + (\Delta H_0)^2} \] \[ Z_{\text{min}} \approx - \sqrt{\frac{L \cdot A_p \cdot V_0^2}{g \cdot A_s}} \]

Correction : Dimensionnement d’un Réservoir d'Équilibre Anti-Bélier

Question 1 : Calcul des paramètres de l'écoulement

Principe (le concept physique)

Avant de pouvoir dimensionner un ouvrage de protection, il faut d'abord parfaitement comprendre le système en son état de fonctionnement normal (le régime permanent). Cette première question vise à calculer les caractéristiques fondamentales de l'écoulement lorsque la turbine fonctionne à plein régime : à quelle vitesse l'eau circule-t-elle et quelle énergie est perdue par frottement contre les parois de la conduite.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La vitesse d'un fluide dans une conduite est directement liée au débit et à la section de passage par la relation de continuité \(Q = V \cdot A\). Les pertes d'énergie, ou "pertes de charge", sont principalement dues à la friction. La formule de Darcy-Weisbach est l'outil fondamental en hydraulique en charge pour quantifier ces pertes. Elle montre que les pertes augmentent avec la longueur de la conduite et le carré de la vitesse, mais diminuent avec le diamètre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez toujours à ces trois calculs comme le "portrait-robot" de votre écoulement. Sans ces valeurs (Section, Vitesse, Pertes de charge), il est impossible d'aller plus loin. C'est le socle de toute l'analyse. Une erreur ici se répercutera sur toutes les questions suivantes.

Normes (la référence réglementaire)

Bien qu'il n'y ait pas de norme unique, des guides techniques comme ceux de la Société Hydrotechnique de France (SHF) ou des recommandations internationales (ex: ICOLD - Commission Internationale des Grands Barrages) fournissent des cadres pour ces calculs. Le choix du coefficient de frottement 'f' est souvent basé sur des abaques normalisés (diagramme de Moody) qui dépendent de la rugosité du matériau de la conduite.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Section de la conduite

\[ A_p = \frac{\pi \cdot D^2}{4} \]

Vitesse de l'écoulement

\[ V_0 = \frac{Q_0}{A_p} \]

Pertes de Charge (Darcy-Weisbach)

\[ \Delta H_0 = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V_0^2}{2g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • L'écoulement est considéré comme permanent et uniforme (vitesse constante sur toute la section).
  • Le fluide (eau) est considéré comme incompressible.
  • La conduite est pleine et en charge sur toute sa longueur.
  • Le coefficient de frottement 'f' est supposé constant sur toute la longueur de la conduite.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
DébitQ₀40m³/s
DiamètreD2,5m
LongueurL2000m
Coeff. de frottementf0,015-
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un calcul rapide, retenez que les pertes de charge sont proportionnelles à \(Q^2\). Si vous doublez le débit, vous multipliez les pertes de charge par quatre ! Cela permet de vérifier rapidement un ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)
Section de la conduite et Vitesse
ApD = 2.5 mV₀Q₀ = 40 m³/s
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la section de la conduite \(A_p\)

\[ \begin{aligned} A_p &= \frac{\pi \cdot (2,5 \, \text{m})^2}{4} \\ &= 4,909 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse \(V_0\)

\[ \begin{aligned} V_0 &= \frac{40 \, \text{m}^3/\text{s}}{4,909 \, \text{m}^2} \\ &= 8,148 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Calcul des pertes de charge \(\Delta H_0\)

\[ \begin{aligned} \Delta H_0 &= 0,015 \cdot \frac{2000 \, \text{m}}{2,5 \, \text{m}} \cdot \frac{(8,148 \, \text{m/s})^2}{2 \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 12 \cdot 3,383 \\ &= 40,6 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de charge et ligne piézométrique
Position le long de la conduiteAltitude + ChargeConduiteNiveau StatiqueLigne de Charge (EGL)Ligne Piézométrique (HGL)ΔH0 = 40.6 mV02/2g
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une vitesse de plus de 8 m/s est très élevée pour une conduite, ce qui explique les pertes de charge très importantes (40,6 m). Cela signifie que plus de 27% de la chute brute (150 m) est "perdue" uniquement en frottements avant même d'arriver à la turbine. C'est une caractéristique des installations de haute chute optimisées pour la puissance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune ici est d'oublier de mettre la vitesse au carré dans la formule de Darcy-Weisbach ou de se tromper dans le terme \(L/D\). Vérifiez toujours la cohérence de vos unités : si L et D ne sont pas dans la même unité, le calcul sera faux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour maîtriser cette étape, vous devez être capable de :

  • Calculer une section et une vitesse à partir d'un débit et d'un diamètre.
  • Appliquer la formule de Darcy-Weisbach sans hésitation.
  • Comprendre que les pertes de charge représentent une perte d'énergie réelle du système.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La formule de Darcy-Weisbach, fondamentale aujourd'hui, est le fruit des travaux de l'ingénieur français Henry Darcy au milieu du 19ème siècle sur l'écoulement de l'eau dans les conduites sous pression pour l'alimentation en eau de la ville de Dijon. Elle fut ensuite généralisée par l'Allemand Julius Weisbach.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on 'g', l'accélération de la pesanteur ?

La formule des pertes de charge convertit une dissipation d'énergie (en Joules) en une hauteur équivalente de colonne d'eau (en mètres). Le terme \(V^2 / 2g\) représente l'énergie cinétique du fluide par unité de poids, ce qui est homogène à une hauteur. C'est ce qu'on appelle la "hauteur dynamique".

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse d'écoulement est de 8,15 m/s et les pertes de charge totales s'élèvent à 40,6 m.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le diamètre de la conduite était de 3,0 m au lieu de 2,5 m, quelle serait la nouvelle perte de charge (pour Q=40 m³/s) ?

Question 2 : Section minimale de la cheminée (Condition de Thoma)

Principe (le concept physique)

Un réservoir d'équilibre fonctionne comme un ressort hydraulique. Pour qu'il amortisse efficacement les oscillations sans entrer en résonance, il doit avoir une taille minimale. La condition de Thoma définit la surface minimale en plan du réservoir pour que, suite à une perturbation, les oscillations du niveau d'eau s'amortissent et que le système revienne stablement à l'équilibre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La démonstration de la formule de Thoma repose sur une analyse de la stabilité d'un système oscillant amorti. Elle établit une condition limite où l'amortissement (dû aux pertes de charge) est juste suffisant pour contrer les forces d'inertie. Si la section est plus petite, l'amortissement devient insuffisant et les oscillations peuvent s'amplifier jusqu'à la défaillance (débordement ou désamorçage).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La condition de Thoma est LA condition de sécurité fondamentale. C'est un calcul non-négociable. Pensez-y comme au calcul de la taille des fondations d'un bâtiment : si ce n'est pas bon, tout le reste de la structure est compromis. L'application d'un coefficient de sécurité est une pratique d'ingénierie standard pour se prémunir des incertitudes.

Normes (la référence réglementaire)

Les guides de conception des aménagements hydroélectriques (comme ceux du U.S. Army Corps of Engineers ou d'autres organismes nationaux) imposent la vérification de la condition de Thoma et recommandent des coefficients de sécurité. La valeur de 1,5 est courante, mais peut être augmentée pour des installations particulièrement sensibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Section critique de Thoma \(A_\text{th}\)

\[ A_{\text{th}} = \frac{L \cdot A_p \cdot V_0^2}{2 g \cdot \Delta H_0 \cdot H_0} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le réservoir est simple, à section constante.
  • Les pertes de charge à l'entrée du réservoir sont négligées.
  • On analyse de petites oscillations autour du point de fonctionnement stable.
  • La puissance de la turbine est considérée constante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Longueur conduiteL2000m
Section conduite\(A_p\)4,909m²
Vitesse\(V_0\)8,148m/s
Pertes de charge\(\Delta H_0\)40,6m
Chute brute\(H_\text{brute}\)150m
Astuces (Pour aller plus vite)

La formule \(A_{\text{th}} = \frac{L \cdot A_p \cdot V_0^2}{2 g \cdot \Delta H_0 \cdot H_0}\) est souvent plus facile à utiliser car vous avez déjà calculé tous les termes (\(V_0\) et \(\Delta H_0\)) à la question précédente.

Schéma (Avant les calculs)
Section de la Cheminée et Stabilité des Oscillations
TempsNiveau ZZ statiqueInstable (A < Ath)Stable (A > Ath)
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de la chute nette \(H_0\)

\[ \begin{aligned} H_0 &= H_{\text{brute}} - \Delta H_0 \\ &= 150 \, \text{m} - 40,6 \, \text{m} \\ &= 109,4 \, \text{m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la section de Thoma \(A_\text{th}\)

\[ \begin{aligned} A_{\text{th}} &= \frac{2000 \cdot 4,909 \cdot (8,148)^2}{2 \cdot 9,81 \cdot 40,6 \cdot 109,4} \\ &= \frac{651034}{87146} \\ &= 7,47 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Étape 3 : Application du coefficient de sécurité

\[ \begin{aligned} A_s &= 1,5 \cdot A_{\text{th}} \\ &= 1,5 \cdot 7,47 \\ &= 11,2 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Sections
A_th = 7.47 m² (Instable)As = 11.2 m² (Stable)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une section de 7,47 m² est le minimum strict pour la stabilité. En pratique, une marge de sécurité (ici 50%) est indispensable pour tenir compte des incertitudes sur le coefficient de frottement, des simplifications du modèle, et pour assurer un amortissement plus rapide des oscillations.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'oublier la chute nette \(H_0\) au dénominateur ou de la confondre avec la chute brute \(H_{\text{brute}}\). La stabilité dépend de la chute nette, c'est-à-dire l'énergie réellement disponible pour la turbine.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le message clé est : Stabilité d'abord. La condition de Thoma est un prérequis absolu avant de calculer les ampleurs des oscillations. C'est une condition d'existence pour que le système fonctionne correctement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dieter Thoma (1881-1942) était un ingénieur allemand pionnier dans le domaine de l'hydraulique et de la conception des turbines. Sa fameuse condition de stabilité, publiée en 1910, reste encore aujourd'hui la base du dimensionnement de toutes les cheminées d'équilibre dans le monde.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi un coefficient de sécurité est-il nécessaire ?

La formule de Thoma est établie pour la limite de la stabilité (amortissement nul). En réalité, on veut que les oscillations s'amortissent rapidement. Le coefficient de sécurité garantit non seulement la stabilité, mais aussi un bon amortissement et une marge face aux incertitudes des données d'entrée (comme la rugosité réelle de la conduite).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
On retiendra une section minimale pour le réservoir d'équilibre de As = 11,2 m².
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la section minimale à adopter si le coefficient de sécurité était porté à 2.0 ?

Question 3 : Calcul du remous maximal (Z_max)

Principe (le concept physique)

Lors d'un arrêt brusque de la turbine, la masse d'eau dans la conduite, qui possède une grande énergie cinétique, ne peut pas s'arrêter instantanément. Elle est déviée dans le réservoir d'équilibre, où son énergie cinétique se transforme en énergie potentielle, provoquant une montée rapide du niveau de l'eau. Le remous maximal est le pic de cette surélévation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul du remous est basé sur un bilan d'énergie. L'énergie cinétique de la colonne d'eau (\(\frac{1}{2} m V_0^2\)) est convertie en énergie potentielle de la colonne d'eau dans le réservoir (\(m g Z_{\text{max}}\)), tout en tenant compte de l'énergie dissipée par les pertes de charge durant la montée. Les formules approchées, comme celle utilisée ici, sont des solutions simplifiées de l'équation différentielle du mouvement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le cas de la fermeture instantanée est le plus dimensionnant. C'est le scénario "pire cas" qui permet de s'assurer que le réservoir ne débordera jamais, quelles que soient les conditions d'opération. Le calcul du remous définit la cote supérieure de l'ouvrage.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme stricte sur la formule à utiliser, mais les manuels de conception hydraulique (comme le "Handbook of Hydraulics" de Brater et King) présentent ces formules (dites de Calame et Gaden) comme des standards de la profession pour un prédimensionnement fiable.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule approchée du remous maximal

\[ Z_{\text{max}} \approx \sqrt{\frac{L \cdot A_p \cdot V_0^2}{g \cdot A_s} + (\Delta H_0)^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La fermeture de la turbine est totale et instantanée.
  • La section du réservoir \(A_s\) est celle calculée précédemment.
  • Les pertes de charge durant la montée dans la cheminée sont prises en compte de manière globale via le terme \((\Delta H_0)^2\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Longueur conduiteL2000m
Section conduite\(A_p\)4,909m²
Vitesse\(V_0\)8,148m/s
Section réservoir\(A_s\)11,2m²
Pertes de charge\(\Delta H_0\)40,6m
Schéma (Avant les calculs)
Phénomène de Remous (Upsurge)
N. StatiqueZ_max ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Application numérique

\[ \begin{aligned} Z_{\text{max}} &= \sqrt{\frac{2000 \cdot 4,909 \cdot (8,148)^2}{9,81 \cdot 11,2} + (40,6)^2} \\ &= \sqrt{\frac{651034}{109,87} + 1648,36} \\ &= \sqrt{5925,5 + 1648,36} \\ &= \sqrt{7573,86} \\ &= 87,0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Niveau d'eau maximal dans le réservoir
N. StatiqueZ_max = 87.0 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une surélévation de 87 mètres est considérable. Elle montre la violence du phénomène de coup de bélier et l'immense quantité d'énergie cinétique qui doit être dissipée. Sans ce réservoir, cette énergie se transformerait en une surpression qui ferait éclater la conduite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Cette formule est une approximation. Elle est généralement conservative (surestime légèrement le remous). Il ne faut pas oublier d'ajouter le terme des pertes de charge au carré sous la racine, car il contribue à l'élévation finale.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le remous maximal est le scénario qui dimensionne la hauteur de l'ouvrage au-dessus du niveau statique. Il est directement lié à la vitesse initiale de l'eau : plus l'eau va vite, plus la montée sera haute.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans certaines installations, pour réduire la hauteur des cheminées, on utilise des "étranglements" à la base. Ces dispositifs augmentent les pertes de charge lors du remplissage/vidage de la cheminée, ce qui amortit plus vite les oscillations et réduit leurs amplitudes maximales.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle toujours valable ?

C'est une excellente formule pour le prédimensionnement. Pour le dimensionnement final d'un ouvrage réel, les ingénieurs utilisent des modèles de simulation numérique (basés sur la méthode des caractéristiques) qui résolvent les équations complètes de Saint-Venant et donnent une description temporelle précise de la pression et du niveau d'eau.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La surélévation maximale du niveau d'eau dans le réservoir est de 87,0 m au-dessus du niveau statique.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la section du réservoir était plus grande (ex: As = 15 m²), le remous Z_max serait-il plus grand ou plus petit ? Calculez sa valeur.

Question 4 : Calcul de la dénivellation maximale (Z_min)

Principe (le concept physique)

La dénivellation (ou "downsurge") est le phénomène inverse du remous. Elle se produit lors d'une ouverture rapide de la turbine. L'eau s'engouffre vers la turbine, créant une dépression et aspirant l'eau du réservoir, ce qui provoque un abaissement de son niveau. On calcule cet abaissement maximal pour s'assurer que le niveau ne descende pas en dessous de la connexion avec la conduite, ce qui pourrait introduire de l'air dans le circuit (désamorçage), un phénomène très dangereux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Comme pour le remous, le calcul est basé sur un bilan d'énergie. L'énergie potentielle stockée dans le réservoir est convertie pour accélérer la colonne d'eau dans la conduite. La formule approchée néglige l'effet amortisseur des pertes de charge pendant la descente, ce qui la rend conservative (elle surestime l'abaissement).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La dénivellation dimensionne la partie inférieure de votre réservoir. Il faut absolument garantir que le niveau minimum reste au-dessus du plafond de la galerie d'amenée pour éviter l'aspiration d'air, qui peut être catastrophique pour la turbine.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule approchée de la dénivellation maximale

\[ Z_{\text{min}} \approx - \sqrt{\frac{L \cdot A_p \cdot V_0^2}{g \cdot A_s}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • On part d'un état de repos et on demande le débit maximal instantanément.
  • Les pertes de charge sont négligées dans cette formule simplifiée (hypothèse sécuritaire).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Longueur conduiteL2000m
Section conduite\(A_p\)4,909m²
Vitesse\(V_0\)8,148m/s
Section réservoir\(A_s\)11,2m²
Schéma (Avant les calculs)
Phénomène de Dénivellation (Downsurge)
N. Statique|Z_min| ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Application numérique

\[ \begin{aligned} Z_{\text{min}} &\approx - \sqrt{\frac{2000 \cdot 4,909 \cdot (8,148)^2}{9,81 \cdot 11,2}} \\ &= - \sqrt{5925,5} \\ &= -77,0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Niveau d'eau minimal dans le réservoir
N. Statique|Z_min| = 77.0 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'abaissement est presque aussi important que la surélévation. Le niveau d'eau oscillera donc sur une plage totale de 87.0 + 77.0 = 164.0 mètres. C'est une amplitude considérable qui justifie la construction d'un ouvrage de grande hauteur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La dénivellation maximale définit la cote basse de l'ouvrage. Elle est critique pour la sécurité de l'installation. Contrairement au remous, on néglige souvent les pertes de charge dans le calcul simple pour être du côté de la sécurité (on maximise l'abaissement).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'abaissement maximal du niveau d'eau dans le réservoir est de -77,0 m par rapport au niveau statique.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la conduite était plus courte (L=1500m), quelle serait la nouvelle dénivellation maximale ?

Question 5 : Dimensions finales du réservoir

Principe (le concept physique)

Cette dernière étape est une synthèse des calculs précédents. Elle consiste à traduire les exigences hydrauliques (section minimale, oscillations maximales) en dimensions géométriques concrètes pour l'ingénieur civil qui construira l'ouvrage. On y ajoute une marge de sécurité finale, la revanche.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la conclusion de votre travail d'ingénieur. Vous passez des calculs théoriques à une proposition tangible. Pensez à toujours arrondir les dimensions à des valeurs constructibles (ex: 3,78 m devient 4,0 m).

Normes (la référence réglementaire)

Les règles de l'art en génie civil et les recommandations pour les ouvrages hydrauliques (ex: "Design of Small Dams") préconisent une revanche minimale pour tenir compte des incertitudes, des effets de vagues et des clapots dans le réservoir. Une valeur de 1,0 à 1,5 m est typique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Diamètre du réservoir

\[ D_s = \sqrt{\frac{4 \cdot A_s}{\pi}} \]

Hauteur Totale du réservoir

\[ H_{\text{totale}} = Z_{\text{max}} + |Z_{\text{min}}| + \text{Revanche} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le réservoir est un cylindre vertical parfait.
  • La revanche de 1,5 m est jugée suffisante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Section réservoir\(A_s\)11,2m²
Remous maximal\(Z_\text{max}\)87,0m
Dénivellation maximale\(|Z_\text{min}|\)77,0m
Revanche-1,5m
Schéma (Avant les calculs)
Synthèse des Dimensions
??H_tot?Ds?
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du diamètre du réservoir \(D_s\)

\[ \begin{aligned} D_s &= \sqrt{\frac{4 \cdot 11,2 \, \text{m}^2}{\pi}} \\ &= \sqrt{14,26} \\ &= 3,78 \, \text{m} \end{aligned} \]

On arrondit à une valeur constructive supérieure, soit D_s = 4,0 m.

Étape 2 : Calcul de la hauteur totale \(H_\text{tot}\)

La hauteur doit couvrir toute la plage d'oscillation, plus la revanche.

\[ \begin{aligned} H_{\text{totale}} &= 87,0 \, \text{m} + 77,0 \, \text{m} + 1,5 \, \text{m} \\ &= 165,5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Dimensions Finales de l'Ouvrage
Niveau StatiqueRevanche (1.5m)Z_max = 87m|Z_min| = 77mH_totale = 165.5 mDs = 4.0 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous aboutissons à un ouvrage de génie civil majeur : une tour de 4 mètres de diamètre et de plus de 165 mètres de haut. Ces dimensions illustrent bien les contraintes extrêmes que subissent les aménagements hydroélectriques de haute chute et l'importance de ces ouvrages de protection.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le réservoir d'équilibre sera une cheminée cylindrique de diamètre intérieur 4,0 m et d'une hauteur totale de 165,5 m.

Outil Interactif : Influence du Débit sur le Remous

Utilisez le simulateur ci-dessous pour visualiser comment le débit initial dans la conduite influence la surélévation maximale dans le réservoir que nous avons dimensionné (As = 11,2 m²).

Paramètres d'Entrée
40 m³/s
Résultats Clés
Vitesse (V₀) -
Pertes de charge (ΔH₀) -
Remous max (Z_max) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est l'objectif principal d'un réservoir d'équilibre ?

2. Que se passe-t-il si la section du réservoir est inférieure à la section critique de Thoma ?

3. Dans ce problème, quel paramètre a l'impact le plus important sur les pertes de charge ?

4. Le "remous" (upsurge) fait référence à :

5. Pourquoi ajoute-t-on une "revanche" à la hauteur du réservoir ?

Glossaire

Coup de Bélier
Phénomène de surpression et de dépression qui se propage sous forme d'onde dans une conduite, suite à une variation rapide de la vitesse du fluide (ex: fermeture de vanne).
Réservoir d'Équilibre
Ouvrage hydraulique (souvent une tour verticale) connecté à une conduite en charge, permettant de réfléchir les ondes de coup de bélier et de limiter les variations de pression en transformant l'énergie cinétique en énergie potentielle.
Condition de Thoma
Critère mathématique définissant la section transversale minimale que doit avoir un réservoir d'équilibre pour garantir l'amortissement et la stabilité des oscillations du niveau d'eau.
Perte de Charge (ΔH)
Perte d'énergie (exprimée en mètres de colonne de fluide) subie par un écoulement due aux frottements sur les parois de la conduite (pertes linéaires) et aux accidents de parcours (pertes singulières).
Remous / Dénivellation
Respectivement la surélévation maximale (remous ou upsurge) et l'abaissement maximal (dénivellation ou downsurge) du plan d'eau dans le réservoir par rapport au niveau d'équilibre statique.
Exercice : Dimensionnement d’un Réservoir d'Équilibre Anti-Bélier

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