Dimensionnement d'un réservoir anti-bélier

Comprendre le Réservoir Anti-Bélier

Un réservoir anti-bélier (ou accumulateur oléopneumatique) est un dispositif de protection crucial dans les systèmes hydrauliques soumis à des coups de bélier, notamment lors d'un arrêt brusque de pompe. Il s'agit d'un réservoir contenant un gaz (généralement de l'azote) séparé du liquide par une membrane ou une vessie. Lorsque l'onde de surpression arrive, l'eau pénètre dans le réservoir et comprime le gaz. Le gaz agit comme un "amortisseur", absorbant l'énergie cinétique de la colonne d'eau et limitant la montée en pression. Son dimensionnement correct est essentiel pour protéger la conduite contre les surpressions et les dépressions (cavitation).

Données de l'étude

Un système de pompage refoule de l'eau sur une longue distance. On souhaite installer un réservoir anti-bélier pour protéger la conduite en cas d'arrêt de la pompe.

Caractéristiques du système :

Débit de la pompe (\(Q\)) : \(250 \, \text{L/s}\).
Diamètre de la conduite (\(D\)) : \(400 \, \text{mm}\).
Longueur de la conduite (\(L\)) : \(800 \, \text{m}\).
Pression de service au niveau de la pompe (\(P_1\)) : \(6 \, \text{bar}\).
Pression maximale admissible dans la conduite (\(P_{\text{max}}\)) : \(10 \, \text{bar}\).
Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\).

Schéma : Système avec Réservoir Anti-Bélier

Questions à traiter

Calculer la vitesse initiale de l'eau (\(V_0\)) et la section (\(S\)) de la conduite.
Calculer l'énergie cinétique totale (\(E_k\)) de la colonne d'eau en mouvement.
En utilisant le principe de conservation de l'énergie (l'énergie cinétique est absorbée par le travail de compression du gaz), calculer le volume d'air initial (\(V_a\)) requis dans le réservoir. On supposera une compression isotherme.

Correction : Dimensionnement d'un Réservoir Anti-Bélier

Question 1 : Calcul de la Vitesse et de la Section

Principe :

On commence par déterminer les caractéristiques de base de l'écoulement : la section de passage du fluide et sa vitesse moyenne. Les unités doivent être converties en SI.

Données et Conversion :

Débit (\(Q\)) : \(250 \, \text{L/s} = 0.25 \, \text{m}^3/\text{s}\).
Diamètre (\(D\)) : \(400 \, \text{mm} = 0.4 \, \text{m}\).

Calcul :

Calcul de la surface de la section (\(S\)) :

\begin{aligned} S &= \frac{\pi D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.4)^2}{4} \\ &\approx 0.1257 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul de la vitesse (\(V_0\)) :

\begin{aligned} V_0 &= \frac{Q}{S} \\ &= \frac{0.25 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.1257 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.99 \, \text{m/s} \end{aligned}

La section de la conduite est de \(S \approx 0.1257 \, \text{m}^2\).
La vitesse initiale de l'eau est \(V_0 \approx 1.99 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Calcul de l'Énergie Cinétique (\(E_k\))

Principe :

L'énergie cinétique de toute la colonne d'eau en mouvement doit être absorbée par le réservoir pour éviter le coup de bélier. On la calcule à partir de la masse totale de l'eau dans la conduite et de sa vitesse.

Formule(s) utilisée(s) :

m = \rho \cdot S \cdot L \quad | \quad E_k = \frac{1}{2} m V_0^2

Calcul :

Masse de la colonne d'eau (\(m\)) :

\begin{aligned} m &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 0.1257 \, \text{m}^2 \times 800 \, \text{m} \\ &= 100560 \, \text{kg} \end{aligned}

Énergie cinétique (\(E_k\)) :

\begin{aligned} E_k &= \frac{1}{2} \times 100560 \, \text{kg} \times (1.99 \, \text{m/s})^2 \\ &\approx 198096 \, \text{J} \end{aligned}

Résultat Question 2 : L'énergie cinétique à absorber est d'environ 198.1 kJ.

Question 3 : Calcul du Volume d'Air Initial (\(V_a\))

Principe :

On dimensionne le volume d'air initial (\(V_a\)) du réservoir pour que le travail de compression du gaz soit égal à l'énergie cinétique de la colonne d'eau à absorber, sans que la pression ne dépasse la pression maximale admissible. Pour une compression lente, on utilise le modèle isotherme.

Formule(s) utilisée(s) :

E_k = W_{\text{compression}} = P_1 V_a \ln\left(\frac{P_{\text{max}}}{P_1}\right) \quad \Rightarrow \quad V_a = \frac{E_k}{P_1 \ln(P_{\text{max}}/P_1)}

Données et Conversion :

\(P_1 = 6 \, \text{bar} = 6 \times 10^5 \, \text{Pa}\).
\(P_{\text{max}} = 10 \, \text{bar} = 10 \times 10^5 \, \text{Pa}\).
\(E_k \approx 198100 \, \text{J}\).

Calcul :

\begin{aligned} V_a &= \frac{198100}{ (6 \times 10^5) \cdot \ln\left(\frac{10 \times 10^5}{6 \times 10^5}\right)} \\ &= \frac{198100}{(6 \times 10^5) \cdot \ln(1.667)} \\ &= \frac{198100}{(6 \times 10^5) \cdot 0.5108} \\ &= \frac{198100}{306480} \\ &\approx 0.646 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le volume d'air initial requis dans le réservoir est d'environ 646 litres.

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